暑假预习专题 第4讲 命题、充分条件和必要条件（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第4讲 命题、充分条件和必要条件 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 真命题、假命题 充分条件 必要条件 1. 知道命题的概念，会在简单情境下判断命题的真假。 2.理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，在简单的情形下作出 正确的判断；能够通过反例说明既非充分又非必要条件。 3.能借助推出关系判断充分条件、必要条件。 学习重点：通过将真命题“若,则”与推出关系互相转化，体会数学符号语言的简洁性、准确性，理解推出关系的传递性。 学习难点：在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养。 1、命题 定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）； 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 2、推出关系：如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 3、充分条件，必要条件、充要条件 （1）充分条件、必要条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件， 亦称是的必要条件. （2）充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 4、常用结论： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则， 判断命题p与命题q的关系． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 命题 1、用自然语言、符号或式子表达,且可以判断其真假的语句叫做命题,命题通常用陈述句表述； 其含义判断为真的命题叫做真命题,判断为假的命题叫做假命题。 （1）命题由条件与结论两部分组成,条件是已知的,结论是推导的;有些命题的条件和结论不止一个， 要分清哪个是条件哪个是结论； （2）判断命题的真假:数学中要判定一个命题为真命题,需要给出严格的数学证明;要判定一个命题为 假命题，只需要举出一个反例即可； （3）数学中的定义、公理、定理、公式、推论等都是真命题。 2、如果命题＂若 ，则 ＂是真命题，那么就称 推出 ，记作 （或 ）； 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若 且 ，则 ； 它是逻辑推理的基础． 注意： ＂若 ，则 ＂与＂＂一样吗？不能将＂若 ，则 ＂与＂＂混为一谈， ＂若 ，则 ＂是一个命题，可能是真命题，也可能是假命题， 只有＂若 ，则 ＂为真命趣时，才有＂＂，即＂＂等价于＂若 ，则 ＂为真命题。 【经典例题】 【例1】中至少有一个是非负实数的等价命题是（    ） A．中全不是负数 B．中只有一个是负数 C．中至少有一个是正数 D．不全是负数 【答案】D 【详解】中至少有一个是非负实数，则中非负实数的个数大于等于个， 其等价命题为：中不全是负数；故选：D. 【技巧归纳】根据等价命题的判定直接得到结果. 【例2】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题．(1)当时，； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除；(3)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析 【详解】（1）若，则；逆命题：若，则. （2）若一个数能被6整除，则它既能被2整除也能被3整除； 逆命题：若一个数既能被2整除也能被3整除，则它能被6整除． （3）若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等； 逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上． 【答案】D 【技巧归纳】（1）（2）（3）把各个命题写成“若p，则q”的形式，再利用逆命题的定义写出逆命题. 【例3】（24-25高一上·上海·单元测试）下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③； ④至少存在一个整数x，使得是整数．其中是真命题的为（    ）． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【详解】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确；因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确；因为，故③正确；取，则是整数，故④正确；故选：A. 【技巧归纳】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算 可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题. 【例4】（1）写出命题“两个有理数的和是有理数”的逆命题、否命题、逆否命题； （2）判断上述四个命题的真假，并说明理由． 【答案】 （1）答案见解析；（2）原命题是真命题，逆命题是假命题，否命题是假命题，逆否命题是真命题. 【详解】（1）原命题可改写成：如果两个数都是有理数，那么这两个数的和是有理数； 逆命题：如果两个数的和是有理数，那么这两个数都是有理数； 否命题：如果两个数不都是有理数，那么这两个数的和不是有理数； 逆否命题：如果两个数的和不是有理数，那么这两个数不都是有理数． （2）原命题是真命题，证明如下：设，都是有理数，则令，（，，，，且）， ，∵，，且，∴是有理数． 由于逆否命题与原命题是等价命题，所以逆否命题也是真命题，逆命题是假命题，其反例如下： 设，，则是有理数，但，都不是有理数； 由于逆命题与否命题是等价命题，所以否命题也是假命题． 【技巧归纳】（1）要写出一个命题的其他三种形式，首先要将原命题改写成“如果……，那么……”的形式，再根据逆命题、否命题、逆否命题的定义，写出其他三种形式的命题；（2）先判断出原命题和逆命题的真假，真命题进行证明，假命题 可举出反例，然后利用互为逆否的两个命题同真假，去判断否命题和逆否命题的真假. 【对点练习】 【练习1】下列语句： ①考数学开心吗？②好好做作业，争取下次数学能及格；③2不是素数；④0是自然数. 其中是命题的语句的序号有 . 【答案】③④ 【详解】因为可以判断真假的陈述句为命题，所以①为疑问句，不是命题；②不能判断真假，不是命题； ③为假命题；④为真命题；所以是命题的语句的序号有③④；故答案为：③④. 【练习2】下列语句不是命题的是 ．（填序号）①若，，则；②；③． 【答案】②【详解】对于①：若，，则，能判断真假，是命题，且为真命题；对于②： ，不能判断真假，故不是命题；对于③：，能判断真假，是命题，且为真命题；故答案为：② 【练习3】（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假【分析】通过取反例即可判断. 