精品解析：2026年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第七十中学中考第三次阶段测试数学试题

乌鲁木齐市第70中学2025-2026学年九年级第三次模考数学试卷 时长∶ 120分钟 总分∶ 150分 一、选择题(本大题共9小题，每小题4分，共36分) 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 2. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意； B．图案成轴对称，故符合题意； C．图案不成轴对称，故不符合题意； D．图案不成轴对称，故不符合题意； 故你：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，根据垂直的定义得出，根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 6. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法．下述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【详解】解：由作图可知，在和中， ， ， ∴． 7. 已知点在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数所在的象限即可判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二，四象限， ， ， 故选：A． 8. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列出分式方程即可． 【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据， 由题意得， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 9. 如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示： 根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形， ， 直线与轴交于点， 当时，，即， 与双曲线分别相交于点， 联立，即，则，由，解得， ，即，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键． 二．填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 10. 若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于零列出不等式解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 11. 如图，中，，点E在的延长线上，，若平分，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和，则与的大小关系是____________（填，或）． 测试次数 1 2 3 4 5 甲 5 10 9 3 8 乙 8 6 8 6 7 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算甲、乙两名选手成绩的平均数，再根据方差公式计算两名选手成绩的方差，比较方差大小即可得到结果． 【详解】解：甲的平均数为， 甲的方差为； 乙的平均数为， 乙的方差为； ， ． 14. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_________． 【答案】4或12 【解析】 【分析】先在含角的中求出进而得再利用对称性质与的条件,分点在上方和下方两种情况,通过角度推导判定等腰或等边三角形,最后利用直角三角形边角关系求出. 【详解】解：四边形是矩形,,, ,， 在中, , . 点是的中点, . 点关于直线的对称点为, ,且直线垂直平分线段. 延长交于点. , . , . 当点在上方时, 点、、共线,且点在、之间, . , 是等腰三角形, . 设与交于点. 垂直平分， . ,, . , , 是等腰三角形,. , 为的中点. 在中,,, , . 当点在下方时, 点在、之间, . , 是等边三角形. 是对称轴, . 在中,,, , . , , 即. 在中,,, , . 综上所述,的长为或12. 15. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故答案为：． 三、解答题(本大题共8小题，共90分) 16. 计算、化简求值： （1）； （2），其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 当时，原式． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定出不等式组的解集．正确求出每一个不等式解集是基础，熟知确定不等式组解集的原则是解答此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 18. 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是：床铺整理，：衣物清洗，：手工制作、：简单烹饪、：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，请回答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数； （2）若该校共有名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数； （3）小兰同学从三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率． 【答案】（1）补充条形统计图见解析， （2）人 （3） 【解析】 【分析】（）根据选择“”的人数及比例求出总人数，总人数乘以占的比例求得“”的人数，总人数减去其他类别的人数求得“”的人数，据此即可将条形统计图补充完整，再用乘以“”占的比例即为“手工制作”对应的扇形圆心角度数； （）利用样本估计总体思想求解； （）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，利用样本估计总体，利用画树状图或者列表法求概率，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：人， ∴“”的人数人， ∴“”的人数人， 补充条形统计图如图： “手工制作”对应的扇形圆心角度数； 【小问2详解】 解：， 答：估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的情况，其中两位同学选择相同课程的情况有种， ∴甲乙两位同学选择相同课程的概率为． 19. 如图，矩形中，过对角线 的中点O作的垂线，分别交于点E，F． （1）证明∶； （2）连接，证明∶四边形是菱形． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， ． ． 为中点， ． (对顶角)， ()． （2）证明：由（1）知，． ∴． 又，且， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）突破口是矩形对边平行的性质和O是中点的条件，因为矩形中，所以可得内错角相等；又因为O是中点，所以，再结合对顶角相等，用或判定三角形全等． （2）第一步先由（1）的全等结论得到对应边相等，所以可推出四边形是平行四边形，第二步结合已知垂直平分的条件，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，或者根据“垂直平分线上的点到线段两端距离相等”得到邻边相等，即可完成证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】 20. 2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）． 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，， 计算结果 交流展示 【答案】的长约为的长约为． 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，首先根据的三角函数值求出，，然后得到四边形是矩形，进而得到，然后在中利用的三角函数值求出，进而求解即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∴． 由题意得，在中，． ∴． ∴． 由题意得，，四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵． ∴． ∴， ∴． 答：的长约为的长约为． 【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． 21. 某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示． （1）求关于的函数表达式： （2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 【答案】（1） （2）销售价格为元时，利润最大为 【解析】 【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解； （2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，， 进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解． 【小问1详解】 当时，设关于的函数表达式为，将点代入得， ∴ 解得： ∴， 当时，设关于的函数表达式为，将点代入得， 解得： ∴， 【小问2详解】 设利润为 当时， ∵在范围内，随着的增大而增大， 当时，取得最大值为； 当时， ∴当时，w取得最大值为 ， 当销售价格为元时，利润最大为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 22. 如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点C作的平行线交的延长线于点E，交于点 F，连接，． （1）求证∶为的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴，． ∵是中线， ∴， ∴， ． 又， ， ∴四边形是平行四边形， ． ∵，是等腰三角形，圆心在的垂直平分线上， ∴． ， 又 是 的半径， ∴为 的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明得到，进而得四边形是平行四边形，所以平行，连接，因为，圆心在的垂直平分线上，可得．由此可推出垂直，符合切线判定条件． （2）连接，，连接并延长交于，过作，交的延长线于，过作，结合垂径定理求出、的长度，进而求出、的长度；再根据平行四边形性质得到长度，利用相似三角形求出、的长度；再根据，平行线间的距离处处相等，得到，进而求出的长度．最后根据线段关系求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，连接并延长交于，过作，交的延长线于，过作， 由（1）知 ， ． 在中，， ， ． 在中，， ，，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴， 在中，， 是切线， ， 又， ， ， ， ． ， ． ，即 ， 又，代入得： ，解得， 在中，， ， ． 在中，由勾股定理： ． 23. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的关系． 【问题探究】 （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： ；数量关系： ； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1）， （2）成立，不成立，证明如下： 如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）延长交于点G，根据，得出，，证明，得出，根据三角形内角和求出，进而求解即可； （2）延长交于点G，证明，得出，，根据三角形内角和求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 由（2）可知，， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 由（2）可知，， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上可知，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第70中学2025-2026学年九年级第三次模考数学试卷 时长∶ 120分钟 总分∶ 150分 一、选择题(本大题共9小题，每小题4分，共36分) 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法．下述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 7. 已知点在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 8. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 二．填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 10. 若式子有意义，则的取值范围是______． 11. 如图，中，，点E在的延长线上，，若平分，则__________． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____． 13. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和，则与的大小关系是____________（填，或）． 测试次数 1 2 3 4 5 甲 5 10 9 3 8 乙 8 6 8 6 7 14. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_________． 15. 如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是________． 三、解答题(本大题共8小题，共90分) 16. 计算、化简求值： （1）； （2），其中． 17. 解不等式组： 18. 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是：床铺整理，：衣物清洗，：手工制作、：简单烹饪、：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据图中信息，请回答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数； （2）若该校共有名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数； （3）小兰同学从三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率． 19. 如图，矩形中，过对角线 的中点O作的垂线，分别交于点E，F． （1）证明∶； （2）连接，证明∶四边形是菱形． 20. 2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）． 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，， 计算结果 交流展示 21. 某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示． （1）求关于的函数表达式： （2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 22. 如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点C作的平行线交的延长线于点E，交于点 F，连接，． （1）求证∶为的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 23. 【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的关系． 【问题探究】 （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系： ；数量关系： ； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $