广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测试卷（四）

**基本信息** 高一下数学周测试卷聚焦复数、向量、立体几何、解三角形，通过概念辨析（如棱柱定义判断）、情境应用（海边拦截问题）、综合推理（向量与三角函数结合）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8|复数实部、向量垂直、棱柱概念、解三角形|第3题通过反例辨析几何体定义，强化数学抽象| |多选|3|向量函数性质、复数几何意义、三角形面积|第9题结合向量数量积与三角函数，考查逻辑推理| |填空|3|直观图还原、实际应用、向量分解|第13题以海岸拦截为情境，体现数学应用意识| |解答|6|向量模与夹角、复数方程、解三角形面积|第15题分3问递进考查向量运算，层次分明适配周测|

广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测试卷（四） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知复数z满足,则复数z的实部为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 3．下列四种说法中： ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 ②相等的线段在直观图中仍然相等 ③一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥 ④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．在△ABC中，若，则等于（ ） A． B． C． D． 5．已知菱形的边长为，且，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．二次方程的一个根是，且、，则的值为 A． B． C． D． 7．已知向量，，满足（   ） A．1 B． C．2 D． 8．一个三角形的水平直观图在平面斜坐标系中是边长为6的正三角形，那么它的原图形中，顶点对应的点B到x轴的距离是（    ）    A． B． C．6 D． 二、多选题 9．已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值为 B．函数的对称轴方程为 C．函数的单调递增区间为 D．函数的图象可由的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到 10．若复数，则（    ） A． B．z的实部与虚部之差为3 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 11．在中，D在线段上，且，，若，，则（   ） A． B．的面积为 C．为锐角三角形 D．的周长为 三、填空题 12．如图所示，用斜二测画法画出的水平放置的及边上中线的直观图是及，其中，试按此图判定原中的四条线段中最长的线段是__________；最短的线段是__________. 13．海边近似平直的海岸线上有两处码头、，且.现有一观光艇由出发，同时在处有一小艇出发向观光艇补充物资，经测量其速度为观光艇的2.13倍，在处成功拦截观光艇，完成补给.若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点距离海岸线的最远距离为______.（结果保留3位有效数字） 14．如图，在中，是BD上一点，且，则的值等于____________． 四、解答题 15．已知向量满足． (1)若向量的夹角为，求的值； (2)若，求的值； (3)若，求向量的夹角. 16．已知复数（是虚数单位），且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求的模； (2)若在复平面内所对应的点在第四象限，求实数的取值范围 17．已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A； (2)若，，求的面积. 19．已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C A B B AC AB 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据复数的模和复数的除法,即可得出,进而可得结果. 【详解】因为, 所以实部是. 故选:C. 2．D 【分析】利用向量垂直的坐标表示求解即得. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：D 3．A 【解析】根据棱柱、棱台、圆锥以及直观图的概念，逐项判断即可得解. 【详解】对于①，有两个面平行，其余各面都是四边形，且相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱；如图，该几何体满足①中条件，却不是棱柱；故①错误； 对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，例如正方形在直观图中是邻边不等的平行四边形，故②错误； 对于③，一个直角三角形绕其一直角边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，故③错误； 对于④，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故④错误. 故选：A. 【点睛】本题考查了棱柱、棱台、圆锥以及直观图的概念，解题关键是对于概念的准确理解，属于基础题. 4．B 【分析】根据正弦定理结合二倍角公式，即可得出答案. 【详解】 由正弦定理得，因此. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题. 5．C 【分析】利用平面向量的加法与减法化简得出，即可得解. 【详解】如下图所示： ，所以，. 故选：C. 6．A 【解析】由实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数可知，二次方程的另一个根为，利用韦达定理可求得实数、，进而可计算出的值. 【详解】由题意可知，二次方程的两个虚根分别为、， 由韦达定理得，可得，因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查利用实系数二次方程的虚根求参数，利用实系数二次方程的两个虚根互为共轭复数结合韦达定理求解较为简便，考查计算能力，属于基础题. 7．B 【分析】首先由条件转化为，再根据数量积公式求模. 【详解】由条件可知，， ，即， 由可知，， 所以. 故选：B 8．B 【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果. 【详解】   过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是. 故选：B. 9．AC 【分析】根据数量积的坐标表示、二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】解：∵，， ∴ ， 对于A：函数的最大值为，故A正确； 对于B：由，解得， 所以函数的对称轴方程为，故B不正确； 对于C：令，解得， ∴函数的单调递增区间为，故C正确； 对于D：的图象向右平移是个单位长度，得， 再向下平移个单位长度，得，故D不正确． 故选：AC． 10．AB 【分析】先计算出，从而可逐项判断正误. 【详解】，故，故A正确，C错误. 所以z的实部与虚部之差为3，故B正确. z在复平面内对应的点为，此点在第一象限，故D错误. 故选：AB. 11．ABD 【分析】A选项，设，则，由余弦定理列出方程，得到，故，由正弦定理得到；B选项，由三角形面积公式进行求解；C选项，利用同角三角函数关系得到，利用余弦定理得到；D选项，利用，得到D正确. 【详解】A选项，设，则， 由余弦定理得， 解得，负值舍去，故， 由正弦定理得， 其中， 故，解得，A正确； B选项，， ，B正确； C选项，由于，故为锐角， 又，故，故， 在中，由余弦定理得 ， 故， 因为，故在中，最大角为， 由余弦定理得， 故为钝角，C错误； D选项，的周长为，D正确. 故选：ABD 12． /CA /CB 【分析】根据斜二测画法的定义即可判断求解. 【详解】由斜二测法可知原图形是个直角三角形，其中角为直角， 则有， 故最长的线段为，最短的为. 13． 【分析】 根据给定条件，利用余弦定理求出，再借助函数模型求出最大值即得. 【详解】 设，则，从而，即， 设，则， 因此， 有二次函数、复合函数性质，将代入， 计算得， 所以拦截点距离海岸线的最远距离为. 故答案为：. 14． 【分析】根据，可得，根据，以及E、B、D三点共线，可求出． 【详解】因为，所以， 则， 因为E、B、D三点共线，所以，所以． 故答案为：． 15．(1)2； (2) (3)． 【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解； （2）由可得，求出即可； （3）由垂直关系的向量表示可得，结合数量积的定义计算即可求解. 【详解】（1）． （2）由，得， 所以． 故． （3）由题意得，即，得， 所以． 因为，所以， 即向量的夹角为． 16．(1) (2) 【分析】（1）求出，利用复数的乘法化简复数，根据复数的概念求出的值，再利用复数的模长公式可求得的值； （2）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）解：因为，则，所以，为纯虚数， 则，解得，则，故. （2）解：因为， 且复数在复平面内所对应的点在第四象限，则，解得. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列不等式求解即可； （2）利用实系数方程的根性质可得也是关于的实系数方程的一个复数根，结合韦达定理即可求得的值，从而得所求； （3）设复数，结合复数模长公式可得的值，由二次函数的性质从而求得的最小值. 【详解】（1）若是纯虚数，则，解得； （2）是关于的实系数方程的一个复数根， 则也是关于的实系数方程的一个复数根， 所以，即， 故； （3）若，则， 设复数，则 因为，所以，则，解得， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为. 18．(1) (2) 【分析】（1）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换得，再由三角形内角性质、诱导公式得，进而确定角的大小； （2）根据余弦定理求c，再应用三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）因为，结合正弦定理边角关系， 所以，整理得， 因为，所以，又，所以. （2）因为，所以， 即，解得， 所以的面积为. 19．(1) (2) 【分析】（1）先根据条件得出角，结合余弦定理计算得到边长； （2）由正弦定理结合角得到，由边角关系计算得到答案. 【详解】（1）由，得， 因为为三角形边长，所以，所以， 若，则，代入得，矛盾， 所以，方程两边同除以得，又，所以. 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以. （2）由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $