专题05 分式（暑假复习讲义）新八年级数学新教材浙教版

专题05 分式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 分式的相关概念 题型2 分式的基本性质 题型3 分式乘除及乘方运算 题型4 分式加减运算 题型5 分式的混合运算 题型6 分式化简求值 题型7 解分式方程 题型8 分式方程中含参数问题 题型9 分式方程应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.分式的定义与有意义条件 2.分式的基本性质 3.分式的乘除运算 4.分式的加减运算 5.分式的混合运算 6.分式的化简求值 7.分式方程及应用 1.概念辨析：分式定义、有意义 / 值为 0 的条件判断，选择、填空高频题。 2.基础运算：约分、通分、乘除加减直接运算，侧重步骤规范与符号处理。 3.化简题：分式混合运算，结合因式分解约分，含负号、括号的复杂式子化简。 4.求值题：先化简再代入，含整体思想，注意排除使分式无意义的取值。 5.方程综合：分式方程解法、增根问题、含参数解的讨论，期末常考。 6.实际应用：工程、行程、销售等场景列分式方程，考查建模与检验意识。 考情解码：本章是浙教版七年级下册代数的核心板块，承接整式乘除、因式分解知识，是后续分式方程、函数学习的重要基础，侧重培养学生的代数运算能力、符号意识与模型意识。命题趋势从单一基础计算，逐步向综合运算、化简求值、跨章节融合、实际情境建模过渡。其中，分式的约分通分、混合运算步骤、分式方程的增根与检验是本章高频重难点。 知识点一 分式的相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式。其中A叫作分子，B叫作分母。 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 4.最简公分母 定义：几个分式通分时，取所有分母的最简公共分母，叫作最简公分母。简单说：最小、最简单，能被所有分母整除的整式 找最简公分母两大类型方法： （1）分母是单项式 系数部分：取所有系数的最小公倍数 字母部分：取所有出现的字母，每个字母取最高次数 （2）分母是多项式（重点必考） 第一步：先因式分解，把分母全部化成乘积形式第二步：找所有不同因式，相同因式取最高次第三步：相乘在一起，就是最简公分母 5.通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫作分式的通分 【易错提醒】 1.混淆“分式有意义”与“值为 0”:值为0必须同时满足「分子=0旦分母≠0」，只看分子会出错。 2.误判分式:只看形式，忽略分母是否含字母，或把常数分母的式子当成分式 即时即练 1．下列代数式中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、的分母5是常数，不含字母，属于整式，不是分式； 选项B、是常数，属于整式，不是分式； 选项C、中是固定常数，不是字母，分母不含字母，属于整式，不是分式； 选项D、的分母是字母，符合分式的定义，是分式． 2．要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分式有意义的条件是分母不为，对于分式，分母为， ， 解得， 故选：B． 3．分式 的值为0，则x的值为（     ） A．3 B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据且，计算即可． 【详解】解：分式的值为0， 故且， 解得，且， 故． 4．下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A ， 分子分母存在公因式，可约分为，不是最简分式； 选项B 无法分解因式，分子和分母没有公因式，不能约分， 是最简分式； 选项C ，分子分母存在公因式，可约分为，不是最简分式； 选项D ，分子分母存在公因式，可约分为，不是最简分式． 5．分式与的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再相乘即可得到结果. 【详解】解：∵ 两个分母的系数分别为和，最小公倍数为； 的次数分别为和，取最高次幂； 的次数分别为和，取最高次幂； ∴ 两个分式的最简公分母为. 知识点二 分式的基本性质 1. 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫作分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）。 【易错提醒】 1.约分不彻底:未先因式分解就直接约分，或约去的不是分子分母的公因式， 2.通分漏乘:异分母通分时，只给分母乘，忘记给分子乘对应项。0 3.符号错误:分子、分母、分式本身的符号同时改变，易混淆导致结果符号出错。 即时即练 1．下列式子中，从左往右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．不符合分式的基本性质，变形错误，不符合题意； B．，变形正确，符合题意； C．当时，无意义，变形错误，不符合题意； D．不符合分式的基本性质，变形错误，不符合题意． 2．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（     ）． A．扩大2倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】将和代入即可得到答案． 【详解】解：将分式中的和都扩大2倍可得， 原分式缩小到原来的． 知识点三 分式的乘除法及乘方运算 1.分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 2.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）。 ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹（，n是正整数） 【易错提醒】 乘除:除法未变乘法、未乘倒数;因式分解不彻底，约分不干净。 即时即练 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平方差公式分解多项式，再约去分子分母的公因式，即可得到最简结果． 【详解】解：∵， ∴ 原式 ， 约去分子分母的公因式和，得原式 ． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘方运算；将分式的分子、分母分别乘方，并注意负数的奇次幂为负． 【详解】解：， 故选：B． 4．_________． 【答案】 【分析】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 5．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再根据分式的乘法法则计算． 【详解】解：原式 ． 知识点四 分式加减运算 1.同分母分式相加 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表示： . 2.异分母分式相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 上述法则可用式子表示： . 【易错提醒】 1.加减:异分母分式加减，直接把分子、分母分别加减;通分后分子加减未加括号，符号错误。 2.混合运算:运算顺序混乱，先加减后乘除;结果未化成最简分式。 即时即练 1．计算：的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同分母分式的减法运算，利用同分母分式减法法则计算，再对分子分解因式后约分即可得到结果. 【详解】解：两个分式分母相同，同分母分式相减，分母不变，分子相减 根据平方差公式分解分子，得 代入得原式 原式分母为，因此，约去 得原式. 2．化简 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通分，再进行分式加减运算． 【详解】解： 故选：D． 3．计算：________． 【答案】 【分析】先通分将异分母分式化为同分母分式，再利用同分母分式减法法则计算，最后化简得到结果. 【详解】解：原式. 知识点五 解分式方程 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 【易错提醒】 1.去分母漏乘常数项:整式部分未乘最简公分母，导致方程变形错误。 2.忘记检验:解完不代入最简公分母，忽略增根问题。 3.混淆“增根“与“无解”:只考虑增根，忽略整式方程本身无解的情况。 即时即练 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：方程为，方程两边同乘最简公分母 （且）， 去分母可得， 去括号可得， 移项并合并同类项可得， 检验：当时，，故是原方程的解． 2．若关于的分式方程无解，那么实数的值是（     ） A．1 B．3 C．3或5 D．3或7 【答案】C 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 整理得：， 情况1：若整式方程无解， 当一次项系数为时，整式方程无解， ， 解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足，即， 把代入，得，解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 3．若关于x的方程有增根，则m的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先理解分式方程的增根是使分式分母为0的根，由此确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵原分式方程有增根，且分母为 ∴， 即 ∵ ∴ 整理得 将增根代入上式得． 4．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为． 知识点六 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义；+ 1）检验所求的解是不是所列分式方程的解。 2）检验所求的解是否符合实际意义。 答：实际问题的答案。 即时即练 1．八年级学生去距学校的博物馆参观，按时到达学校的学生乘大巴先出发，后，晚来的学生乘出租车出发，结果他们同时到达．已知出租车的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，已知大巴车的平均速度为每小时x千米；根据题意列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先统一时间单位，再根据大巴与出租车的行驶时间差建立等量关系，即可列出方程. 【详解】解：∵大巴车平均速度为，出租车平均速度是大巴平均速度的倍， ∴出租车平均速度为， 根据时间，可得大巴行驶全程的时间为，出租车行驶全程的时间为， ∵大巴先出发，两车同时到达，且， ∴大巴行驶时间比出租车多， 因此列方程得：. 2．公交公司为响应“积极稳妥推进碳达峰碳中和”的节能减排号召，决定采购新能源型和型两款公交汽车，已知每辆型汽车单价是每辆型汽车单价的2倍，现公司用1000万元购进型汽车的数量比800万元购进型汽车的数量少10辆．分别求每辆型、型汽车单价． 【答案】每辆型、型汽车单价分别是60万元，30万元 【分析】根据“用1000万元购进型汽车的数量比800万元购进型汽车的数量少10辆”这一数量关系列式求解． 【详解】解：设每辆型汽车单价是万元，则每辆型汽车单价是万元． 由题意得， 解得，                 检验，，， 是原分式方程的解， 型汽车单价（万元）             答：每辆型、型汽车单价分别是60万元，30万元． 3．列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需78元． (1)求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； (2)面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 【答案】(1)“经典臊子面臊子面”的单价是7元，“特色黄牛面”的单价是10元 (2)第三季度面粉的单价是12元 【分析】（1）设“经典臊子面”的单价是x元，“特色黄牛面”的单价是y元．利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二季度面粉的单价是m元，则第三季度面粉的单价是元，利用数量总价单价，结合第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，可列出关于m的分式方程，解之经检验后可得出第二季度面粉的单价，再将其代入中，即可求出第三季度面粉的单价． 【详解】（1）解：设“经典臊子面”的单价是x元，“特色黄牛面”的单价是y元．由题意，得 ， 解得， 答：“经典臊子面”的单价是7元，“特色黄牛面”的单价是10元； （2）解：设第二季度面粉的单价是m元，则第三季度面粉的单价是元．由题意得 ． 解得． 经检验，是所列方程的解． ∴． 答：第三季度面粉的单价是12元． 题型1 分式的相关概念 【例1】下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、属于整式，不是分式，不符合题意； B、属于整式，不是分式，不符合题意； C、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式，符合题意； D、属于整式，不是分式，不符合题意． 【变式训练1-1】使分式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵ 分式有意义的条件是分母不等于0 ∴ 对于分式，需满足 解得． 【变式训练1-2】下列分式的值可以为0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0需满足分子为0且分母不为0，逐项分析各选项即可． 【详解】解：分式值为0的条件为：分子等于0，且分母不等于0， 选项，，的分子分别为，，，均恒不为， 这三个选项的分式的值不可能为， 对选项：令分子，解得， 当时，分母， 当时，该分式的值为，满足条件， 故选：． 【变式训练1-3】将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 【答案】 【分析】把分式的通分，先确定三个分式的最简公分母，再用最简公分母除以第二个分式的分母，即可得到所求单项式． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， 最简公分母为， 计算得． 题型2 分式的基本性质 【例2】下列从左到右的变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质与符号运算，根据分式的相关性质逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A：∵ 根据分式的基本性质，分式的分子分母同时加上同一个非零数，分式的值会改变，∴ 选项A错误，不符合题意； 对于选项B：∵ ，B选项的等式不恒成立，∴ 选项B错误，不符合题意； 对于选项C：∵ 根据分式的符号法则，分子的负号可以提到分式整体的前面，分式值不变，∴ 变形正确，选项C正确，符合题意； 对于选项D：∵ ，∴ 选项D错误，不符合题意． 【变式训练2-1】化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 【变式训练2-2】如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 【答案】D 【详解】解：把分式中的、都扩大为原来的3倍可得： ， ∴分式的值不变． 【变式训练2-3】下列分式中，最简分式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，逐一分析每个选项的分子与分母是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式，反之则不是，最终确定正确选项． 【详解】解：选项A， 分式的分子与分母没有公因式， 该分式是最简分式； 选项B， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式； 选项C， 分式的分子与分母有公因式， 该分式可约分为，不是最简分式； 选项D， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式． 题型3 分式乘除及乘方运算 【例3】计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】按照先算乘方，再从左到右依次计算乘除的运算顺序即可求解． 【详解】解： 【变式训练3-1】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 【变式训练3-2】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练3-3】计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查含乘方的分式的乘除混合运算，因式分解，掌握相关知识点是解题的关键． （1）将除法转化为乘法，再约分化简即可； （2）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可； （3）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． 题型4 分式加减运算 【例4】计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 【变式训练4-1】计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将两个分式化为同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，再约分即可求解． 【详解】解： ． 【变式训练4-2】化简的结果是______． 【答案】 / 【分析】先利用平方差公式分解原式分母，对异分母分式变形后通分，再根据分式加减法法则计算，最后约分化简得到结果． 【详解】解： ． 【变式训练4-3】某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】用原行驶时间减去提速后的行驶时间计算即可. 【详解】解：. 题型5 分式的混合运算 【例5】化简：． 【答案】 【分析】本题为分式化简题，解题思路为先计算括号内的分式减法，通分合并后，将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果，即可求解． 【详解】解： ． 【变式训练5-1】化简：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式训练5-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式训练5-3】化简：． 【答案】 【分析】本题先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，利用平方差公式分解因式后约分，即可得到化简结果． 【详解】解 ： ． 题型6 分式化简求值 【例6】先化简，再从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，然后将符合题意的数值代入可得答案． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， 当时，原式． 【变式训练6-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式训练6-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】利用分式的运算法则先算括号里面的，再计算除法完成化简，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原式． 【变式训练6-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先对分式分子分母因式分解，计算括号内的减法，再约分化简原式，最后代入的值计算结果即可． 【详解】解： ， ∵， ∴． 题型7 解分式方程 【例7】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】（1）、（2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 两边同乘：， ， 解得：， 检验：将代入中，， ∴为原方程的解； （2）解： ， 两边同乘：， ， ， ， 解得：， 检验：将代入中，， ∴原分式方程无解． 【变式训练7-1】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 解得： 把代入分母，得， 因此是增根，原分式方程无解． （2）解： 去分母得， 解得 当时，最简公分母， 故原方程的解为． 【变式训练7-2】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去分母可得：， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：去分母可得：， 解得：， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 【变式训练7-3】解分式方程 (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 题型8 分式方程中含参数问题 【例8】已知关于的分式方程无解，则的值是________ 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解确定方程的增根，再代入整式方程求解的值． 【详解】解：， 去分母得： ， 移项合并同类项得：， ∵分式方程无解， ∴分母，即， 代入得： ， 解得：． 【变式训练8-1】若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数且分母不为零，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解： 方程变形为 去分母，两边同乘得： 整理得： 解得： 由分式方程的解为正数，可得，且即 解得：且． 【变式训练8-2】若关于的分式方程的解为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】已知分式方程的解，将解代入原分式方程，即可计算得到的值. 【详解】解：将代入分式方程， 得， 整理得， 解得， 经检验，满足题意． 【变式训练8-3】若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 【答案】， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出m的范围即可. 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：, ∴当时，方程无解， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是：，． 题型9 分式方程应用 【例9】甲、乙两个商店在同一平台按相同的价格购进了同一品牌的调味品，已知甲商店用1260元购进的调味品数量比乙商店用1500元购进的数量少16瓶．求这种调味品每瓶的价格． 【答案】这种调味品每瓶的价格为15元． 【分析】设这种调味品每瓶的价格为x元，根据题意可列方程为，求解并检验即可． 【详解】解：设这种调味品每瓶的价格为x元， 依据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：这种调味品每瓶的价格为15元． 【变式训练9-1】司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度是 【分析】设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据乘坐型车比乘坐型车少用小时列分式方程求解即可． 【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是， 根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：型车的平均速度是. 【变式训练9-2】滇池生态廊道是昆明打造“高原明珠”的重要民生工程．2023年，某学校开展“守护滇池”跨学科实践活动；学生沿生态廊道采集水样．已知采集点A到实验基地B的廊道全长为6千米．学生小盘，小龙同时从A点出发运送水样到B点，小盘骑共享单车，小龙步行，其中小盘的骑行速度是小龙步行速度的4倍，小盘到达B点所用时间比小龙少小时．求小龙步行的平均速度为多少千米/小时？ 【答案】小龙步行的平均速度是6千米/小时 【分析】设小龙步行的平均速度是x千米/小时，则小盘的骑行速度为千米/小时，小盘到达B点所用时间为，小龙到达B点所用时间为，由题意得，，求解即可． 【详解】解：设小龙步行的平均速度是x千米/小时，则小盘的骑行速度为千米/小时， 由题意得，， 两边同时得，， 解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：小龙步行的平均速度是6千米/小时． 1．要使分式有意义，的取值应满足（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出分母不为0的式子求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴要使分式有意义，则， 解得． 2．下列从左到右的分式变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A，分式的分子分母同时加上同一个整式，不满足分式基本性质，值不一定相等，例如取，左边为，右边为，，因此A错误； 对于B，该变形是分子分母同乘，但未说明，当时，右侧分母为0，无意义，因此B错误； 对于C，原式分母为，，分子分母同时约去公因式，可得，变形正确，因此C正确； 对于D，该变形不符合分式基本性质，值不一定相等，例如取，左边为，右边为，，因此D错误． 3．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确． 4．熊猫绿道起于都江堰市环山路玉堂街道，止于青城山镇，总长10km．甲、乙两人从绿道起点出发，沿着绿道徒步．已知甲每小时徒步km，乙每小时徒步km，他们各自走到绿道终点，甲所用的时间比乙多半小时，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据“时间=路程÷速度”分别表示出甲、乙走完全程的时间，再根据甲所用时间比乙多半小时的关系列方程，解题需要注意单位统一． 【详解】解：∵总路程为，甲的速度为，乙的速度为， ∴甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时， ∵甲所用的时间比乙多半小时，半小时为小时， ∴， ∴选A． 5．若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】先去分母求解分式方程，再根据解为正数且分式有意义列出不等式，即可求出a的取值范围． 【详解】∵ 原方程为，将方程变形为， 两边同乘去分母得：， 整理求解得：， ∵ 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ∴ ，且， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴ 且． 6．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为． ． 故选：C． 7．嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 【答案】 【分析】根据错误计算列出关于的等式，求出的化简结果，再将代入正确的分式算式，通分化简即可得到正确结果． 【详解】解：由题意可知，错算的等式为 移项得 ， ∴ ； 8．已知，则____________． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查代数式的运算，根据题意可得，再由代入计算即可． 【详解】， ， ． 故答案为：． 9．某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设这个哨所共有名战士，第一次分苹果每人分得个，第二次分苹果每人分得个，根据第二次每人比第一次多分1个苹果，列出方程即可． 【详解】解：设这个哨所共有名战士， 第一次分苹果：剩余5个苹果，实际分发苹果数为：个，每人分得个， 第二次分苹果：还差6个苹果，需要苹果数为个，每人分得个， 由题意，第二次每人比第一次多分1个苹果，因此有， 故可列方程为：． 故答案为：． 10．（1）解分式方程：；     （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后经检验，即可作答． （2）先把除法化为乘法，然后运算乘法，最后运算加法，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解是． （2）解： 11．某汽车配件公司研发出了生产电动汽车的某种关键部件，并计划安排部分工人用10天的时间生产2万个该部件． (1)若计划安排x名工人生产该部件，那么平均每人每天的工作效率是 ；（用含x的式子表示） (2)若该公司按计划生产2天后，公司又增加了50名工人生产该部件，同时通过技术革新，使所有参加生产的工人的工作效率都提高了，结果提前2天完成了生产任务．求原计划安排了多少名工人生产该部件？ 【答案】(1) (2)750名 【分析】本题主要考查了列代数式，分式方程的应用； （1）根据工作效率，工作时间及工作量的关系即可解决问题； （2）根据题意，建立关于x的方程，据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，平均每人每天的工作效率是：． 故答案为：； （2）解：由题知， ， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：原计划安排了名工人生产该部件． 12．广东绿道建设起步早、历时长、成效快，现已形成了遍布南粤大地的绿道网络，将居民点、自然与人文景观、生态保护地串联为一体．小张和小李相约到某体育休闲公园的环湖绿道上匀速骑行，已知环湖绿道全长6600米，小张的速度是小李的速度的1.2倍． (1)若两人同时出发，背向而行，经过12分钟后两人相遇，则小李每分钟骑行多少米？ (2)若两人同时出发，同向而行，结果小张比小李早了4分钟回到起点，则小李每分钟骑行多少米？ 【答案】(1)250米 (2)275米 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意找到等量关系列出方程求解． （1）设小李每分钟骑行x米，则小张每分钟骑行米，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设小李每分钟骑行a米，则小张每分钟骑行米，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设小李每分钟骑行x米，则小张每分钟骑行米． 根据题意，得， 解得． 答：小李每分钟骑行250米． （2）解：设小李每分钟骑行a米，则小张每分钟骑行米． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：小李每分钟骑行275米． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 分式的相关概念 题型2 分式的基本性质 题型3 分式乘除及乘方运算 题型4 分式加减运算 题型5 分式的混合运算 题型6 分式化简求值 题型7 解分式方程 题型8 分式方程中含参数问题 题型9 分式方程应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.分式的定义与有意义条件 2.分式的基本性质 3.分式的乘除运算 4.分式的加减运算 5.分式的混合运算 6.分式的化简求值 7.分式方程及应用 1.概念辨析：分式定义、有意义 / 值为 0 的条件判断，选择、填空高频题。 2.基础运算：约分、通分、乘除加减直接运算，侧重步骤规范与符号处理。 3.化简题：分式混合运算，结合因式分解约分，含负号、括号的复杂式子化简。 4.求值题：先化简再代入，含整体思想，注意排除使分式无意义的取值。 5.方程综合：分式方程解法、增根问题、含参数解的讨论，期末常考。 6.实际应用：工程、行程、销售等场景列分式方程，考查建模与检验意识。 考情解码：本章是浙教版七年级下册代数的核心板块，承接整式乘除、因式分解知识，是后续分式方程、函数学习的重要基础，侧重培养学生的代数运算能力、符号意识与模型意识。命题趋势从单一基础计算，逐步向综合运算、化简求值、跨章节融合、实际情境建模过渡。其中，分式的约分通分、混合运算步骤、分式方程的增根与检验是本章高频重难点。 知识点一 分式的相关概念 定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式。其中A叫作分子，B叫作分母。 1.最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2.分式有意义的条件：B≠0； 3.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 4.最简公分母 定义：几个分式通分时，取所有分母的最简公共分母，叫作最简公分母。简单说：最小、最简单，能被所有分母整除的整式 找最简公分母两大类型方法： （1）分母是单项式 系数部分：取所有系数的最小公倍数 字母部分：取所有出现的字母，每个字母取最高次数 （2）分母是多项式（重点必考） 第一步：先因式分解，把分母全部化成乘积形式第二步：找所有不同因式，相同因式取最高次第三步：相乘在一起，就是最简公分母 5.通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫作分式的通分 【易错提醒】 1.混淆“分式有意义”与“值为 0”:值为0必须同时满足「分子=0旦分母≠0」，只看分子会出错。 2.误判分式:只看形式，忽略分母是否含字母，或把常数分母的式子当成分式 即时即练 1．下列代数式中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 2．要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．分式 的值为0，则x的值为（     ） A．3 B． C． D．不存在 4．下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 5．分式与的最简公分母为（     ） A． B． C． D． 知识点二 分式的基本性质 1. 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫作分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）。 【易错提醒】 1.约分不彻底:未先因式分解就直接约分，或约去的不是分子分母的公因式， 2.通分漏乘:异分母通分时，只给分母乘，忘记给分子乘对应项。0 3.符号错误:分子、分母、分式本身的符号同时改变，易混淆导致结果符号出错。 即时即练 1．下列式子中，从左往右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（     ）． A．扩大2倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 知识点三 分式的乘除法及乘方运算 1.分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 2.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）。 ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹（，n是正整数） 【易错提醒】 乘除:除法未变乘法、未乘倒数;因式分解不彻底，约分不干净。 即时即练 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．_________． 5．计算：______． 知识点四 分式加减运算 1.同分母分式相加 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表示： . 2.异分母分式相加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 上述法则可用式子表示： . 【易错提醒】 1.加减:异分母分式加减，直接把分子、分母分别加减;通分后分子加减未加括号，符号错误。 2.混合运算:运算顺序混乱，先加减后乘除;结果未化成最简分式。 即时即练 1．计算：的结果是（   ） A． B． C． D． 2．化简 的结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算：________． 知识点五 解分式方程 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。 【易错提醒】 1.去分母漏乘常数项:整式部分未乘最简公分母，导致方程变形错误。 2.忘记检验:解完不代入最简公分母，忽略增根问题。 3.混淆“增根“与“无解”:只考虑增根，忽略整式方程本身无解的情况。 即时即练 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的分式方程无解，那么实数的值是（     ） A．1 B．3 C．3或5 D．3或7 3．若关于x的方程有增根，则m的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．解下列方程： (1) (2) 知识点六 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系； 设：用代数式表示实际问题中的基础数据； 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程； 解：求解方程； 验：考虑求出的解是否具有实际意义；+ 1）检验所求的解是不是所列分式方程的解。 2）检验所求的解是否符合实际意义。 答：实际问题的答案。 即时即练 1．八年级学生去距学校的博物馆参观，按时到达学校的学生乘大巴先出发，后，晚来的学生乘出租车出发，结果他们同时到达．已知出租车的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，已知大巴车的平均速度为每小时x千米；根据题意列出方程为（     ） A． B． C． D． 2．公交公司为响应“积极稳妥推进碳达峰碳中和”的节能减排号召，决定采购新能源型和型两款公交汽车，已知每辆型汽车单价是每辆型汽车单价的2倍，现公司用1000万元购进型汽车的数量比800万元购进型汽车的数量少10辆．分别求每辆型、型汽车单价． 3．列方程解下列问题： 重庆小面是重庆的特色美食，某小店推出两款重庆小面，一款是“经典臊子面”，另一款是“特色黄牛面”．已知2份“经典臊子面”和3份“特色黄牛面”需44元；4份“经典臊子面”和5份“特色黄牛面”需78元． (1)求“经典臊子面”和“特色黄牛面”的单价； (2)面粉是制作面条的原材料，该小店老板发现今年第三季度平均每千克面粉的价格比第二季度上涨了，第三季度花600元买到的面粉数量比第二季度花同样的钱买到的面粉数量少了10千克，求第三季度面粉的单价． 题型1 分式的相关概念 【例1】下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】使分式有意义的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列分式的值可以为0的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 题型2 分式的基本性质 【例2】下列从左到右的变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练2-2】如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 【变式训练2-3】下列分式中，最简分式是（  ） A． B． C． D． 题型3 分式乘除及乘方运算 【例3】计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【变式训练3-1】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】计算： (1)； (2) 【变式训练3-3】计算： (1)； (2)； (3)； 题型4 分式加减运算 【例4】计算：（     ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】化简的结果是______． 【变式训练4-3】某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 题型5 分式的混合运算 【例5】化简：． 【变式训练5-1】化简：． 【变式训练5-2】计算： (1)； (2)． 【变式训练5-3】化简：． 题型6 分式化简求值 【例6】先化简，再从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【变式训练6-1】先化简，再求值：，其中． 【变式训练6-2】先化简，再求值：，其中． 【变式训练6-3】先化简，再求值：，其中． 题型7 解分式方程 【例7】解分式方程： (1)； (2)． 【变式训练7-1】解分式方程： (1)； (2)． 【变式训练7-2】解分式方程： (1)； (2)． 【变式训练7-3】解分式方程 (1)； (2) ． 题型8 分式方程中含参数问题 【例8】已知关于的分式方程无解，则的值是________ 【变式训练8-1】若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是__________． 【变式训练8-2】若关于的分式方程的解为，则的值为___________． 【变式训练8-3】若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 题型9 分式方程应用 【例9】甲、乙两个商店在同一平台按相同的价格购进了同一品牌的调味品，已知甲商店用1260元购进的调味品数量比乙商店用1500元购进的数量少16瓶．求这种调味品每瓶的价格． 【变式训练9-1】司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 【变式训练9-2】滇池生态廊道是昆明打造“高原明珠”的重要民生工程．2023年，某学校开展“守护滇池”跨学科实践活动；学生沿生态廊道采集水样．已知采集点A到实验基地B的廊道全长为6千米．学生小盘，小龙同时从A点出发运送水样到B点，小盘骑共享单车，小龙步行，其中小盘的骑行速度是小龙步行速度的4倍，小盘到达B点所用时间比小龙少小时．求小龙步行的平均速度为多少千米/小时？ 1．要使分式有意义，的取值应满足（ ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的分式变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．熊猫绿道起于都江堰市环山路玉堂街道，止于青城山镇，总长10km．甲、乙两人从绿道起点出发，沿着绿道徒步．已知甲每小时徒步km，乙每小时徒步km，他们各自走到绿道终点，甲所用的时间比乙多半小时，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 5．若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A．且 B．且 C． D． 6．小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 7．嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 8．已知，则____________． 9．某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为______． 10．（1）解分式方程：；     （2）化简： 11．某汽车配件公司研发出了生产电动汽车的某种关键部件，并计划安排部分工人用10天的时间生产2万个该部件． (1)若计划安排x名工人生产该部件，那么平均每人每天的工作效率是 ；（用含x的式子表示） (2)若该公司按计划生产2天后，公司又增加了50名工人生产该部件，同时通过技术革新，使所有参加生产的工人的工作效率都提高了，结果提前2天完成了生产任务．求原计划安排了多少名工人生产该部件？ 12．广东绿道建设起步早、历时长、成效快，现已形成了遍布南粤大地的绿道网络，将居民点、自然与人文景观、生态保护地串联为一体．小张和小李相约到某体育休闲公园的环湖绿道上匀速骑行，已知环湖绿道全长6600米，小张的速度是小李的速度的1.2倍． (1)若两人同时出发，背向而行，经过12分钟后两人相遇，则小李每分钟骑行多少米？ (2)若两人同时出发，同向而行，结果小张比小李早了4分钟回到起点，则小李每分钟骑行多少米？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $