1.2.2 数轴 （第4课时）学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦数轴概念及应用，通过智能手环海拔、GPS定位等生活情境导入，引导学生从具体实例抽象出数轴模型，衔接有理数知识，搭建数形结合的学习支架。 资料以情境化探究为主线，设合作辨析、错误诊所等环节深化理解，分层达标检测适配不同学情，融入数学文化提升素养，培养学生数学抽象、几何直观与逻辑推理能力，助力自主学习与中考衔接。

1.2.2 数轴（第4课时）导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册 班级：________ 姓名：________ 日期：________ 一、学习目标 【知识技能】 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能正确画出数轴 2. 会用数轴上的点表示有理数，理解'正半轴''负半轴'的概念 3. 理解数轴上的点与有理数的一一对应关系 4. 能利用数轴比较有理数的大小 【核心素养】 1. 数学抽象：从温度计、GPS坐标等具体情境中抽象出数轴模型，理解数轴的本质 2. 几何直观：借助数轴直观理解正负数的意义、有理数的大小关系 3. 逻辑推理：利用数轴上点的位置关系进行有理数大小比较的推理 二、学习重难点 【重点】 数轴的三要素及用数轴上的点表示有理数 【难点】 理解数轴上的点与有理数的一一对应关系；利用数轴比较有理数的大小 三、情境导入 情境1：智能手环的海拔测量 小明戴着智能手环徒步登山，手环显示当前位置海拔为米（珠峰峰顶8848.86米）。他想知道：与自己出发点（海平面，记作0米）相比，高出了多少米？ 思考：如何在一条直线上表示这些高度？ 情境2：GPS定位系统 现代智能手机的GPS定位系统，可以通过经纬度坐标确定位置。如果我们以学校为原点，向东为正方向建立坐标系，那么图书馆在东边200米记作+200米，体育馆在西边150米记作-150米。 思考：如何在一条直线上直观表示这些位置关系？ 情境3：股票K线图与基金收益 某基金近一周的收益情况如下（以周一收盘价为基准0）：周二+2.3%、周三+1.5%、周四-0.8%、周五+3.2%。基金App中的K线图可以帮助投资者直观看到涨跌情况。 思考：K线图是用什么数学模型来表示涨跌的？ 四、合作探究 探究点1：数轴的概念与三要素 观察下面三条线，哪些可以称为数轴？为什么？ ① 一条标有箭头、没有刻度的直线 ② 一条有原点、但没有标出正方向的直线 ③ 一条有原点和正方向、但单位长度不统一的直线 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可！ 总结： ________ 探究点2：在数轴上表示有理数 画出数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点：、-3、0、-、+4。 思考： ① 正数在原点的哪一侧？负数呢？ ② 两个负数，哪个离原点更远？哪个更小？ 探究点3：数轴上的点与有理数的对应关系（含正半轴、负半轴） 2024新版教材新增概念： 【正半轴】正方向一侧的部分（不包括原点），正半轴上的数是正数 【负半轴】另一侧的部分（不包括原点），负半轴上的数是负数 【对应关系】数轴上的每一个点都表示一个有理数；每一个有理数都可以在数轴上找到唯一的对应点。 重要结论：数轴上的点与有理数是一一对应的关系！ 探究： ① 最大的负整数是多少？最小的负整数呢？ ② 有没有最大的正数？有没有最小的正数？ ③ 数轴上所有负数都在原点的______侧，所有正数都在原点的______侧。 ________ 五、典型例题 例1 下列图形中，哪些是数轴？为什么？ （图A：一条有箭头但没有刻度的直线） （图B：一条标有原点、单位长度，但箭头方向向左的直线） （图C：一条标有原点和正方向，但相邻刻度间距离不相等的直线） （图D：一条标准的数轴，原点在中间，正方向向右，单位长度统一） 思路：数轴必须同时具备三要素：原点、正方向、单位长度。 解： ________ ________ 例2 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： +3、-4、、-、0、-1.5 思路：先画数轴，再按大小在数轴上找对应点，注意单位长度要统一。 解： ________ ________ 用“＜”连接这些数： ________ 例3 已知数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足|a-2| + |b+3| = 0。求a、b的值，并在数轴上标出A、B两点。 思路：利用绝对值的非负性，几个非负数之和为0，则每个绝对值都为0。 解： ________ ________ 变式训练 1. 在数轴上，与原点距离为5个单位长度的点表示的数是______。 2. 已知数轴上点M表示m，且|m| = 7，|n| = 3，m > n，求m + n的值。 ________ 六、错误诊所 下面的说法对吗？请将错误的说法改正过来。 1. 数轴就是一条有箭头的直线。 答：______（判断）；改正：______ 2. 数轴上原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数。 答：______（判断）；改正：______ 3. 单位长度可以任意选取，只要同一数轴上的单位长度保持一致即可。 答：______（判断）；改正：______ 4. 在数轴上，表示-5的点比表示-3的点更靠右，所以-5 > -3。 答：______（判断）；改正：______ 七、达标检测 A组 基础达标 1. 下列说法正确的是（ ） A. 数轴上的点只能表示整数 B. 任何有理数都可以用数轴上的点表示 C. 数轴上原点右侧的点表示负数 D. 数轴没有正方向也可以 2. 数轴的三要素是（ ） A. 原点、正方向、长度 B. 原点、正方向、单位长度 C. 正数、负数、0 D. 原点、单位长度、长度 3. 在数轴上，表示-2的点在（ ） A. 原点的右侧 B. 原点的左侧 C. 原点上 D. 无法确定 4. 在数轴上，原点左侧且到原点距离为3的点表示的数是______。 5. 画出一条数轴，标出原点、正方向，并表示出-2、+1.5、0、-。 ________ B组 能力提升 6. 已知|a| = 4，|b| = 1，且a < b，则a =______，b =______。 7. 在数轴上，将点A表示的数+3向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，则点A最终表示的数是______。 8. 比较大小：- ______ -（填“＞”或“＜”） 9. 已知数轴上点P表示的数为x，点Q表示的数为-x（P在Q右侧）。若P、Q两点距离为6，则x =______。 C组 拓展探究 10. 阅读材料：一般地，如果数轴上两点A、B分别表示数a和b，那么A、B两点间的距离为|a-b|。（1）数轴上表示3和-5的两点之间的距离是______；（2）若数轴上点M表示数m，且|m+2| = 3，则m =______；（3）数轴上点A表示-3，点B向左移动3个单位后与点A重合，则点B表示的数是______。 11. 某快递员从快递站（记作0）出发，先向东走了150米到A点，又向西走了280米到B点，再向东走了100米到C点。用数轴模型求C点与快递站的距离，并说明C点在快递站的什么方向。 ________ ________ 八、中考链接 1. （2024·北京中考改编）有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论正确的是（ ）（假设数轴上a在原点的左侧，b在原点的右侧） A. a > b B. |a| < b C. a + b > 0 D. b - a > 0 2. （2024·浙江中考改编）数学课上，老师让同学们用数轴上的点表示有理数。小明画了一条数轴，却不小心把墨水洒在了数轴上（如图所示）。已知A点表示-3，B点与A点的距离为4，且B点在A点的右侧。则B点表示的数是______；原点可能的位置是______。 ________ 九、数学文化长廊 数轴的诞生：从温度计到坐标系的演变 你知道吗？数轴的发明与温度计有着密切的关系。 【温度计的启发】 早在17世纪初，意大利科学家伽利略的学生埃万杰利斯塔·托里拆利发明了温度计。他将一根带有刻度的玻璃管倒置在水中，管内的水银柱会根据温度上升或下降。人们在记录温度时发现，可以用一条直线上的点来表示温度的高低：零上温度标在某个点之上，零下温度标在某个点之下。 【笛卡尔的贡献】 1637年，法国数学家勒内·笛卡尔（René Descartes，1596-1650）在其著作《几何学》中，首次系统地提出了用互相垂直的两条数线组成坐标系的构想，这就是著名的平面直角坐标系。传说笛卡尔躺在床上观察苍蝇在天花板上的位置时，灵感迸发，想出了用两个数来确定位置的方法。 【数轴的意义】 数轴是坐标系的基础，它将"数"与"形"完美地结合在一起。利用数轴，我们可以直观地理解正负数的意义、有理数的大小关系，以及绝对值、相反数等重要概念。可以说，没有数轴，就没有现代数学的辉煌！ 思考：你还能举出哪些利用数轴原型原理的生活实例？ 十、课堂小结 本节课你学到了什么？ 1. 数轴的三要素：______、______、______。 ________ 2. 正半轴指______侧（不包括原点），负半轴指______侧。 ________ 3. 数轴上右边的数______左边的数（填“＞”或“＜”）。 ________ 4. 两个负数比较大小：______大的反而______。 ________ 十一、课后反思 1. 本节课我学会了________________________________________________ ________ 2. 我还不明白的地方是____________________________________________ ________ 3. 我给自己今天的课堂表现打______分（满分10分），原因是_____________ ________ 参考答案 合作探究 探究1. 只有图D是数轴。图A缺少原点和单位长度；图B的正方向不明确（向左的箭头不符合常规）；图C的单位长度不统一。 探究2. ① 正数在原点右侧，负数在原点左侧。② 两个负数中，离原点越远的数越小。例如-3比-1离原点更远，所以-3 < -1。 探究3. ① 最大的负整数是-1，最小的负整数没有（负整数可以无限小）。② 没有最大的正数，也没有最小的正数（正数可以无限接近0）。③ 数轴上所有负数都在原点的左侧，所有正数都在原点的右侧。 典型例题 例1. 只有图D是数轴。数轴必须同时具备三要素：原点、正方向、单位长度。图A缺少原点和单位长度；图B的正方向不符合常规习惯；图C的单位长度不统一。 例2. 数轴上从左到右：-4 < -2.5 < -0.5 < 0 < 1.5 < 3（即- < - < < 0 < +1.5 < +3） 例3. 由|a-2| + |b+3| = 0，得a-2 = 0，b+3 = 0，所以a = 2，b = -3。在数轴上，A点在原点右侧2个单位处，B点在原点左侧3个单位处。 变式1. 与原点距离为5个单位长度的点表示的数是±5，即5或-5 变式2. 由|m| = 7得m = ±7，由|n| = 3得n = ±3。因为m > n：若m = 7，则n = 3或n = -3均满足m > n；若m = -7，则n = -3时不满足m > n。所以m = 7，n = 3时m + n = 10；m = 7，n = -3时m + n = 4。 错误诊所 1. 错误；改正：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。（只画箭头没有原点和单位长度，不能称为数轴） 2. 正确。 3. 正确；但需要注意：单位长度一旦确定，在同一数轴上必须保持一致。 4. 错误；改正：在数轴上，表示-5的点比表示-3的点更靠左，所以-5 < -3。（数轴上左边的数小于右边的数） 达标检测 A1. B A2. B A3. B A4. -3 A5. （作图题）数轴从左到右依次表示：-0.75、0、-2、1.5 B6. a = -4，b = -1 B7. +3 + 5 - 2 = 6 B8. -3/7 > -4/9（因为|−3/7| = 3/7 = 27/63，|−4/9| = 4/9 = 28/63，27/63 < 28/63，所以-3/7 > -4/9） B9. x = 3（因为P表示x，Q表示-x，且P在Q右侧，所以x > -x，即x > 0；距离|x-(-x)| = 2|x| = 6，x = 3） C10. （1）|3-(-5)| = 8；（2）|m+2| = 3，所以m+2 = ±3，m = 1或m = -5；（3）设B点表示b，向左移动3个单位后变为b-3，与A点重合：b-3 = -3，b = 0 C11. 以快递站为原点，向东为正方向建立数轴。A点：+150，B点：+150-280=-130，C点：-130+100=-30。C点表示-30，即C点在快递站西侧30米处。 中考链接 1. B 2. B点表示1；原点可能在0.5和-1之间的任意位置（只要满足A点在原点左侧3个单位，B点在A点右侧4个单位即可） 课堂小结 1. 原点、正方向、单位长度 2. 右，左 3. > 4. 绝对值，小 学科网（北京）股份有限公司 $