专题06 充分条件和必要条件与反证法（知识梳理+4对点集训+基础过关+拓展提优）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

专题06 充分条件和必要条件与反证法 （知识梳理+4对点集训+基础过关+拓展提优） 1.学生能够准确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，清晰阐述其含义，并能通过实例进行解释说明。 2.熟练掌握判断充分条件、必要条件和充要条件的方法，包括定义法、集合法、等价命题法等。能够针对不同类型的命题，准确判断条件与结论之间的逻辑关系， 3.深入理解反证法的概念，明确其理论依据，即原命题与其逆否命题的等价性。掌握反证法证明数学命题的一般步骤。 知识点01：充分条件，必要条件、充要条件 1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2.充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 3.判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 知识点02：反证法 1.要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 对点集训一：充分条件、必要条件及充要条件的判断 典型例题 例1.　(1)指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 【解析】解　①在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件． ②由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件． ③方法一　由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件． 方法二　设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． (2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. 【解析】解　①因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． ②因为p⇒q， 所以q是p的必要条件． ③因为p⇏q， 所以q不是p的必要条件． 例2.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：x＝1，q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【解析】解　(1)方法一　当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. ∴p是q的充分不必要条件． 方法二　A＝{x|x＝1}＝{1}， B＝{x|x－1＝}＝{1,2}，可知AB， ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件． (3)由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． (4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又是正数，但不是自然数，故q⇏p.故p是q的既不充分也不必要条件． 精练 1．（24-25高一上·上海金山·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】因为不能推出， 所以“”不是“”的充分条件， 因为“”能推出“”， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 2．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件的判定及性质 【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【详解】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】由求得或，然后即可得出答案. 【详解】由可得，解得或. 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 4．（24-25高一上·上海·期中）“或”是“”的 条件． 【答案】必要不充分 【知识点】判断命题的必要不充分条件、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合交集、并集的意义判断得解. 【详解】由或，得，而， 所以“或”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 5．指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 【答案】(1)必要非充分条件 (2)充要条件 (3)既非充分也非必要条件 (4)充分非必要条件 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、既不充分也不必要条件 【分析】（1）（2）（3）（4）根据，的关系逐一求解. 【详解】（1）由可得或者， 故是的必要不充分条件， （2）同位角相等，两直线平行；当两直线平行时，同位角相等， 故是的充要条件 （3）由可得或，故是的既不充分也不必要条件， （4）由可得，故是的充分不必要条件， 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (2)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (3)若，则； (4)若，则； (5)若，为无理数，则为无理数． 【答案】(1)充要条件 (2)充分非必要 (3)必要非充分 (4)充分非必要 (5)既非充分又非必要 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】由充分条件、必要条件定义逐一判断即可得出结论. 【详解】（1）这是一条相似三角形的判定定理，，所以是的充分条件. 再由三角形相似，，所以是的必要条件，即是的充要条件. （2）这是一条菱形的性质定理，，所以是的充分条件. 若对角线垂直的四边形不一定为菱形，必要性不成立，即是的充分非必要条件. （3）由于，但，所以不能推出，即不是的充分条件. 若，则，必要性成立，即即是的必要非充分条件. （4）由等式的性质知，，所以是的充分条件. 若，则，但，必要性不成立，即是的充分非必要条件. （5）为无理数，但为有理数，所以不能推出，即不是的充分条件. 为无理数，但，1为有理数，所以不能推出，即不是的必要条件.所以是的既非充分又非必要条件. 对点集训二：根据充分条件、必要条件求参数 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解. 【详解】由是的充分条件，且：，：， 可得：是的子集， 所以：. 故答案为：. 例2．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）“”为“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】由题意得是的真子集，故. 故答案为：. 例3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题p：集合或，q：集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若（p的否命题）是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围. （2）先求得，根据是的充分不必要条件列不等式，解不等式求得的取值范围. 【详解】（1）由于，故，解得. 故实数a的取值范围 （2）：，由于是的充分不必要条件，故，解得. 故实数a的取值范围 例4．（24-25高一上·上海·期末）已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）求出集合、，根据可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）对于集合，由， 等式两边平方得， 所以，， 可得，解得，则， 因为，则， 所以，， 因为，则或，解得或， 因此，实数的取值范围是或. （2）已知命题，命题，若是的必要条件，则， 所以，，解得或， 因此，实数的取值范围是或. 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】将必要不充分条件转化为，即可求解. 【详解】由于是的必要非充分条件，故， 因此或，解得， 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设，，是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、充分条件的判定及性质 【分析】利用充分条件与集合的关系得到关于的不等式，从而得解. 【详解】因为，，是的充分条件， 所以，则. 所以实数的取值范围. 4．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为； （2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为； 【详解】（1）解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； （2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 对点集训三： 充要条件的证明 典型例题 例1.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 【解析】证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根， ∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，∴ac<0. 充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根． 综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 例2.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 【解析】证明　(1)充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． (2)必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 例3.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【解析】证明　充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 例4.求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 【解析】证明　(1)充分性：当a＝1时，方程ax2＋2x＋1＝0的实根是x1＝x2＝－1，只有一个负实数根； 当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根是x＝－； 当a<0时，方程ax2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4a>0， 且x1x2＝<0，方程两根一正一负． 所以当a＝1或a≤0时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根． (2)必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根，则 ①当a＝0时，x＝－，符合题意． ②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1； 当a＝1时，方程的解为－1，符合题意； 当a<1且a≠0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2，若方程只有一个负实数根， 则x1x2＝<0，即a<0. 所以当关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根时，a＝1或a≤0. 综上，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 精练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）如果a、b、c为实数，设：；：、、中至少有一个为0；：.那么 ； ； ．（用符号“”“”或“”填空） 【答案】 【知识点】判断命题的充分不必要条件、必要条件的判定及性质、充要条件的证明 【分析】对：，则，再利用逻辑关系即可得到答案. 【详解】因为：；：、、中至少有一个为0；则； ：，则，则；； 故答案为：；；. 2．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【知识点】充要条件的证明、探求命题为真的充要条件 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】充分性：当时，， 则； 必要性：若，则， 所以，即； 综上，“”是“”的充要条件． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合A，B，求证：是的充要条件． 【分析】利用充分性和必要性的定义即可证明. 【详解】证明：充分性 因为，，所以， 所以当成立时，有成立， 故充分性成立． 必要性 因为，所以． 所以当成立时，也有成立， 故必要性成立 所以是的充要条件． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 【分析】利用充分必要条件的判断方法，结合初中几何知识即可得证. 【详解】①先证明充分性： 已知：四边形ABCD是平行四边形， 求证：四边形ABCD的对角线互相平分； 证明：设AC与BD交于点，如图示： 四边形ABCD是平行四边形， ，且，， ，， 四边形ABCD的对角线互相平分，即充分性得证； ②再证必要性： 已知：四边形ABCD的对角线互相平分， 求证：四边形ABCD是平行四边形； 证明：由已知可得，且，， ，，且，， 四边形ABCD是平行四边形，即必要性得证； 综上所述，"四边形ABCD是平行四边形"是"四边形ABCD的对角线互相平分"的充要条件. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【分析】由已知结合二次方程根的存在条件检验充分及必要性即可证明. 【详解】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 对点集训四：反证法 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】假设结论的反面成立即可． 【详解】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数. 故选：D 例2．（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【答案】且 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解. 【详解】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且. 故答案为：且 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：是无理数．（提示：已知为无理数） 【分析】利用反证法证明. 【详解】证明：假设是有理数，则令，为有理数， 两边平方得，由此可得， 因为为无理数，为有理数，则这与“有理数和无理数是不可能相等”相矛盾， 所以假设不成立，即是无理数． 例4．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形． 【分析】利用反证法假设该梯形是等腰梯形，证明结论与题意矛盾，可证得原结论成立. 【详解】证明： 假设该梯形是等腰梯形，设梯形，， 连接，交于， 因为该梯形是等腰梯形，所以，，， 所以，可得，则为等腰三角形， 同理可得为等腰三角形， 所以，，所以， 与条件矛盾. 所以假设不成立，即该梯形不是等腰梯形. 例5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知； (1)若，求第三条边AC长度的所有可能值组成的集合； (2)若是锐角三角形，且 ，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用不等式求值或取值范围、反证法证明 【分析】（1）根据题意，利用三角形的性质，列出不等式组，即可求解； （2）假设，得到，求得，结合反证法，即可得证. 【详解】（1）解：在中，因为， 由三角形的性质，可得，解得， 所以第三条边长度的所有可能值组成的集合为. （2）解：假设，因为，所以， 所以，所以，这与为锐角三角形相矛盾， 所以假设不成立，所以. 精练 1．（24-25高一上·上海·开学考试）用反证法证明命题“任何中最多只有一个内角是钝角”时，第一步是假设存在一个，该三角形的三个内角（    ） A．至少有一个内角是钝角 B．至少有两个内角是钝角 C．至少有一个内角不是钝角 D．至少有两个内角不是钝角 【答案】B 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，由此得出结论． 【详解】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，故应假设的内容是：三角形中至少有两个内角是钝角． 故选：B． 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 【答案】a，b都不能被5整除 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法的步骤填写即可. 【详解】“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”反证法应假设a，b都不能被5整除. 故答案为：a，b都不能被5整除. 3．对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是 . ①具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则. 【答案】①②③ 【知识点】判断元素与集合的关系、判断命题的真假、集合新定义 【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解. 【详解】因为，所以 ， 根据集合具有性质的定义，对于任意， 若，则或，或， 若，取，则； 若，取，则； 若，取，则； 若有一个为负数，则或， 若，则取，则； 若，则取，则； 故①正确； 对于任意，存在，使得 取，存在使得，所以， 不妨设，所以若集合具有性质，则，故②正确； ③假设，令，则存在使得， 同②得中必有一个数为， 若，则，于是，矛盾， 若，则，于是，也矛盾， 所以，又由②得，所以，所以，故③正确， 故真命题是①②③正确. 故答案为：①②③. 【点睛】解决此题的关键是抓住集合具有性质的定义，结合反证法即可. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：对于三个实数a、b、c，若，则或． 【详解】用反证法证明. 假设结论不成立，即且，则，与矛盾. 所以若，则或成立. 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明：是无理数. 【分析】即证是无理数，假设是有理数，则可设，其中m与n是互素的正整数，推出矛盾，假设不成立，故是无理数. 【详解】因为，假设是有理数. 则可设，其中m与n是互素的正整数. 于是.两边平方，得.（*）， 所以是3的倍数. 又因为n是正整数， 所以n是3的倍数. 设（t为正整数）， 代入（*）式得， 所以是3的倍数. 又因为m是正整数， 所以m是3的倍数. 这与m与n是互素的正整数矛盾， 因此假设是有理数不成立. 即是无理数，故是无理数. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 【分析】（1）根据求解，即可证明； （2）利用反证法，即可证明. 【详解】（1）假设，则， 与矛盾，则假设不成立，故. （2）假设中都是偶数， 则， 两式相加并整理，得， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数. 一、单选题 1．（22-23高一上·上海长宁·期末）用反证法证明命题:“若，则或”时，应假设（    ） A．或 B．若或，则 C．且 D．若且，则 【答案】C 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】取命题的反面即可. 【详解】用反证法证明命题，应先假设它的反面成立，即且， 故选:C． 2．用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过”，下列假设中正确的是（    ） A．假设有两个内角超过 B．假设四个内角均超过 C．假设至多有两个内角超过 D．假设有三个内角超过 【答案】B 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】根据反证法的定义. 【详解】平面四边形中至少有一个内角不超过的反面含义为 4个内角没有一个不超过，即四个内角均超过， 故选:B. 3．（23-24高一上·上海·期中）用反证法证明命题“ab可以被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时假设的内容应该是（    ） A．a、b都不能被5整除 B．a、b都能被5整除 C．a、b不都能被5整除 D．b能被5整除 【答案】A 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案. 【详解】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”. 故选：A. 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】由定义，分别验证充分性与必要性即可. 【详解】时满足，而时不一定有， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 5．（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【知识点】必要条件的判定及性质 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件. 故选：B. 二、填空题 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）用反证法证明命题：“已知，求证：”时，应假设 ，得出的矛盾为 . 【答案】 （或） 【知识点】反证法证明 【详解】由题意假设，则，，， 因为，所以， 即，所以， 因为不论q为何值，都大于等于0，即假设不成立，所以. 由以上分析过程可知：反设为，得出的矛盾为. 同理可得出矛盾. 综上：反设为， 得出的矛盾为或. 7．（24-25高一上·上海·期中）利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 【答案】或 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】第一步是假设结论不成立，反之成立； 【详解】反证法证明命题时，假设实际是结论的否定， 根据题意可知的否定就是或. 故答案为：或 8．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件，s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是s的 【答案】充分不必要 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质 【分析】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论. 【详解】依题意，有，则，而推不出，故p是s的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 9．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于是的一个充分不必要条件， 所以， 所以. 故答案为： 10．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】根据必要非充分条件，列式运算即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件，即是的真子集， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）写出下列各陈述句的否定形式： (1)； (2)或； (3)至少有三个实数满足方程； (4)所有整数都不满足． 【分析】由否定的定义逐一求解即可. 【详解】（1）解：否定为：． （2）否定为：且． （3）否定为：至多有两个实数满足方程． （4）否定为：至少存在一个整数满足． 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）平面几何中，“过在同一条直线上的三点、、不能作圆”，如何证明这个命题？ 【分析】利用反证法来证明. 【详解】假设过在同一条直线上的三个点可以作一个圆． 则该圆与直线有三个交点，这与直线与圆最多有2个交点相矛盾， 所以假设不成立，即过在同一条直线上的三点不能作圆． 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】先举反例说明充分性不成立，再证必要性成立即可. 【详解】先看充分性：若，，则，不是奇数，故不成立； 所以“”是“”的不充分条件； 再证必要性：因为，所以，故“”是“”的必要条件. 综上：“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 2．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据题意，有条件可得，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】由可得， 且：，所以是的必要非充要条件. 故选：B 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合M和集合N，那么的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个集合的包含关系、探求命题为真的充要条件、子集的概念 【分析】根据集合的性质以及集合运算和自己概念可判断. 【详解】对A，若，则，故A错误： 对B，若，则不能得到，故B错误； 对C，若，故C正确； 对D，，当是真子集时，不能得到，故D错误. 故选：C 4．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①④ 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明 【分析】根据集合间的关系，结合充分条件以及必要条件的定义进行判断即可. 【详解】对于①：因为等价于， 又， 所以等价于， 故的充要条件是，故①正确； 对于②：只是说明集合和集合元素个数的关系，不能得到； 说明集合中的元素都是集合中的元素，则， 即的必要不充分条件是，故②正确； 对于③：只是说明集合和集合元素个数的关系，不能得到； 如，，则，，满足， 但是集合、没有任何关系，故推不出，即充分性不成立，故③错误； 对于④：集合中的元素与集合中的元素完全相同，则， 但两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同， 如，，则，，显然集合、没有任何关系，故④错误． 故选：B 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·期中）已知.若是的充分条件，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分条件和必要条件的关系转化为不等式之间的关系，解不等式组即可得解． 【详解】，， 是的充分条件， 则，解得， 故答案为：． 6．（24-25高一上·上海·期中）命题：“的充要条件是 是 命题． 【答案】真 【知识点】判断命题的真假、探求命题为真的充要条件 【分析】根据绝对值不等式以及分式不等式进行判断. 【详解】，，通分可得， 即，所以， 则或，此时满足； 当且时，， 因为，所以，即， 当且时，， 因为，所以，即， 所以“的充要条件是 是真命题， 故答案为：真. 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）设x，，已知，则的一个充分必要条件是 . 【答案】 【知识点】探求命题为真的充要条件 【分析】根据作差法可得的等价条件，由充要条件的概念即可得解. 【详解】因为 ， 所以的一个充分必要条件是. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要条件，则实数m的取值范围是 （取值范围用区间表示）. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】是的必要条件可得，分类讨论，根据子集概念求解即可. 【详解】设， 若是的必要条件，则, （1）当时，即，此时，成立； （2）当时，即，若，此时， 解得，又，故无解. 综上，. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 【答案】（1）（2）（3） 【知识点】充分条件的判定及性质 【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 三、解答题 10．（22-23高一上·上海黄浦·期中）证朋： (1)设a，b，，则的充要条件是． (2)已知x是有理数，y是无理数，则是无理数． 【知识点】充要条件的证明、反证法证明 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义分别证明充分性和必要性即可； （2）假设是有理数，由此结合x是有理数，证明是有理数，利用反证法即可得证. 【详解】（1）证明：充分性：若， 则，即， 所以，故充分性成立； 必要性：若， 则，即， 所以， 所以，故必要性成立， 所以的充要条件是； （2）证明：假设是有理数，则， 因为x是有理数， 所以， 所以， 因为，所以， 所以是有理数，与y是无理数矛盾， 所以假设错误， 所以x是有理数，y是无理数，则是无理数． 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，集合. (1)求证：“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件； (2)是否存在，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据集合相等关系进行计算 【分析】（1）求出，时，分别对应的实数的范围，再根据充分非必要条件的定义进行判断即可； （2）分别和，进行分类讨论，求出的值即可. 【详解】（1）若，则，即， 若，则，即， 则“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件. （2）若，则，即， 若，则，即， 因此时，， 若，则集合中只有一个元素， 因此若，则集合中只有一个元素，即， 此时，， 综上知，则存在，使得. 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，.：关于x的方程的解集中最多有一个元素. (1)若，求实数c的取值范围； (2)若，和中有且仅有一个成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、已知命题的真假求参数、充分条件的判定及性质 【分析】（1）根据给定条件，化简集合并求出，再结合判别式求出，然后利用集合的包含关系求出的范围. （2）由及（1）求出，再按成立不成立和不成立成立分类求解即可. 【详解】（1）由有意义，得，解得，此时， 因此，， 由关于x的方程的解集中最多有一个元素，得， 解得，由，得，则，即， 所以实数c的取值范围是. （2）当时，，，， 当成立，不成立时，且，则， 当不成立，成立时，且，则，因此， 所以实数m的取值范围是. 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、必要条件的判定及性质 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可. （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）由，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或. （2）因为“”是“” 的必要条件，所以. 对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解. 综上，实数的取值范围是. 14．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据两个集合相等求参数、充要条件的证明 【分析】（1）首先证明充分性：当时可求得集合，对参数是否为零进行分类讨论，可得集合中至少含有中的所有元素；再证明必要性：若可得方程的所有实数根都是方程的实根，即，得出证明； （2）根据（1）的结论可知，然后对于参数是否为零进行分类讨论，易知当时符合题意，当时，对于方程的根的个数结合判别式进行讨论，并利用集合间的包含关系求得的取值范围是. 【详解】（1）充分性：若，则； 当时，可得 若，可得或； 当时，；即可得 所以可得集合中至少含有两个元素，可知， 当时，可得；此时当时，即可得； 此时，满足；综上可知充分性成立； 必要性：因为为非空集合，所以可知当时， 可知方程的所有实数根都是方程的实根， 即可得， 即，可得，所以必要性成立； 综上可得，的充要条件是； （2）若时，满足； 由（1）中的结论可得， 此时； 当时，可得，此时，符合题意； 当时，可得，此时； 为使可知，集合； 对于方程，令 ①当时，即时，，符合题意； ②当时，即时，此时，但且，不合题意； ③当时，即或时，， 为使，需满足或，即，解得； 这与大前提矛盾，不合题意；综合①②③可得符合题意； 综上可知，满足题意的的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题在求解参数的取值范围时，要结合（1）的结论将代入计算，并根据将集合转化成集合的子集，再对参数进行分类讨论后再利用判别式进行讨论计算可得结果. 15．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、必要条件的判定及性质 【分析】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论. （2）找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论. 【详解】（1）化简得，所以或， 所以， 因为，所以且， 所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意； 故. （2）若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，； ②当时，，解得或， 显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去； 综上所述： 16．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)判断是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”是“”的必要非充分条件； (3)求所有满足集合的偶数，并说明理由. 【答案】(1)8，9属于，10不属于； (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【知识点】判断元素与集合的关系、根据元素与集合的关系求参数、判断命题的必要不充分条件、集合新定义 【分析】（1）先由平方差公式因数分解，再利用方程组思想确定是否有整数解，从而得出判断； （2）利用任何奇数总可以化为两个连续自然数的平方差，所以满足集合中元素特征，再通过举反例，如偶数8是集合中的元素，这样就可以判断充要条件了； （3）利用平方差因数分解，利用奇偶数思想分析，即可得到满足集合中的偶数一定是4的倍数，再证明4的倍数一定是集合中的元素，从而可得集合中的偶数一定是. 【详解】（1）由于，满足集合中元素特征，所以， 由于，满足集合中元素特征，所以， 假设， 则，且， 由于，所以或，显然均无整数解， 所以； （2）证明：集合，则恒有， 即满足集合中元素特征，所以，即一切奇数都属于； 反之满足这个集合中的元素不一定全是奇数，如， 所以是的必要非充分条件， （3）集合而， ①当和同为奇数和偶数时，均为偶数，所以为4的倍数， 反之当，则不妨令， 可解得，满足集合中元素特征， 所以满足集合的偶数为； ②当和一奇一偶时，和均为奇数， 所以为奇数，不满足题意； 综上所述：所有满足集合的偶数为. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是分类讨论和同为奇数和偶数与和一奇一偶两种情况，结合因式分解即可得解. 17．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 【答案】(1)集合B是，集合C不是，理由见解析； (2)p假q真，理由见解析； (3)证明见解析. 【知识点】充要条件的证明、集合新定义 【分析】（1）根据封闭集的定义判断即可. （2）举反例说明判断命题；利用封闭集的定义，结合充要条件的定义推理判断命题. （3）按和分类，结合反证法推理即可. 【详解】（1）对于集合 因为， 所以是封闭集； 对于集合，因为， 所以集合不是封闭集. （2）对命题：令， 令，则， 因此集合是封闭集，同理集合也是封闭集， 取，则，而， 因此集合不是封闭集，命题是假命题； 对于命题：若，不妨令，则有，又集合是封闭集， 则，同理，因此， 所以是封闭集； 反之，若是封闭集，则是非空集合，即， 所以是是封闭集的充要条件，命题是真命题. （3）非空集合是封闭集合，当时，，因此不是封闭集合； 当时，假设是封闭集合， 设，在中任取一个，则， 否则，此时，与矛盾， 因此，而，与矛盾， 则当时，则不是封闭集合，同理当时，不是封闭集合， 所以A的补集不是封闭集. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 充分条件和必要条件与反证法 （知识梳理+4对点集训+基础过关+拓展提优） 1.学生能够准确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念，清晰阐述其含义，并能通过实例进行解释说明。 2.熟练掌握判断充分条件、必要条件和充要条件的方法，包括定义法、集合法、等价命题法等。能够针对不同类型的命题，准确判断条件与结论之间的逻辑关系， 3.深入理解反证法的概念，明确其理论依据，即原命题与其逆否命题的等价性。掌握反证法证明数学命题的一般步骤。 知识点01：充分条件，必要条件、充要条件 1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 2.充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 3.判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． 知识点02：反证法 1.要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 对点集训一：充分条件、必要条件及充要条件的判断 典型例题 例1.　(1)指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. (2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. 例2.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)． (1)p：x＝1，q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 精练 1．（24-25高一上·上海金山·期中）设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 2．已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 4．（24-25高一上·上海·期中）“或”是“”的 条件． 5．指出下列各组命题中，是的什么条件：（填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”等） (1)：；：. (2)：同位角相等；：两直线平行. (3)：；：. (4)：；：. 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (2)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (3)若，则； (4)若，则； (5)若，为无理数，则为无理数． 对点集训二：根据充分条件、必要条件求参数 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 例2．（24-25高一上·上海松江·阶段练习）“”为“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为 ． 例3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知命题p：集合或，q：集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若（p的否命题）是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围. 例4．（24-25高一上·上海·期末）已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设，，是的充分条件，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 对点集训三： 充要条件的证明 典型例题 例1.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 例2.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 例3.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 例4.求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 精练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）如果a、b、c为实数，设：；：、、中至少有一个为0；：.那么 ； ； ．（用符号“”“”或“”填空） 2．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合A，B，求证：是的充要条件． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 对点集训四：反证法 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 例2．（24-25高一上·上海奉贤·期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：是无理数．（提示：已知为无理数） 例4．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形． 例5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知； (1)若，求第三条边AC长度的所有可能值组成的集合； (2)若是锐角三角形，且 ，求证：. 精练 1．（24-25高一上·上海·开学考试）用反证法证明命题“任何中最多只有一个内角是钝角”时，第一步是假设存在一个，该三角形的三个内角（    ） A．至少有一个内角是钝角 B．至少有两个内角是钝角 C．至少有一个内角不是钝角 D．至少有两个内角不是钝角 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 3．对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是 . ①具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：对于三个实数a、b、c，若，则或． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明：是无理数. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 一、单选题 1．（22-23高一上·上海长宁·期末）用反证法证明命题:“若，则或”时，应假设（    ） A．或 B．若或，则 C．且 D．若且，则 2．用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过”，下列假设中正确的是（    ） A．假设有两个内角超过 B．假设四个内角均超过 C．假设至多有两个内角超过 D．假设有三个内角超过 3．（23-24高一上·上海·期中）用反证法证明命题“ab可以被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时假设的内容应该是（    ） A．a、b都不能被5整除 B．a、b都能被5整除 C．a、b不都能被5整除 D．b能被5整除 4．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若“”，“”，则是的什么条件（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 二、填空题 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）用反证法证明命题：“已知，求证：”时，应假设 ，得出的矛盾为 . 7．（24-25高一上·上海·期中）利用反证法证明：“若实数a，b满足，则”，第一步应假设 ． 8．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知p是q的充分不必要条件，q是s的充要条件，s是r的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，则p是s的 9．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知条件和条件，若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 10．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 三、解答题 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）写出下列各陈述句的否定形式： (1)； (2)或； (3)至少有三个实数满足方程； (4)所有整数都不满足． 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）平面几何中，“过在同一条直线上的三点、、不能作圆”，如何证明这个命题？ 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（   ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 2．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合M和集合N，那么的充要条件是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①④ 二、填空题 5．（24-25高一上·上海·期中）已知.若是的充分条件，则的取值范围是 . 6．（24-25高一上·上海·期中）命题：“的充要条件是 是 命题． 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）设x，，已知，则的一个充分必要条件是 . 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要条件，则实数m的取值范围是 （取值范围用区间表示）. 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 三、解答题 10．（22-23高一上·上海黄浦·期中）证朋： (1)设a，b，，则的充要条件是． (2)已知x是有理数，y是无理数，则是无理数． 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，集合. (1)求证：“实数使得”是“实数使得”的充分非必要条件； (2)是否存在，使得？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由. 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，.：关于x的方程的解集中最多有一个元素. (1)若，求实数c的取值范围； (2)若，和中有且仅有一个成立，求实数m的取值范围. 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 15．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 16．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)判断是否属于集合； (2)已知集合，证明：“”是“”的必要非充分条件； (3)求所有满足集合的偶数，并说明理由. 17．（24-25高一上·上海徐汇·开学考试）已知是R的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集． (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为R，求证：A的补集不是封闭集 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$