精品解析：山东省淄博第一中学2025-2026学年高二上学期第一次学习质量检测数学试题

2024级高二上学期第一次学习质量检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 对于两个事件，则事件表示的含义是（ ） A. A与B同时发生 B. A与B有且仅有一个发生 C A与B至少一个发生 D. A与B不能同时发生 2. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立两个事件是 A. 至少有1件次品与至多有1件正品 B. 至少有1件次品与都是正品 C. 至少有1件次品与至少有1件正品 D. 恰有1件次品与恰有2件正品 3. 若异面直线l1，l2的方向向量分别是，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 4. 若两直线l1，l2的倾斜角和斜率分别为α1，α2和k1，k2，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若α1<α2，则k1<k2 B. 若α1=α2，则k1=k2 C. 若k1<k2，则α1<α2 D. 若k1=k2，则α1=α2 5 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 6. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ） A. 与，与，与，与都相互独立 B. 与是对立事件 C. D. 7. 已知，，，O为坐标原点，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面与平面成角，，则C与D之间的距离是（ ） A B. C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 10. 某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ） A. 他只属于音乐小组的概率为 B. 他只属于英语小组的概率为 C. 他属于至少2个小组的概率为 D. 他属于不超过2个小组的概率为 11. 如图，在棱长为1正方体中，分别是的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 直线与面所成角为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 过三点的平面截正方体所得图形面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间三点坐标分别为,点在平面内,则实数的值为___________. 13. 若，，三点能构成三角形，则实数的取值范围为________. 14. 若空间中有三点;，， 则A到直线BC的距离为________________________，点 到平面ABC的距离为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，． （1）用分别表示，． （2）若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 16. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. （1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； （2）若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点. （1）证明：； （2）若为棱上一点，满足，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，平面，. （1）求A到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设E为棱上点，满足异面直线与所成的角为，求的长. 19. 某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二上学期第一次学习质量检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 对于两个事件，则事件表示的含义是（ ） A. A与B同时发生 B. A与B有且仅有一个发生 C. A与B至少一个发生 D. A与B不能同时发生 【答案】C 【解析】 【分析】根据事件之间的和事件关系，可得答案. 【详解】由表示的是与中至少一个发生. 故选：C. 2. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是 A. 至少有1件次品与至多有1件正品 B. 至少有1件次品与都是正品 C. 至少有1件次品与至少有1件正品 D. 恰有1件次品与恰有2件正品 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件和互斥事件的定义,依次判断每个选项得到答案. 【详解】A、至少有1件次品与至多有1件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况,故不满足条件. B、至少有1件次品与都是正品是对立事件,故不满足条件. C、至少有1件次品与至少有1件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况,故不满足条件. D、恰有1件次品与恰有2件正是互斥事件,但不是对立事件,因为除此之外还有“两件都是次品”的情况,故满足条件. 故选:D. 【点睛】本题考查了对立事件和互斥事件，意在考查学生对对立事件和互斥事件的理解,难度较易. 3. 若异面直线l1，l2的方向向量分别是，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积公式求异面直线的夹角的余弦值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查了求异面直线的夹角，属于基础题. 4. 若两直线l1，l2的倾斜角和斜率分别为α1，α2和k1，k2，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若α1<α2，则k1<k2 B. 若α1=α2，则k1=k2 C. 若k1<k2，则α1<α2 D. 若k1=k2，则α1=α2 【答案】D 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系且，以及图象依次判断即可 【详解】由于直线的倾斜角和斜率满足：且 且图象如下图所示 由图象可知，斜率关于倾斜角不是单调函数，故A，C错误； 令α1=α2=90°，则k1、k2不存在，故B错误； 若k1=k2，必有α1=α2，故D正确. 故选：D 5. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由 ，，，所以与不共线，所以A错误； 对于B，的单位向量为，所以B错误； 对于C，，所以， 所以C错误； 对于D，设平面的法向量是， 则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确． 故选：D 6. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ） A. 与，与，与，与都相互独立 B. 与是对立事件 C. D. 【答案】A 【解析】 分析】根据独立事件和对立事件定义可知AB正误；根据独立事件概率乘法公式可知C错误；根据对立事件概率公式可求得D错误. 【详解】对于A，两人射击结果没有相互影响，与，与，与，与都相互独立，A正确； 对于B，表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，表示事件“乙中靶且甲未中靶”， 与不是对立事件，B错误； 对于C，与相互独立，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：A. 7. 已知，，，O为坐标原点，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，可知存在实数使得，则有，进而可得，，则有，根据二次函数的性质可求出取得最小值时的值，进而可求Q点的坐标． 【详解】由点Q在直线OP上可得：存在实数使得，则有， 所以，， 则， 根据二次函数的性质可得：当时，取得最小值，此时Q点的坐标为， 故选：C 8. 已知平面与平面成角，，则C与D之间的距离是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量分类讨论计算两点距离即可. 【详解】由题意可得是面的法向量， 设与平面所成角为， 如图所示，则或， 易知， 若，则上式化为， 若，则上式化为，即D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因为，，所以，， ，设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选:BCD． 10. 某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ） A. 他只属于音乐小组的概率为 B. 他只属于英语小组的概率为 C. 他属于至少2个小组的概率为 D. 他属于不超过2个小组的概率为 【答案】CD 【解析】 【分析】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人，然后利用古典概型的概率公式逐个分析求解对应的概率即可 【详解】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人， 只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人， 故只属于音乐小组的概率为， 只属于英语小组的概率为， “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况， 故他属于至少2个小组的概率为， “不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”， 其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是. 故选：CD. 11. 如图，在棱长为1正方体中，分别是的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 直线与面所成角为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 过三点的平面截正方体所得图形面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】连接和，由此可知点在平面中，而点不在平面中，即可判断选项；间立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出直线与面所成角，即可判断选项；利用空间向量的夹角公式求出异面直线与面所成角的余弦值，即可判断选项；找出过三点的平面截正方体所得图形，计算面积即可判断选项. 【详解】对于，连接和，由此可知点在平面中，点平面，则四点不共面，故选项错误； 对于，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，则，，，设直线与面所成角为， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 所以，所以，故选项正确； 对于，因为，结合选项的坐标可得：，， 设异面直线与面所成角为，则， 所以异面直线与面所成角的余弦值为，故选项正确； 对于，过点作，因为，所以且，所以四边形为平行四边形，则五点共面，也即过三点的平面截正方体所得图形为平行四边形，由题意可知：， 因为为正方体，所以平面，因为平面， 所以，所以平行四边形为矩形，则, 故选项错误， 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间三点坐标分别为,点在平面内,则实数的值为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意,存在实数使得等式成立,将各点坐标代入,列出方程组求解即可. 【详解】点在平面内, 存在实数使得等式成立, , , 解得. 故答案为:1. 13. 若，，三点能构成三角形，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，，三点能构成三角形，可知 ，，三点不共线，利用，即可求得的值. 【详解】因为，，三点能构成三角形，所以，，三点不共线， 所以 即 ， 因此，解得. 故实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了由两点坐标求两点所在直线的斜率，属于基础题. 14. 若空间中有三点;，， 则A到直线BC的距离为________________________，点 到平面ABC的距离为_____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】直接利用空间向量计算距离的方式分别计算即可. 【详解】由题得 所以A到直线距离为； 设平面的一个法向量 所以有， 令，得，所以， ， 所以 到平面ABC的距离为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，． （1）用分别表示，． （2）若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）14；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）连接，取中点为，连接，结合空间向量的线性运算，以为基底表示向量即可求解； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，，即可得结论. 【小问1详解】 连接，取中点为，连接． 因为底面是正六边形，所以，即， 所以，又因为，所以． 【小问2详解】 由题知，， 根据，可知， 因为底面是正六边形，所以，所以． （ⅰ）． （ⅱ）因为， 所以，所以． 16. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. （1）若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； （2）若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”，验证是独立的，并说明理由. 【答案】（1） （2）相互独立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得共有16个基本事件，再列举出事件包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意可得共有12个基本事件，再分别列举出事件和同时发生的基本事件，然后求出，再利用独立事件的定义分析判断即可. 【小问1详解】 若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片， 共包含个基本事件， 其中事件：包含3个基本事件， 所以. 【小问2详解】 若一次抽取1张卡片，不放回并再抽取1张卡片，共包含个基本事件， 事件，所以， 事件，所以， 当同时发生，即2张卡片上数宁之和是3的倍数同时积足4的倍数，有两种取法， 所以， 因为，所以事件与事件是独立的. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点. （1）证明：； （2）若为棱上一点，满足，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，运用空间向量即可得证， （2）先根据题意求出点坐标，运用空间向量即可求出面面夹角的余弦值. 【小问1详解】 如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 因为,,点为棱的中点， 所以,,,,, 因为,, 所以,即， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得∵，， 由为棱上一点，设， 故， 由，得， 解得， 即， 设平面的法向量为， 由，得 令，则， 取平面的法向量， 设平面与平面的平面角为，由图可知为锐角， 所以， 故平面与平面的余弦值为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，. （1）求A到平面的距离； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）设E为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】(1)以A为原点，射线、、分别为x、y、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求A到平面的距离； (2)利用(1)中相关信息，再求出平面的法向量即可计算作答； (3)设出点E坐标，利用空间向量求异面直线夹角公式列式计算得解 【详解】(1)在四棱锥中，平面，， 以A为原点，射线、、分别为x、y、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图， 因，则， 于是得. 设为平面的一个法向量，则，令，得， 所以A到平面的距离； (2)由(1)知，平面一个法向量，而平面的一个法向量， 于是得，显然平面与平面夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值是； (3)因E为棱上的点，设，则，而， 又异面直线与所成的角为，则，解得， 所以的长为. 19. 某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛. 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响. （1）求小明在第一轮得40分的概率； （2）以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 【答案】（1）； （2）小明更容易晋级复赛. 【解析】 【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率； （2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论. 小问1详解】 对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答， 则有共种， 设小明只能答对4个问题的编号为：， 则小明在第一轮得40分，有共种， 则小明在第一轮得40分的概率为：； 【小问2详解】 由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为， 则小明在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分 当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ； ； 当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为： ；； 当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时， 小芳晋级复赛的概率分别为： ； 小芳晋级复赛的概率为：； 小明晋级复赛的概率为：； ， 小明更容易晋级复赛. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $