专题03 整式的乘除（暑假复习讲义）新八年级数学新教材浙教版

专题03 整式的乘除 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 幂的综合运算 题型2 比较幂的大小 题型3 零指数、负指数计算 题型4 单项式和多项式的乘除法运算 题型5 整式乘除法的实际应用 题型6 乘法公式直接计算 题型7 完全平方公式的变形有关计算 题型8 乘法公式与几何图形综合 题型9 整式化简求值 题型10 杨辉三角的探究 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.幂的运算 2.整式乘法 3.乘法公式 4.整式除法 5.整式的混合运算 6.整式乘除与几何 7.整式乘除的实际应用 1.概念辨析题：利用幂的运算法则判断式子正误，区分指数加减、乘方规则，为选择题、填空题高频基础题；零指数、负指数幂的意义辨析，含参数的指数方程求参数值。 2.基础运算题：直接应用乘法法则计算，含括号、符号的复杂式子化简，侧重分配律的规范使用与计算准确性，为基础计算必考题。 3.公式应用与变形题：直接套用公式计算；利用整体思想进行变形 4.基础运算题：直接应用除法法则计算，结合幂的运算进行化简，为基础计算必考题；含括号、系数的复杂式子分步运算，侧重步骤规范 5.混合运算题：结合幂的运算、乘除法则、乘法公式的综合化简，含符号、括号、负指数的复杂式子运算，为解答题基础题型，侧重运算顺序与步骤规范。 6.跨章节综合题：结合图形面积（如长方形、正方形边长变化求面积），利用整式乘除解决几何未知量；与方程、不等式结合，为期末解答题常考综合题。 7.实际情境应用题：结合生活场景（图形拼接、面积计算、数量关系），列整式表达式求解，侧重模型构建与运算化简能力的考查。 考情解码：本章是浙教版七年级下册代数核心运算板块，承接有理数运算与整式加减的知识，是后续因式分解、分式、二次根式学习的重要基础，也是初中阶段代数运算能力培养的关键载体。 命题趋势从单一幂运算、基础计算，逐步向综合运算 + 公式变形 + 跨章节融合 + 实际情境建模过渡。其中，乘法公式的灵活应用、整式混合运算的步骤规范、幂的运算易错辨析是本章的高频重难点，侧重培养学生的代数运算能力与符号意识。 知识点一 幂运算 1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 (a≠0,m,n均为正整数) 2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数 3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 5.零指数 a0=1 (a≠0) 6.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 7.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法． 即时即练 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约70亿光年，质量约为太阳的1000万亿倍．已知太阳的质量约为千克，则该星系团的质量用科学记数法表示，约为（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 4．的计算结果为（   ） A．2 B． C．4 D． 5．已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 6．若，，则的结果是（    ） A． B． C． D． 知识点二 整式的乘除 1.单项式乘单项式法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4.单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 5.多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 即时即练 1．计算：（     ） A． B． C． D． 2．，则（   ） A． B． C． D． 3．有一个长方体，它的底面积为，体积为，则它的高为_______． 4．计算： (1) (2) 知识点三 乘法公式 1.平方差公式 （1）平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. （2）平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 2.完全平方公式 （1）完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 （2）拓展、补充公式 ；； ；. 即时即练 1．下列各式中能用平方差公式计算的是（    ） A．B． C． D． 2．若是完全平方式，则m的值是_______． 3．计算： (1)（用乘法公式计算） (2) 题型1 幂的综合运算 【例1】计算结果正确的是（    ） A．a B．2a C． D． 【变式训练1-1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】若已知，则的值是（     ） A．2 B．4 C．1 D．3 【变式训练1-4】已知，则的值是（   ） A．4 B．6 C．10 D．16 题型2 比较幂的大小 【例2】已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型3 零指数、负指数计算 【例3】计算：______． 【变式训练3-1】计算：__________． 【变式训练3-2】计算：． 题型4 单项式和多项式的乘除法运算 【例4】2025年中国国际服务贸易交易会展示了新型模块化建筑材料，其中正方形模块A类（边长为）、B类（边长为）和长方形模块C类（长宽）可组合成不同规格的墙体．如图，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练4-1】已知，则的值为（    ） A．2 B．4 C．1 D．－1 【变式训练4-2】一个长方形的面积是．若它的长是，则它的宽是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】计算： (1)； (2)． 【变式训练4-4】计算 (1)； (2)． 题型5 整式乘除法的实际应用 【例5】某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图所示的“十”型花圃（阴影部分），在花圃内种花草． (1)求“十”型花圃的面积（用含，的式子表示）． (2)当，时，求“十”型花圃的面积． 【变式训练5-1】如图，有一块长、宽的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（） (1)用含的代数式表示草坪的面积．（结果需化简） (2)已知草坪的单价为每平方米20元，当时，求购买草坪所需要的总费用． 【变式训练5-2】如图，开心农场的农场主准备用60米长的护栏围成一边靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为米，宽为米． (1)农场主计划在中间阴影部分的正方形地块做一个水池，其余空白部分绿化，若该正方形地块的边长为米，求空白部分的面积S（用含a、b的代数式表示，并化简）； (2)当，时，求S的值． 题型6 乘法公式直接计算 【例6】下列算式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】计算：________． 【变式训练6-2】已知，，则的值为________． 题型7 完全平方公式的变形有关计算 【例7】若是一个完全平方式，则______． 【变式训练7-1】若，则a的值为______． 【变式训练7-2】已知是完全平方公式，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．16 D． 【变式训练7-3】已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型8 乘法公式与几何图形综合 【例8】观察如图所示的图形，从图1到图2可用式子表示为（     ） A． B． C． D． 【变式训练8-1】【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个） A．    B． C．        D． 【应用】 (2)已知，，请计算的值； 【拓展】 (3)已知，，则A与B的大小关系为A________B（填“”“”或“”）． 【变式训练8-2】在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） (2)【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； (3)【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 题型9 整式化简求值 【例9】先化简，再求值：，当时，求代数式的值； 【变式训练9-1】先化简，再求值：，其中． 【变式训练9-2】先化简，再求值：，其中，． 题型10 杨辉三角的探究 【例10】我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 【变式训练10-1】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项为______． 【变式训练10-2】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律： 则的展开式中所有项的系数和是（ ） A．64 B．128 C．256 D．512 1．若，则的值为（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的、、三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，需要、、板材共___________块． 3．“杨辉三角”是我国古代伟大的数学成就，用来解释二项式和的乘方系数规律．如图，杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它上方左、右两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．根据上面的规律，写出展开式中各项的系数和______． 4．已知 ，，，则，，之间的数量关系是___________ ． 5．已知，则____________． 6．【阅读材料】 我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法． 【类比探究】 (1)利用图中面积的等量关系可以得到的数学公式为 （请填序号）． ①；②；③；④． 【解决问题】 利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题： (2)已知，，则 ； (3)若，求的值． 7．数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论． (1)嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出的计算结果为______． (2)琪琪想摆出一个长方形，来验证，通过计算说明她需要三种纸片各多少张． (3)如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形． ①请根据图形直接写出______； ②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成的形式，并利用①的结论完成计算．如：．仿照上述过程计算：． (4)拓展应用： 直接写出的结果为______．（用幂的形式表示） 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的乘除 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 幂的综合运算 题型2 比较幂的大小 题型3 零指数、负指数计算 题型4 单项式和多项式的乘除法运算 题型5 整式乘除法的实际应用 题型6 乘法公式直接计算 题型7 完全平方公式的变形有关计算 题型8 乘法公式与几何图形综合 题型9 整式化简求值 题型10 杨辉三角的探究 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.幂的运算 2.整式乘法 3.乘法公式 4.整式除法 5.整式的混合运算 6.整式乘除与几何 7.整式乘除的实际应用 1.概念辨析题：利用幂的运算法则判断式子正误，区分指数加减、乘方规则，为选择题、填空题高频基础题；零指数、负指数幂的意义辨析，含参数的指数方程求参数值。 2.基础运算题：直接应用乘法法则计算，含括号、符号的复杂式子化简，侧重分配律的规范使用与计算准确性，为基础计算必考题。 3.公式应用与变形题：直接套用公式计算；利用整体思想进行变形 4.基础运算题：直接应用除法法则计算，结合幂的运算进行化简，为基础计算必考题；含括号、系数的复杂式子分步运算，侧重步骤规范 5.混合运算题：结合幂的运算、乘除法则、乘法公式的综合化简，含符号、括号、负指数的复杂式子运算，为解答题基础题型，侧重运算顺序与步骤规范。 6.跨章节综合题：结合图形面积（如长方形、正方形边长变化求面积），利用整式乘除解决几何未知量；与方程、不等式结合，为期末解答题常考综合题。 7.实际情境应用题：结合生活场景（图形拼接、面积计算、数量关系），列整式表达式求解，侧重模型构建与运算化简能力的考查。 考情解码：本章是浙教版七年级下册代数核心运算板块，承接有理数运算与整式加减的知识，是后续因式分解、分式、二次根式学习的重要基础，也是初中阶段代数运算能力培养的关键载体。 命题趋势从单一幂运算、基础计算，逐步向综合运算 + 公式变形 + 跨章节融合 + 实际情境建模过渡。其中，乘法公式的灵活应用、整式混合运算的步骤规范、幂的运算易错辨析是本章的高频重难点，侧重培养学生的代数运算能力与符号意识。 知识点一 幂运算 1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 (a≠0,m,n均为正整数) 2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数 3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 5.零指数 a0=1 (a≠0) 6.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 7.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学计数法． 即时即练 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A．，，故选项A计算错误； B． ，故选项B计算正确； C．与不是同类项，不能合并，故选项C计算错误； D．，，故选项D计算错误． 3．据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约70亿光年，质量约为太阳的1000万亿倍．已知太阳的质量约为千克，则该星系团的质量用科学记数法表示，约为（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】D 【分析】先将1000万亿转化为科学记数法形式，再结合太阳质量计算星系团质量，利用同底数幂乘法法则计算即可得到结果． 【详解】∵ 万亿， 太阳质量约为千克， ∴ 该星系团质量为 千克． 4．的计算结果为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算，利用积的乘方的逆运算将原式变形，简化计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 5．已知，则这四个数从小到大排列顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方性质，将四个数转化为指数相同的幂，先判断各数的正负，再分别在正数和负数范围内比较大小，即可得到排序结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 比较负数部分：， ，即， 比较正数部分：， ，即， 综上可得 ． 6．若，，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 知识点二 整式的乘除 1.单项式乘单项式法则 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 4.单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 5.多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 即时即练 1．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式右侧展开，通过对比对应项系数得到，的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 3．有一个长方体，它的底面积为，体积为，则它的高为_______． 【答案】/ 【分析】根据长方体体积公式得到高等于体积除以底面积，列式后利用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：设长方体的高为， ∵长方体体积公式， ∴， ∵体积，底面积， ∴ 即它的高为． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点三 乘法公式 1.平方差公式 （1）平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. （2）平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 2.完全平方公式 （1）完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 （2）拓展、补充公式 ；； ；. 即时即练 1．下列各式中能用平方差公式计算的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的适用特征，平方差公式为，能用平方差公式计算的式子需满足：两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，根据该特征逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，，两项都相同，不符合条件，不能用平方差公式计算； 选项B中，，两项都相同，不符合条件，不能用平方差公式计算； 选项C中，，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的条件，能用平方差公式计算； 选项D中，，两项都相同，不符合条件，不能用平方差公式计算． 2．若是完全平方式，则m的值是_______． 【答案】 【分析】根据完全平方式的结构特征，已知首项平方与末项平方，中间项为首尾两项乘积的倍，据此列等式求解即可得到的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 即． 3．计算： (1)（用乘法公式计算） (2) 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型1 幂的综合运算 【例1】计算结果正确的是（    ） A．a B．2a C． D． 【答案】D 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：． 【变式训练1-1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式训练1-2】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算性质与合并同类项法则，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A、根据幂的乘方法则：，， A错误； B、根据积的乘方法则：，， B错误； C、根据同底数幂乘法法则：，， C正确； D、根据合并同类项法则：合并同类项时，系数相加减，字母与指数不变， ， D错误． 【变式训练1-3】若已知，则的值是（     ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【分析】将等式两边化为同底数幂，结合幂的乘方和同底数幂的乘法法则化简，即可求出的值． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴． 【变式训练1-4】已知，则的值是（   ） A．4 B．6 C．10 D．16 【答案】D 【详解】解：∵,， ∴ . 题型2 比较幂的大小 【例2】已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一为相同值，再根据指数相同、底数大于1时，底数越大幂越大的性质比较大小． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 【变式训练2-1】若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三个数转化为指数相同的形式，再比较底数大小即可得到结果，用到知识点为，指数相同的正整数幂，底数越大，幂越大． 【详解】解： 逆用幂的乘方法则可得，，． ∵ ，且指数相同，正整数幂的值随底数增大而增大， ∴， 即． 题型3 零指数、负指数计算 【例3】计算：______． 【答案】3 【详解】． 【变式训练3-1】计算：__________． 【答案】 4 【详解】解：原式 【变式训练3-2】计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算规则分别化简每一项，再进行有理数加减运算． 【详解】解：． 题型4 单项式和多项式的乘除法运算 【例4】2025年中国国际服务贸易交易会展示了新型模块化建筑材料，其中正方形模块A类（边长为）、B类（边长为）和长方形模块C类（长宽）可组合成不同规格的墙体．如图，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据题意，大长方形的面积等于长与宽的乘积，同时也等于所有小模块面积之和．通过多项式乘法展开长与宽的积，其中项的系数即为C类卡片的张数． 【详解】解：大长方形的长为，宽为， 大长方形的面积为： ， A类卡片面积为，B类卡片面积为，C类卡片面积为， 需要A类卡片6张，B类卡片3张，C类卡片11张． 【变式训练4-1】已知，则的值为（    ） A．2 B．4 C．1 D．－1 【答案】D 【分析】本题考查了型多项式乘法，已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点．先将等号左边利用多项式乘以多项式法则展开，再根据等号成立的条件，求得两个字母的值，代入求值即可． 【详解】解：， 又， 所以，， 所以． 【变式训练4-2】一个长方形的面积是．若它的长是，则它的宽是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用多项式除以单项式的法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 【变式训练4-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据积的乘方计算，然后根据单项式乘单项式运算法则计算； （2）根据多项式乘多项式运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练4-4】计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据有理数的乘方、零指数幂，负整数指数幂分别计算，然后算乘法，最后合并即可； （）根据多项式除以单项式运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型5 整式乘除法的实际应用 【例5】某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，现要美化这块空地，在上面修建如图所示的“十”型花圃（阴影部分），在花圃内种花草． (1)求“十”型花圃的面积（用含，的式子表示）． (2)当，时，求“十”型花圃的面积． 【答案】(1)（平方米） (2)（平方米） 【分析】（1）用长方形的面积减去4个正方形的面积，再根据整式的混合运算法则计算； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， （平方米）； （2）解：当，时， 原式 （平方米） 【变式训练5-1】如图，有一块长、宽的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（） (1)用含的代数式表示草坪的面积．（结果需化简） (2)已知草坪的单价为每平方米20元，当时，求购买草坪所需要的总费用． 【答案】(1) (2)12500元 【分析】（1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 【详解】（1）解： ， 答：草坪面积为； （2）解：当，时， ， （元） 答：购买草坪所需要的总费用为12500元． 【变式训练5-2】如图，开心农场的农场主准备用60米长的护栏围成一边靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为米，宽为米． (1)农场主计划在中间阴影部分的正方形地块做一个水池，其余空白部分绿化，若该正方形地块的边长为米，求空白部分的面积S（用含a、b的代数式表示，并化简）； (2)当，时，求S的值． 【答案】(1)平方米； (2)平方米． 【分析】本题考查了整式乘法的应用、列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据长方形面积减去正方形面积，即，然后通过运算法则化简即可； （2）把，时代入即可求解． 【详解】（1）解： （平方米）， 答：空白部分的面积为平方米； （2）当，时， （平方米）． 题型6 乘法公式直接计算 【例6】下列算式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式为，要求两个相乘的二项式中，一组项完全相同，另一组项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，两项均相同，不符合要求，不能用平方差公式计算； 选项B中，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算； 选项C中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构要求，可以用平方差公式计算； 选项D中，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算． 【变式训练6-1】计算：________． 【答案】 【详解】解：． 【变式训练6-2】已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题利用平方差公式对进行因式分解，代入已知条件即可求出的值． 【详解】解：∵， 将，代入上式得：， ∴ ． 题型7 完全平方公式的变形有关计算 【例7】若是一个完全平方式，则______． 【答案】 【详解】解：∵是一个完全平方式，， ∴， 解得． 【变式训练7-1】若，则a的值为______． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式展开等式左边，根据多项式相等对应项系数相等，即可求出a的值． 【详解】， 由完全平方公式展开左边得 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得 ， 解得． 【变式训练7-2】已知是完全平方公式，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．16 D． 【答案】B 【分析】利用完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵是完全平方公式， ∴， 解得或． 【变式训练7-3】已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所求式子通过完全平方公式变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解： ． 题型8 乘法公式与几何图形综合 【例8】观察如图所示的图形，从图1到图2可用式子表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察可知图1可以拼成图2，即图1和图2面积相等． 【详解】解：图1的面积等于一个长方形的面积，为， 图2的面积等于一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积，为， 由题意可得，． 【变式训练8-1】【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个） A．    B． C．        D． 【应用】 (2)已知，，请计算的值； 【拓展】 (3)已知，，则A与B的大小关系为A________B（填“”“”或“”）． 【答案】(1)A (2)16 (3) 【分析】（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式求出A的值，再与B进行比较即可． 【详解】（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为， 因此有，，故A正确； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式训练8-2】在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） (2)【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； (3)【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)①5；②阴影部分的面积为128． 【分析】（1）结合图形直接写出答案即可； （2）①利用完全平方公式计算即可；②利用完全平方公式计算即可； （3）①设，，则，，再利用完全平方公式计算即可；②设，，求得，，利用完全平方公式求得，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：①观察图3，大正方形的面积可表示为，小正方形的面积可表示为； ②与之间的关系：； （2）解：①∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）解：①设，，则，， ∵， ∴； ②设，， 由题意得，，， ∵正方形， ∴， ∵，即， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为128． 题型9 整式化简求值 【例9】先化简，再求值：，当时，求代数式的值； 【答案】化简为，值为18 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【变式训练9-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】；10 【详解】解：原式 当时 原式． 【变式训练9-2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 题型10 杨辉三角的探究 【例10】我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】B 【分析】本题考查杨辉三角的规律，运用归纳推理思想，解题关键是掌握杨辉三角的生成规律，易错点是行数与项数的对应关系错误。 通过推导杨辉三角后续行的系数，确定展开式中含项的系数． 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为1，中间的数为上一行相邻两数之和． 由图可得展开式的系数依次为：1，4，6，4，1， 因此展开式的系数依次为：1，5，10，10，5，1， 所以， 所以展开式中含项为从左向右第4项，系数为10． 故选：B． 【变式训练10-1】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则的展开式中从左起第三项为______． 【答案】 【分析】根据杨辉三角和二项展开式的各项系数、次数的变化规律即可解答． 【详解】解：根据题意， =， ∴的展开式中从左起第三项为， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字类变化规律探究，观察等式两边的变化，找出二项式系数与杨辉三角之间的关系解答的关键． 【变式训练10-2】南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律： 则的展开式中所有项的系数和是（ ） A．64 B．128 C．256 D．512 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探索． 根据已知总结规律，可得所有项的系数和是，即可得的展开式中所有项的系数和． 【详解】解：，所有项的系数和是， ，所有项的系数和是， ，所有项的系数和是， ，所有项的系数和是， ∴所有项的系数和是， ∴的展开式中所有项的系数和是． 故选：B． 1．若，则的值为（     ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】先将等式左边展开，根据多项式相等对应系数相等，得到和的值，再利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：， 又， 对应系数相等，可得，， 由完全平方公式变形得， 代入计算得． 2．某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的、、三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，需要、、板材共___________块． 【答案】 【分析】分别计算出A、B、C板材的面积，再计算出长方形墙壁的面积，根据多项式的乘积判断需要的板材数量，求和即可． 【详解】解：由图可知，A板材的面积为，B板材的面积为，C板材的面积为， ∵， ∴需要块A板材，块B板材， 块C板材，一共块． 3．“杨辉三角”是我国古代伟大的数学成就，用来解释二项式和的乘方系数规律．如图，杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它上方左、右两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数．根据上面的规律，写出展开式中各项的系数和______． 【答案】 【分析】先根据题意得展开式中各项的系数和为；展开式中各项的系数和为；展开式中各项的系数和为；；展开式中各项的系数和为；当时，代入即可求解． 【详解】解：由展开式中各项的系数和为； 展开式中各项的系数和为； 展开式中各项的系数和为； ； ∴展开式中各项的系数和为； 当时，展开式中各项的系数和为． 4．已知 ，，，则，，之间的数量关系是___________ ． 【答案】 【分析】利用幂的运算法则将用和表示，根据底数相同的幂值相等时指数相等，即可得到a，b，c的数量关系． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 可得． 5．已知，则____________． 【答案】21 【分析】本题利用换元法简化式子，结合完全平方公式进行整体求值，先求出换元后两个变量的和，再通过完全平方公式变形计算所求乘积． 【详解】解：设，由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 6．【阅读材料】 我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法． 【类比探究】 (1)利用图中面积的等量关系可以得到的数学公式为 （请填序号）． ①；②；③；④． 【解决问题】 利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题： (2)已知，，则 ； (3)若，求的值． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】（1）阴影部分是边长为的正方形，可以看作大正方形面积减去空白部分的面积，根据面积相等可得； （2）根据完全平方公式变形，即可求解; （3）设，，则，，进而根据完全平方公式变形计算即可求解． 【详解】（1）解：利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为； （2）解：，，而， ， ； （3）解：设，，则，， ． 7．数学活动课上，老师给每个学生准备了如图1所示的A、B、C三种纸片若干，让学生们利用这些纸片摆出不同的长方形，通过长方形面积快速得到整式乘法计算结果，从而发现某些特殊结论． (1)嘉嘉用以上三种纸片摆出了如图2所示的图形，请根据图形直接写出的计算结果为______． (2)琪琪想摆出一个长方形，来验证，通过计算说明她需要三种纸片各多少张． (3)如图3，小亮从纸片A的一角裁出一张纸片B，然后将剩余部分沿虚线剪开，拼成右图所示长方形． ①请根据图形直接写出______； ②为了计算方便，我们经常把一些特定运算转化成的形式，并利用①的结论完成计算．如：．仿照上述过程计算：． (4)拓展应用： 直接写出的结果为______．（用幂的形式表示） 【答案】(1) (2)需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张 (3)①；② (4) 【分析】（1）根据图2是由2张A纸片，1张B纸片，3张C纸片组合，进而可得出答案． （2）根据多项式乘多项式计算即可得出答案． （3）①根据图3面积公式求解即可． ②利用平方差公式计算即可． （4）构造平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图2的面积为：， ∴． （2）解： 故需要A纸片6张，B纸片3张，C纸片11张． （3）解：①根据图3面积公式可得出． ②． （4）解： ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 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