2025-2026学年人教版数学七年级下学期期末模拟试卷（重庆适用）

**基本信息** 本卷全面覆盖人教版七下内容，以数学文化（如《九章算术》问题）、现实情境（文创义卖）及动态几何（三角板摆放、射线旋转）为载体，考查抽象能力、模型意识与推理能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|实数、调查方式、平行线判定、不等式性质等|第7题三角板摆放结合平行线性质，考查几何直观| |填空题|6/24|平方根、坐标、折叠问题、新定义“美好数”|第16题“美好数”定义运算，培养创新意识| |解答题|9/86|统计分析、坐标平移、几何证明、方程组与不等式应用等|第22题文创义卖成本利润问题，体现模型意识；第25题动态射线旋转，发展推理能力|

2025-2026学年人教版数学七年级下学期期末模拟试卷（解析版） 一、单选题（每题4分） 1．在下列各数中，是无理数的为（    ） A． B． C． D．2.010010001 【答案】A 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数，有限小数、无限循环小数都属于有理数，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A：开立方开不尽，是无限不循环小数，是无理数； 选项B：，3是整数，属于有理数； 选项C：是分数，属于有理数； 选项D：2.010010001是有限小数，属于有理数． 2．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A．调查某批蔬菜种子的发芽率 B．检测重庆市某区九年级学生的期末成绩 C．调查全国消费者对某快餐店新套餐的评价 D．调查重庆市电视台某节目的收视率 【答案】B 【分析】本题考查了全面调查，根据全面调查适用于个体数量较少、易全面覆盖的情况逐一分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、调查某批蔬菜种子的发芽率，调查具有破坏性，不适合全面调查，不符合题意； 、检测重庆市某区九年级学生的期末成绩，个体数量相对较少且易全面覆盖，适合全面调查，符合题意； 、调查全国消费者对某快餐店新套餐的评价，个体数量巨大，不适合全面调查，不符合题意； 、调查重庆市电视台某节目的收视率，普查工作量大，不适合全面调查，不符合题意； 故选：． 3．如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“内错角相等，两直线平行”解答即可． 【详解】解：当，根据内错角相等两直线平行，可判定； 因为、、，可得， 均不能推导出．则C符合题意． 4．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 直接代入具体数据判断A，根据不等式的性质判断B、C、D即可． 【详解】解：A选项：取，，满足，但，，， 故不恒成立，A错误； B选项：∵，根据不等式性质2，不等式两边同乘正数4，不等号方向不变， ∴，故B错误； C选项：∵，根据不等式性质3，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴，再根据不等式性质1，不等式两边同加4，不等号方向不变， ∴，故C错误； D选项：∵，根据不等式性质3，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴，故D正确； 故选：D． 5．下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．若两个角的和为，则这两个角为邻补角 D．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 利用对顶角的定义、平行线的性质及平行线的判定方法、邻补角的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角相加为，故错误，是假命题，不符合题意； C、若两个角的和为，则这两个角互补但不一定是邻补角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 6．已知，若，则m的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 利用整体思想，将两个方程相减，再整体代入解题即可． 【详解】 得 因为 所以 所以． 故选：A． 7．一副三角板按如图方式摆放，点A在EF边上，点D在BC边上，若EFBC，则∠AOD的度数为（      ） A．75° B．90° C．105° D．120° 【答案】A 【分析】由于，且两平行线间有拐点，所以过点O作已知直线的平行线，根据两直线平行，同位角相等，得出部分角的度数，从而得出的度数． 【详解】解：过点O作EF的平行线PQ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，当平行线间有拐点时，过拐点作已知直线的平行线是解题关键． 8．《九章算术》中有一个数学问题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？若根据题意列出的二元一次方程组中一个方程是，则另一个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，根据题目所给方程可知，设甲带了钱，乙带了钱，结合“乙得到甲所有钱的后共有50钱”的条件，分析甲、乙钱数的关系列出对应方程． 【详解】解：根据题意可知，设甲带了钱，乙带了钱， ∵乙得到甲所有钱的后共有50钱 ∴乙原有的钱数加上甲钱数的等于50，即 ∴另一个方程为， 故选：B． 9．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 10．对于任意实数，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（    ） ①； ②； ③若（是整数），则或； ④若，，，则所有可能的值为，，； ⑤方程的解为或或． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题为新定义问题，解题关键是掌握表示不超过的最大整数，的性质，逐一对五个结论进行判断即可． 【详解】根据定义，对任意实数，有，为整数，且满足 ，，逐一判断如下： ① ， ， ，故①正确． ②， ， 不超过的最大整数为，即 ，故②正确． ③ ，（为整数）， ， ， ， ， 即 ， 是整数， 或，故③正确． ④ ， ， 相加得 ， 的可能值为，故④正确． ⑤原方程 ，代入整理得： ， 即， ， ， 解得 ， 为整数， ， 分别得，，，均符合条件， 故⑤正确． 综上，个结论全部正确，故选D． 二、填空题（每题4分） 11．的平方根是________，___________． 【答案】 3 【详解】解：的平方根是；． 12．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据轴上的点纵坐标为列方程求出的值即可求解． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，即， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 13．一个正数的两个平方根是和，则的立方根为________. 【答案】3 【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系，列出方程求得的值，进而求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：， 解得， ∴， ∴， 即的立方根为3 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平方根的应用、立方根，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键． 14．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为．若，若，则的大小为_____． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得，根据平行线的性质得到，，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由折叠的性质可得， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 15．已知关于x、y方程组的解均为正整数，且关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 【答案】3 【分析】根据题意，解不等式组的解集为：，根据关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，可得，即有；再解解关于x，y的方程组得，根据解为正整数，可得整数a为 ，1，3，问题得解． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的不等式组有解且至多有3个整数解， ∴， 解得：， 解关于x，y的方程组得， 关于x，y的方程组的解为正整数， ∴满足条件的整数a为 ，1，3，其和为， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出a的整数解是解此题的关键． 16．若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与百位数字不相等，个位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“美好数”．将一个“美好数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“美好数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：175，375，315，317，这四个三位数之和为，，所以．计算：_____________，若“美好数”n的千位数字比百位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被11整除，则n的最大值为_____________． 【答案】 523 8636 【分析】本题考查了新定义背景下的数的运算与整除问题，解题的关键是根据题意推导出的通用表达式，并结合数位数字的取值限制，利用整除条件求解． 先根据“美好数”和的定义，推导出；第一小问直接代入4261的各数位数字计算即可；第二小问先根据题意建立各数位数字的关系，将 用和表示，再结合数位数字的取值范围，从千位数字最大的情况开始逐一验证，找到满足能被11整除的最大 【详解】解：设“美好数”（，，），去掉各数位数字得到的四个三位数之和为： ， 故． ① ， ， ② 由题意得，，且属于1～9的数字，， 将，代入，得： ， 可取1，2，3，4； ， 要使最大，优先使（即）尽可能大当时，， ， 需能被11整除． 当时，，均不能被11整除，故． 当时，， ， 需能被11整除． 当时，，，能被11整除，此时，，符合条件，． 故的最大值为． 三、解答题（第17、18题每题8分，其余每题10分） 17．实数计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（1）解二元一次方程组：（2）解不等式组： 【答案】（1），（2） 【详解】解：（1）， 得，， 得，， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为． （2）， 由①得：， ∴， 解得：， 由②得：， ∴， 解得：， 原不等式组的解集是， 19．为了深入学习贯彻党的二十大精神，某学校组织举办“强国复兴有我，学习宣传党的二十大精神”学生知识竞赛． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表： 组别 A B C D 成绩（单位：分） 人数 94 16 【描述数据】根据整理的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________；并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是________； 【应用数据】 （3）该校计划为竞赛成绩80分以上（含80分）的学生每人颁发一份奖品，已知共有4000名学生参加了此项竞赛，请你根据调查结果，估计该校需准备多少份奖品． 【答案】（1），；（2）；（3）估计该校需准备大约份奖品． 【详解】（）解：抽取的学生人数为人， ∴， ∴， 故答案为：，； 补全条形统计图如下： （2）解：， 故答案为：； （3）解：， 答：估计该校需准备大约份奖品． 20．如图所示，已知，，三点坐标． (1)将三角形ABC平移至三角形处，其中点A，B，C的对应点分别为点，，．已知点，则点的坐标________，的坐标________； (2)求三角形ABC的面积； (3)设点P在坐标轴上，且三角形ABP与三角形ABC的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)4 (3)或或或 【分析】本题考查了平移变换，坐标与图形，解决本题的关键是分类讨论进行解答． （1）根据点和得到平移方式，据此得到，的坐标； （2）画出图形，利用割补法计算即可； （3）分点P在x轴和在y轴上，利用三角形面积公式得到方程，解之即可． 【详解】（1）解：点的对应点为， 平移方式为向右平移3个单位，向上平移1个单位， 点的坐标为，即， 的坐标为，即， 故答案为：，； （2）解：如图，由图可得，； （3）解：若点P在x轴上，，设， ∴， 解得：或， 则或； 若点P在y轴上，设， ∴， 解得：或， 则或； 综上：点P的坐标为或或或． 21．如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 【答案】(1)证明：在中，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，结合角平分线的定义推得，根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）根据两直线平行，同位角相等得出，推得，设，则，，结合三角形内角和是列方程求出的值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； 设，则，，， 在中，， 即， 解得； 故． 22．电影《给阿嬷的情书》以侨批家书为线索，诉说着跨越山海的深情牵挂．为传承侨乡文化，某校文创小组定制影片主题侨批家书、纪念书签两种文创产品，开展爱心义卖活动，相关信息如下：定制2份侨批家书、3份纪念书签，共需成本48元；定制3份侨批家书、1份纪念书签，共需成本44元．义卖时，每份侨批家书售价20元，每份纪念书签售价12元． (1)求每份侨批家书、每份纪念书签的成本价分别是多少元？ (2)文创小组计划购进两种文创产品共50份，其中侨批家书数量的两倍超过了纪念书签的数量，且投入的总成本不超过476元．请问共有几种进货方案？若直接全部售出，则哪一种方案可获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)每份侨批家书成本价为12元，每份纪念书签成本价为8元 (2)共有3种进货方案：购进19份侨批家书、31份纪念书签的方案可获得最大利润，最大利润是276元 【详解】（1）解：设每份侨批家书成本为元，每份纪念书签成本为元 根据题意列方程组得： 解得 答：每份侨批家书成本12元，每份纪念书签成本8元； （2）解：设购进侨批家书份，则购进纪念书签份，为正整数 根据题意列不等式组得 解得 ∴整数解为17，18，19 ∴共有三种进货方案；当取19时，利润最大，为276元 答：购进19份侨批家书、31份纪念书签可获得最大利润，最大利润是276元． 23．综合与实践 基本图形 如图1，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)________，________，点的坐标为________． 拓展延伸 (2)如图2，是的中点，过点作直线轴，直线与轴交于点，是线段上一点，连接，．若三角形的面积为15，求三角形的面积． 【答案】(1)8；； (2) 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵轴于点B， ∴，， ∴． ∵平移线段使点A与原点O重合，点B的对应点为点C． ∴ ∴． （2）解：由（1）可知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． D是的中点， 点D的坐标为， 直线l上的点的纵坐标均为，点E的坐标为， ，，， ， 设点F的坐标为，，， ，． ， ， 解得， ； 24．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号） ①；②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 或 (3) 【分析】（1）先求出不等式①、②、③的解集，判断即可； （2）先求出方程组的解和的值，根据题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可； （3）先求出方程和解不等式组，求出n的范围，根据正整数“梦想解”的和为10，得出，最后可得答案． 【详解】（1）解：解①得：，故不是①的“梦想解”， 解②得：，故不是②的“梦想解”， 解③得：，故是③的“梦想解”， 是方程和不等式③的“梦想解”； （2）解方程组，得， ， 方程组的解是不等式组的“梦想解”， ， 解不等式组得：， 为整数， 或； （3）解方程：，得：， 解不等式组，得：， 关于x的方程和关于x的不等式组有“梦想解”， ， 解不等式组得：， 因为所有正整数“梦想解”的和为10，所以正整数“梦想解”为1，2，3，4， ，解得：， 综上：． 25．已知：，E，G是上的点，F，H是上的点． (1)如图①，，求证：； (2)如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）由题意得：，当时，运动停止．由得，然后分两种情况，根据角的和差列方程求解即可； （3）由题意设，则，根据角平分线和平行线的性质得到，则，则，过点作，则，由平行线的传递性可得，则，则，即可求解比值． 【详解】（1）证明：如图①， ， ， ， ， ； （2）解：由题意得：，当时，运动停止． 由得， ①当时，， 解得， ， ， ②当时，， 解得， ， ， 综上所述，的度数为或； （3）解：， 设，则， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， 过点作， ， ， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版数学七年级下学期期末模拟试卷 试卷包含：人教版七下所有内容 一、单选题（每题4分） 1．在下列各数中，是无理数的为（    ） A． B． C． D．2.010010001 2．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A．调查某批蔬菜种子的发芽率 B．检测重庆市某区九年级学生的期末成绩 C．调查全国消费者对某快餐店新套餐的评价 D．调查重庆市电视台某节目的收视率 3．如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．若两个角的和为，则这两个角为邻补角 D．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 6．已知，若，则m的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 7．一副三角板按如图方式摆放，点A在EF边上，点D在BC边上，若EFBC，则∠AOD的度数为（      ） A．75° B．90° C．105° D．120° 8．《九章算术》中有一个数学问题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？若根据题意列出的二元一次方程组中一个方程是，则另一个方程是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 10．对于任意实数，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（    ） ①； ②； ③若（是整数），则或； ④若，，，则所有可能的值为，，； ⑤方程的解为或或． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每题4分） 11．的平方根是________，___________． 12．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标为______． 13．一个正数的两个平方根是和，则的立方根为________. 14．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为．若，若，则的大小为_____． 15． 已知关于x、y方程组的解均为正整数，且关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，则满足条件的整数a的和为________． 16．若一个四位正整数各数位上的数字均不为0，且千位数字与百位数字不相等，个位数字与十位数字不相等，那么称这个四位正整数为“美好数”．将一个“美好数”m的其中一个数位上的数字去掉，可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“美好数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：175，375，315，317，这四个三位数之和为，，所以．计算：_____________，若“美好数”n的千位数字比百位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，且能被11整除，则n的最大值为_____________． 三、解答题（第17、18题每题8分，其余每题10分） 17．计算：(1)； (2)． 18．（1）解二元一次方程组： （2）解不等式组： 19．为了深入学习贯彻党的二十大精神，某学校组织举办“强国复兴有我，学习宣传党的二十大精神”学生知识竞赛． 【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成四组进行整理．（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）如表： 组别 A B C D 成绩（单位：分） 人数 94 16 【描述数据】根据整理的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________；并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是________； 【应用数据】 （3）该校计划为竞赛成绩80分以上（含80分）的学生每人颁发一份奖品，已知共有4000名学生参加了此项竞赛，请你根据调查结果，估计该校需准备多少份奖品． 20．如图所示，已知，，三点坐标． (1)将三角形ABC平移至三角形处，其中点A，B，C的对应点分别为点，，．已知点，则点的坐标________，的坐标________； (2)求三角形ABC的面积； (3)设点P在坐标轴上，且三角形ABP与三角形ABC的面积相等，求点P的坐标． 21．如图，在中，点D在上，是的平分线，点F在的延长线上，连接交于点G，． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 22．电影《给阿嬷的情书》以侨批家书为线索，诉说着跨越山海的深情牵挂．为传承侨乡文化，某校文创小组定制影片主题侨批家书、纪念书签两种文创产品，开展爱心义卖活动，相关信息如下：定制2份侨批家书、3份纪念书签，共需成本48元；定制3份侨批家书、1份纪念书签，共需成本44元．义卖时，每份侨批家书售价20元，每份纪念书签售价12元． (1)求每份侨批家书、每份纪念书签的成本价分别是多少元？ (2)文创小组计划购进两种文创产品共50份，其中侨批家书数量的两倍超过了纪念书签的数量，且投入的总成本不超过476元．请问共有几种进货方案？若直接全部售出，则哪一种方案可获得最大利润，最大利润是多少元？ 23．如图1，在平面直角坐标系中，轴于点，点满足，平移线段使点与原点重合，点的对应点为点． (1)________，________，点的坐标为________． (2)如图2，是的中点，过点作直线轴，直线与轴交于点，是线段上一点，连接，．若三角形的面积为15，求三角形的面积． 24．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号） ①；②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围． 25．已知：，E，G是上的点，F，H是上的点． (1)如图①，，求证：； (2)如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $