第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法 讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次不等式及分式、绝对值不等式解法，整合恒成立问题、根的分布等核心考点，按考情分析、知识清单、方法总结、典题精练的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料以工具化训练和含参讨论为特色，创新采用数形结合与分类讨论策略，如解含参不等式时按二次项系数、判别式、根的大小分层讨论，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础到综合的分层练习，配合即时反馈，确保高效突破，为教师把控复习节奏提供有力支撑。

第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法·讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 一元二次不等式 2 2. 分式不等式 2 3. 绝对值不等式 2 4. 不等式解集的相关结论 3 三、方法总结 3 考点1：一元二次不等式的解法 3 考点2：一元二次不等式解集与系数的关系 4 考点3：一元二次不等式的恒成立与有解问题 4 考点4：一元二次方程根的分布 4 考点5：其他类型不等式的解法 5 四、典题精讲 5 考点1：一元二次不等式的解法 5 考点2：一元二次不等式解集与系数的关系 6 考点3：一元二次不等式的恒成立与有解问题 7 考点4：一元二次方程根的分布 8 考点5：其他类型不等式的解法 9 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考查内容 2026 第18题解答题 约4分 间接考查（在解析几何题中联立直线与椭圆方程，利用判别式构建一元二次不等式求解参数范围） 2025 第10题多选题 约2分 间接考查（在解析几何题中联立直线与抛物线方程，利用判别式构建二次不等式确保交点存在） 2024 第10题多选题 约3分 间接考查（在导数题中解一元二次不等式确定导函数的符号及原函数的单调区间） 近三年全国一卷中，一元二次不等式均未作为独立试题直接考查，而是作为底层运算工具，在导数、解析几何等解答题或多选题的步骤中间接考查. 2. 命题角度与特色 核心考点：一元二次不等式的解法、判别式的应用. 考查形式：客观事实表明，一元二次不等式主要深度融入导数与解析几何模块的解答过程中. 试题特点：在导数题中，常需解形如的不等式以划分单调区间；在解析几何题中，处理直线与圆锥曲线相交问题时，常需利用解含参二次不等式，以确定直线斜率或截距的取值范围. 3. 备考策略 · 侧重工具化训练：在复习导数、解析几何等综合模块时，同步强化解一元二次不等式的速度与准确率，确保在综合题的中间步骤不失分. · 强化含参讨论：针对解析几何与导数中常出现的含参一元二次不等式，熟练掌握分类讨论的标准（如二次项系数正负、判别式符号、两根大小比较）. · 夯实常规解法：熟练结合二次函数图象的数形结合思想，做到快速准确求解. 二、知识清单 1. 一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且. （1） 当时，二次函数图象开口向上. ①若，解集为. ②若，解集为. ③若，解集为. （2） 当时，二次函数图象开口向下. ①若，解集为. ②若，解集为. 【易错提醒】解含参一元二次不等式时，务必优先讨论二次项系数是否为零.若二次项系数含有参数，需分等于零、大于零、小于零三种情况进行分类讨论，切忌直接套用判别式. 2. 分式不等式 （1） （2） （3） （4） 【防坑警示】解分式不等式时，严禁直接去分母，必须先移项通分，转化为一边为零的形式，再等价转化为整式不等式求解，同时务必保证分母不为零. 3. 绝对值不等式 （1） （2） () 或； () ； （3） 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解. 4. 不等式解集的相关结论 （1）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式. 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为. 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式. 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为. （2）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式. 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为. （3）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式. 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为，以此类推. （4）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足. （5）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足. （6）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足. （7）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足. 【秒杀技巧】一元二次不等式的解集端点值即为对应一元二次方程的根，利用韦达定理（根与系数的关系）可以快速实现不等式解集与系数之间的相互转化，从而避免复杂的代数推导. 三、方法总结 考点1：一元二次不等式的解法 考法1：不含参一元二次不等式的求解 · 求解由多个基本初等函数复合而成的函数定义域时，需列出使各部分均有意义的不等式组.解一元二次不等式时，常利用因式分解法求出对应方程的根，再结合“大于取两边，小于取中间”的原则写出解集. 考法2：含参一元二次不等式的求解 · 解含参一元二次不等式的常规步骤为：一化（将二次项系数化为正数，或按正负分类）、二判（计算判别式判断根的个数）、三求（求出对应方程的根）、四定（比较两根大小，结合图象写出解集）. 考点2：一元二次不等式解集与系数的关系 考法1：利用解集求参数或解其他不等式 · 已知不等式解集求参数时，常将解集端点作为方程的根，利用韦达定理建立参数间的等量关系，从而实现降元或转化. · 根据不等式解集的形式（“取两边”还是“取中间”）可直接判断二次项系数的符号. 考点3：一元二次不等式的恒成立与有解问题 考法1：二次不等式恒成立问题 · 不等式恒成立问题常转化为二次函数图象与轴的位置关系.对于恒成立，需满足或；对于恒成立，需满足或.切忌漏掉二次项系数为零的讨论. 考法2：参变分离法解决恒成立或有解问题 · 处理不等式恒成立或有解问题时，若参数易于分离，首选参变分离法.转化原则为：恒成立 ；恒成立 ；有解 ；有解 . 考法3：主元转换法解决恒成立问题 · 当题目中出现“对任意参数恒成立”时，通常采用主元转换法，将参数视为自变量，构造一次函数.利用一次函数在闭区间上的单调性，只需满足端点值和符合不等号方向即可. 考点4：一元二次方程根的分布 考法1：利用二次函数图象性质解决根的分布问题 · 解决一元二次方程根的分布问题，核心是构造二次函数并画出草图.通常从四个维度建立约束条件：①开口方向（二次项系数）；②判别式（根的个数）；③对称轴位置；④区间端点函数值的正负. 考点5：其他类型不等式的解法 考法1：分式不等式的求解 · 解分式不等式的标准流程：移项、通分、化商为积.即；且.严禁在不等式两边同乘含有未知数且符号未知的式子. 考法2：绝对值不等式的求解 · 处理形如的抽象函数不等式，核心是挖掘函数的奇偶性与单调性.若为偶函数且在上单调递增，则，从而将函数不等式转化为代数不等式. · 对于含有多个绝对值符号的不等式，常利用零点分段法去掉绝对值符号，分别在各个区间内求解后取并集；或利用绝对值三角不等式求最值. 四、典题精讲 考点1：一元二次不等式的解法 考法1：不含参一元二次不等式的求解 例1.函数的定义域为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】要求函数的定义域，需要保证函数解析式中的每一部分都有意义.本题中包含偶次根式和对数，因此被开方数必须非负，同时对数的真数必须大于零.列出不等式组后，分别求解两个一元二次不等式，最后求它们的交集即可得到定义域. 【解析】要使函数有意义，则，解得.所以函数的定义域为. 【规律】求解由多个基本初等函数复合而成的函数定义域时，需列出使各部分均有意义的不等式组.解一元二次不等式时，常利用因式分解法求出对应方程的根，再结合“大于取两边，小于取中间”的口诀写出解集. 考法2：含参一元二次不等式的求解 例2.解下列关于的不等式. 【答案】见解析 【思路】本题是典型的含参一元二次不等式求解问题.遇到此类问题，需先求出对应一元二次方程的判别式，判断其符号.接着利用求根公式求出方程的两个根，并比较两根的大小关系.最后，根据二次项系数的正负分类讨论抛物线的开口方向，从而写出对应的不等式解集. 【解析】方程：且， ， 解得方程两根：，； 当时，抛物线开口向上， 原不等式的解集为：； 当时，抛物线开口向下， 原不等式的解集为：. 【规律】解含参一元二次不等式的常规步骤为：一化（将二次项系数化为正数，或按正负分类）、二判（计算判别式判断根的个数）、三求（求出对应方程的根）、四定（比较两根大小，结合图象写出解集）. 考点2：一元二次不等式解集与系数的关系 考法1：利用解集求参数或解其他不等式 例3.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【思路】已知一元二次不等式的解集，可将其端点值视为对应一元二次方程的两个根.利用韦达定理（根与系数的关系）可以求出参数的值，并得到与的关系.结合及基本不等式，可求出的取值范围.最后，将待求式转化为关于的函数，再次利用基本不等式求出最小值. 【解析】由题意可知，方程的两个根为，，则，解得：， 故，， ，当且仅当，即时取等号， 则， ，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【规律】“三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）密不可分.已知不等式解集求参数时，常将解集端点作为方程的根，利用韦达定理建立参数间的等量关系，从而实现降元或转化. 考点3：一元二次不等式的恒成立与有解问题 考法1：二次不等式恒成立问题 例4.（2026·百师联盟·一模）已知，且的解集为. （1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【思路】第（1）问，根据一元二次不等式的解集，可以直接判断出二次项系数的符号，并利用交点式设出二次函数的解析式，代入已知点即可求出参数.第（2）问，先将指数不等式化为同底数幂的形式，利用指数函数的单调性将其转化为一元二次不等式恒成立问题.处理含参二次不等式恒成立时，务必注意对二次项系数是否为零进行分类讨论. 【解析】（1）由的解集为可知且. 则. . （2）. 的解集为. 当时，满足题意； 当时，由， . 综上，. 【规律】不等式恒成立问题常转化为二次函数图象与轴的位置关系.对于恒成立，需满足或；对于恒成立，需满足或.【易错提醒】切忌漏掉二次项系数的讨论. 考法2：参变分离法解决恒成立或有解问题 例5.若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】题目要求不等式在给定区间上有解.观察不等式，参数容易与变量分离.将参数分离到不等式的一侧，转化为的形式.不等式有解，意味着参数只需小于或等于函数在区间上的最大值即可.随后利用基本不等式求出的最大值. 【解析】，由得， 关于的不等式在区间上有解， 只需小于等于的最大值， 当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为， ，即实数的取值范围是. 【规律】处理不等式恒成立或有解问题时，若参数易于分离，首选参变分离法.转化原则为：恒成立 ；恒成立 ；有解 ；有解 . 考法3：主元转换法解决恒成立问题 例6.若不等式对任意恒成立，实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】本题虽然是不等式恒成立问题，但已知范围的变量是参数，而要求的是的范围.此时应转变主元，将原不等式看作关于的一次不等式恒成立问题.构造关于的一次函数，要使其在闭区间上恒小于零，只需保证区间两端点的函数值均小于零即可，从而转化为关于的不等式组. 【解析】可转化为. 设，则是关于的一次型函数. 要使恒成立，只需，解得. 【规律】当题目中出现“对任意参数恒成立”时，通常采用主元转换法，将参数视为自变量，构造一次函数.利用一次函数在闭区间上的单调性，只需满足端点值和符合不等号方向即可. 考点4：一元二次方程根的分布 考法1：利用二次函数图象性质解决根的分布问题 例7.方程在区间内有两个不同的根，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】本题考查一元二次方程根的分布.由于方程在给定区间内有两个不同的根，可以构造二次函数.结合二次函数的图象特征，需要从四个方面列出不等式组：二次项系数决定开口方向、判别式大于零保证两根不同、对称轴在区间内、区间端点函数值的符号.求解该不等式组即可得到的范围. 【解析】令，图象恒过点， 方程在区间内有两个不同的根， ，解得. 【规律】解决一元二次方程根的分布问题，核心是构造二次函数并画出草图.通常从四个维度建立约束条件：①开口方向（二次项系数）；②判别式（根的个数）；③对称轴位置；④区间端点函数值的正负. 考点5：其他类型不等式的解法 考法1：分式不等式的求解 例8.（2026·南雅中学·检测）不等式：的解集是 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】求解分式不等式时，切忌直接去分母，因为分母的正负未知会影响不等号的方向.正确的做法是先移项，使不等式一侧为零，然后通分化简为的形式.接着将其等价转化为整式不等式且，最后利用穿根法或因式分解求解. 【解析】移项并通分：，因式分解得：，等价于且，解得：或.对应选项B. 【规律】解分式不等式的标准流程：移项、通分、化商为积.即；且.【防坑警示】千万不能在不等式两边同乘含有未知数且符号未知的式子. 考法2：绝对值不等式的求解 例9.（2025·大湾区·联考）设函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】这是一个抽象的函数不等式问题.首先需要对函数解析式进行代数变形，提取公因式后利用对数运算性质化简，从而判断出函数的奇偶性.接着分析函数在非负半轴上的单调性.利用偶函数性质将不等式转化为，再利用单调性去掉函数符号“”，转化为关于自变量的绝对值不等式，两边平方即可求解. 【解析】，令，易知，即是偶函数，又是偶函数，是偶函数.当时，，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，又在上单调递增，在上单调递增.由得，即，，即，化简得，解得.对应选项B. 【规律】处理形如的抽象函数不等式，核心是挖掘函数的奇偶性与单调性.若为偶函数且在上单调递增，则，从而将函数不等式转化为代数不等式. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法·讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 一元二次不等式 2 2. 分式不等式 2 3. 绝对值不等式 2 4. 不等式解集的相关结论 3 三、方法总结 3 考点1：一元二次不等式的解法 3 考点2：一元二次不等式解集与系数的关系 4 考点3：一元二次不等式的恒成立与有解问题 4 考点4：一元二次方程根的分布 4 考点5：其他类型不等式的解法 5 四、典题精练 5 考点1：一元二次不等式的解法 5 考点2：一元二次不等式解集与系数的关系 6 考点3：一元二次不等式的恒成立与有解问题 6 考点4：一元二次方程根的分布 7 考点5：其他类型不等式的解法 7 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考查内容 2026 第18题解答题 约4分 间接考查（在解析几何题中联立直线与椭圆方程，利用判别式构建一元二次不等式求解参数范围） 2025 第10题多选题 约2分 间接考查（在解析几何题中联立直线与抛物线方程，利用判别式构建二次不等式确保交点存在） 2024 第10题多选题 约3分 间接考查（在导数题中解一元二次不等式确定导函数的符号及原函数的单调区间） 近三年全国一卷中，一元二次不等式均未作为独立试题直接考查，而是作为底层运算工具，在导数、解析几何等解答题或多选题的步骤中间接考查. 2. 命题角度与特色 核心考点：一元二次不等式的解法、判别式的应用. 考查形式：客观事实表明，一元二次不等式主要深度融入导数与解析几何模块的解答过程中. 试题特点：在导数题中，常需解形如的不等式以划分单调区间；在解析几何题中，处理直线与圆锥曲线相交问题时，常需利用解含参二次不等式，以确定直线斜率或截距的取值范围. 3. 备考策略 · 侧重工具化训练：在复习导数、解析几何等综合模块时，同步强化解一元二次不等式的速度与准确率，确保在综合题的中间步骤不失分. · 强化含参讨论：针对解析几何与导数中常出现的含参一元二次不等式，熟练掌握分类讨论的标准（如二次项系数正负、判别式符号、两根大小比较）. · 夯实常规解法：熟练结合二次函数图象的数形结合思想，做到快速准确求解. 二、知识清单 1. 一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且. （1） 当时，二次函数图象开口向上. ①若，解集为. ②若，解集为. ③若，解集为. （2） 当时，二次函数图象开口向下. ①若，解集为. ②若，解集为. 【易错提醒】解含参一元二次不等式时，务必优先讨论二次项系数是否为零.若二次项系数含有参数，需分等于零、大于零、小于零三种情况进行分类讨论，切忌直接套用判别式. 2. 分式不等式 （1） （2） （3） （4） 【防坑警示】解分式不等式时，严禁直接去分母，必须先移项通分，转化为一边为零的形式，再等价转化为整式不等式求解，同时务必保证分母不为零. 3. 绝对值不等式 （1） （2） () 或； () ； （3） 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解. 4. 不等式解集的相关结论 （1）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式. 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为. 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式. 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为. （2）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式. 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为. （3）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式. 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为，以此类推. （4）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足. （5）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足. （6）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足. （7）已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足. 【秒杀技巧】一元二次不等式的解集端点值即为对应一元二次方程的根，利用韦达定理（根与系数的关系）可以快速实现不等式解集与系数之间的相互转化，从而避免复杂的代数推导. 三、方法总结 考点1：一元二次不等式的解法 考法1：不含参一元二次不等式的求解 · 求解由多个基本初等函数复合而成的函数定义域时，需列出使各部分均有意义的不等式组.解一元二次不等式时，常利用因式分解法求出对应方程的根，再结合“大于取两边，小于取中间”的原则写出解集. 考法2：含参一元二次不等式的求解 · 解含参一元二次不等式的常规步骤为：一化（将二次项系数化为正数，或按正负分类）、二判（计算判别式判断根的个数）、三求（求出对应方程的根）、四定（比较两根大小，结合图象写出解集）. 考点2：一元二次不等式解集与系数的关系 考法1：利用解集求参数或解其他不等式 · 已知不等式解集求参数时，常将解集端点作为方程的根，利用韦达定理建立参数间的等量关系，从而实现降元或转化. · 根据不等式解集的形式（“取两边”还是“取中间”）可直接判断二次项系数的符号. 考点3：一元二次不等式的恒成立与有解问题 考法1：二次不等式恒成立问题 · 不等式恒成立问题常转化为二次函数图象与轴的位置关系.对于恒成立，需满足或；对于恒成立，需满足或.切忌漏掉二次项系数为零的讨论. 考法2：参变分离法解决恒成立或有解问题 · 处理不等式恒成立或有解问题时，若参数易于分离，首选参变分离法.转化原则为：恒成立 ；恒成立 ；有解 ；有解 . 考法3：主元转换法解决恒成立问题 · 当题目中出现“对任意参数恒成立”时，通常采用主元转换法，将参数视为自变量，构造一次函数.利用一次函数在闭区间上的单调性，只需满足端点值和符合不等号方向即可. 考点4：一元二次方程根的分布 考法1：利用二次函数图象性质解决根的分布问题 · 解决一元二次方程根的分布问题，核心是构造二次函数并画出草图.通常从四个维度建立约束条件：①开口方向（二次项系数）；②判别式（根的个数）；③对称轴位置；④区间端点函数值的正负. 考点5：其他类型不等式的解法 考法1：分式不等式的求解 · 解分式不等式的标准流程：移项、通分、化商为积.即；且.严禁在不等式两边同乘含有未知数且符号未知的式子. 考法2：绝对值不等式的求解 · 处理形如的抽象函数不等式，核心是挖掘函数的奇偶性与单调性.若为偶函数且在上单调递增，则，从而将函数不等式转化为代数不等式. · 对于含有多个绝对值符号的不等式，常利用零点分段法去掉绝对值符号，分别在各个区间内求解后取并集；或利用绝对值三角不等式求最值. 四、典题精练 考点1：一元二次不等式的解法 考法1：不含参一元二次不等式的求解 例1.函数的定义域为＿＿＿＿＿＿. 考法2：含参一元二次不等式的求解 例2.解下列关于的不等式. 考点2：一元二次不等式解集与系数的关系 考法1：利用解集求参数或解其他不等式 例3.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为 A. B. C. D. 考点3：一元二次不等式的恒成立与有解问题 考法1：二次不等式恒成立问题 例4.（2026·百师联盟·一模）已知，且的解集为. （1）当，求函数的解析式； （2）若关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 考法2：参变分离法解决恒成立或有解问题 例5.若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考法3：主元转换法解决恒成立问题 例6.若不等式对任意恒成立，实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考点4：一元二次方程根的分布 考法1：利用二次函数图象性质解决根的分布问题 例7.方程在区间内有两个不同的根，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿. 考点5：其他类型不等式的解法 考法1：分式不等式的求解 例8.（2026·南雅中学·检测）不等式：的解集是 A. B. C. D. 考法2：绝对值不等式的求解 例9.（2025·大湾区·联考）设函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $