广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测试卷（十）

**基本信息** 高二数学周测试卷，涵盖解三角形、立体几何等模块，通过工业部件体积计算（题7）、航行距离优化（题6）等情境，考查直观想象、逻辑推理与数学建模，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|解三角形（题1）、立体几何（题2）|基础巩固，如正弦定理应用（题1）| |多选题|3题|复数（题9）、向量（题10）|能力提升，如向量与三角形内心判断（题10D）| |填空题|3题|立体几何（题12）、向量（题14）|创新应用，如双圆锥外接球体积比（题12）| |解答题|5题|解三角形（题16）、立体几何（题17）|综合探究，如半圆柱中四棱锥体积最值（题17）|

东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期数学周测试卷（十三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2，C＝30°，则B等于（   ） A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120° 2．已知某组合体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图的直观图如图②（粗线部分）所示，其中四边形为平行四边形，轴，为边的中点，则平行四边形的面积为 A．8 B．16 C． D． 3．已知为异面直线，平面，平面，直线满足，，，,则（   ） A．，且 B．，且 C．与相交，且交线与垂直 D．与相交，且交线与平行 4．等边的边长为，、是边的两个三等分点，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知正四棱锥侧面和底面的棱长都为4，P为棱BC上的一个动点，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 6．甲船在岛B的正南方A处，千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 7．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所构成的．已知圆台的上、下底面直径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（    ） A． B． C． D． 8．中，若，，点E满足，直线与直线相交于点D，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设复数，为的共轭复数，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列结论正确的是（    ） A．若 为锐角，则实数 的取值范围是 B．已知 是单位向量，，若向量 满足 ，则 的最大值为 C．点 在 所在的平面内，若 分别表示 的面积，则 D．点 在 所在的平面内，满足 且 ，则点 是 的内心 11．如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的有（    ）    A．点在平面的射影为的中心 B．直线平面 C．三棱锥的体积不为定值 D．异面直线与BM所成角为 三、填空题 12．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球的表面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______. 13．已知正方体棱长为4. 若M是平面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为________. 14．在中，,点是线段上的动点，则的最小值为__________；当取得最小值时,__________. 四、解答题 15．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． (1)已知，，，且，求t的值． (2)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 16．已知函数. （1）当时，求的值域； （2）在中，若，求的面积. 17．如图所示为一个半圆柱，为半圆弧上一点，. （1）若，求四棱锥的体积的最大值； （2）有三个条件：①；②直线与所成角的正弦值为；③.请你从中选择两个作为条件，求直线与平面所成角的余弦值. 18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，D是边上一点，. (1)求角A； (2)若，当时，求角C的大小. 19．设三棱锥的每个顶点都在球的球面上，是面积为的等边三角形，，，且平面平面. （1）确定的位置（需要说明理由），并证明：平面平面. （2）与侧面平行的平面与棱，，分别交于，，，求四面体的体积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D A D A A A AB BCD 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】由正弦定理可解得，利用大边对大角可得范围，从而解得A的值． 【详解】由c＝2，b＝2，C＝30°，由正弦定理可得：， ，由大边对大角可得：，解得60°或120°． 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，解题时要注意分析角的范围，属于基础题. 2．C 【分析】由几何体的三视图可得， ，再由斜二测画法求面积即可得解. 【详解】解：由正视图与题意知，由侧视图与题意知，所以平行四边形的面积为. 故选C. 【点睛】本题考查了三视图及斜二测画法，属基础题. 3．D 【分析】利用线面垂直的性质定理和判定定理，面面平行的性质定理进行推理，或通过模型分析即可逐一判断. 【详解】对于A，假若，则由平面，平面，可得，这与异面矛盾，故A错误； 对于B，如上图，在长方体中， 不妨设平面为平面，平面为平面，满足， 棱所在直线分别为，满足所有题设条件，但，即得不出，故B错误，； 对于C，D，如上图，由A项知，相交，设，过空间内一点，分别作，作， 因，故可确定平面， 因为，，所以，，且，故； 又因，，所以，，所以，，同理可得； 因为，，所以不重合，故有. 综上可知，C项错误，D项正确. 故选：D. 4．A 【分析】以、为基底，把、用基底表示后再进行数量积的运算. 【详解】解：依题意可得，不妨设D靠近B点， 所以 ； 故选：A. 5．D 【分析】连接交于点，连接，根据正四棱锥的性质结合已知求出. 进而证明平面，将点到平面的距离，转化为点到平面的距离.求出三棱锥的体积，即可根据等体积法得出答案. 【详解】如图，连接交于点，连接， 根据已知可得，平面. 又，， 在中，有. 由已知可得，平面，平面， 所以，平面. 又，所以点到平面的距离，即等于点到平面的距离. 设点到平面的距离为， 则. 又 ， ， 所以，， 所以，. 故选：D. 6．A 【分析】结合实际问题中的方向角抽象出图形，根据余弦定理表示出两船距离表达式，再由二次函数性质求得最小值可得结果. 【详解】假设经过x小时两船相距最近，甲、乙分别行至如图所示： 可知， 由余弦定理可得 ； 根据二次函数性质可知，当小时时，取得最小值，此时甲、乙两船相距最近． 故选：A． 7．A 【分析】由题知该圆台的轴截面为等腰梯形，进而得，圆台，圆锥的高均为，再计算体积即可. 【详解】解：根据题意，该圆台的轴截面为等腰梯形，如图， 所以即为圆台母线与底面所成角，即， 因为圆台的上、下底面直径分别为和 所以，过作，垂足为，则，， 所以，圆台，圆锥的高均为， 所以，该工业部件的体积为. 故选：A 8．A 【分析】先由向量共线定理求出，进而求出AD=3，再用余弦定理求出CD的长，求出. 【详解】在△ABC中，由余弦定理得： 设，，因为， 所以，即， 因为A、B、D三点共线， 所以， 解得：， 所以， 即 因为AB=5， 所以AD=3，BD=2 在三角形ACD中，由余弦定理得： ， 因为，所以 所以 故选：A 9．AB 【分析】对于AB，设，，且，计算可判断；对于CD，利用赋值法可判断. 【详解】对于A，设，，且， 所以， 所以 ，故A正确； 对于B，设，，且， 所以， 所以 ，故B正确； 对于C，取，，则， 所以，但，故C错误； 对于D，取，，则， 显然不成立，故D错误. 故选：AB. 10．BCD 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量的数量积的性质分别检验各选项即可判断． 【详解】解：对于A：因为，，， 所以， ， 因为为锐角，所以，解得， 当，即时，故且，故A错误； 对于B：不妨设、，设，所以，因为，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又，所以，故B正确； 对于C：因为，取的中点， 则， 所以为的中点，连接，因为是的中点，所以， 是的中点，所以，， 所以，故C正确； 对于D：平面内及一点满足，可得，所以在的平分线上， ，可得，所以在的平分线上， 则点是的内心，故D正确． 故选：BCD 11．ABD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A；利用面面平行的性质可判断B；由等体积法即可判断C;由线面垂直的性质可判断D. 【详解】对于选项A:连接,由正方体中可得面， 因为面,所以, 因为底面为正方形，所以, 因为面,所以面. 因为面，所以, 由正方体中可得面， 因为面,所以, 因为侧面为正方形，所以, 因为面,所以面. 因为面，所以, 又因为面，所以面， 正方体中易得, 故三棱锥为正三棱锥，故点在平面的射影为的中心，故选项A正确；    对于选项B:连接, 正方体中易得 所以四边形为平行四边形，所以 因为平面，而平面，所以平面. 正方体中易得 所以四边形为平行四边形，所以 因为平面，而平面，所以平面. 又因为面, 所以面平面 又因为面，所以直线平面，故选项B正确；      对于选项C: 设点到面的距离为, 因为点M在线段，且平面， 所以点到面的距离是定值. , 所以三棱锥的体积为定值.故选项C错误；    对于选项D: 因为面,且面平面， 所以面，面,所以. 故异面直线与BM所成角为.故选项D正确. 故选：ABD.    12． 【分析】根据已知条件求得圆锥底面半径与球半径的关系，进而根据几何体的特征得到球心到圆锥底面的距离与球半径的关系，进而可以得出体积较小者的高与体积较大者的高的比值. 【详解】设球半径为，则球的表面积为，则两圆锥的底面积为 所以圆锥的底面半径满足，即，由几何体的特征，设球心到圆锥底面的距离为，则有，所以，所以体积较小的圆锥的高为，体积较大的圆锥的高为，因此体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积以及球内接圆锥的表面积的应用问题，也考查了计算能力与空间能力. 13． 【分析】先由判断出点轨迹，再求出与平面所成角为，要使最大，则最小，结合点轨迹求出最小值即可. 【详解】连接，如图， 易知平面，平面，所以，又，，故平面，平面，所以， 即点在平面内的轨迹为以为直径的圆（除去点C）， 又平面，故与平面所成角即为， 又，故要使最大，则最小，将平面及点轨迹画出如下图： 设为中点，连接， 则，故最小为， 此时. 故答案为：. 14． 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，确定两点坐标，设设，用坐标法求得数量积，结合函数性质得最小值，并由数量积的坐标表示求得，然后由平方关系得正弦值． 【详解】以为坐标原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 又中，，从而， 所以，即， 设， 则， 所以时，取得最小值， 此时，则， ，又， 所以， 故答案为：； 15．(1) (2) 【分析】（1）由题意，，结合数量积的运算律即可列方程求解的值； （2）原题条件等价于对任意的，恒成立，对分类讨论即可得解. 【详解】（1）由题意，，因为， 所以， 解得； （2）因为，两边平方得， 即， 当时，对任意的，恒成立，故满足题意； 当时，对任意的恒成立， 此时当且仅当，解得，所以满足题意； 当时，对任意的恒成立， 此时当且仅当，解得，所以满足题意； 综上所述，所求为. 16．(1)；(2). 【详解】分析：（1）先将函数化成，求出的范围，再求出函数的值域；（2）由，求出的大小，再分别求出边长的值，代入三角形公式，算出面积． 详解：（1） ∵， ∴ 当，即时，取得最大值3； 当，即时，取得最小值，故的值域为. （2）设中角所对的边分别为 ∵ ∴， ∵，即， ∴，得. 又∵，即，，即， ∴ 由正弦定理得，解得 ∵，∴，∴ ∴. 点睛：本题主要考查了三角函数的性质，正弦定理，三角形的面积公式等，属于基础题．本题关键是将函数化成，从而求出值域． 17．（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）在平面内作于点，可得为四棱锥的高，易知，，可得，再根据重要不等式可得，进而求出体积的最大值即可； （2）首先依次对三个条件进行分析计算可得出：从①②③任选两个作为条件，都可以得到，设点到平面的距离为，与平面所成角为，由得，再作于点，连接，易知，然后可求出，最后求出的值. 【详解】（1）在平面内作于点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，即为四棱锥的高， 因为为半圆弧上一点，所以， 所以， 因为， ， 当且仅当时等号成立， 所以四棱锥的体积的最大值为； （2）由条件①得：， 即，所以， 又因为，所以，， 由条件②得：因为，平面， 所以为直线与所成角，且， 由条件③得：， 设，， 若选条件①②，则，，且， 所以， 若选条件①③，则，，且，所以， 若选条件②③，则，且，， 所以， 即从①②③任选两个作为条件，都可以得到， 下面求与平所成角的正弦值： 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 则由得：，所以， 作于点，连接， 则由平面知：是在平面内的射影，所以， ， ，，， 所以与平面所成角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：求解空间中的线面角的方法通常用几何法和向量法. ①利用几何法的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角. ②利用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 18．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将边化角，利用和角的正弦公式化简，即可求得角； （2）分别在和中由正弦定理求得，即得关于的三角函数方程，借助于三角函数的性质即可求得角C的大小. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 因 又，故得， 又，所以； （2）因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 则， 在中，由正弦定理得， 则， 即得，即 也即 因为，所以. 所以，或. ，或（舍去）. 所以. 19．（1）在上，理由见解析，证明见解析，（2） 【分析】（1）取的中点，连接，可证在线段上，且平面，从而得到平面平面. （2）设，可证，利用导数可求体积的最大值. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，取点为的三等分点且， 连接. 因为，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，故. 因为为等腰直角三角形，为的中点，故， 因为，， 故，故，同理， 因为是等边三角形，故为的中心，故， 故为三棱锥的外接球的球心， 故与重合即在线段上且. 因为在上，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）由题意得，解得， 因为为等腰直角三角形，为的中点，故， 而平面平面，平面平面， 平面，故平面，故为点到平面的距离. 在等腰直角三角形中，即到平面的距离. 设，到平面的距离为. 因为平面平面，平面平面，平面平面， 故，同理，因为方向相同，故， 同理， 所以，则的面积为. 又，所以到平面的距离为， 所以四面体的体积. 设，， 当时，；当时，. 所以在为增函数，在为减函数， 所以， 即四面体的体积的最大值为. 【点睛】本题考查空间中平行关系与垂直关系、外接球球心的位置以及三棱锥体积，注意确定外接球球心的位置可依据球心到各顶点距离相等来确定其位置，体积的最值应以导数为工具讨论函数的单调性后求得，本题综合度较高，为较难题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $