第4讲 基本不等式及其应用 分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 以“理解-应用-综合”为逻辑主线，通过9类考法系统构建基本不等式从概念辨析到实际应用的解题方法体系，突出数学思维的严谨性与应用意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本不等式的理解与证明|3考法8题|条件判断、几何意义、不等式证明|从概念本质（成立条件）到几何直观再到逻辑推理，构建认知基础| |基本不等式求最值|5考法21题|直接法、凑配法、“1”的代换、换元消元|聚焦核心应用，通过方法分层实现从简单到复杂情境的迁移| |基本不等式的综合应用|3考法10题|指对数结合、恒成立问题、实际建模|关联跨知识模块与现实问题，体现数学语言的表达价值|

第4讲 基本不等式及其应用·分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 D B BC C C 6 7 8 9 10 见解析 （1）见解析 （2）见解析 （1） （2）见解析 A C 11 12 13 14 15 D BC B 16 17 18 19 20 A C ABC 21 22 23 24 25 B B C C 26 27 28 29 30 BD D 31 32 33 34 35 B BCD B ACD 36 37 38 39 D （1）吨 （2）不获利，元 （1） （2）见解析 考点一：基本不等式的理解与证明 考法1：根据基本不等式判断大小与成立条件 1.已知，都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，都是正数，由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立. 【点拨】本题考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件是解题的关键. 2.（2026·湖北随州·三模）已知，，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】利用基本不等式，举反例，应用必要不充分条件定义的判断.由，，，令，，得，则不成立，所以“”是“”的不充分条件；因为，，，即，得，又因为，所以，所以，所以，所以“”是“”的必要条件；综上，“”是“”的必要不充分条件. 【点拨】本题考查充分必要条件的判断，结合基本不等式及举反例的方法是解决此类问题的有效途径. 3.（2026·湖北圆创·一模）（多选）下列说法中正确的是（ 　　） A. 若，则的最小值为2 B. 若，则的最大值为 C. 若，且，则的最大值为 D. 若，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】对于A，，当且仅当时等号成立，但，所以等号取不到，故A错误；对于B，因为，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，若，，则，最小值为2不成立，故D错误. 【点拨】本题考查基本不等式的应用，注意等号成立的条件以及变量的符号. 考法2：利用几何意义理解基本不等式 4.数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为【图片】（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由图知：，，在中，，所以，即. 【点拨】本题考查基本不等式的几何意义，通过构造直角三角形利用斜边大于直角边进行证明. 考法3：利用基本不等式证明不等式 5.（2026·山东师大附中·3月检测）已知实数，满足，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于A，，则，所以，该选项错误；对于B，若，满足，但，该选项错误；对于C，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，该选项正确；对于D，，所以，因为，所以，但跟0的大小关系不确定，不能确定，不能得到，该选项错误. 【点拨】本题考查不等式的性质及基本不等式的应用，利用特殊值法及基本不等式逐项判断即可. 6.利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：都是正数， (当且仅当时取等号)； (当且仅当时取等号)； (当且仅当时取等号)； (当且仅当时取等号)， 即． 【点拨】本题考查利用基本不等式证明不等式，多次使用基本不等式时需注意等号成立的条件是否能同时满足. 7.已知，，为正数，证明： （1）若，则； （2）若，则． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】证明：（1）因为，所以， 同理可得，， 所以， 故，当且仅当时等号成立． （2）， 因为，所以，当且仅当时等号成立． 【点拨】本题考查基本不等式及柯西不等式的应用，巧妙地利用常数代换和不等式放缩是解题的关键. 8.已知函数，若的解集为． （1）求实数，的值； （2）已知均为正数，且满足，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1）因为的解集为，所以，即，所以， 又，所以，即. 所以， 当时，, 得，则， 当时，，得，则， 当时，，得，不成立， 综上所述：的解集为， 因为的解集为．所以. （2）证明：由（1）知，，所以， 所以，当且仅当，时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当，时，等号成立. 【点拨】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式求最值，利用零点分段法解绝对值不等式是常规思路. 考点二：基本不等式求最值 考法4：利用直接法求和与积的最值 9.（2025·河北保定·二模）已知，是非零实数，则的最小值为（ 　　） A. 6 B. 12 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】，当且仅当，即，等号成立，所以的最小值为6. 【点拨】本题考查利用基本不等式求最值，直接应用基本不等式即可. 10.（2026·河北NT20·5月检测）若，且，则的最小值为（ 　　） A. 12 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】由为正实数且，根据基本不等式，可得，即，解得或（舍去），当且仅当时取等号，所以的最小值为. 【点拨】本题考查基本不等式的应用，利用将条件转化为关于的一元二次不等式是解题关键. 11.（2024·深圳高级中学·二诊）已知都是正实数，，则的最小值为（ 　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】因为都是正实数，，即，所以，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为. 【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过因式分解将条件转化为积为定值的形式是解题的关键. 12.（多选）若实数，满足，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】，当时，，当且仅当或时等号成立，得，当时，，当且仅当或时等号成立，得，当时，由可得或，综合可得，故C正确，D错误；，当时，，故A错误，B正确. 【点拨】本题考查基本不等式的应用，通过分类讨论和基本不等式求出的范围是解题的关键. 13.（2025·安徽淮北·二模）若实数和的等差中项为1，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】若实数和的等差中项为1，则，，即，即，当且仅当取等号.故的最小值为2. 【点拨】本题考查等差中项的性质及基本不等式求最值，利用平方和不等式即可求解. 14.（2026·山东东营·二模）若，且，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为，且，由基本不等式可得，所以，即，解得或（舍去），所以，当且仅当时等号成立，所以的取值范围为. 【点拨】本题考查基本不等式的应用，利用基本不等式将条件转化为关于的一元二次不等式是解题的关键. 考法5：利用凑配法求最值 15.（2026·浙江精诚·二模）已知，则的最小值为（ 　　） A. B. C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】，当且仅当，即时等号成立. 【点拨】本题考查利用“1”的代换（凑配法）求最值，构造出积为定值的形式是解题的关键. 16.若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由，得，，所以，当且仅当即时等号成立. 【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过凑项构造出积为定值的形式是常用的技巧. 17.若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由，则.因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 【点拨】本题考查分式函数求最值，通过分离常数将其转化为可用基本不等式的形式是解题关键. 考法6：利用“1”的代换求最值 18.（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（ 　　） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】当时，，当且仅当，即时等号成立. 【点拨】本题考查利用“1”的代换求最值，将常数转化为变量之和是解题的关键. 19.（2025·河北沧州·二模）若正数，满足，则的最小值是（ 　　） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】由已知可得，则，所以的最小值5. 【点拨】本题考查利用基本不等式求最值，将条件等式转化为与的线性组合等于1的形式是解题关键. 20.（2025·江西上饶·二模）（多选）若正实数满足，则（ 　　） A. 的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】ABC 【解析】对于A，，当且仅当时取等号，A正确；对于B，，当且仅当时取等号，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，C正确；对于D，，则，当且仅当时取等号，D错误. 【点拨】本题综合考查了利用基本不等式求最值，熟练掌握“1”的代换以及二次函数求最值的方法是解题的关键. 21.（2026·安徽A10·最后一卷）已知，且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由题意得，，当且仅当，，即时，等号成立. 【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过通分将代数式转化为可用基本不等式的形式是解题关键. 考法7：利用换元法与消元法求最值 22.已知正实数，满足，则的最小值是（ 　　） A. 2 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】由，得，所以，当且仅当，，即，取等号. 【点拨】本题考查消元法结合基本不等式求最值，将双变量问题转化为单变量问题是常用的解题策略. 23.（2025·河北衡水·3月联考）已知正数满足，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设，则，故，当且仅当时取等号. 【点拨】本题考查利用换元法和“1”的代换求最值，整体代换是简化运算的有效手段. 24.（2026·湖南新高考·3月联考）若，且，则的最小值为（ 　　） A. 12 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可解题.因为，，所以，令，所以，解得（舍去）或，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为. 【点拨】本题考查基本不等式的应用，利用将条件转化为关于的一元二次不等式是解题关键. 25.（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（ 　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】由，可得，因为，，所以，，则，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为13. 【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过因式分解将条件转化为积为定值的形式是解题的关键. 26.（2026·安徽滁州·一模）（多选）下列选项正确的有（ 　　） A. 若，则最小值为 B. 若，则最小值为3 C. 若，则的最小值为5 D. 若，则的最大值为 【答案】BD 【解析】对于选项A，，，当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，假设，满足，而，故选项A错误；对于选项B，设，，，，，当且仅当时，即时取等号，则的最小值为3，故选项B正确；对于选项C，，，，当且仅当，即，等号成立，但是无解，故等号不能成立，则，故选项C错误；对于选项D，，设，，，其中，，，的最大值为，故选项D正确. 【点拨】本题综合考查基本不等式求最值、三角换元求最值，注意基本不等式成立的条件“一正二定三相等”. 27.（2026·湖南雅礼中学·5月模拟）已知，若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为，所以，整理可得，由已知，则，可得，即，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，又，所以时取到最小值. 【点拨】本题考查基本不等式的应用，通过因式分解将条件转化为积为定值的形式是解题关键. 28.若，，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为且，则两边同除以，得，又因为，当且仅当，即时等号成立，所以. 【点拨】本题考查基本不等式求最值，通过代数式的恒等变形将和的最值转化为基本不等式模型是解题关键. 29.若，，，，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由题意，，，，得：，设，则，故，当且仅当，即时取得等号，故的最小值为. 【点拨】本题考查换元法与基本不等式求最值，通过整体代换将多元问题转化为双变量问题是解题关键. 考点三：基本不等式的综合应用 考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值 30.（2026·安徽铜陵·一模）已知，，则的最小值为（ 　　） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，故选： D. 【点拨】本题考查基本不等式与对数运算的结合，注意对数换底公式的灵活应用. 31.（2025·江苏高邮·一模）已知、，且，则的最小值是（ 　　） A. B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】因为、，且，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值是4. 【点拨】本题考查基本不等式与指数运算的结合，将和的最值转化为指数幂的乘积是解题关键. 32.（2026·河北石家庄一中·一模）（多选）已知，，，则（ 　　） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A，，当且仅当时等号成立，故A错误；对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确. 【点拨】本题综合考查基本不等式在求最值中的应用，涉及“1”的代换、二次函数最值以及指对数运算. 33.（2025·河北邢台·一模）已知，则的最大值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为，所以，解得，当且仅当时等号成立.所以. 【点拨】本题考查基本不等式与对数运算的结合，利用基本不等式求出的最大值是解题的关键. 考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合 34.（2026·湖南常德·一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为对任意的，恒成立，所以，即.因为，要求的最大值，只需考虑的情况.由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立.所以，解得.对应选项B. 【点拨】本题考查一元二次不等式恒成立问题以及利用导数求最值，将多元问题转化为单变量函数求最值是解题关键. 35.（2026·河南豫东名校·二模）（多选）已知，，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于 A，∵ a > 0,b > 0，∴ ab - 3 = a + b ≥ 2\sqrt{ab}，当且仅当 a = b = 3 时取等号，∴ ab - 2\sqrt{ab} - 3 ≥ 0，解得 \sqrt{ab} ≥ 3，即 ab ≥ 9，故 A 正确；对于 B，(a^2+4)/(a^2+3) = (a^2+3+1)/(a^2+3) = 1 + 1/(a^2+3)，因为 a > 0，所以 a^2+3 > 3，所以 0 < 1/(a^2+3) < 1/3，所以 1 < (a^2+4)/(a^2+3) < 4/3，无最小值，故 B 错误；对于 C，因为 a+b=9，所以 36/a + a/b = 4(a+b)/a + a/b = 4 + 4b/a + a/b ≥ 4 + 2\sqrt{4b/a \cdot a/b} = 8，当且仅当 4b/a = a/b，即 a=2b=6, b=3 时，等号成立，故 C 正确；对于 D，(\sqrt{a} + \sqrt{5b})^2 = a + 5b + 2\sqrt{5ab} \leq a + 5b + 5a + b = 6(a+b)，当且仅当 5a=b 时取等号，所以 \sqrt{a} + \sqrt{5b} \leq \sqrt{6}\sqrt{a+b}，又 \sqrt{a} + \sqrt{5b} \leq k\sqrt{a+b} 恒成立，所以 k \geq \sqrt{6}，即 k 的最小值为 \sqrt{6}，故 D 正确. 【点拨】本题综合考查基本不等式及柯西不等式的应用，灵活运用不等式性质求最值是解题的关键. 36.若关于的不等式的解集为，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为不等式 x^2+ bx + c ≥ 0(b > 1) 的解集为 R，则 Δ = b^2- 4c ≤ 0 ⇒ c ≥ b^2/4 ，因为 b > 1，所以 b - 1 > 0，∴ (1+2b+4c)/(b-1) ≥ (b^2+2b+1)/(b-1) = ((b-1)^2+4(b-1)+4)/(b-1) = (b - 1) + 4/(b-1) + 4 ≥ 2\sqrt{(b-1) \times 4/(b-1)} + 4 = 8．当且仅当 b - 1 = 4/(b-1) ，即 b = 3 时，取到等号． 【点拨】本题考查一元二次不等式恒成立问题与基本不等式求最值的综合，利用判别式消去参数是解题关键. 考法10：利用基本不等式解决实际问题 37.（2026·安徽皖江·最后一卷）工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加(订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本)．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用(不包括购买原料费用)最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为吨，每次订货费为元，每天每吨原料贮存费为元，当贮存量降到0时订货可立即送达，订货费、贮存费和需求量均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为(即每天订一次货)，则每次订货量为，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为，所以一个订货周期的贮存费为，要使每天所需平均成本费用最低，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】一个订货周期的总费用为 C_1 + 1/2 C_2 \cdot r \cdot T^2，每天所需平均成本费用为 C_1/T + 1/2 C_2 \cdot r \cdot T \geq 2\sqrt{C_1/T \cdot 1/2 C_2 \cdot r \cdot T} = \sqrt{2C_1 \cdot C_2 \cdot r}，当且仅当 C_1/T = 1/2 C_2 r T，即 T = \sqrt{2C_1/(C_2 \cdot r)} 时，等号成立. 【点拨】本题考查基本不等式在实际问题中的应用，根据题意列出平均成本费用的函数关系式是解题关键. 38.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 【答案】（1）吨 （2）不获利，元 【解析】（1） 由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为 y/x = 1/2 x + 80000/x - 200 ≥ 2\sqrt{1/2 x \cdot 80000/x} - 200 = 200；当且仅当 1/2 x = 80000/x ，即 x = 400 时等号成立，故该当每月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为 200 元. （2） 不获利，设该单位每个月获利为 S 元，则 S = 100x - y = 100x - (1/2 x^2 - 200x + 80000) = -1/2 x^2 + 300x - 80000 = -1/2(x - 300)^2 - 35000，因为 x ∈ [400,600]，则 S ∈ [-80000,-40000]，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴 40000 元才能不亏损. 【点拨】本题考查函数模型在实际问题中的应用，涉及基本不等式求最值和二次函数求最值. 39.截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人．疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题．【图片】 （1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量(单位：)随着时间(单位：)的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数(单位：)，刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？(精确到0.01，参考数据：，) （2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米()，侧面长为米，且不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？ 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1） 由题意得，c(t) = c_0e^{-kt} = 2000e^{-0.1t}，设该药在病人体内的血药含量变为 1000mg/L 时需要是时间为 t_1，由 c(t_1) = 2000e^{-0.1t_1} ≥ 1000，得 e^{-0.1t_1} ≥ 1/2 ，故 -0.1t_1 ≥ -ln2，∴ t_1 ≤ ln2/0.1 ≈ 6.93h．∴ 该新药对病人有疗效的时长大约为 6.93h． （2） 由题意，正面长为 48a/x 米，故总造价 y = 400 × 4 × 48a/x + 2 × 150 × 4x，即 y = 76800a/x + 1200x, (0 < x ≤ 8). 由基本不等式有 y = 76800a/x + 1200x ≥ 2\sqrt{76800a/x \times 1200x} ，当且仅当 76800a/x = 1200x，即 x = 8\sqrt{a} 时取等号. 故当 8\sqrt{a} ≤ 8，即 a ≤ 1，x = 8\sqrt{a} 时总价最低；当 8\sqrt{a} > 8，即 a > 1 时，由对勾函数的性质可得，x = 8 时总价最低；综上，当 0 < a ≤ 1 时，x = 8\sqrt{a} 时总价最低；当 a > 1 时，x = 8 时总价最低. 【点拨】本题考查指数函数模型与基本不等式在实际生活中的应用，注意自变量的取值范围对最值的影响. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 基本不等式及其应用·分类练习 考点一：基本不等式的理解与证明 考法1：根据基本不等式判断大小与成立条件 1.已知，都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·湖北随州·三模）已知，，则“”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.（2026·湖北圆创·一模）（多选）下列说法中正确的是（ 　　） A. 若，则的最小值为2 B. 若，则的最大值为 C. 若，且，则的最大值为 D. 若，则的最小值为2 考法2：利用几何意义理解基本不等式 4.数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ 　　） A. B. C. D. 考法3：利用基本不等式证明不等式 5.（2026·山东师大附中·3月检测）已知实数，满足，则（ 　　） A. B. C. D. 6.利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：． 7.已知，，为正数，证明： （1）若，则； （2）若，则． 8.已知函数，若的解集为． （1）求实数，的值； （2）已知均为正数，且满足，求证：． 考点二：基本不等式求最值 考法4：利用直接法求和与积的最值 9.（2025·河北保定·二模）已知，是非零实数，则的最小值为（ 　　） A. 6 B. 12 C. 2 D. 4 10.（2026·河北NT20·5月检测）若，且，则的最小值为（ 　　） A. 12 B. 16 C. D. 11.（2024·深圳高级中学·二诊）已知都是正实数，，则的最小值为（ 　　） A. 2 B. C. D. 12.（多选）若实数，满足，则（ 　　） A. B. C. D. 13.（2025·安徽淮北·二模）若实数和的等差中项为1，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 14.（2026·山东东营·二模）若，且，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 考法5：利用凑配法求最值 15.（2026·浙江精诚·二模）已知，则的最小值为（ 　　） A. B. C. 5 D. 9 16.若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 17.若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 考法6：利用“1”的代换求最值 18.（2026·山东泰安·二模）当时，的最小值是（ 　　） A. 3 B. 4 C. D. 19.（2025·河北沧州·二模）若正数，满足，则的最小值是（ 　　） A. B. C. 5 D. 6 20.（2025·江西上饶·二模）（多选）若正实数满足，则（ 　　） A. 的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最大值是 D. 的最小值是 21.（2026·安徽A10·最后一卷）已知，且，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 考法7：利用换元法与消元法求最值 22.已知正实数，满足，则的最小值是（ 　　） A. 2 B. C. D. 6 23.（2025·河北衡水·3月联考）已知正数满足，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 24.（2026·湖南·3月联考）若，且，则的最小值为（ 　　） A. 12 B. 16 C. D. 25.（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（ 　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 26.（2026·安徽滁州·一模）（多选）下列选项正确的有（ 　　） A. 若，则最小值为 B. 若，则最小值为3 C. 若，则的最小值为5 D. 若，则的最大值为 27.（2026·湖南雅礼中学·5月模拟）已知，若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 28.若，，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 29.若，，，，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 考点三：基本不等式的综合应用 考法8：基本不等式与指对数运算结合求最值 30.（2026·安徽铜陵·一模）已知，，则的最小值为（ 　　） A. 3 B. 2 C. D. 1 31.（2025·江苏高邮·一模）已知、，且，则的最小值是（ 　　） A. B. 4 C. 8 D. 16 32.（2026·河北石家庄一中·一模）（多选）已知，，，则（ 　　） A. 的最小值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 33.（2025·河北邢台·一模）已知，则的最大值为＿＿＿＿＿＿． 考法9：基本不等式与方程、不等式恒成立结合 34.（2026·湖南常德·一模）已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 35.（2026·河南豫东名校·二模）（多选）已知，，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 36.若关于的不等式的解集为，则的最小值为＿＿＿＿＿＿． 考法10：利用基本不等式解决实际问题 37.（2026·安徽皖江·最后一卷）工厂生产都会面临原料存贮的问题，存贮量过多会导致占用资金过多、仓储费用过高，而存贮量太少会导致存贮批次增多，订货费用增加(订货费不包括购买原料的费用，仅包括进货过程中产生的人力和运输成本)．因此需要决定多长时间订购一次，使每天所需平均成本费用(不包括购买原料费用)最少．设时间以天为单位，工厂对某原料的消耗是连续且均匀的，每天原料需求量为吨，每次订货费为元，每天每吨原料贮存费为元，当贮存量降到0时订货可立即送达，订货费、贮存费和需求量均为已知常数．在上述条件下，设一个订货周期为(即每天订一次货)，则每次订货量为，根据经济学的相关结论可知，一个订货周期内需要支付贮存费的货物贮存量为，所以一个订货周期的贮存费为，要使每天所需平均成本费用最低，则（ 　　） A. B. C. D. 38.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？ 39.截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人．疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题． （1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量(单位：)随着时间(单位：)的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数(单位：)，刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？(精确到0.01，参考数据：，) （2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米()，侧面长为米，且不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？ 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $