第01讲 空间向量及其线性运算（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版选择性必修第一册

第01讲 空间向量及其线性运算（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 空间向量的概念 章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢?下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始. 【知识点1 空间向量的概念】 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】：(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解题思路】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【解答过程】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【解题思路】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【解答过程】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【解题思路】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【解答过程】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 模块三 空间向量的线性运算 【知识点2 空间向量的线性运算】 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的加减运算进行求解即可. 【解答过程】因为平行六面体， 所以，， 所以. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量线性运算计算即可. 【解答过程】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【解答过程】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 故选：B. 【变式2-3】（25-26高二上·安徽·期中）若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案. 【解答过程】对于A，，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，结果不一定为零向量，故C符合题意； 对于D，，故D不符合题意. 故选：C. 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【解答过程】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合题意，根据向量的线性运算即可求解. 【解答过程】,， 所以， 所以， 所以 . 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【变式3-3】（24-25高二·江苏·课后作业）如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据向量共线，加法与减法运算求解即可； （2）根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可； （3）根据化简求值即可. 【解答过程】（1）解：因为为的重心，为边的中点， 所以 ， 所以； （2）解：因为分别为边和的中点， 所以； （3）解： . 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 【例4】（2026·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【解答过程】如图，， ， ，. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【解答过程】， 故，，，. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高二上·广西来宾·期末）正方体中，点E是上底面的中心，若，则__________. 【答案】 【解题思路】由图结合空间向量加法可得答案. 【解答过程】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则___________. 【答案】 【解题思路】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【解答过程】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 模块四 共线向量定理与共面向量定理 【知识点3 共线向量定理】 1．共线向量定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 定义：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. 3．共线向量定理的用途 (1)判定两条直线平行； (2)证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 【知识点4 共面向量定理】 1．共面向量 定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (2)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型5 空间向量共线的判定及应用】 【例5】（24-25高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【解答过程】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【解题思路】由空间向量共线定理逐一判断即可. 【解答过程】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 【变式5-2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【解题思路】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【解答过程】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 【变式5-3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示； （2）求证：E，F，B三点共线. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解题思路】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得 ，由此可得证. 【解答过程】解：（1）因为， ， 所以， 所以； （2） ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】（25-26高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解题思路】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【解答过程】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即 ， ∴，，解得． 故选：C． 【变式6-1】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【解题思路】利用空间向量平行充要条件即可求得实数的值. 【解答过程】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【解答过程】因为 . 因为、、三点共线，所以. 所以 . 故选：D. 【变式6-3】（25-26高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据空间向量共线的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解. 【解答过程】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 【题型7 判定空间向量共面】 【例7】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据共面向量定理一一计算判断即可. 【解答过程】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 【变式7-1】（2026高二上·全国·专题练习）若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解题思路】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案． 【解答过程】A选项：，所以，，是共面向量； B选项：，所以，，是共面向量； C选项：， 所以，，是共面向量； D选项：令，即， 则，显然方程组无解，故，，不是共面向量． 故选：D． 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【解题思路】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案. 【解答过程】取，，， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与、共面， 所以四点共面． 【变式7-3】（25-26高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【解答过程】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面. 【题型8 由空间向量共面求参数】 【例8】（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据四点共面的向量关系，即可求得答案. 【解答过程】因为，，，四点共面，且， 所以，解得. 故选：A. 【变式8-1】（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【解答过程】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【解答过程】因为为空间任意一点，， 又因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 【变式8-3】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）在四面体OABC中，空间的一点M满足，若共面，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可； 法二：利用四点共面的结论即可. 【解答过程】法一：由题意，， ， 共面，所以存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得 法二：由共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，即． 故选：A. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量的加法法则和数乘运算可得． 【解答过程】． 故选：B. 3．（25-26高二上·天津和平·期末）长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量的加法、减法运算化简. 【解答过程】. 故选：C. 4．（25-26高二上·安徽宿州·期末）三棱锥中，点面，且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由四点共面的充要条件列方程即可得解． 【解答过程】由题意三棱锥中，点面，且， 所以，解得． 故选：D． 5．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的线性运算可得. 【解答过程】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C. 6．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【解答过程】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 7．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【解题思路】根据空间向量共线和共面的定义逐一判断即可. 【解答过程】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由上可知：因为任意两个空间向量总是共面的， 所以，是共面向量，又与共线，即， 所以向量可以平移到向量，所在的平面内， 所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确； 故选：A. 8．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【解题思路】连接交于点，连接，由题设易得，进而得到，再根据四点共面求解即可. 【解答过程】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【解题思路】根据零向量概念可判断A；根据相反向量概念可判断B；根据直线方向向量与零向量可判断C；根据相等向量概念可判断D. 【解答过程】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高二上·江西·期中）（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】由空间向量的线性运算进行求解即可． 【解答过程】对于A，四边形是平行四边形，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD． 11．（25-26高二上·贵州毕节·阶段练习）如图，在三棱柱中，是的中点.下列表达式化简正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据空间向量的加减法法则逐个分析判断即可. 【解答过程】对于A，由题意得，所以A正确， 对于B，由题意得，所以B错误， 对于C，由题意得，所以C正确， 对于D，由题意得，所以D正确， 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则__________．（用，，表示）    【答案】 【解题思路】根据G是的重心，可知，再根据空间向量的线性运算即可求解. 【解答过程】是的重心， ， . 故答案为：. 13．（25-26高二·上海·课堂例题）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则__________． 【答案】 【解题思路】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【解答过程】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 14．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数__________． 【答案】 【解题思路】根据空间向量基本定理判断向量共面，可得解. 【解答过程】由题知， 即 又，，，四点共面， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二·全国·课后作业）化简：． 【答案】 【解题思路】根据空间向量的线性运算及运算律即可求解。 【解答过程】原式． 16．（24-25高二上·山东菏泽·阶段检测）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 17．（25-26高二上·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【解题思路】取，，，由向量的线性运算得与，共面可得答案. 【解答过程】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 18．（25-26高二上·全国·课后作业）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据空间向量的基本运算求解即可； （2）根据空间向量的基本运算，证明即可. 【解答过程】（1）因为分别为的中点， 所以，． （2）因为， ， 所以，故四点共面． 19．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【解答过程】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 空间向量及其线性运算（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 空间向量的概念 章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然，这些力不在同一个平面内.联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢?下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始. 【知识点1 空间向量的概念】 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】：(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【变式1-1】（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【变式1-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【变式1-3】（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 模块三 空间向量的线性运算 【知识点2 空间向量的线性运算】 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】：(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【题型2 空间向量的加减运算】 【例2】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·安徽·期中）若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量的线性运算】 【例3】（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·广西河池·阶段检测）如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【变式3-3】（24-25高二·江苏·课后作业）如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【题型4 由空间向量的线性运算求参数】 【例4】（2026·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·广西来宾·期末）正方体中，点E是上底面的中心，若，则__________. 【变式4-3】（25-26高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则___________. 模块四 共线向量定理与共面向量定理 【知识点3 共线向量定理】 1．共线向量定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 定义：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. 3．共线向量定理的用途 (1)判定两条直线平行； (2)证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 【知识点4 共面向量定理】 1．共面向量 定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (2)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型5 空间向量共线的判定及应用】 【例5】（24-25高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】（25-26高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【变式5-2】（25-26高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【变式5-3】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. （1）用表示； （2）求证：E，F，B三点共线. 【题型6 由空间向量共线求参数或值】 【例6】（25-26高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【变式6-1】（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【变式6-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 判定空间向量共面】 【例7】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026高二上·全国·专题练习）若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【变式7-3】（25-26高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面. 【题型8 由空间向量共面求参数】 【例8】（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【变式8-2】（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式8-3】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）在四面体OABC中，空间的一点M满足，若共面，则（   ） A． B． C． D．1 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 2．（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津和平·期末）长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽宿州·期末）三棱锥中，点面，且，则实数（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 8．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 10．（25-26高二上·江西·期中）（多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 11．（25-26高二上·贵州毕节·阶段练习）如图，在三棱柱中，是的中点.下列表达式化简正确的是（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则__________．（用，，表示）    13．（25-26高二·上海·课堂例题）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则__________． 14．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数__________． 四、解答题 15．（25-26高二·全国·课后作业）化简：． 16．（24-25高二上·山东菏泽·阶段检测）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)； (3). 17．（25-26高二上·全国·期中）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 18．（25-26高二上·全国·课后作业）图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿折起使得与重合，如图②，其中分别为的中点． (1)用表示； (2)证明：四点共面． 19．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $