广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测试卷（五）

**基本信息** 试卷注重基础巩固与能力梯度提升，融入河流航行（第7题）、数学史（第16题韦达恒等式）等真实情境，培养数学眼光与应用意识，适配高一周测学情。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数、向量、函数最值、抛物线|第7题结合水流速度与航行路径，考查向量合成的实际应用| |多选题|3|复数命题、三角恒等式、函数单调性|第11题综合三角函数单调性与极值点，体现逻辑推理| |填空题|3|向量运算、函数零点、扇形面积|第14题扇形截取矩形，融合几何建模与三角函数最值| |解答题|5|向量应用、三角证明、三角函数图像、函数奇偶性|第16题以韦达恒等式为背景，设计证明与零点探究，培养数学表达与创新思维|

广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测试卷（五） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 3．设为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 5．抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．3 D．5 6．下列说法中正确的是（    ） A．； B．若、非零向量且，则； C．若且，则； D．若，则有且只有一个实数，使得. 7．一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东km/h.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少. （    ） A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h 8．已知函数的最小值为，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．下列命题正确的是（    ） A．方程在复数范围内的解为 B．在复平面内表示的图形是一个单位圆 C．若复数的共轭复数为，则为纯虚数 D．复数为实数，则或 10．下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 11．已知（，）在上是单调函数，对于任意的满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若函数（）在上单调递减，则 C．若，则的最小值为 D．若函数在上存在两个极值点，则 三、填空题 12．已知向量，且，则______． 13．已知函数在区间上 存在两个零点，则实数的最大值是___________． 14．如图，要在一块半径为6．圆心角为的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为_________，此时_________． 四、解答题 15．已知点、、． （1）求以线段、为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）求的面积． 16．世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式． 积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若函数，判断的零点个数，并说明理由． 17．已知函数部分图象如图所示，点P为与x轴的交点，点A，B分别为的图象的最低点与最高点， . （1）求的值； （2）若，求的取值范围. 18．在中，． (1)求的值． (2)当的面积最大时，求角的大小． 19．已知奇函数，其中. (1)求值； (2)若对任意上恒成立，求的取值范围； (3)记，证明：当时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D B B B A BD ABD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】利用两角和的余弦公式化简即可求解. 【详解】， 故选：C. 2．A 【分析】先化简题中所给复数再逐一判断各选项即可. 【详解】由题意知，， 对于A，的虚部为，故A正确； 对于B，的共轭复数为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，在复平面内对应的点在第四象限，故D错误. 故选：A 3．D 【分析】运用平面向量加法规则计算. 【详解】 依题意作上图，则 ； 故选：D. 4．D 【分析】根据题意令，然后代入所求的表达式，根据对勾函数的单调性即可求解, 【详解】因为，，令． 所以 ，因为函数在上单调递增，故， 即的最大值为， 故选：D． 5．B 【分析】联立直线与抛物线方程，利用韦达定理和向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意易知直线的斜率存在，设，， 因为抛物线的焦点为，所以不妨设直线的方程为， 联立，消去，得， 则，故，， 则， 所以. 故选：B. 6．B 【分析】注意到零向量的符号应当是，可知A错误；对于B：利用向量的模的性质和数量积运算可以证明，可得B正确；考虑到的情况，得到C错误；考虑到，，可知D错误. 【详解】左边是向量的加法，结果是零向量，用表示，故A错误； 由、非零向量且， 两边平方可得， 即，所以，故B正确； 当时也有且，故C错误； 若，，不存在实数，使得，故D错误． 故选：B． 7．B 【分析】根据平面向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】如图所示：   ，， ， 设合速度为，小货船航行速度为，水流的速度为， 则有所以有 ， 故选：B. 8．A 【分析】先由二倍角的余弦公式，辅助角公式化简，再由的图象相交的两个交点的最近距离为，结合的最小值为，求解即可. 【详解】由， 因为， 所以， 因为当时，有两个解， 所以相交时两个交点的最近距离为， 又的最小值为，所以， 则，即，解得. 故选：A. 9．BD 【分析】解方程可判断A选项；利用复数模的几何意义可判断B选项；取，可判断C选项；根据复数的概念求出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由得，解得，A错； 对于B选项，在复平面内表示的图形以原点为圆心，半径长为的圆，B对； 对于C选项，若，则，此时不为纯虚数，C错； 对于D选项，若为实数，则， 解得或，D对. 故选：BD. 10．ABD 【分析】利用三角恒等变换公式化简计算可得； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，， 所以，即， 又，所以，故C错误； 对于D， ，故D正确； 故选：ABD 11．BCD 【分析】根据函数的单调区间以及可知关于点对称且，可得，再由时，取得最小值可得，即A错误，由并利用整体代换可判断B正确；根据函数图象性质可得最小值应为半个周期，即C正确；利用余弦函数单调性以及极值点定义可判断D正确. 【详解】对于A选项，因为，所以， 可得的图象关于点对称， 又因为对任意，都有，所以当时，取得最小值. 因为在是单调函数，所以得，所以， 又因为函数在时取得最小值，所以由， 得，.解得，. 又，所以，故A错误； 对于B选项，易知，所以， 当时，，若函数（）在上单调递减， 则，解得，故B正确； 对于C选项，最小正周期为，当时， 则，分别为函数的最大、最小值，所以，故C正确； 对于D选项，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使在上存在两个极值点，要满足，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给信息并结合三角函数图象性质求得函数的解析式，再对其单调性、最值、极值点等进行判断即可. 12． 【分析】先求出，再求出|，即可求出，则可计算出答案. 【详解】因为向量，则， 且，， 可得， 可得，即. 故答案为：． 13． 【分析】令，可将函数化为，将问题转化为在上存在两个零点，结合二次函数的性质可构造不等式组求得结果. 【详解】设， ，， 可化为， 当时，，，； 则当时，存在两个零点， ，解得： ，则实数的最大值为. 故答案为：. 14． / 【分析】根据题意，得到矩形的面积为，矩形的面积为，进而化简，结合三角函数的性质，以及基本关系式和正切的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意知，一块半径为6，圆心角为的扇形铁皮， 可得且， 在直角中，，所以， 所以， 所以矩形的面积为， 因为为的中点，所以， 所以矩形的面积为， 所以两块矩形铁皮的面积之和为： ， 其中，且， 所以，当时，取得最大值， 此时，即，所以， 因为，所以，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上可得，当时，取得最大值. 故答案为：9； 【点睛】知识方法点拨：求解三角函数实际应用问题的处理策略： 1.若已知三角函数模型，根据给定的三角函数模型，利用三角函数的图象与性质解决问题，其关键在于准确理解自变量的意义，以及自变量与函数之间的对应关系； 2、把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，结合三角函数的图象与性质等有关知识解决问题，其关键在于正确理解题意，合理建模. 15．（1）和；（2）. 【分析】（1）设以线段、为邻边的平行四边形为，求出、的坐标，利用平面向量的模长公式可求得结果； （2）利用平面向量的数量积以及同角三角函数的平方关系可求得的值，然后利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）设以线段、为邻边的平行四边形为， 由已知可得，，则，， 因此，，； （2）由平面向量的数量积可得，则为锐角， 所以，， 因此，. 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)仅有个零点，理由见解析 【分析】（1）直接利用二倍角公式和和差化积公式计算即可. （2）利用积化和差公式和诱导公式即可证明. （3）易得，再证明当时，即可. 【详解】（1）根据二倍角公式与和差化积恒等式得： . （2）左边 ， 右边 . 由，得， 所以. （3）仅有一个零点. 显然，下面证明当时，. . 当时，， 因此， 即当时，. 所以仅有1个零点. 17．（1）；（2）当， 的值域为；当时， 的值域为 【分析】（1）设函数的周期是T，，由图象和周期性表示出A、B的坐标，根据向量的坐标运算和向量的数量积运算化简已知的式子，求出T后由周期公式求出ω； （2）由（1）和x的范围求出、ωx+φ范围，利用正弦函数的性质求出的取值范围． 【详解】（1）设最小正周期为T，，则， 所以 ，解得T＝4， 所以 （2）由（1）知， ，T＝4， 由 得 所以的增区间为， 减区间为 因为，所以， 当时， 所以在区间上为增函数，在区间为减函数， 所以当时， 易知为图象的一条对称轴. 所以当，即， 当，即时， 综上，当，的值域为；当时， 的值域为 【点睛】本题考查函数的图象解析式的确定，向量数量积的坐标运算，以及正弦函数的性质，第（2）问通过计算函数的对称轴即定出函数的单调区间，进而得出函数在所求区间的最值. 18．(1)8； (2)当的面积取最大值时，． 【分析】（1）由两边平方，根据数量积的性质和条件可求的值；（2）由面积公式表示出的面积，利用基本不等式求其最值即可． 【详解】（1）因为，所以，又， 所以． （2）由(1)， ， ， ， ， ， ．当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为，此时．又， 所以． 19．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）函数为奇函数，故，从而得到方程，化简得到，求出； （2）当时，，根据函数单调性，放缩得到对任意上恒成立，当时，可举出反例，从而得到结论； （3）变形得到，即证：当时，，构造，求导得到单调性和最值，得到结论. 【详解】（1）为奇函数，， 即， 化简得， 且，， ，； （2）由（1）知. 当时，， 又在上单调递增， ， ， 对任意上恒成立， 当时，令，则， 此时， 与条件矛盾. 综上，. （3）由条件可知， 待证不等式可作如下等价变形： ， 故即证：当时，. 构造函数，则. 在上单调递增， ，即. 当时，. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $