山东泰安市泰山区2025-2026学年高二下学期期末数学仿真练习

**基本信息** 山东省泰安市泰山区2026年高二下学期期末仿真练习，以电商直播受众分析、儿童乐园套餐服务等现实情境为载体，通过概率统计、函数应用等问题设计，考查学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维分析问题的能力，适配高二期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|集合运算、函数单调性、古典概型|基础概念与简单应用结合，如阅读打卡选书问题考查分类加法计数原理| |多选题|3题18分|正态分布、二项式定理、导数性质|多知识点综合辨析，如第9题融合正态分布对称性与离散型分布列性质| |填空题|3题15分|条件概率、二项式系数、分段函数单调性|侧重数学语言表达，如正态分布下条件概率计算| |解答题|5题77分|函数最值、概率分布列、频率分布直方图、导数应用|分层设计，如儿童乐园套餐服务问题（第16题）综合概率计算、二项分布及最值分析，体现数学思维的逻辑性与系统性|

山东省泰安市泰山区2026年高二下学期期末仿真练习 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 3．（本题5分）某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读科普类文本或人文自然类文本中的一本，现有7本科普类文本和8本人文自然类文本可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（    ） A．7种 B．8种 C．15种 D．56种 4．（本题5分）某地区14000名学生的数学成绩，且成绩在的学生人数约为 4800人，则估计成绩超过90分的学生人数约为（    ） A．2200 B．2500 C．2800 D．3100 5．（本题5分）若事件M，N满足，，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）现对电商直播的受众进行分析，挑选500名消费者进行问卷调查，得到如下结果： 30岁及以下 30岁以上 男 150 60 女 200 90 记由上表所得消费者性别与年龄的卡方为，则（   ） 附：，． A． B． C． D． 7．（本题5分）甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）若恒成立，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列说法正确的有（ ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则方差 C．从10名男生，5名女生中选取4人，则至少有一名女生的概率为 D．已知随机变量的分布列为（，2，3），则 10．（本题6分）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（     ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 11．（本题6分）设函数，给定下列命题，则下列选项正确的是（   ） A．函数的最小值为 B．不等式的解集为 C．函数在单调递增，在单调递减 D．若恒成立，则实数 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）某校高二年级学生数学考试的成绩（单位:分）服从正态分布，从中任取一个学生的数学成绩，记该学生的成绩在内为事件，记该学生的成绩在内为事件，则在事件发生的条件下，事件发生的概率_____（用分数表示） 附：若，则，， 13．（本题5分）已知，则___________． 14．（本题5分）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是___________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 16．（本题15分）某儿童乐园提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买B的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是. (1)求某家庭第二次来，购买的是产品的概率； (2)记第二次来购买产品的家中有家购买产品，求的分布列，均值和方差. (3)第(2)中的个家庭中有多少家选择产品的概率最大，最大概率是多少? 17．（本题15分）已知. (1)求的值； (2)若，求. 18．（本题17分）从某高中高二年级学生的物理期末成绩（满分为分）中抽取一个样本容量为的样本，成绩样本数据分为6组：，， ，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中A的值并估计该校高二学生的物理平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)年级计划给成绩排名前的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数线； (3)在和的学生成绩中，随机抽取两个学生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率． 19．（本题17分）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市泰山区2026年高二下学期期末仿真练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C A D A C D ACD ABC 题号 11 答案 BD 1．B 【详解】因为集合， 所以，故B选项正确. 2．C 【详解】函数的定义域为， ， 由，解得， 函数的单调递增区间为． 3．C 【详解】有7本科普类文本和8本人文自然类文本，从科普类文本或人文自然类文本中选一本， 所以，根据分类加法计数原理，不同的选法共有（种）． 4．A 【分析】根据已知求得，结合正态分布的对称性求出，进而估计学生人数即可. 【详解】由题意，则， 而，则， 所以成绩超过90分的学生人数约为人. 5．D 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及条件概率公式求解. 【详解】由，得， 由，得， 因此. 6．A 【分析】对列联表各位置数值赋值后代入卡方公式计算结果，再与临界值比较即可得到答案. 【详解】，， . 所以. 7．C 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”， 则，且， 所以. 8．D 【分析】首先利用导数求函数，的最大值，再根据条件转化为恒成立，最后利用参数分离转化为最值问题求解. 【详解】设，， ，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，， 即恒成立， 设，由条件恒成立， 得恒成立，即恒成立，设， ，得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以时，取得最大值， 则. 9．ACD 【分析】本题结合正态分布、二项分布、古典概型、离散型随机变量分布列的性质，对各选项逐一计算判断即可。 【详解】对于A：随机变量，因与关于对称，故，故A正确. 对于B：随机变量，，则，故B错误； 对于C：“至少有一名女生”的对立事件为“选取的4人全是男生”，而全是男生的概率为， 故至少有一名女生的概率为，故C正确； 对于D：由离散型随机变量分布列性质，所有概率之和为，即， 裂项化简得，解得，因此，故D正确. 10．ABC 【分析】根据二项式系数相等求出的值，根据二项式定理、二项式系数的性质、二项式系数和、及赋值法求解即可. 【详解】选项A：二项式展开中第项的二项式系数为，由题意知，解得，A正确. 选项B：二项式展开的二项式系数和恒为，时，二项式系数和为，B正确. 选项C：令，代入得，C正确. 选项D：令，得常数项， 令，代入原式得， 两式相减得，D错误. 11．BD 【分析】先确定函数的定义域，再求的导函数，根据导函数的正负判断的单调性，进而求其最值，判断A选项，先求，代入的表达式得到的解析式，再解不等式，判断B选项，求的导函数，根据导函数的正负判断的单调性，判断C选项，将恒成立转化为在定义域内恒成立，构造新函数，求的最大值，即可得到的取值范围，判断D选项. 【详解】因为函数， 所以， 则当时，单调递减；当时，单调递增； 则函数的最小值为，故A错误； 因为，所以不等式的解集为，故B正确； 因为，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，故C错误； 恒成立，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减； 则，则，故D正确. 12． 【分析】根据正态分布的概率分布即可计算积事件的概率与事件的概率，利用条件概率公式代入计算即可． 【详解】因为服从正态分布，则， 则 ； ； ． 13． 【分析】根据题意，分别令和，得到运算结果，两式相加，进而得到答案. 【详解】由， 令，则 ①； 令，则， 即 ②． ，得． 14． 【分析】根据指数型函数以及一次函数的单调性，结合分段函数的性质求解即可． 【详解】由函数在上单调递减， 则，解得， 所以a的取值范围是． 15．(1)2或； (2). 【分析】（1）对a分类讨论，根据单调性求出函数的最值，即可求解. （2）根据单调性，把对数不等式等价转化一次不等式求解. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此； 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此， 所以a的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 16．(1) (2)； (3)有2家选择产品的概率最大，最大概率为 【分析】（1）根据条件概率公式计算即可； （2）利用二项分布写出分布列求解期望和方差； （3）利用二项分布得到分布列求解事件概率. 【详解】（1）设“第i次购买产品”，（i=1，2），则“第i次购买产品”， 由题意， 又为对立事件， 故 ； （2）每家购买产品概率均为，故， 分布列为 ； （3）设有家选择产品，则，设有家选择产品的概率最大，则 ， 故可列 即 整理得，又，故，此时= 故有家选择产品的概率最大，最大概率为. 17．(1)8 (2)0 【分析】（1）利用排列数和组合数的展开公式将原等式化简为一元二次方程，结合定义域即可求解； （2）用赋值法，分别令求出所有项的系数之和，令求出常数项，两者相减即可求解. 【详解】（1）由题意得,,且， 且，所以有， 整理得，解得或（舍）， （2）令，得； 令，得. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图各个小矩形面积之和为1即可求得A的值; （2）根据小矩形面积与频率的关系可以计算出前所占比例，从而计算出获奖学生的最 低分数线； （3）根据和频率分别为和，进而得到在样本中的人数，再求出抽取的对象来自不同分组的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图各个小矩形面积之和为1可知 , （2）设获奖学生的最低分数线为,那么 ，， 所以，获奖学生的最低分数线为. （3）由频率分布直方图可知，和频率分别为和， 所以，样本中有人，有人， 那么随机抽取两个学生的成绩进行分析，求抽取的对象来自不同分组的概率为 . 19．(1)所以在和上单调递减； (2) 【分析】（1）利用二次求导判断的单调性得出，即即可； （2）把问题转化为在上恒成立，分和两种情况讨论，时符合题意，时导出矛盾即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则有，所以在和上单调递减； （2）当时， 等价于， 即，令， 则， ①若，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 令，， 是减函数，又，所以，与条件矛盾，舍去. 综上所述，的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $