29.1圆的有关概念 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦圆的定义及表示、点与圆的位置关系、弦弧等概念、确定圆的条件、三角形外接圆和反证法，通过“逐点导讲练”流程，从描述性与集合性定义切入，结合直角三角尺四点共圆等例题，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以几何直观呈现概念（如点与圆位置关系示意图），通过反证法步骤培养推理意识，用表格对比等圆等弧性质强化模型意识。讲练结合的例题设计（如菱形中点共圆证明）帮助学生构建知识网络，既提升学生抽象能力与运算能力，也为教师提供系统教学素材，提高教学效率。

29.1 圆的有关概念 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 圆的定义及表示方法 点和圆的位置关系 圆的有关概念 确定圆的条件 三角形的外接圆 反证法 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 知1－讲 感悟新知 知识点 圆的定义及表示方法 1 圆的定义 描述性定义 如图，在一个平面内， 线段 OA绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P所形成的 图形叫作圆 . 其固定的端点 O叫做 圆心，线段 OA叫做半径 集合性定义 圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成平面内所有到定点 O的距离等于定长 r 的点的集合 感悟新知 知1－讲 圆的表示方法 以点 O 为圆心的圆，记作⊙ O，读作“圆 O” 拓展 同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心(三点不共线)构成的三角形是等腰三角形 感悟新知 知1－讲 特别提醒 1.确定一个圆需要“两个要素”：一是圆心，圆心定其位置；二是半径，半径定其大小. 2.圆是一条封闭的曲线，曲线是“圆周” , 不能认为是“圆面” . 3. “圆上的点”指圆周上的点. 知1－练 感悟新知 [母题 教材P115 例题]两个斜边相等的直角三角尺(∠DAB=45 °，∠ BAC=30 °，∠ ACB=∠ADB=90°)在同一平面内按如图29.1-1 所示的方式摆放. 求证：A，B，C，D四点在同一个圆上. 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：将证明几个点在同一个圆上转化为证明这几个点到某点(圆心)的距离相等“. 到定点的距离相等(数量关系)的点在同一个圆上(位置关系)”是证明多点共圆问题的常用方法. 知1－练 感悟新知 证明：如图29.1-1，取AB的中点O，连接OC，OD. ∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠ACB=∠ADB=90°， ∴OD,OC分别为Rt △ABD和Rt △ABC斜边上的中线. ∴OD=OA=OB，OC=OA=OB. ∴OA=OB=OC=OD. ∴A，B，C，D四点在同一个圆上. 知1－练 感悟新知 1-1. 如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，那么点E，F，G，H是否在同一个圆上？请说明理由. 知1－练 感悟新知 解：点E，F，G，H在同一个圆上.理由如下： 如图，连接OE，OF，OG，OH.∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，OA=OC，OB=OD. ∵E为AB的中点，∴OE=BC. 同理可得OF=AB，OG=AD，OH=12CD. ∴OE=OF=OG=OH. ∴点E，F，G，H在以点O为圆心，OE的长为半径的圆上. 知2－讲 感悟新知 知识点 点和圆的位置关系 2 点和圆的位置关系分三种(设⊙ O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d)： 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 图示 对应关系 点P在圆外 d>r 点P在圆上d=r 点P在圆内d<r 感悟新知 知2－讲 拓宽视野 类比圆的集合性定义可知，圆的内部可以看成到圆心的距离小于半径的点的集合，圆的外部可以看成到圆心的距离大于半径的点的集合． 感悟新知 知2－讲 解题策略 判断点和圆的位置关系的一般步骤： 1 .求出点到圆心的距离d和圆的半径r; 2 .比较d和r的大小； 3 .确定点和圆的位置关系. 感悟新知 特别提醒： (1)符号“⇔ ”读作“等价于”，它表示从符号“⇔” 的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端 . (2)点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径之间的数量关系互相对应：由位置关系可以确定数量关系，同样由数量关系可以确定位置关系 . 知2－讲 知2－练 感悟新知 如图 29.2-1，已知⊙ O 的半径 r= 5 cm，圆心 O 到直线 l 的距离 d=OD=3 cm，在直线 l 上有 P， Q， R 三点，且有PD=4 cm， QD=5 cm， RD=3 cm，那么 P， Q， R 三点与⊙ O 的位置关系各是怎样的？ 例2 知2－练 感悟新知 思路导引： 知2－练 感悟新知 解：如图 29.2-1，连接 OR， OP， OQ. ∵ PD=4 cm， OD=3 cm，且 OD ⊥ l，∴ OP=5 cm=r. ∴点 P 在⊙ O 上 . ∵ QD=5 cm， OD=3 cm，且OD⊥ l， ∴ OQ= cm﹥5 cm. ∴点 Q 在⊙ O 外 . ∵ RD=3 cm，且OD⊥ l， ∴ OR=3 cm<5 cm. ∴点 R 在⊙ O 内 . 知2－练 感悟新知 2-1. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 cm，BC=4 cm，CM是AB边上的中线.若以点C为圆心， cm为半径画圆，试判断点A，B，M与⊙C的位置关系. 知2－练 感悟新知 解：在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得AB==2 cm. ∵CM是AB边上的中线，∴CM=AB=5 cm. ∵AC=2 cm< cm，∴点A在⊙C内. ∵BC=4 cm> cm，∴点B在⊙C外. ∵MC= cm，∴点M在⊙C上. 感悟新知 知3－讲 知识点 圆的有关概念 3 定义 注意 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦 圆中有无数条弦，其中直 径是最长的弦，直径长是半径长的2倍 直径 经过圆心的弦叫作直径 感悟新知 知3－讲 弧、 半圆、 劣弧、 优弧 (1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧； (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； (3)小于半圆的弧叫做劣弧； (4)大于半圆的弧叫做优弧 弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧 感悟新知 知3－讲 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆. 容易看出：同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等 前提 22 知3－讲 感悟新知 图示：(如图29.1-3) 知3－讲 感悟新知 特别提醒 1. 弦与直径的关系： 直径是过圆心最长的弦，但弦不一定是直径 . 2. 弧与半圆的关系： 半圆是弧，但弧不一定是半圆 . 3. 弦与弧的关系：每条弧对一条弦，而每条弦对的弧有两条 . 感悟新知 知3－练 如图 29.1-4，在⊙ O中， _________是弦， _____是直径，_____________是优弧， ____________是劣弧，半圆有_____个. 例3 AB， BC AB 2 ⌒ CAB， ABC ⌒ AC， BC ⌒ ⌒ 知3－练 感悟新知 解题秘方：紧扣圆的相关概念进行识别，理解直径和弦的关系，注意区分劣弧和优弧 . 解： 观察图形，可知 AB， BC 是弦，其中 AB 是直径；大于半圆的弧是优弧，有CAB， ABC，小于半圆的弧是劣弧，有AC， BC；直径 AB 将该圆分成 2个半圆 . ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 知3－练 感悟新知 3-1. 如图， 在⊙O中， 线段______________是⊙O的半径；有_____条弦， 其中最长的弦是_____；________是劣弧. OA，OB，OC 3 AC 感悟新知 知3－练 下列命题中是真命题的有( ) ①弦是直径；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的圆是等圆；⑤直径是圆中最长的弦；⑥半圆所对的弦是直径. A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 例4 知3－练 感悟新知 解题秘方：③是易错点，判断两弧是否是等弧时，首先要看两弧所在的圆是否为同圆或等圆，再看弧的长度是否相等. 知3－练 感悟新知 解： 答案：A 序号 判断理由 结论 ① 弦不一定过圆心，所以弦不一定是直径 假命题 ② 当弦是直径时，它将圆分成两个半圆 假命题 ③ 长度相等的弧若不能重合，就不是等弧 假命题 ④ 半径相等的圆大小一样，能完全重合，是等圆 真命题 ⑤ 圆中直径的两个端点间的距离最长 真命题 ⑥ 直径将圆分成两个半圆，所以半圆所对的弦是直径 真命题 知3－练 感悟新知 4-1. 下列说法：①直径是弦；②经过圆心的弦是直径；③ 半径相等的两个半圆是等弧；④ 直径相等的两个圆是等圆；⑤弧是半圆.其中正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 D 知4－讲 感悟新知 知识点 确定圆的条件 4 1.过已知点作圆 条件 作法 作圆的个数 图示 过一点 A 作圆 以点A 以外的任意一点为圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆 无数个 感悟新知 知4－讲 过两点 A， B 作圆 连接AB，作线段AB的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆 无数个 过不在同 一条直线 上的三点 A， B，C作圆 连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE 和FG 相交于点O，以O为圆心，以OA(或OB，OC)的长为半径作圆，⊙O 就是所求作的圆 一个 感悟新知 知4－讲 方法点拨 经过不在同一条直线上的任意四点不一定能作出圆，要想过四点作圆，应先作出经过不在同一条直线上的三点的圆，如果第四个点到圆心的距离等于半径，则第四个点在圆上；否则，第四个点不在圆上. 感悟新知 2. 确定一个圆的条件 (1)已知圆心、半径，可以确定一个圆 . (2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆 . 知4－讲 “确定”是“有且只有”的意思. 感悟新知 3. 确定一个圆的圆心的方法作出此圆任意两条弦 ( 不平行 ) 的垂直平分线，交点即为圆心 . 知4－讲 感悟新知 知4－练 如图 29.1－5， 点 A， B， C 在同一条直线上， 点 D在直线 AB 外，则经过其中的任意三个点，最多可画出圆的个数是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例5 知4－练 感悟新知 解题秘方：紧扣两点：(1)同一直线上的三个点不能作圆；(2)四个点中任取两个点的组数． 解： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，点 A， B， C， D均在直线 l 上，则在这四个点中任取三个点都不能确定一个圆，所以可从这四个点中任取两个点，再加上点 P 即可确定一个圆．所以能确定圆的三个点分别是： P， A， B； P， A， C； P， A， D； P， B， C；P， B， D； P， C， D，共 6 组．所以最多可画出圆的个数为 6 ． 知4－练 感悟新知 答案： D 知4－练 感悟新知 5-1.[期中·嘉兴秀洲区]过同一平面内的A，B，C 三点作圆，可以作出圆的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.0 或1 D 知4－练 感悟新知 5-2. 坐标系内的三个点A(－1，－2)，B(1，2)，C(3，6)，______确定一个圆(填“能”或“不能”). 不能 感悟新知 知4－练 如图29.1-6，要把残破的圆片复原完整，已知弧上的三点A，B，C，试确定经过A，B，C三点的圆的圆心O. 例6 知4－练 感悟新知 解题秘方：根据任意两条不平行的弦的垂直平分线的交点即为圆心解题即可. 知4－练 感悟新知 解：如图29.1-6，连接AB，AC，分别作线段AB，AC的垂直平分线， 交点为O，则点O即为所求的经过A，B，C三点的圆的圆心. 知4－练 感悟新知 6-1. 如图，在平面直角坐标系中，一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知点A 的坐标是(-3，5)，则该圆弧所在圆的圆心P 的坐标是_______. (-1,0) 感悟新知 知5－讲 知识点 三角形的外接圆 5 1. 三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 . 感悟新知 知5－讲 2. 三角形的外心  (1)定义： 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心 . (2)性质： 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形外接圆的半径. 知5－讲 感悟新知 特别解读 1. 一个三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形,其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合，即这些三角形的外心都是这个圆的圆心. 2. 要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指圆在三角形外. 感悟新知 知5－讲 3. 三角形外接圆的作法 步骤 作法 图示 (1)定圆心 如图， 作 AC， BC 的垂直平分线交于点 O， 则点 O 即为圆心 (2)定半径 ， 画圆 如图，以点O为圆心，以点O与点A(或点B或点C)的距离为半径作圆，则⊙ O 即为△ ABC的外接圆 . 作图题中，这句话不可缺少 感悟新知 知5－讲 4. 三角形外心的位置 三角形类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 外心位置 三角形的内部 直角三角形的斜边中点处 三角形的外部 图示 感悟新知 知5－练 如图29.1-7，在△ABC中，AB=AC=13 cm，BC=10 cm，求△ABC的外接圆半径的长度. 例7 思路导引： 知5－练 感悟新知 解：如图29.1-8，作AD⊥BC于点D， ∵在△ABC中，AB=AC=13 cm， ∴AD所在直线即为BC的垂直平分线. 作AB的垂直平分线l 交AD于点O，以点O为圆心， OA长为半径作⊙O，⊙O即为△ABC的外接圆. 连接OB，设OA=OB=R cm. 知5－练 感悟新知 由作图可知，BD= BC= ×10=5(cm). 在Rt △ABD中，由勾股定理，得AD= = = 12(cm)，∴OD=AD-OA=(12-R) cm. 在Rt △OBD中，由勾股定理，得OD2+BD2=OB2， 即(12-R)2+52=R2，解得R= . ∴△ABC的外接圆半径的长度为cm. 知5－练 感悟新知 7-1.(1)如图，已知△ ABC，用尺规作图.画出△ ABC 的外接圆⊙ O(不写画法，保留作图痕迹)； 解：如图，⊙O即为所作. 知5－练 感悟新知 (2)若△ ABC 是直角三角形，且∠ C=90 °，AB=5，则△ ABC 的外接圆的半径为______ . 感悟新知 知6－讲 知识点 反证法 6 1. 反证法：先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 这种方法叫作反证法. 当一个命题从正面不容易 证明时，常常采用反证法 感悟新知 知6－讲 2. 用反证法证明命题的一般步骤 (1)否定结论：假设命题的结论不成立； (2)推出矛盾：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3)肯定结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确. 常见的有三种类型：与定义、基本事实、定理、性质、推论相矛盾; 与已知条件相矛盾;自相矛盾(与假设相矛盾) 知6－讲 感悟新知 归纳总结 反证法中常用的结论词与反设词： 结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 最多有一个 至少有两个 至少有n 个 最多有(n-1)个 最多有n 个 至少有(n+1)个 都是 不都是 一定是 不一定是 感悟新知 知6－练 利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角. 例8 解题秘方：(1)假设否定的是命题的结论，不是已知条件；(2)在推理论证时，要把假设作为新增条件参加论证. 知6－练 感悟新知 证明：假设△ABC中有两个角是钝角，不妨设∠A，∠B为钝角， 则∠A+ ∠B>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立. 因此，原命题成立. 知6－练 感悟新知 8-1. 用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应假设：_____________________ ____ 三角形的三个内角都大于 60° 圆 点在圆外 点在圆上 点在圆内 圆 点与圆的位置关系 确定圆的条件 三角形的外接圆 有关概念 弦 弧 等圆(弧) 定义 表示方法 课堂小结 题型 利用圆的半径比较线段的大小 1 如图 29.1-9，点 A， D， M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、四边形 DEOF、四边形 HMNO 均为矩形，设 BC=a，EF=b， NH=c，则下列各式中正确的是( ) A. a ﹥ b ﹥ c B. a = b = c C. c ﹥ a ﹥ b D. b ﹥ c ﹥ a 例9 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 解： 如图29.1-9，连接OA， OD， OM. ∵ 四边形 ABOC、 四边形 DEOF、 四边形 HMNO 均为矩形，∴ OA=BC=a， OD=EF=b， OM=NH=c. ∵ 点A， D， M都在半圆O上， ∴ OA=OD=OM. ∴ a=b=c. 答案： B 综合应用创新 方法点拨 巧用圆的半径的性质比较线段的大小的方法： 本题巧妙地运用矩形的两条对角线相等，将没有任何关联的三条线段转化为圆的三条半径，再根据“同圆的所有半径都相等”，比较出了线段的大小关系. 综合应用创新 题型 利用同圆的半径相等求角的度数 2 如图 29.1-10，AB 为 ⊙ O 的直径，CD 为⊙ O 的 弦， AB， CD 的延长线交于点 E，已知 AB=2DE， ∠ E=18°，求∠ AOC 的度数 . 例10 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 解： 如图 29.1-10， 连接 OD. ∵ AB 为⊙ O 的直径， OD 为⊙ O 的半径， ∴ AB=2OD. 又∵ AB=2DE， ∴ OD=DE. ∴∠ DOE= ∠ E=18°. ∴∠ ODC= ∠ DOE+ ∠ E=36°. ∵ OC=OD， ∴∠ C= ∠ ODC=36°. ∴∠ AOC= ∠ C+ ∠ E=36°+18°=54°. 综合应用创新 解法提醒 连接圆心和圆周上 任 意 一 点 可 得 到圆的半径，同圆或等圆中的所有半径都相等，所以以圆上任意两点和圆心(三个点不在同一直线上)为顶点的三角形是等腰三角形.因此，连接半径构造等腰三角形是圆中求角的度数的常用方法. 综合应用创新 题型 利用同圆的半径相等证明线段相等 3 如图 29.1-11， AB， CD 为⊙ O 中的两条直径， 点 E， F 在直径 CD 上，且 CE=DF. 求证： AF=BE. 例11 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 证法 1： ∵ OC=OD， CE=DF， ∴ OE=OF. 在△ AOF 和△ BOE 中， ∴△ AOF ≌ △ BOE(SAS) . ∴ AF=BE. 证法 2： 如图 29.1-11，连接 AE， BF. ∵ OC=OD， CE=DF， ∴ OE=OF. 又∵ OA=OB， ∴ 四边形 AEBF 是平行四边形 .∴ AF=BE. 综合应用创新 要点解读 在同一个圆中，所有半径都相等，为证明三角形全等、判定平行四边形提供了条件. 综合应用创新 易错点 忽视点和圆的位置关系而漏解 点 M 到⊙ O 的最小距离为 3 cm，最大距离为 19 cm，则⊙ O 的半径为____________ . 8 cm或11 cm 例12 综合应用创新 错解： 11 cm 正解：当点M在⊙ O内时，⊙ O的半径为 (19+3) ÷ 2=11(cm)；当点M在⊙ O外时， ⊙ O的半径为(19 － 3) ÷ 2=8(cm) . 综上， ⊙ O的半径为8 cm或11 cm. 综合应用创新 诊误区： 易忽视点M与⊙ O的位置关系有在圆内和圆外两种情况而漏解. 综合应用创新 ， $