【详解】取，满足，显然不成立，所以命题为假命题；故答案为：假. 【练习4】“且”的否定形式为 . 【答案】或【分析】根据原命题的否定的定义可直接写出结论. 【详解】原命题的否定形式为：或，故答案为：或. 【练习5】在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（    ） A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖 C．若知春暖，必经冬寒 D．不经春暖，必历冬寒 【答案】C【分析】根据原命题和其逆否命题同真假即可解. 【详解】“不经冬寒，不知春暖”的逆否命题为“若知春暖，必经冬寒”；故选：C. 【练习6】命题“若，则”的逆否命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C【分析】根据逆否命题的定义，易求出命题的逆否命题. 【详解】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题，即命题“若，则”的 逆否命题是若“，则”；故选：C． 【练习7】写出命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这四种命题的真假． 【答案】逆命题：若，则（假命题）；否命题：，则（假命题）； 逆否命题：若，则（假命题）. 【分析】根据原命题与其逆命题、否命题、逆否命题的关系直接写结果，再举例说明假命题. 【详解】因为命题“若，则”的逆命题为“若，则”； 否命题为“若，则”； 逆否命题为“若，则”；所以 “若，则”的逆命题为：若，则； 否命题：，则；逆否命题：若，则． 因为时，所以逆命题为假命题；因为时，所以否命题为假命题； 因为时，所以逆否命题为假命题. 知识点02 充分条件与必要条件 1、一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作； 相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作； 如果，并且，那么就说与等价，记作. （1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即 ； （2）根据定义，如果 推不出 ，那么就称 不是 的充分条件， 亦称 不是 的必要条件； （3）对于命题＂若 ，则 ＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向， 箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件． 2、对于两个陈述句 与 ，如果既有 ，又有 ，就称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ，读作＂ 与 等价＂或＂ 成立当且仅当 成立＂． 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的 充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 对于两个陈述句与 ，如果既没有，又没有 ，那么既不是的充分条件也不是 的必要条件，我们称是的既非充分又非必要条件． 【经典例题】 【例5】判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：；(2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件；(2)p是q的必要非充分条件；(3)p是q的充要条件． 【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时， 如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即， 但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”， 即，故，所以p是q的充要条件． 【易错提醒】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可；（2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可； （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. .【例6】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知集合，， 则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【详解】由可得，解得或；所以“”是“”的充分非必要条件；故选：A. 【易错提醒】由求得或，然后即可得出答案. 【例7】（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件， 则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】由是的充分条件，且：，：，可得：是的子集， 所以：；故答案为：. 【易错提醒】把充分关系转化为子集关系，即可求解. 【例8】（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得，所以实数的取值范围是；故答案为：. 【易错提醒】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【例9】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件， s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是s的 【答案】充分不必要【详解】依题意，有，则，而推不出， 故p是s的充分不必要条件；故答案为：充分不必要. 【易错提醒】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论. 【例10】（24-25高一上·上海奉贤·月考）如果对于任意实数表示不超过的最大整数， 例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件，如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件；故选：B. 【易错提醒】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【例11】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知集合， 非空集合. (1)若，求：的取值集合；(2)若是的必要条件，求：的取值集合. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）化简得，所以或，所以， 因为，所以且，所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意；故. （2）若是的必要条件，则且，所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，；②当时，，解得或， 显然不成立；当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去；综上所述： 【易错提醒】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且， 代入方程解得参数值，验证后得出结论.（2）找到集合的关系，得到集合的可能情况， 代入验证即可得出结论. 【例12】（24-25高一上·上海·月考）已知，关于x的一元二次方程 和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【答案】证明见解析 【详解】证明：（充分性）将代入方程，得，即， 解得，为整数根；将代入方程，得，即， 解得或，为整数根；所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根，则，即， 若方程有实根，则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于，，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根，所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 【易错提醒】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【对点练习】 【练习8】（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要条件【分析】利用充分条件、必要条件的概念判断即可 【详解】因为，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件. 【练习9】（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件， 则实数m的取值范围是 . 【答案】【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解. 【详解】由是的充分条件，且：，：， 可得：是的子集，所以：；故答案为：. 【练习10】（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件， 则实数的取值范围是 . 【答案】【分析】分析可知集合是集合子集， 再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得，所以实数的取值范围是；故答案为：. 【练习11】（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 .【答案】【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出，从而元二次方程有两个不相等的实数根， 设为、，则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件；故答案为：. 【练习12】“若，则”的否定形式为 ． 【答案】若，则或【分析】根据命题的否定形式直接得出答案. 【详解】“若，则”的否定形式：若，则或. 故答案为：若，则或. 【练习13】（23-24高一上·上海闵行·期中）陈述句“或”的否定形式是（    ）． A．且 B．且 C．且 D．或 【答案】C【分析】根据命题的否定的概念求解即可. 【详解】“或”的否定形式是：且；故选：C 【练习14】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ①；②. A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【详解】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，假命题；故选：B. 【练习15】（24-25高一上·上海浦东新·期中）命题“对任意的实数x，都有”的否定形式是（   ）. A．存在实数x，使得 B．对任意的实数x，都有 C．存在实数x，使得 D．存在无数个实数x，使得 【答案】A【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】全称命题的否定是特称命题，因此命题“对任意的实数x，都有”的否定形式是 存在实数x，使得，故选：A． 【练习16】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ①；② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B【分析】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【详解】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，假命题；故选：B. 1.命题“已知，如果，那么或”的逆否命题为 . 【答案】如果且，那么 【分析】根据逆否命题的定义和复合命题的否定即可写出原命题的逆否命题. 【详解】“或”的否定是“且”，“”的否定是“”， 所以原命题的否定是“如果且，那么”，故答案为：如果且，那么. 2.命题“若，则且”的逆否命题是 ． 【答案】若或，则【分析】利用逆否命题的定义求解. 【详解】由逆否命题的定义得：“若，则且”的逆否命题是, 若或，则,故答案为：或，则, 3．（24-25高一上·上海·期末）陈述句“或”的否定形式为 ． 【答案】且 【分析】根据或命题的否定为且命题，注意相应条件取反，即可写出原命题的否定形式. 【详解】由或命题的否定为且命题，则原命题的否定为且；故答案为：且. 4．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知陈述句或，则的否定形式为 【答案】【分析】根据已知命题否定的定义写出对应否定形式即可. 【详解】由或，则的否定形式为；故答案为： 5．（24-25高一上·上海闵行·期末）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 【答案】【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则，故答案为：． 6．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为 ． 【答案】满足满足 【分析】分析可知所有满足条件的元素都满足条件，结合子集关系分析得解. 【详解】若命题“若，则”是真命题，则所有满足条件的元素都满足条件， 所以满足满足；故答案为：满足满足. 7．（24-25高一上·上海·月考）为说明“设是任意实数，若，则”是假命题， 可以在集合中选取的值，此时为 . 【答案】【分析】根据题意在集合中选取的值，满足. 【详解】若命题为假命题，则由题意知，且，此时为.故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·月考）设集合. 下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则； ④若，则；⑤若，则 【答案】②③④【知识点】判断命题的真假、描述法表示集合 【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断. 【详解】①若，①错误，②，②正确， ③，③正确，④，④正确， ⑤若，⑤错误；故答案为：②③④. 9.（24-25高一上·上海·月考）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根； 命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题， 则实数的取值范围是 ． 【答案】【分析】分别求出命题甲和命题乙为真时的取值范围，问题转化为甲真乙假 和甲假乙真时两种情况，利用不等式组求解即可. 【详解】命题甲为真时，则关于的方程有两个不相等的负实数根， 设两根为，则有，解得；命题乙为真时，则关于的方程 没有实数根，有，解得.若甲、乙有且只有一个是真命题， 当甲真乙假时，则有，解得；当甲假乙真时， 则有，解得 . 实数的取值范围是；故答案为：. 10．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B【分析】根据题意，有条件可得，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】由可得，且：， 所以是的必要非充要条件；选：B 11．若：“”，：“”，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据由充分、必要条件的概念判断即可. 【详解】由：，即，：，所以是的充分不必要条件；故选：A. 12．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，反之不成立，如：，满足， 所以“”是“”的充分不必要条件；选：A 13．是的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合集合的并集运算来判断与之间的条件关系.【详解】若，根据并集的定义,所以当时，一定有，即由能推出，所以是的充分条件；若，则可能属于，也可能属于，不一定有. 例如，，当时，，但，即由不能推出， 所以不是的必要条件；综上，是的充分不必要条件；故选：A. 14．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】若“”，则有，可推出“”成立， 若“”，则有或，解得或，推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A 15．（24-25高一上·上海·月考）设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（   ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B【分析】利用全称量词命题、存在量词命题的定义，结合子集的意义判断各个命题即可. 【详解】对于集合，，任意，即， 则，即有，因此对任意a，是的子集，命题③④错误； 对于集合，， 当时，，，则是的子集， 当时，，， 则不是的子集，命题①③错误，所以对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，命题②正确，正确命题的个数为1；故选：B. 16．（24-25高一上·上海·月考）设全集，集合A，B是R的两个子集， 对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有；②对于任意，都有；则（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题 【答案】A【分析】根据题意确定，的取值，得出与集合，的关系，判断命题是否正确. 【详解】命题①对于任意，都有；若，则即，,或，，，即，若，则时即即，或时即即，故总有，故命题①为真命题；命题②对于任意，都有. 若，则，而，故即，故；若，则当，一定成立，即，此时，当时，，此时也成立，故命题②为真命题；故选：A. 17．用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要 【答案】A【分析】根据取整函数的定义，对两个条件进行正反推理，即可求解. 【详解】当时，如不能得到，由，又， 所以一定能得到，所以“”是“”成立的充分不必要条件；故选：A. 18．（24-25高一上·上海·月考）设集合，. (1)若，求实数的值；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2). 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）由，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程，得，解得或， 当时，，满足条件；当时，，满足条件， 综上，实数的值为或； （2）因为“”是“” 的必要条件，所以，对于集合，. 当，即时，，此时；当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解；综上，实数的取值范围是. 19.（24-25高一上·上海·月考）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围；(2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)或. 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解；（2）利用， 将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得， 即可求解；（3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题， 命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，解得，所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为； （2）因为，且，则或集合中元素是非正数，又，所以中元素是方程的解，当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根，因为，则 且，解得，所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为； （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第4讲 命题、充分条件和必要条件 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 真命题、假命题 充分条件 必要条件 1. 知道命题的概念，会在简单情境下判断命题的真假。 2.理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，在简单的情形下作出 正确的判断；能够通过反例说明既非充分又非必要条件。 3.能借助推出关系判断充分条件、必要条件。 学习重点：通过将真命题“若,则”与推出关系互相转化，体会数学符号语言的简洁性、准确性，理解推出关系的传递性。 学习难点：在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养。 1、命题 定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）； 判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题. 说明：①命题必定由条件与结论两部分组成； ②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）； 2、推出关系：如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 3、充分条件，必要条件、充要条件 （1）充分条件、必要条件：对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件， 亦称是的必要条件. （2）充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 4、常用结论： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则， 判断命题p与命题q的关系． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 命题 1、用自然语言、符号或式子表达,且可以判断其真假的语句叫做命题,命题通常用陈述句表述； 其含义判断为真的命题叫做真命题,判断为假的命题叫做假命题。 （1）命题由条件与结论两部分组成,条件是已知的,结论是推导的;有些命题的条件和结论不止一个， 要分清哪个是条件哪个是结论； （2）判断命题的真假:数学中要判定一个命题为真命题,需要给出严格的数学证明;要判定一个命题为 假命题，只需要举出一个反例即可； （3）数学中的定义、公理、定理、公式、推论等都是真命题。 2、如果命题＂若 ，则 ＂是真命题，那么就称 推出 ，记作 （或 ）； 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若 且 ，则 ； 它是逻辑推理的基础． 注意： ＂若 ，则 ＂与＂＂一样吗？不能将＂若 ，则 ＂与＂＂混为一谈， ＂若 ，则 ＂是一个命题，可能是真命题，也可能是假命题， 只有＂若 ，则 ＂为真命趣时，才有＂＂，即＂＂等价于＂若 ，则 ＂为真命题。 【经典例题】 【例1】中至少有一个是非负实数的等价命题是（    ） A．中全不是负数 B．中只有一个是负数 C．中至少有一个是正数 D．不全是负数 【技巧归纳】根据等价命题的判定直接得到结果. 【例2】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题．(1)当时，； (2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除；(3)角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【技巧归纳】（1）（2）（3）把各个命题写成“若p，则q”的形式，再利用逆命题的定义写出逆命题. 【例3】（24-25高一上·上海·单元测试）下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③； ④至少存在一个整数x，使得是整数．其中是真命题的为（    ）． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【技巧归纳】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算 可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题. 【例4】（1）写出命题“两个有理数的和是有理数”的逆命题、否命题、逆否命题； （2）判断上述四个命题的真假，并说明理由． 【技巧归纳】（1）要写出一个命题的其他三种形式，首先要将原命题改写成“如果……，那么……”的形式，再根据逆命题、否命题、逆否命题的定义，写出其他三种形式的命题；（2）先判断出原命题和逆命题的真假，真命题进行证明，假命题 可举出反例，然后利用互为逆否的两个命题同真假，去判断否命题和逆否命题的真假. 【对点练习】 【练习1】下列语句： ①考数学开心吗？②好好做作业，争取下次数学能及格；③2不是素数；④0是自然数. 其中是命题的语句的序号有 . 【练习2】下列语句不是命题的是 ．（填序号）①若，，则；②；③． 【练习3】（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【练习4】“且”的否定形式为 . 【练习5】在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是（    ） A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖 C．若知春暖，必经冬寒 D．不经春暖，必历冬寒 【练习6】命题“若，则”的逆否命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【练习7】写出命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这四种命题的真假． 知识点02 充分条件与必要条件 1、一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出，记作； 相反的，如果成立不能推出成立，那么就说由不可以推出，记作； 如果，并且，那么就说与等价，记作. （1）充分条件和必要条件对应的是同一个关系，即 ； （2）根据定义，如果 推不出 ，那么就称 不是 的充分条件， 亦称 不是 的必要条件； （3）对于命题＂若 ，则 ＂的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号＂＂的推出方向， 箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件． 2、对于两个陈述句 与 ，如果既有 ，又有 ，就称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 ，读作＂ 与 等价＂或＂ 成立当且仅当 成立＂． 探求一个命题成立的充要条件一般用等价转化法;将原命题进行等价变形或转化，直至获得其成立的 充要条件，要求探求过程的每一步都是等价的。 对于两个陈述句与 ，如果既没有，又没有 ，那么既不是的充分条件也不是 的必要条件，我们称是的既非充分又非必要条件． 【经典例题】 【例5】判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：；(2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【易错提醒】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可；（2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可； （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. .【例6】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知集合，， 则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【易错提醒】由求得或，然后即可得出答案. 【例7】（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件， 则实数m的取值范围是 . 【易错提醒】把充分关系转化为子集关系，即可求解. 【例8】（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【易错提醒】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【例9】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件， s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是s的 【易错提醒】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论. 【例10】（24-25高一上·上海奉贤·月考）如果对于任意实数表示不超过的最大整数， 例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【易错提醒】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【例11】（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知集合， 非空集合. (1)若，求：的取值集合；(2)若是的必要条件，求：的取值集合. 【易错提醒】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且， 代入方程解得参数值，验证后得出结论.（2）找到集合的关系，得到集合的可能情况， 代入验证即可得出结论. 【例12】（24-25高一上·上海·月考）已知，关于x的一元二次方程 和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【易错提醒】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【对点练习】 【练习8】（24-25高一上·上海·期中）“”是“”的 条件． 【练习9】（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件， 则实数m的取值范围是 . 【练习10】（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件， 则实数的取值范围是 . 【练习11】（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【练习12】“若，则”的否定形式为 ． 【练习13】（23-24高一上·上海闵行·期中）陈述句“或”的否定形式是（    ）． A．且 B．且 C．且 D．或 【练习14】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ①；②. A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【练习15】（24-25高一上·上海浦东新·期中）命题“对任意的实数x，都有”的否定形式是（   ）. A．存在实数x，使得 B．对任意的实数x，都有 C．存在实数x，使得 D．存在无数个实数x，使得 【练习16】（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ①；② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 1.命题“已知，如果，那么或”的逆否命题为 . 2.命题“若，则且”的逆否命题是 ． 3．（24-25高一上·上海·期末）陈述句“或”的否定形式为 ． 4．（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知陈述句或，则的否定形式为 5．（24-25高一上·上海闵行·期末）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 6．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是真命题用集合的语言描述为 ． 7．（24-25高一上·上海·月考）为说明“设是任意实数，若，则”是假命题， 可以在集合中选取的值，此时为 . 8．（24-25高一上·上海·月考）设集合. 下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则； ④若，则；⑤若，则 9.（24-25高一上·上海·月考）已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根； 命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题， 则实数的取值范围是 ． 10．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 11．若：“”，：“”，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．是的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．（24-25高一上·上海·月考）设集合，，，，其中，下列说法正确的个数是（   ） ①对任意a，是的子集，对任意b，不是的子集； ②对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集； ③存在a，不是的子集，对任意b，不是的子集； ④存在a，不是的子集，存在b，使得是的子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．（24-25高一上·上海·月考）设全集，集合A，B是R的两个子集， 对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有；②对于任意，都有；则（    ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题 17．用表示不大于实数的最大整数，例如，，，则是的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要 18．（24-25高一上·上海·月考）设集合，. (1)若，求实数的值；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 19.（24-25高一上·上海·月考）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围；(2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $