1.4 基本不等式（十年高考）（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习十年真题分类题组

**基本信息** 汇编2014-2022年高考真题，聚焦基本不等式考点，覆盖单选、多选、填空题型，呈现不同应用场景与难度梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|5题/25分|比较大小（2015陕西理9）、条件最值（2015福建理5）|基础巩固，直接应用不等式性质| |多选|2题/10分|方程与不等式综合（2022新高考Ⅱ12）、参数范围（2020新高考Ⅰ11）|能力提升，考查多维度分析| |填空|4题/20分|几何应用（2019天津文13三角形）、函数最值（2018江苏13）|创新应用，结合实际情境与跨知识点|

1.4　基本不等式 考点　基本不等式 1.(2015陕西,理9,5分)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是(　　) A.q=r<p　　　B.q=r>p　　　C.p=r<q　　　D.p=r>q 答案　C　由题意得p=ln,q=ln,r=(ln a+ln b)=ln=p,∵0<a<b,∴>,∴ln>ln,∴p=r<q. 2.(2015福建理,5,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(　　) A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 答案　C　因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1.所以a+b=(a+b)·=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C. 3.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(　　) A.　　　B.2　　　C.2　　　D.4 答案　C　依题意知a>0,b>0,则+≥2=,当且仅当=,即b=2a时,“=”成立.因为+=,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值为2,故选C. 4.(2014重庆文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是(　　) A.6+2　　　B.7+2　　　C.6+4　　　D.7+4 答案　D　由log4(3a+4b)=log2, 得3a+4b=ab,且a>0,b>0, ∴a=,由a>0,得b>3. ∴a+b=b+=b+=(b-3)++7≥2+7=4+7,即a+b的最小值为7+4. 5.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(　　) A.80元　　　B.120元　　　C.160元　　　D.240元 答案　C　设底面矩形的长和宽分别为a m、b m,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40=160(当且仅当a=b时等号成立).故选C. 6.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (　　) A.x+y≤1　　　　B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2　　　　D.x2+y2≥1 答案　BC　因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2-(x+y)2=(x+y)2,故(x+y)2≤4,当且仅当x=y时等号成立,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确.由xy≤得1=x2+y2-xy≥x2+y2-,即x2+y2≤2,当且仅当x=y时等号成立.故C正确,D错误,故选BC. 7.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 (　　) A.a2+b2≥　　　　 C.log2a+log2b≥-2　　　　D. 答案　ABD　∵a>0,b>0,a+b=1,∴0<a<1,0<b<1,b=1-a. ab≤. 对于A选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2,当且仅当a=b=时,取等号,A正确; 对于B选项,a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0<a<1,∴-1<2a-1<1,∴<22a-1<2,∴2a-b>成立,B正确; 对于C选项,∵0<ab≤,a>0,b>0, ∴log2a+log2b=log2(ab)≤log2=-2,C不正确; 对于D选项,∵()2=a+b+2≤1+a+b=2,∴成立,D正确. 8.(2019天津文,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为　　　　.  答案　 解析　本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌握程度,以及学生的推理、运算能力. ===2+. ∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2,解得0<xy≤2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立.此时≥,∴2+≥2+=,故的最小值为. 思路分析　首先将分子展开,并把已知条件x+2y=4代入,则原式化简为2+,注意到x与2y的和为定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最终得到原式的最小值,在此应特别注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”,注意等号是否成立. 9.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为　　　　.  答案　9 解析　本题考查基本不等式及其应用. 依题意画出图形,如图所示. 易知S△ABD+S△BCD=S△ABC, 即csin 60°+asin 60°=acsin 120°, ∴a+c=ac,∴+=1, ∴4a+c=(4a+c)=5++≥9, 当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. 一题多解1　作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线, ∴==, ∵DE∥CB,∴===, ∴=,=. ∴=+. ∴=, ∴1=++2··||·||×, ∴1=,∴ac=a+c,∴+=1, ∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. 一题多解2　以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系, 则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A,C. ∵A,D,C三点共线,∴∥, ∴+c=0, ∴ac=a+c,∴+=1, ∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”. 10.(2017山东,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为　　　　.  答案　8 解析　由题设可得+=1,∵a>0,b>0, ∴2a+b=(2a+b)=2+++2≥4+2=8. 故2a+b的最小值为8. 11.(2015重庆文,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为　　　　.  答案　3 解析　解法一:令t=+, 则t2=(+)2=a+1+b+3+2·≤9+a+1+b+3=18, 当且仅当=, 即a=,b=时,等号成立. 即t的最大值为3. 解法二:设=m,=n,则m,n均大于零, 因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2, 所以m+n≤·, 所以+≤·=3, 当且仅当=, 即a=,b=时,“=”成立,所以所求最大值为3. ( 第 4 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $