第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法 分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦一元二次不等式解法及拓展，以“基础求解-参数讨论-逆向应用-综合拓展”为逻辑主线，覆盖6大考点8类考法，通过分层题型培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不含参数不等式|5题|直接求解、集合运算、定义域|从具体到抽象，夯实不等式求解基础| |含参数不等式|5题|分类讨论、充分条件、整数解|深化参数分析，培养逻辑推理能力| |解集反问题|5题|由解集求参数、解新不等式|逆向思维训练，强化方程与不等式联系| |恒成立与有解|5题|判别式、分离参数、主元法|综合应用转化思想，提升问题解决能力| |根的分布|4题|区间根、参数范围|结合二次函数图像，建立数与形的联系| |其他不等式|9题|分式、绝对值、新定义|拓展不等式类型，培养数学应用意识|

第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法 分类练习 考点一：不含参数的一元二次不等式解法 考法1：直接解不含参数的一元二次不等式 1.（2026·深圳·二模）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 2.（2024·光明高中·5月模拟）已知集合，，则（ 　　） A. B. C. D. 3.若实数满足不等式，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 4.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 5.函数的定义域为＿＿＿＿＿＿. 考点二：含参数的一元二次不等式解法 考法2：分类讨论解含参数的一元二次不等式 6.不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 7.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（ 　　） A. B. C. D. 8.若关于的不等式的解集中恰有4个整数，则实数的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 9.（2026·合肥一六八中·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. （1）若时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 10.解下列关于的不等式. 考点三：一元二次不等式解集的反问题 考法3：根据一元二次不等式的解集求参数或解新不等式 11.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 12.关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 13.已知实数，关于的不等式的解集为，则实数、、、从小到大的排列是（ 　　） A. B. C. D. 14.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ 　　） A. B. C. D. 15.（2026·百师联盟·一模）已知，且的解集为. （1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 考点四：一元二次不等式恒成立与有解问题 考法4：利用判别式或分离参数解决不等式恒成立与有解问题 16.（2026·衡阳八中·检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 17.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 18.若不等式对恒成立，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 19.若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考法5：利用主元法解决不等式恒成立问题 20.若不等式对任意恒成立，实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考点五：二次函数根的分布问题 考法6：根据二次方程根的分布求参数范围 21.已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 22.若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是＿＿＿＿＿＿. 23.方程在区间内有两个不同的根，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 24.已知，，，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 考点六：其他不等式解法 考法7：解分式不等式 25.（2026·名校联盟·5月评估）不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 26.（2026·南雅中学·检测）不等式：的解集是（ 　　） A. B. C. D. 27.（2026·省十教育·检测）已知集合，若，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 28.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 考法8：解绝对值不等式及其他类型不等式 29.（2026·随州六校·一模）对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，，若，则的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 30.（2025·大湾区·模拟）设函数，则不等式的解集为（ 　　） A. B. C. D. 31.（2025·名校协作体·一模）存在使不等式成立，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 32.若不等式，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 33不等式的解集是＿＿＿＿＿＿. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 C C 6 7 8 9 10 A A C （1） （2） 见解析 11 12 13 14 15 B D A C （1） （2） 16 17 18 19 20 A 21 22 23 24 25 A 26 27 28 29 30 B D D B 31 32 33 A 1.（2026·深圳·二模）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，，得. 【点拨】先通过因式分解解出一元二次不等式，再结合集合交集的定义筛选公共元素. 2.（2024·光明高中·5月模拟）已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由集合，又∵，∴. 【点拨】求解集合时需注意元素所属的数集范围为自然数集. 3.若实数满足不等式，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】不等式，即，解得，则的取值范围是. 【点拨】利用十字相乘法将二次三项式因式分解，结合“小于取中间”的原则得出解集. 4.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题知不等式为，即，即，解得，∴解集为. 【点拨】将不等式移项并配方，转化为完全平方式非正的形式求解. 5.函数的定义域为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】要使函数有意义，则，解得.所以函数的定义域为. 【点拨】偶次根式被开方数非负与对数真数大于零需同时满足，解不等式组即可. 6.不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】原不等式可以转化为：，当时，可知，对应的方程的两根为，，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：. 【点拨】将不等式因式分解后，注意二次项系数时不等号方向的改变，并比较两根大小. 7.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由得：，∴，解得：，∴； 由得：； ∵“”是“”的充分不必要条件，∴， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，若，则需； 综上所述：实数的取值范围为. 【点拨】先解分式不等式求出集合，再通过因式分解求出集合，利用充分不必要条件转化为真子集关系进行分类讨论. 8.若关于的不等式的解集中恰有4个整数，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】不等式即， 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是，故， 当时，不等式解集为，此时不符合题意； 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是，故， 故实数的取值范围为. 【点拨】因式分解后按与的大小关系分类讨论，结合解集内整数的个数确定端点值的取值范围. 9.（2026·合肥一六八中·一模）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. （1）若时，求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由且，∴集合， 由； 当时，不等式为：，即集合， 又， ∴； （2）∵是的充分条件，∴是的子集， 又， 当时，，满足题意， 当时，，∴或，得， 当时，，∴，得. 综上，实数的取值范围为. 【点拨】第一问先求出函数定义域，再解一元二次不等式求交集；第二问将充分条件转化为集合的包含关系，按两根大小分类讨论. 10.解下列关于的不等式. 【答案】见解析 【解析】方程：且， ∴， 解得方程两根：，； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 综上所述，当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 【点拨】利用求根公式求出方程的两根，再根据二次项系数的正负分类写出不等式的解集. 11.已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是 A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为 【答案】B 【解析】∵关于的不等式的解集为，∴，∴选项A错误； 由题得，∴， ∴为，∴. ∴选项B正确； 设，则，∴选项C错误； 不等式为，∴，∴选项D错误. 【点拨】根据不等式解集的形式判断二次项系数符号，利用韦达定理找出系数间的关系，代入各选项验证. 12.关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵的解集是， ∴，得， 则不等式， 即，解得：， ∴不等式的解集是. 【点拨】由解集端点值利用韦达定理求出系数与的关系，代入新不等式求解. 13.已知实数，关于的不等式的解集为，则实数、、、从小到大的排列是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题可得：，. 由，，设，则. ∴， ∴，. 又，∴，∴. 故，. 又，故. 【点拨】利用韦达定理构造等式，通过引入参数判断各数值之间的大小关系. 14.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可知，方程的两个根为，，则，解得：， 故，， ∴，当且仅当，即时取等号， 则， ∴，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【点拨】利用韦达定理求出的值及的范围，再利用基本不等式求最值. 15.（2026·百师联盟·一模）已知，且的解集为. （1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由的解集为可知且. 则，. （2）的解集为. 当时，满足题意； 当时，由. 综上，. 【点拨】先根据解集写出二次函数的两根式，再将指数不等式转化为一元二次不等式恒成立问题，注意对二次项系数是否为零进行分类讨论. 16.（2026·衡阳八中·检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，解得， 即的取值范围为. 【点拨】二次项系数含有参数时，需先讨论参数为零的情况，再结合判别式求解恒成立问题. 17.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】原不等式可化为对恒成立． （1）当时，若不等式对恒成立，只需，解得； （2）当时，若该二次不等式恒成立，只需，解得，所以； 综上：. 【点拨】将不等式整理为标准形式，分类讨论二次项系数是否为零，利用判别式求解. 18.若不等式对恒成立，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由不等式对恒成立， 可转化为对恒成立，即， 而， 当时，有最大值，∴. 【点拨】采用分离参数法，将问题转化为求函数的最值，利用配方法求出最大值. 19.若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】∵，∴由得， ∵关于的不等式在区间上有解， ∴只需小于等于的最大值， 当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为， ∴，即实数的取值范围是. 【点拨】分离参数后，将有解问题转化为求函数最大值问题，利用基本不等式求最值. 20.若不等式对任意恒成立，实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】可转化为. 设，则是关于的一次型函数. 要使恒成立，只需，解得. 【点拨】转变主元，将不等式看作关于参数的一次函数，利用一次函数在闭区间上的单调性求解. 21.已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】方程， 方程两根为， 若要满足题意，则，解得. 【点拨】先通过因式分解求出方程的具体根，再根据根所在的区间列出不等式组求解. 22.若方程有两个不相等的实根，则可取的最大整数值是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】方程化为， 由，解得， 所以最大整数值是. 【点拨】将方程整理为一般形式，利用判别式大于零且二次项系数不为零求解. 23.方程在区间内有两个不同的根，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】令，图象恒过点， 方程在区间内有两个不同的根， ，解得. 【点拨】利用二次函数根的分布理论，结合开口方向、对称轴、端点函数值及判别式列不等式组. 24.已知，，，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】，故， ，， 将看成方程的两根，则， 即，故，解得. 【点拨】利用乘法公式求出与关于的表达式，构造一元二次方程，利用判别式非负求解. 25.（2026·名校联盟·5月评估）不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，得，即，解得. 【点拨】先将对数不等式转化为真数的不等式组，再解分式不等式. 26.（2026·南雅中学·检测）不等式：的解集是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】移项并通分：， 因式分解得：， 解得：或. 【点拨】移项通分后，转化为一元高次不等式（穿根法）求解，注意分母不为零. 27.（2026·省十教育·检测）已知集合，若，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得，∴或，∴若，的取值范围为. 【点拨】将元素不属于集合转化为不满足集合中的不等式条件，直接代入求解. 28.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】根据分式不等式解法可知等价于， 由一元二次不等式解法可得或； 所以不等式的解集为. 【点拨】将分式不等式等价转化为整式不等式求解. 29.（2026·随州六校·一模）对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，，若，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得，解得. 【点拨】根据取整函数的定义，将其转化为双侧不等式求解. 30.（2025·大湾区·模拟）设函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， 易知是偶函数，且在上单调递增， 不等式等价于，即， 两边平方得，解得. 【点拨】先通过代数变形判断函数的奇偶性与单调性，再将函数不等式转化为自变量的绝对值不等式求解. 31.（2025·名校协作体·一模）存在使不等式成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】存在，不等式成立，变形即成立， 由于， 因此有， 两边平方， 解得或. 【点拨】利用绝对值三角不等式求出左侧的最小值，转化为关于参数的绝对值不等式求解. 32.若不等式，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】，则，解得， ∴的取值范围是. 【点拨】直接去掉绝对值符号转化为双侧不等式求解. 33不等式的解集是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】当时，，解得，此时解集为空集， 当时，，即，符合要求，此时解集为， 当时，，解得，此时解集为空集， 综上：不等式的解集为. 【点拨】利用零点分段法去掉绝对值符号，分别在各个区间内求解后取并集. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $