第06讲 有理数的乘方（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材苏科版

第06讲 有理数的乘方（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 有理数的乘方 同学们，今天老师手里有一张普普通通的纸，厚度只有0.1毫米.如果我把它对折1次，它变成了几层？对折2次呢？对折3次呢？ 如果我连续对折30次，大家猜猜，它的厚度能有多高？是有一本书那么厚？还是有一层楼那么高？告诉大家一个惊人的秘密：如果这张纸足够大，对折30次后的厚度，能超过世界最高的珠穆朗玛峰！是不是觉得不可思议？面对“2×2×2……”这样一连串相同的数字相乘，写起来太麻烦了.今天我们就来认识一位数学界的“简写大师”——乘方！ 【知识点1 有理数的乘方】 求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂． 一般地，记作，读作a的n次方．例如2×2×2×2记作，读作“2的4次方”；（－2）×（－2）×（－2）记作，读作“－2的3次方”． 表示幂，其中a叫作底数，n叫作指数． 幂 底数 指数 【知识点2 乘方的性质】 1. 正数的任何次幂都是正数，即当时，． 2. 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，即当时， 3. 0的任何次幂都是0，即当时，． 4. a的偶数次幂是非负数，如，>0， 【题型1 乘方的概念】 【例1】（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．底数是，指数是4 B．计算结果为16 C．结果与相等 D．计算结果为 【变式1-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，底数是______，指数是______，幂是______． 【变式1-3】把写成乘方形式______． 【题型2 有理数乘方的运算】 【例2】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算：_______． 【变式2-1】（25-26六年级上·上海·期末）比较大小：______． 【变式2-2】计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-3】已知，则_____，若， _____． 【题型3 乘方运算的符号规律】 【例3】如果，那么__________． 【变式3-1】计算： ____________ 【变式3-2】化简（为正整数）的结果为（   ）. A．0 B． C． D．或 【变式3-3】如果n是正整数，那么的值　　 A．一定是零 B．一定是偶数 C．一定是奇数 D．是零或偶数 【题型4 有理数乘方的应用】 【例4】1883 年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称作康托尔集． 如图，取一条长度为 1 的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段．．．将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称作康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26六年级上·山东威海·期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式4-2】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第6次后拉成____ 根细面条． 【变式4-3】（25-26七年级上·山东菏泽·阶段检测）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第行的数字之和记为，则的末位数字为（   ） 第1行              1 第2行           1    1 第3行          1   2    1 第4行       1    3    3    1 第5行     1    4    6    4    1 A．2 B．4 C．8 D．6 模块三 科学记数法 同学们，刚才我们见识了乘方的威力，一张纸对折30次能超过珠穆朗玛峰！那珠峰到底有多高呢？大约是 8848 米.这个数字还好读写. 但是，如果我们把视野投向更广阔的宇宙： 1. 光速：光在真空中的速度大约是 300 000 000 米/秒. 2. 世界人口：世界总人口数大约是 7 000 000 000 人. 大家试着快速、准确地读出这两个数，并在纸上把它们工整地写下来.是不是感觉有点麻烦？ 读起来：要数很多个“零”，容易读错位数. 写起来：要写很长一串“0”，不仅慢，还容易多写或少写一个. 算起来：如果用这些庞大的数字进行计算，那更是难上加难！ 在科学、天文、经济等领域，这种大数无处不在.有没有一种全世界公认的、既简洁又方便读写和计算的表示方法呢？今天，我们就来学习这个“大数简化大师”——科学记数法！ 【知识点3 科学记数法】 一般地，一个绝对值大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数这种记数法称为科学记数法，当时，可简写成 【题型5 用科学记数法表示数】 【例5】（2026·广东·二模）据交通运输部数据显示，2026年五一假期期间，全社会跨区域人员流动总量达151712.8万人次．其中数据151712.8用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数400000用科学记数法表示为，下列说法错误的是（    ） A． B． C．整数位数减1就是n的值 D．将小数点向左移动6位可得到a的值 【变式5-2】新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是________（备注：1亿＝100000000）． 【变式5-3】（2026·河北沧州·二模）算式的结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【题型6 将用科学记数法表示的数还原】 【例6】（2025七年级上·全国·专题练习）我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【变式6-1】（25-26七年级上·河南周口·期末）到2025年，我国某科技企业研发投入累计达元，这个数的原数是（    ） A．120000000 B．1200000000 C．12000000 D．12000000000 【变式6-2】3.65×10178是________位数，0.12×1010是________位数； 【变式6-3】（25-26七年级上·海南·期中）把按照从小到大的顺序，用“”连接起来为 ________________________________． 【题型7 与科学记数法有关的简单应用】 【例7】（25-26七年级上·河南周口·期中）生物学指出，在食物链中大约有的能量能流动到下一个营养级，在这条食物链中（表示第个营养级，），要使获得800千焦的能量，那么需要提供的能量用科学记数法可以表示为_______千焦． 【变式7-1】（25-26七年级上·重庆·期中）地震震级是划分震源放出的能量大小的等级．级地震释放的能量大约是级地震的倍．级地震释放的能量大约是级地震的________倍（用科学记数法表示） 【变式7-2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展，独立运行的全球卫星导航系统，作为中国“智造”的靓丽名片，未来“北斗星座”将更加闪亮．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程用科学记数法表示为______． 【变式7-3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）当我们购买硬盘时，制造商通常采用十进制单位标注产品容量．数据的存储单位一般用来表示，其中，．一个硬盘的容量是，可用科学记数法表示为_______． 模块四 课后作业 1．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）表示（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2026·重庆·三模）下列四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北唐山·期中）计算（ ） A．1 B． C． D． 5．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D．-6 6．（25-26七年级上·广西南宁·期中）已知，则的值是________． 7．（25-26七年级上·全国·期末）用科学记数法表示一个数记为，则这个数原来是____________． 8．已知的底数为，指数为，的底数为，幂为，则__________． 9．（25-26七年级上·重庆·开学考试）这组数字的第7个数是__________． 10．（25-26七年级上·河北沧州·期中）现在有一种结绳记数方法，满七进一，可以将七进制数转换为十进制数．将图1的结绳记数转换成十进制数为：．则将图2的结绳记数转换成十进制数为________． 11．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）计算： (1) (2) 12．已知，，．若，求的值． 13．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）一张纸的厚度大约，对折1次厚，对折2次厚． (1)对折次，用代数式表示厚度； (2)当时，求出厚度． 14．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）有资料显示，一个人每次在刷牙的过程中，如果及时关闭水龙头，将节约7杯水（每杯水约有）．按此数据估算，如果某市某日早晨有100万人在刷牙的过程中都及时关闭水龙头，那么将节约多少毫升水？（结果用科学记数法表示） 15．（24-25七年级上·河北保定·期中）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． 【规律探索】如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则 ； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则 ； 依此类推，如图3，_________； 如图4，_________； … _________． 【规律应用】计算的值． 【方法迁移】类比以上问题的探究思路，_________． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 有理数的乘方（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 有理数的乘方 同学们，今天老师手里有一张普普通通的纸，厚度只有0.1毫米.如果我把它对折1次，它变成了几层？对折2次呢？对折3次呢？ 如果我连续对折30次，大家猜猜，它的厚度能有多高？是有一本书那么厚？还是有一层楼那么高？告诉大家一个惊人的秘密：如果这张纸足够大，对折30次后的厚度，能超过世界最高的珠穆朗玛峰！是不是觉得不可思议？面对“2×2×2……”这样一连串相同的数字相乘，写起来太麻烦了.今天我们就来认识一位数学界的“简写大师”——乘方！ 【知识点1 有理数的乘方】 求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂． 一般地，记作，读作a的n次方．例如2×2×2×2记作，读作“2的4次方”；（－2）×（－2）×（－2）记作，读作“－2的3次方”． 表示幂，其中a叫作底数，n叫作指数． 幂 底数 指数 【知识点2 乘方的性质】 1. 正数的任何次幂都是正数，即当时，． 2. 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数，即当时， 3. 0的任何次幂都是0，即当时，． 4. a的偶数次幂是非负数，如，>0， 【题型1 乘方的概念】 【例1】（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）下列关于的说法中，正确的是（   ） A．底数是，指数是4 B．计算结果为16 C．结果与相等 D．计算结果为 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方的意义和乘方运算法则求解，进而可得答案． 【详解】解：A、的底数是2，指数是4，故此选项说法错误，不符合题意； B、的计算结果为，故此选项说法错误，不符合题意； C、，，结果不相等，故此选项说法错误，不符合题意； D、的计算结果为，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 【变式1-2】在中，底数是______，指数是______，幂是______． 【答案】 5 【分析】本题考查有理数的乘方：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作，其中，a叫做底数，n叫做指数． 根据有理数乘方的意义进行判定即可． 【详解】解：在中，底数是，指数是5，幂是． 故答案为：，5，． 【变式1-3】把写成乘方形式______． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的定义：求个相同因数的积的运算叫乘方，掌握乘方的定义是解题的关键． 由乘方的定义即可得出结果． 【详解】解：根据乘方的定义可得：． 故答案为：． 【题型2 有理数乘方的运算】 【例2】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算与多重符号的化简，关键是遵循“从内到外”的运算顺序，先化简内层括号的符号，再计算乘方，最后处理外层的符号． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2-1】（25-26六年级上·上海·期末）比较大小：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据乘方计算即可求值； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：. 【变式2-2】计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解：． 【变式2-3】已知，则_____，若， _____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． 【题型3 乘方运算的符号规律】 【例3】如果，那么__________． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值和平方式的非负性、代数式求值，根据非负数的性质求得a、b值即可求解． 【详解】解：，， ，， ，， ， 故答案为：1． 【变式3-1】计算： ____________ 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 【变式3-2】化简（为正整数）的结果为（   ）. A．0 B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方的性质对n进行分类讨论,然后求值即可. 【详解】解:①当n为奇数时,则n＋1为偶数 ∴; ②当n为偶数时,则n＋1为奇数 ∴ 综上所述: （为正整数）的结果为0. 故选A. 【点睛】此题考查的是有理数的乘方,掌握有理数的乘方的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键. 【变式3-3】如果n是正整数，那么的值　　 A．一定是零 B．一定是偶数 C．一定是奇数 D．是零或偶数 【答案】D 【分析】分为两种情况当n是偶数时，当n是奇数时，求出即可． 【详解】解：当n是偶数时，原式＝n·（1﹣1）＝0， 当n是奇数时，原式＝n·（1+1）＝2n，是偶数； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的应用，注意要进行分类讨论是解决本题的关键． 【题型4 有理数乘方的应用】 【例4】1883 年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称作康托尔集． 如图，取一条长度为 1 的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段．．．将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称作康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算出四个阶段留下的线段的长度之和，进而得出答案． 【详解】解：前四个阶段变化特点如下： 根据第一阶段时余下的线段的长度之和是； 第二阶段时，余下的线段的长度之和是； 第三阶段时，余下的线段的长度之和是； 第四阶段时，余下的线段的长度之和是． 【变式4-1】（25-26六年级上·山东威海·期末）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】初始木棍长1米，每天截去一半，即剩余长度为前一天的，由此可推出第天剩余长度为米，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵初始木棍长1米，第一天截去一半后，剩余长度为米； 第二天截去一半后，剩余长度为米； 第三天截去一半后，剩余长度为米； 以此类推，第天剩余长度为米． 当时，剩余长度为米． 【变式4-2】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第6次后拉成____ 根细面条． 【答案】64 【分析】本题主要考查有理数的乘方的应用．找出捏合的次数与拉出面条根数之间的关系即可． 【详解】解：罗列每次拉出的根数如下： 第一次，拉出2根细面条； 第二次，拉出根细面条； 第三次，拉出根细面条； ， 第次，拉出根细面条； 第十次捏合，拉出根细面条． 故答案为：64． 【变式4-3】（25-26七年级上·山东菏泽·阶段检测）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．若将第行的数字之和记为，则的末位数字为（   ） 第1行              1 第2行           1    1 第3行          1   2    1 第4行       1    3    3    1 第5行     1    4    6    4    1 A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了杨辉三角的规律探究以及周期问题的应用，解题的关键是找出每行数字之和的规律并确定其末位数字的周期． 通过计算前几行数字之和，发现每行数字之和为（为行数），分析这些和的末位数字，找出周期规律；根据周期规律计算第2026行数字之和的末位数字． 【详解】∵杨辉三角第行数字之和， ∴， ∵末位，末位，末位，末位，此后循环， ∴的幂的末位数字周期为， ，余数为， ∴的末位数字与相同，为2， 故选A． 模块三 科学记数法 同学们，刚才我们见识了乘方的威力，一张纸对折30次能超过珠穆朗玛峰！那珠峰到底有多高呢？大约是 8848 米.这个数字还好读写. 但是，如果我们把视野投向更广阔的宇宙： 1. 光速：光在真空中的速度大约是 300 000 000 米/秒. 2. 世界人口：世界总人口数大约是 7 000 000 000 人. 大家试着快速、准确地读出这两个数，并在纸上把它们工整地写下来.是不是感觉有点麻烦？ 读起来：要数很多个“零”，容易读错位数. 写起来：要写很长一串“0”，不仅慢，还容易多写或少写一个. 算起来：如果用这些庞大的数字进行计算，那更是难上加难！ 在科学、天文、经济等领域，这种大数无处不在.有没有一种全世界公认的、既简洁又方便读写和计算的表示方法呢？今天，我们就来学习这个“大数简化大师”——科学记数法！ 【知识点3 科学记数法】 一般地，一个绝对值大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数这种记数法称为科学记数法，当时，可简写成 【题型5 用科学记数法表示数】 【例5】（2026·广东·二模）据交通运输部数据显示，2026年五一假期期间，全社会跨区域人员流动总量达151712.8万人次．其中数据151712.8用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数； 【详解】解：． 【变式5-1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数400000用科学记数法表示为，下列说法错误的是（    ） A． B． C．整数位数减1就是n的值 D．将小数点向左移动6位可得到a的值 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法，是解题的关键．科学记数法表示形式为，其中，n为整数．400000表示为，因此，；整数位数6减1为5，等于n；将小数点向左移动5位得，移动6位得，故D错误，符合题意． 【详解】解：∵， ∴，， 整数位数6减1为5，等于n，将小数点向左移动5位得到，移动6位得到，故D错误，符合题意． 故选：D． 【变式5-2】新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是________（备注：1亿＝100000000）． 【答案】9 【分析】将13.6亿=写成（，n为整数）的形式即可． 【详解】解：13.6亿==． 故答案为9． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成（，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键． 【变式5-3】（2026·河北沧州·二模）算式的结果用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【题型6 将用科学记数法表示的数还原】 【例6】（2025七年级上·全国·专题练习）我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【答案】 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原，根据亿，再将科学记数法表示的数还原，转化单位即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26七年级上·河南周口·期末）到2025年，我国某科技企业研发投入累计达元，这个数的原数是（    ） A．120000000 B．1200000000 C．12000000 D．12000000000 【答案】B 【详解】解：． 故选：B． 【变式6-2】3.65×10178是________位数，0.12×1010是________位数； 【答案】 179 10 【解析】略 【变式6-3】（25-26七年级上·海南·期中）把按照从小到大的顺序，用“”连接起来为 ________________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，比较科学记数法表示的数时，先比较10的指数，指数小的数较小；若指数相同，再比较系数即可． 【详解】解：把按照从小到大的顺序，用“”连接起来为： ． 故答案为：；；；． 【题型7 与科学记数法有关的简单应用】 【例7】（25-26七年级上·河南周口·期中）生物学指出，在食物链中大约有的能量能流动到下一个营养级，在这条食物链中（表示第个营养级，），要使获得800千焦的能量，那么需要提供的能量用科学记数法可以表示为_______千焦． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据题意，求出提供的能量，再利用科学记数法的表示方法进行表示即可．熟练掌握科学记数法的表示方法，为整数，是解题的关键． 【详解】解：（千焦）； 故答案为：． 【变式7-1】（25-26七年级上·重庆·期中）地震震级是划分震源放出的能量大小的等级．级地震释放的能量大约是级地震的倍．级地震释放的能量大约是级地震的________倍（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，关键是熟练准确的进行计算； 从级到级，震级差为4级，根据每增加两级能量释放增加倍，计算增加倍数． 【详解】根据题意，级地震释放的能量大约是级地震的倍，从级地震到级地震，震级差为级，即增加了两次两级，故能量释放增加倍数为，用科学记数法表示为 ． 故答案为： ． 【变式7-2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展，独立运行的全球卫星导航系统，作为中国“智造”的靓丽名片，未来“北斗星座”将更加闪亮．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据单项式乘以单项式进行计算即可解答. 【详解】由题意可得， (米). 答：卫星绕地球运行所行的路程是米. 【变式7-3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）当我们购买硬盘时，制造商通常采用十进制单位标注产品容量．数据的存储单位一般用来表示，其中，．一个硬盘的容量是，可用科学记数法表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，，根据这个关系求出，然后结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 模块四 课后作业 1．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数幂的概念，进行判断即可. 【详解】解：由题意，表示3个2相乘，即. 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】互为相反数的两个数和为0，由此逐项判断即可． 【详解】解：，故和互为相反数，A选项符合题意； ，故和不互为相反数，B选项不合题意； ，故和不互为相反数，C选项不合题意； ，故和不互为相反数，D选项不合题意． 3．（2026·重庆·三模）下列四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，， ，即最小的数是． 4．（25-26七年级下·河北唐山·期中）计算（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】可利用积的乘方的逆运算简化计算，将高次幂拆分为同指数幂与低次幂的乘积，再合并计算即可． 【详解】解： ． 5．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D．-6 【答案】A 【分析】由可得，即，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26七年级上·广西南宁·期中）已知，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性及代数式的值，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性及代数式的值是解题的关键；根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零，则每个部分必须同时为零，然后问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 7．（25-26七年级上·全国·期末）用科学记数法表示一个数记为，则这个数原来是____________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示的数变回原数，科学记数法指把一个数写成（其中 ，为整数）的形式，据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8．已知的底数为，指数为，的底数为，幂为，则__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，有理数幂．根据有理数幂的概念，求出，再代入代数式计算即可．掌握有理数幂的概念，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 9．（25-26七年级上·重庆·开学考试）这组数字的第7个数是__________． 【答案】 【分析】根据题意，先确定数的符号：根据数的属性与序号的关系确定，再确定分子是常数1，确定分母的规律，解答即可． 本题考查了有理数乘方的规律探索，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第1个数为：，第2个数为：， 第3个数为：，第4个数为：， 故第n个数为， 当时，第7个数是． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河北沧州·期中）现在有一种结绳记数方法，满七进一，可以将七进制数转换为十进制数．将图1的结绳记数转换成十进制数为：．则将图2的结绳记数转换成十进制数为________． 【答案】 【分析】本题考查了进制问题． 仿照题干计算即可． 【详解】解：将图2的结绳记数转换成十进制数为． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键． （1）先计算括号内的计算，再算乘方，接着进行乘法运算，最后进行加法运算； （2）先计算乘方和绝对值，再进行除法运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 12．已知，，．若，求的值． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，有理数乘方的逆运算求出a、b、c的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数乘方的逆运算，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题的关键． 13．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）一张纸的厚度大约，对折1次厚，对折2次厚． (1)对折次，用代数式表示厚度； (2)当时，求出厚度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的定义，有理数乘方的计算，理解乘方的定义是解题的关键． （1）根据有理数的乘方的定义，对折n次为，然后进行计算即可得解； （2）将代入求出结果即可． 【详解】（1）解：对折n次后的厚度为． （2）当时，． 14．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）有资料显示，一个人每次在刷牙的过程中，如果及时关闭水龙头，将节约7杯水（每杯水约有）．按此数据估算，如果某市某日早晨有100万人在刷牙的过程中都及时关闭水龙头，那么将节约多少毫升水？（结果用科学记数法表示） 【答案】将节约毫升水． 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定的值以及的值即可． 【详解】解：（毫升）． 答：将节约毫升水． 15．（24-25七年级上·河北保定·期中）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． 【规律探索】如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则 ； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则 ； 依此类推，如图3，_________； 如图4，_________； … _________． 【规律应用】计算的值． 【方法迁移】类比以上问题的探究思路，_________． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律． （1）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解； （2）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解； （3）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：； （2）； （3）． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $