第01讲 认识三角形（暑假预习讲义）新八年级数学新教材浙教版

第01讲 认识三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断是否为三角形 题型2 三角形的分类 题型3 三角形的内角和定理 题型4 与平行线有关的三角形内角和问题 题型5 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型6 三角形折叠中的角度问题 题型7 与三角形的高有关的计算问题 题型8 利用三角形的中线巧算长度 题型9 利用三角形的中线巧算面积 .... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三角形的定义 边、角、顶点 三角形的分类 三角形的三边关系 1. 理解三角形的定义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。 2. 能按边或角对三角形进行分类，掌握各类三角形的特征。 3. 掌握三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），并能运用该关系判断三条线段能否构成三角形、求第三边的取值范围。 4. 理解内角和定理：三角形内角和为180°，会求角度。 学习重点：三角形的概念与表示方法、三角形的分类、三角形三边关系的应用，三角形内角和定理（180°）及简单求角。 学习难点： （1）三边关系的灵活应用：判断三条线段能否组成三角形。 （2)内角和定理的推理与计算：结合角平分线、平行线性质的综合求角。 （3）几何语言规范：准确描述三角形元素、书写推理过程。 （4）分类讨论思想：等腰三角形边长、角度的多解问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 三角形的概念 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 即时即练 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A．B．C．D． 2．如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 知识点02 三角形的分类 三角形的分类 即时即练 1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形的类型的是（   ） A． B． C． D． 2．各个内角度数如图所示，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 知识点03 三角形的内角 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 即时即练 1．在中，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点03 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 即时即练 1．以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识点04 三角形的重要线段 即时即练 1．中边上的高的作法正确的是（     ） A．B．C． D． 2．如图，，，分别是的中线、角平分线和高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．如图，分别为的中点，若的面积为6，则的面积等于（   ） A．24 B．36 C．48 D．54 题型1 判断是否为三角形 【例1】小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.快速判断:将三边从小到大排序，只需验证较短两边之和>最长边，即可确定能否构成三角形，无需验证三次 2.第三边范围:若两边为α,b(a > b)，则第三边c满足:a -b<c<a +b. 3.等腰三角形:不确定腰和底时，需分情况讨论，再用三边关系检验，排除不成立的情况。 【变式1-1】图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-2】下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，用数字标注了3个三角形，其中表示的是（   ）    A．① B．② C．③ D．以上都不对 题型2 三角形的分类 【例2】下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 按角分:看最大内角判断类型:<90°为锐角三角形，=90°为直角三角形，>90°为钝角三角形 2. 按边分:分“三边都不等”和“等腰三角形“两类，等边三角形是特殊的等腰三角形 3.综合判断:结合内角和先算出各角度数，再判断角的类型。 【变式2-1】在中，若，则一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2-2】如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【变式2-3】下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 题型3 三角形的内角和定理 【例3】如图，在中，平分，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.基础计算:已知两角，直接用180°减去两角和，求第三个角。 2.比例问题:已知角度比(如2:3:4)，设三个角为2x,3x,4x，列方程2x + 3x +4x = 180°求解。 3.直角三角形:两锐角和为90°，可快速计算未知锐角。 【变式3-1】将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在中，，，且．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在中，，，B为线段上一点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型4 与平行线有关的三角形内角和问题 【例4】将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【技巧归纳】 1.转移角：利用平行线的内错角相等、同位角相等、同旁内角互补，将三角形内外的已知角转移到三角形内。 2.辅助线法：过三角形顶点作平行线，将分散的角集中，结合平角或内角和计算 【变式4-1】如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-3】将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型5 与角平分线有关的三角形内角和问题 【例5】如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1. 基础性质:角平分线将内角分成两个相等的角 2. 多角平分线:多次利用角平分线性质和内角和，逐步化简求未知角 【变式5-1】如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，，平分，与交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在中，和的平分线，相交于点F，，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型6 三角形折叠中的角度问题 【例6】如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.折叠性质:折叠前后图形全等，对应角相等，对应边相等。 2.关键方法:标记折叠前后相等的角，利用平角180°或三角形内角和列方程求解 3.常见模型:顶点 A 折叠后落在三角形内，“∠1 +∠2 = 2∠A，可快速套用。 【变式6-1】如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型7 与三角形的高有关的计算问题 【例7】如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 【技巧归纳】 1.面积法:同一三角形用不同底和高计算面积相等 2.高的位置:锐角三角形三条高都在内部;直角三角形两条直角边互为高;钝角三角形有两条高在外部. 3.角度计算:利用高与底垂直(90°)，结合内角和、互余关系推导角度。 【变式7-1】如图，平分，，，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在中，于平分交于F，交于C，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 题型8 利用三角形的中线巧算长度 【例8】如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【技巧归纳】 1.中线定义:中线连接顶点与对边中点，将对边分成相等的两段(如 AD 是中线，则 BD=DC) 2.周长差模型:▲ABD 与▲ACD 的周长差 =|AB- AC|(公共边 AD 和相等的 BD、DC 抵消) 3.中线倍长法:延长中线一倍，构造全等三角形，将分散的线段集中到同一三角形中。 【变式8-1】如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，点E是边的中点，的周长是22，则的周长是（   ） A．15 B．25 C．29 D．32 【变式8-3】如图，在中，中线，则边的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 题型9 利用三角形的中线巧算面积 【例9】如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.中线分面积：中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高，面积相等）。 2.多次中线：连续画中线，可将原三角形分成 4 个、8 个等面积的小三角形，利用面积比例快速计算。 【变式9-1】如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-2】如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-3】如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 1．下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 2．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 4．在中，边上的高线为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，于点，，，．则点到的距离为（   ）． A．3 B．4 C．5 D． 6．如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点、、分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 8．如图，是的中线．若，则_____． 9．如图，，，，则的度数为_____ ． 10．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，点在直线上，，则的度数为___________． 11．如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 12．如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 认识三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断是否为三角形 题型2 三角形的分类 题型3 三角形的内角和定理 题型4 与平行线有关的三角形内角和问题 题型5 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型6 三角形折叠中的角度问题 题型7 与三角形的高有关的计算问题 题型8 利用三角形的中线巧算长度 题型9 利用三角形的中线巧算面积 .... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 三角形的定义 边、角、顶点 三角形的分类 三角形的三边关系 1. 理解三角形的定义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。 2. 能按边或角对三角形进行分类，掌握各类三角形的特征。 3. 掌握三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），并能运用该关系判断三条线段能否构成三角形、求第三边的取值范围。 4. 理解内角和定理：三角形内角和为180°，会求角度。 学习重点：三角形的概念与表示方法、三角形的分类、三角形三边关系的应用，三角形内角和定理（180°）及简单求角。 学习难点： （1）三边关系的灵活应用：判断三条线段能否组成三角形。 （2)内角和定理的推理与计算：结合角平分线、平行线性质的综合求角。 （3）几何语言规范：准确描述三角形元素、书写推理过程。 （4）分类讨论思想：等腰三角形边长、角度的多解问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 三角形的概念 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 即时即练 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 知识点02 三角形的分类 三角形的分类 即时即练 1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形的类型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形按角分类的定义（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），结合图形中露出的角的特征进行判断即可． 【详解】解：A、图中漏出的两个角均为锐角，且两角的度数之和大于90度，则该三角形是锐角三角形，故此选项不符合题意； B、漏出的那个角是钝角，则该三角形是钝角三角形，故此选项不符合题意； C、漏出的那个角是直角，则该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D、漏出的那个角是锐角，无法确定其他两个角的度数，则无法判断该三角形的类型，故此选项符合题意． 2．各个内角度数如图所示，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理列方程求出的值，再计算最大内角的度数即可判断三角形的形状； 【详解】解：三角形内角和等于， ， 解得：， 最大内角， 这个三角形是直角三角形． 知识点03 三角形的内角 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 即时即练 1．在中，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形内角和为代入已知角度求解即可． 【详解】解：在中，，，则． 2．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据内角度数比计算出最大内角的度数，即可判断三角形类型． 【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为， ∴可设三个内角分别为，，， ∵三角形内角和为， ∴， 解得：， ∴最大内角为， ∵， 即三个内角都为锐角， ∴这个三角形是锐角三角形． 3．如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中应用三角形内角和定理有，结合可得，同理有，完成计算即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 同理，， ． 知识点03 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 即时即练 1．以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证两条较短边长的和是否大于最长边长，若满足则可以构成三角形，反之则不能． 【详解】选项A：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项B：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项C：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项D：，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 2．两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将他们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为奇数，则满足条件的三角形的个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系求出，结合第三根木棒的长为奇数，即可得出结果． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴， ∴， ∵第三根木棒的长为奇数， ∴符合条件的为3，5，7，9，共 4个， 因此满足条件的三角形个数为 4个． 知识点04 三角形的重要线段 即时即练 1．中边上的高的作法正确的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．再据此逐一判断各选项中边上高的画法是否符合定义． 【详解】解：三角形边上的高是从点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上 选项A：垂足在上，不符合题意； 选项B：垂足在上，但不是从点作的垂线，不符合题意； 选项C：垂足在上，不符合题意； 选项D：从点向的延长线作垂线，垂足在延长线上，符合题意． 2．如图，，，分别是的中线、角平分线和高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线和高线，掌握相关定义及结论即可求解； 【详解】解：∵是的中线， ∴，不是，故A错误； ∵是的角平分线， ∴，故D正确； ∵是的高线， ∴，不是，故C错误； 无法推出，故B错误； 故选：D 3．如图，在中，已知是的中线，其中，，则与的周长差是（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了中线的性质，熟悉掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据中线的性质得到，再利用周长作差即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长，的周长 ∴与的周长差， 故选：A． 4．如图，分别为的中点，若的面积为6，则的面积等于（   ） A．24 B．36 C．48 D．54 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用中点关系逐步逆推，从 的面积求出 的面积，进而求出 的面积，最后求出的面积． 【详解】解：∵F为 的中点， ∴， ∵E为 的中点， ∴， ∵D为 的中点， ∴． 题型1 判断是否为三角形 【例1】小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．据此求解即可 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是 ， 故选：C． 【技巧归纳】 1.快速判断:将三边从小到大排序，只需验证较短两边之和>最长边，即可确定能否构成三角形，无需验证三次 2.第三边范围:若两边为α,b(a > b)，则第三边c满足:a -b<c<a +b. 3.等腰三角形:不确定腰和底时，需分情况讨论，再用三边关系检验，排除不成立的情况。 【变式1-1】图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 【变式1-2】下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形， 故选：A． 【变式1-3】如图，用数字标注了3个三角形，其中表示的是（   ）    A．① B．② C．③ D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的概念，熟练掌握三角形的概念是解题的关键；根据题意及三角形的表示可进行求解． 【详解】解：表示的是①； 故选：A． 题型2 三角形的分类 【例2】下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 分类正确，故选项B正确，符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类不完整，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 【技巧归纳】 1. 按角分:看最大内角判断类型:<90°为锐角三角形，=90°为直角三角形，>90°为钝角三角形 2. 按边分:分“三边都不等”和“等腰三角形“两类，等边三角形是特殊的等腰三角形 3.综合判断:结合内角和先算出各角度数，再判断角的类型。 【变式2-1】在中，若，则一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，以及三角形的分类． 利用三角形内角和定理，结合已知条件，代入内角和方程求解，得出，从而判断三角形形状． 【详解】解：∵ ， 又 ∵ ， ∴ ， 即， ∴ ． ∴ 是直角三角形． 故选：B． 【变式2-2】如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 【变式2-3】下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为锐角三角形 D．若且，则为锐角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理、三角形的分类，举出适当的反例，即可得出答案． 【详解】解：A、当，，时，满足，但不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； B、，，，，则为直角三角形，故原说法错误，不符合题意； C、若，则为等边三角形，即为锐角三角形，故原说法正确，符合题意； D、若，，满足且，则，故不是锐角三角形，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型3 三角形的内角和定理 【例3】如图，在中，平分，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和，角的平分线意义求解即可； 【详解】解：因为，， 所以， 因为平分， 所以， 故； 【技巧归纳】 1.基础计算:已知两角，直接用180°减去两角和，求第三个角。 2.比例问题:已知角度比(如2:3:4)，设三个角为2x,3x,4x，列方程2x + 3x +4x = 180°求解。 3.直角三角形:两锐角和为90°，可快速计算未知锐角。 【变式3-1】将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，，， ， 故选：A． 【变式3-2】如图，在中，，，且．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和求得，根据题意可得，再利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，． 【变式3-3】如图，在中，，，B为线段上一点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理分别求得，，再根据即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故选：C． 题型4 与平行线有关的三角形内角和问题 【例4】将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】根据直角三角尺的性质得出，利用平角定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：直角三角尺中，，， ， ，点、、在同一直线上， ， ， ， ． 【技巧归纳】 1.转移角：利用平行线的内错角相等、同位角相等、同旁内角互补，将三角形内外的已知角转移到三角形内。 2.辅助线法：过三角形顶点作平行线，将分散的角集中，结合平角或内角和计算 【变式4-1】如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 【变式4-2】如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 【变式4-3】将一副三角板如图摆放，顶点在边上，顶点在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行，内错角相等解得再结合三角板角的性质解答即可． 【详解】解： 在中， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角板角的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 题型5 与角平分线有关的三角形内角和问题 【例5】如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得到的度数，则由角平分线的定义可得，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【技巧归纳】 1. 基础性质:角平分线将内角分成两个相等的角 2. 多角平分线:多次利用角平分线性质和内角和，逐步化简求未知角 【变式5-1】如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，在中，，平分，与交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识．根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B 【变式5-3】如图，在中，和的平分线，相交于点F，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．根据角平分线的定义可得出、，再根据内角和定理结合即可求出的度数． 【详解】解：、的平分线、相交于点， ，， ， ， ． 故选：B． 题型6 三角形折叠中的角度问题 【例6】如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理以及平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得，． ，， ， ． 【技巧归纳】 1.折叠性质:折叠前后图形全等，对应角相等，对应边相等。 2.关键方法:标记折叠前后相等的角，利用平角180°或三角形内角和列方程求解 3.常见模型:顶点 A 折叠后落在三角形内，“∠1 +∠2 = 2∠A，可快速套用。 【变式6-1】如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠和平行线的性质推导出 ，进而求出 的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式6-2】如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线的定义和平角的定义得到，，再由折叠的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴． 【变式6-3】如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质得，，，根据平行线的性质求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型7 与三角形的高有关的计算问题 【例7】如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（   ） A．4 B．4.8 C． D．8 【答案】B 【分析】利用通过等面积法列出式子，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 解得， 故选：B． 【技巧归纳】 1.面积法:同一三角形用不同底和高计算面积相等 2.高的位置:锐角三角形三条高都在内部;直角三角形两条直角边互为高;钝角三角形有两条高在外部. 3.角度计算:利用高与底垂直(90°)，结合内角和、互余关系推导角度。 【变式7-1】如图，平分，，，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的高、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识．先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义得到，由高的定义得到，再根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，． ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B 【变式7-2】如图，在中，于平分交于F，交于C，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据得出，由可得出的度数，由平分可得出的度数，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式7-3】如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型8 利用三角形的中线巧算长度 【例8】如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求长度，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形中线的意义求得，，再利用三角形的周长求得，从而可求得与的周长之差． 【详解】解：∵是边上的中线，， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴与的周长之差为 ， 故选：C． 【技巧归纳】 1.中线定义:中线连接顶点与对边中点，将对边分成相等的两段(如 AD 是中线，则 BD=DC) 2.周长差模型:▲ABD 与▲ACD 的周长差 =|AB- AC|(公共边 AD 和相等的 BD、DC 抵消) 3.中线倍长法:延长中线一倍，构造全等三角形，将分散的线段集中到同一三角形中。 【变式8-1】如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是中线的定义，解题关键是熟练掌握三角形中线的定义． 根据中线的定义得，再结合的周长及，，即可得到的周长． 【详解】解：是中线， ， ， ， 又，， ， ． 故选：． 【变式8-2】如图，在中，点E是边的中点，的周长是22，则的周长是（   ） A．15 B．25 C．29 D．32 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形的周长可进行求解． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【变式8-3】如图，在中，中线，则边的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中线的性质、三角形三边的关系即可求解； 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查中线的性质、三角形三边的关系，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 题型9 利用三角形的中线巧算面积 【例9】如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由为的中线，求出，根据为的中线可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴． 【技巧归纳】 1.中线分面积：中线将三角形分成两个面积相等的小三角形（等底同高，面积相等）。 2.多次中线：连续画中线，可将原三角形分成 4 个、8 个等面积的小三角形，利用面积比例快速计算。 【变式9-1】如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用点、、分别为中点的条件，逐步推导的面积，进而求出阴影部分的面积 【详解】解：点为的中点， ， 点为的中点， ， ， ， 点为的中点， ， 即图中阴影部分的面积为． 【变式9-2】如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接，若，则为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】如图，连接，设的面积为，利用等高模型的性质，用m表示出各个三角形的面积，可得的面积为，构建方程，可得结论． 【详解】解：如图，连接，设的面积为，点到的高为， ∵，， ∴，， ∵， ∴，则， ∵，设点D到的高为，点A到的高为， ∴，， ∴，， ∵， ∴，则， ∴ ， 解得，， ∴的面积为2． 【变式9-3】如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，根据中线的性质求出的面积，用的面积减去的面积，即为阴影的面积． 【详解】解： ，点是的中点， ， 点是的中点， ，， ， 点是的中点， ， ． 故选：B． 1．下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，故该选项不符合题意； B、，能构成三角形，故该选项不符合题意； C、，不能构成三角形，故该选项符合题意； D、，能构成三角形，故该选项不符合题意． 2．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 3．如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 是的平分线， ， 在中，． 4．在中，边上的高线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段， ∴中边上的高应过顶点且垂直于所在直线， 观察图形可知，，垂足为， ∴边上的高线为． 5．如图，在中，，于点，，，．则点到的距离为（   ）． A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， ∵，，， ∴， 解得， ∴点到的距离为． 6．如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，得到，求出，以及，再根据即可得到答案． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 7．如图，在中，点、、分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由三角形中线的性质可得，，，则，进而得到． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 8．如图，是的中线．若，则_____． 【答案】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴． 9．如图，，，，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 10．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，点在直线上，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】利用平行线的性质得到，即可得到，再利用三角形的内角和运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)2cm (2)． 【分析】（1）结合是的中线，得到，根据三角形的周长公式求解即可； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出，进而求出，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵是的中点， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $