专题02 二元一次方程组（暑假复习讲义）新八年级数学新教材浙教版

专题02 二元一次方程组 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 二元一次方程（组）的概念 题型2 解二元一次方程组 题型3 二元一次方程组的错解问题 题型4 二元一次方程组的相同解问题 题型5 二元一次方程组的应用-方案问题 题型6 二元一次方程组的应用-配套问题 题型7 二元一次方程组的应用-几何问题 题型8 二元一次方程组的应用-其他问题 题型9 二元一次方程组-特殊解问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 1.二元一次方程（组）的定义与解 2. 2.二元一次方程组的解法 3. 3.特殊解法与参数问题 4. 4.二元一次方程组的实际应用 5.方程组与不等式、几何综合问题 5. 6.含参数方程组解的讨论 6. 7.实际情境建模与方案设计 1.概念辨析题： 判断方程 / 方程组是否为二元一次方程（组），利用定义求参数值（系数不为 0、次数为 1）；判断一对数是否为方程组的解，为选择题、填空题高频基础题。 2.方程组解法题： 代入消元法、加减消元法的常规求解，是基础计算必考题；含分母、括号的复杂方程组化简求解，侧重步骤规范与计算准确性。 3.特殊解法与参数问题： 整体思想与换元法的应用（如含相同整体的方程组）；错解问题（看错系数 / 常数项），结合正确解与错解反推参数，为期中、期末高频压轴小题。 4.实际应用解答题： 以和差倍分、配套问题、工程问题、行程问题（相遇 / 追及 / 顺逆）、利润问题、分段计费为常见模型，考查列表梳理等量关系、列方程组求解并检验实际意义的能力，是解答题的主力题型。 5.跨章节综合题： 方程组的解满足不等式条件，求参数范围；结合三角形边长、平行线角度，用方程组求解几何未知量，为期末解答题常考的综合题。 6.解的情况分析题： 含参数方程组有唯一解、无解、无数解的条件分析，为拓展提升题常考题型。 7.开放性情境应用题： 结合生活场景（购物优惠、租车方案、物资调配），列方程组求解整数解，设计最优方案，侧重模型构建与分类讨论思想的考查。 考情解码：本章是浙教版七年级下册代数部分的核心内容，承接上学期一元一次方程的知识，是后续学习函数、不等式的重要基础，也是初中阶段 “方程建模思想” 的关键载体。 命题趋势从单一概念辨析、基础计算，逐步向综合应用 + 跨章节融合 + 实际情境建模过渡。其中，消元法的规范步骤、实际问题的等量关系梳理、参数问题的逻辑分析是本章的高频重难点，侧重培养学生的代数运算能力与模型意识 知识点一 二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程的解，叫做二元一次方程组的解． 即时即练 1．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义逐一判断选项即可，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都为1． 【详解】解：A选项中的次数为2，不符合定义，错误． B选项中，方程含有、两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且为整式方程，符合定义，正确． C选项中，方程只含有1个未知数，属于一元一次方程，不符合定义，错误． D选项中，是分式，方程不是整式方程，不符合定义，错误． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可，二元一次方程组需满足：一共含两个未知数，所有方程都是整式方程，未知数的最高次数为1． 【详解】解：A、方程组中共有x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组； B、第一个方程不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组； C、方程组共含x，y两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数的最高次数都是1，符合二元一次方程组的定义，故该方程组是二元一次方程组； D、第二个方程中项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组． 3．已知方程是关于的二元一次方程，则m的值是________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程中含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程的定义，列等式求解即可． 【详解】解：由题意得，方程 是二元一次方程，因此的次数为， 可得， 解得或， 此时的系数为，满足二元一次方程的定义． 知识点二 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【易错提醒】 1.代入消元：变形后的式子只能代入另一个方程，严禁代回原方程；代入整体加括号，杜绝漏乘、错号问题。 2. 加减消元：方程同乘倍数时，所有项（含常数项）全部乘；两式相减消元，被减式子整体变号。 3. 化简运算：去分母时常数项必须乘最简公分母；负号去括号，括号内各项全变号。 4. 基础检验：求解完成后，务必将结果代回原方程组，验证两个方程均成立。 即时即练 1．用代入消元法解方程组时，消去y后得到的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将第一个方程变形，用含的代数式表示，再代入第二个方程即可得到结果. 【详解】解： 由①，得， 将代入方程②，得 . 2．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) ． 【详解】（1）解：， 得，解得， 把代入得，解得， ∴这个方程组的解为； （2）解：， 得， 得，解得， 把代入得，解得， ∴这个方程组的解为． 知识点三 二元一次方程的应用 二元一次方程（组）的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【易错提醒】 统一题目单位，结果需符合实际，人数、物件数取正整数，舍去负数和小数。 即时即练 1．《书生坐船》原文：今有书生泛舟，四人共一舟，三舟空；三人共一舟，五人留．问人与舟各几何？译文：若干书生坐船，若每4人坐一条船，则空余3条船；若每3人坐一条船，则有5人无船可坐．问共有多少人、多少条船？若设有人，条船，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设有人，条船， 由每4人坐一条船，空余3条船，得：， 由每3人坐一条船，有5人无船可坐，得：， 则可得方程组． 2．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 【答案】C 【分析】根据题意可得，，，先求出，进而得到，解二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则，的值分别为，． 3．在校园足球邀请赛中，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．阳光队在本赛季共赛了10场，负了3场，总共获得21分．那么这个队胜了几场？平了几场？ (1)用一元一次方程求解，可设这个队胜了场，由题意，可列方程为_____________； (2)请用二元一次方程组求解； (3)对比两种解法，说说你发现的一元一次方程与二元一次方程组之间的联系（写出1条即可）． 【答案】(1) (2)这个队胜了7场，平了0场，解题过程见解析 (3)见解析 【分析】（1）设这个队胜了场，则平了场，再根据得分列方程即可； （2）设这个队胜了场，平了场，可得，再进一步求解即可； （3）结合列方程的过程或解方程组的方法可得答案． 【详解】（1）解：设这个队胜了场，则平了场， 由题意，可列方程为． （2）解：设这个队胜了场，平了场．由题意，得 ， 解得． 答：这个队胜了7场，平了0场． （3）解：二元一次方程组通过消元可以转化为一元一次方程； 或二元一次方程组中的对应一元一次方程中的“”； 两种解法的本质都是利用等量关系建立方程，用一元一次方程求解，只不过是先应用了问题中的一个等量关系（答案不唯一） 4．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用辆型车和辆型车装满物资一次可运吨；用辆型车和辆型车一次可运吨、某物流公司现有吨物资，计划同时租用型和型车，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)辆型车和辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； 【答案】(1) 辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨 (2) 共有种租车方案：①租用型车辆，型车辆；②租用型车辆，型车辆 【分析】（1）设辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意，该物流公司现有吨物资，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨， 由题意得：， 解得：， 答：辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨； （2）解：设租用型车辆，型车辆， 由题意得：， ∵均为正整数， ∴或 ． 答：共有种租车方案：①租用型车辆，型车辆；②租用型车辆，型车辆． 5．铁岭榛子以果实硕大、营养丰富而驰名省内外，银州区某榛子商店购进A，B两种不同包装的榛子共130件，总费用为12000元，A包装的进价为80元/件，售价为120元/件，B包装的进价为100元/件，售价为150元/件． (1)该榛子商店购进A，B两种不同包装的榛子各多少件？ (2)该榛子商店将这130件榛子售完后获得的利润是多少元？ 【答案】(1)购进A包装的榛子50件，B包装的榛子80件 (2)6000元 【分析】（1）设购进A包装的榛子x件，B包装的榛子y件，根据题意列出方程组即可求解； （2）根据进价、售价、数量之间的关系求解． 【详解】（1）解：设购进A包装的榛子x件，B包装的榛子y件， 由题意得， 解得， 即购进A包装的榛子50件，B包装的榛子80件； （2）解： （元） 即获得的利润是6000元． 题型1 二元一次方程(组)的相关概念 【例1】下列各式中，属于二元一次方程的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足三个条件：为整式方程，仅含两个未知数，含未知数的项的最高次数为1，据此逐一判断选项． 【详解】解：A. 是整式方程，含和两个未知数，所有含未知数的项的次数均为1，符合定义，故此选项符合题意； B. 中项的次数为2，不符合定义，故此选项不符合题意； C. 中是分式，该式不是整式方程，不符合定义，故此选项不符合题意； D. 只含有一个未知数，且的次数为2，不符合定义，故此选项不符合题意． 【变式训练1-1】下列是二元一次方程的解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是该二元一次方程的解，只需将各选项的代入验证即可． 【详解】解：选项A，当时，左边右边， A不是方程的解； 选项B，当时，左边右边， B是方程的解； 选项C，当时，左边右边， C不是方程的解； 选项D，当时，左边右边， D不是方程的解． 【变式训练1-2】若是关于x，y的二元一次方程，则m的值（     ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，可得两个条件：x的系数不为0，y的次数为1，据此列关系式求解即可得到m的值． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得：． 【变式训练1-3】若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（    ） A．8 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 解得． 题型2 解二元一次方程组 【例2】方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，使用初中的加减消元法即可计算得到结果． 【详解】解： ∵①②得 整理得，解得 把代入①得， 解得 ∴原方程组的解为． 【变式训练2-1】用代入法解方程组时，将①代入②后，得到的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把①式中的代入②式中的x， 得． 【变式训练2-2】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为第一个方程已经直接给出了y关于x的表达式，所以采用代入消元法，将y的表达式代入第二个方程，即可得到只含x的一元一次方程，求解得到x后再回代求y． （2）首先需要对第二个含分数的方程去分母，将其整理为系数为整数的二元一次方程，之后可根据整理后的方程系数特征，选择代入消元法或者加减消元法，消去其中一个未知数，求解另一个未知数后回代得到剩余未知数的值． 【详解】（1）， 把①代入②得： ， 整理得，解得， 把代入①得． 所以方程组的解为． （2）， ②，得，整理得， ，得 ，解得， 把代入①得：，解得． 所以方程组的解为． 题型3 二元一次方程组的错解问题 【例3】小轩在解方程组时，本应解出，由于看错了系数c，从而得到解，求a，b，c的值． 【答案】，， 【分析】正确解：必须同时满足方程组中的每一个方程．错误方程的解：它满足的是“被看错系数后”的新方程组，因此，它一定满足那些没有被看错系数的方程，就能将看似混乱的条件清晰地转化为几个简单的方程，从而轻松求解． 【详解】解：将代入方程组得到， 将代入方程得到， 整理得， 解得． 【变式训练3-1】在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的b，求得的解为．求正确的的值． 【答案】6 【分析】把代入方程可求出b的值，把代入方程可求出c的值，再根据乙看错了方程组中的b，得解为，可知是方程的解，继而求出a的值；将a，b，c，的值代入原式后，计算即可． 【详解】解：把代入方程中，得， 解得， 把代入方程中，得， 解得， 把代入方程中，得， 解得； ∴． 【变式训练3-2】数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得， 根据上面的信息解答： (1)求出正确的的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：原方程组为：， 由题意得：将，代入②得： ， 解这个方程，得：， 将，代入①得：， 解这个方程，得：， ； （2）解：将代入原方程组：， 得： ， 解这个方程，得：， 将代入②：， 解这个方程，得：， 所以这个方程组的解是． 题型4 二元一次方程组的相同解问题 【例4】已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出m，n的值即可． 【详解】解：由题意得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴． 【变式训练4-1】已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个方程组的解相同，得出新的方程组，求出解，然后根据方程组的解求出参数； （2）代入求值即可． 【详解】（1）解：∵两方程组的解相同， ∴x，y满足， 解得， ∴方程组相同的解为， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）得，代入得，． 题型5 二元一次方程组的应用-方案问题 【例5】某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式． 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法迭代，共需要14小时 (1)求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ (2)若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安排方案？ 【答案】(1)完成1次电机参数调试需要3小时，完成1次动态算法迭代需要5小时； (2)只有1种符合条件的安排方案 【分析】（1）设完成1次电机参数调试需要小时，完成1次动态算法迭代需要小时，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设完成电机参数调试次，动态算法迭代次，根据题意求得，结合，为正整数即可求解． 【详解】（1）解：设完成1次电机参数调试需要小时，完成1次动态算法迭代需要小时， 根据题意得， 解得， 答：完成1次电机参数调试需要3小时，完成1次动态算法迭代需要5小时； （2）解：设完成电机参数调试次，动态算法迭代次（，为正整数）， 根据题意得，即， 当，，符合题意； 当，，不符合题意； 答：只有1种符合条件的安排方案． 【变式训练5-1】根据以下素材，探索完成任务． 素材1“浙BA”的门票分为A，B，C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票需要64元；购买2张A档门票和3张B档门票需要110元；购买1张C档门票需要8元． 素材2某购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． (1)求A档和B档门票的单价． (2)某篮球俱乐部组织30名同学观看比赛． ①若购买A档门票8张、B档门票10张，其余都是C档门票，求俱乐部购买门票需要多少元? ②若该俱乐部购买门票共花了420元（三种门票都有购买），且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 【答案】(1)A档门票的单价是28元，B档门票的单价是18元 (2)①俱乐部购买门票需要436元；②设购买了张A档门票，张B档门票，则购买了张C档门票，根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， ∴共有两种购买方案， 方案1：购买10张A档门票，6张B档门票，4张C档门票； 方案2：购买5张A档门票，12张B档门票，8张C档门票． 【分析】（1）设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元，再根据票价相等列出方程组，求出解即可； （2）①根据（1）中的单价可得总票价；②设购买m张A档门票，n张B档门票，可知C档门票为张，再根据总价相等得出二元一次方程，并根据整数解讨论方案即可． 【详解】（1）解：设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：A档门票的单价是28元，B档门票的单价是18元； （2）解：①根据题意得： （元）． 答：俱乐部购买门票需要436元． ②略 【变式训练5-2】某运输公司有A，B两种货车，2辆A货车与3辆B货车一次可以运货吨，5辆A货车与2辆B货车一次可以运货吨． (1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有吨货物需要运输，该运输公司计划安排A，B两种货车将全部货物一次运完（A，B两种车型至少1辆，均需满载），其中每辆A货车一次运货花费元，每辆B货车一次运货花费元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少？ 【答案】(1)1辆A货车一次可以运货吨，1辆B货车一次可以运货吨 (2)共有3种运输方案：方案1：安排A货车7辆，B货车4辆；方案2：安排A货车4辆，B货车8辆；方案3：安排A货车1辆，B货车辆．方案3费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨．根据题意，得，解之得：； （2）设安排A货车m辆，B货车n辆．依题意得，又因为m，n均为正整数，所以有，或，或三种情况，分别计算每种情况所需费用并比较，即可找出最少费用方案． 【详解】（1）解：设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨． 根据题意，得， 得，， 得，， 得，，解得， 把代入①得，， 解得：， 答：1辆A货车一次可以运货吨，1辆B货车一次可以运货吨． （2）解：设安排A货车m辆，B货车n辆． 依题意得，又因为m，n均为正整数， 所以，或，或， 所以共有3种运输方案： 方案1：安排A货车7辆，B货车4辆，所需费用 （元）； 方案2：安排A货车4辆，B货车8辆，所需费用为 （元）； 方案3：安排A货车1辆，B货车辆，所需费用为 （元）． 因为 ， 所以安排A货车1辆，B货车辆费用最少，最少费用为元． 题型6 二元一次方程组的应用-配套问题 【例6】某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【分析】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解． 【详解】解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 【变式训练6-1】列方程或方程组解应用题 福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？ 【答案】安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题． 设安排x名工人制作衬衫，y名工人制作裤子，根据“现有24名制作服装的工人”和“要求每天获得利润2100元”列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设安排x名工人制作衬衫，y名工人制作裤子，根据题意，得 ， 解得， 答：安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子． 【变式训练6-2】综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)； (2)能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． (3)分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 【分析】（1）根据制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片，竖式无盖纸盒需要和4个长方形纸片列代数式即可． （2）能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （3）设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张，设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片， 则制作横式无盖纸盒m个，则需要个正方形纸片， ∵竖式无盖纸盒需要4个长方形纸片． 则制作竖式无盖纸盒n个，则需要个长方形纸片， 故答案为：，． （2）解：能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个， ， 解得：， 答：能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． （3）解：设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张， 设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求， 根据题意得：， ∵， ∴原式变成， 解得：， ∴， 答：分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 题型7 二元一次方程组的应用-几何问题 【例7】现有8个大小相同的长方形，可拼成图1、图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形列方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得， 解得， 每个小长方形的面积． 【变式训练7-1】如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，，根据图中的数据，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组，再利用阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知， 解得， ∴， ∴阴影部分的面积是． 【变式训练7-2】根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【答案】(1)放入的大球为4个，放入的小球为6个； (2)有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及方程的整数解问题，核心是根据“每个球使水面上升的高度×球的数量=水面总上升高度”的关系建立方程(组)． （1）先根据水面上升的总高度和球的总数，设未知数列出二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到大球和小球的个数； （2）设出大球、小球的个数，根据水面上升高度建立方程，结合小球个数为奇数的条件，找出所有符合条件的解，统计解的数量得到可能的种数． 【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个． （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 题型8 二元一次方程组的应用-其他问题 【例8】为了更有效地利用水资源，鼓励居民节约用水，某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为2.91元；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按3.71元计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分水价按6.11元计算． 已知小红家上月用水，并没有超过，缴纳水费59.80元．问：该市规定的用水标准A是多少？小红家按第二段超量部分计费的用水量是多少？ 【答案】该市规定的用水标准是，小红家按第二段超量部分计费的用水量是． 【分析】根据分段计费规则，结合已知总水费列方程组求解即可． 【详解】解：已知小红家上月用水，没有超过，缴纳水费59.80元， ，可知小红家上月用水超过， 根据分段计价规则，总水费等于第一段的水费加上超出部分的水费， 设小红家按第二段超量部分计费的用水量为， 可得方程：， 解得：， 答：该市规定的用水标准是，小红家按第二段超量部分计费的用水量是． 【变式训练8-1】数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米 (2) (3)一摞碗的高度不能为，理由见解答 【分析】（1）设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米，根据“第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用高度一个碗的高度每增加一个碗增加的高度碗的数量，即可用含的代数式表示出； （3）假设一摞碗的高度能为，根据一摞碗的高度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合为正整数，可得出假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【详解】（1）解：设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米， 根据题意得：， 解得：． 答：一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米； （2）解：根据题意得：； （3）解：一摞碗的高度不能为，理由如下： 假设一摞碗的高度能为，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【变式训练8-2】下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 爱国 9 9 0 18 敬业 9 5 4 14 诚信 9 4 5 13 友善 9 2 7 11 (1)胜一场积___________分，负一场积___________分； (2)若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【答案】(1)2；1 (2)这支球队胜了3场 【分析】（1）设胜一场积x分，负一场积y分，根据表格中的数据建立方程组求解即可； （2）设这支球队胜了m场，负了n场，根据一共有9场比赛，且胜场总积分与负场总积分相等建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：设胜一场积x分，负一场积y分， 根据敬业队和诚信队的得分可得， 解得， ∴胜一场积2分，负一场积1分； （2）解：设这支球队胜了m场，负了n场， 由题意得，， ∴， 答：这支球队胜了3场． 题型9 二元一次方程组-特殊解问题 【例9】对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)若有一个“开心”方程组的解为，则的值为__________； (2)下列方程组是“开心”方程组的是__________；（填序号） ①，②，③， (3)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值． 【答案】(1)1或3 (2)②③ (3)或 【分析】（1）根据计算即可； （2）分别判断是否符合即可； （3）根据加减消元法求出的值，根据列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵有一个“开心”方程组的解为， ∴ ， 解得或； （2）解：①由可知 ，不是“开心”方程组； ②由得可知，是“开心”方程组； ③两方程相加得，化简得，可知，是“开心”方程组； 综上，是“开心”方程组的是②③； （3）解：， 得 ． ． 关于，的方程组是“开心”方程组， ．     解得或． 【变式训练9-1】规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组 叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于x、y的方程组 为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组 时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以 ③×4得： ①④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组 的解． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，然后解方程，即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，方程的共轭二元一次方程是． （2）解：根据题意，可得， 解得． （3）解：， ，得，所以， ，得， ，得， 将代入③，得， 原方程组的解为． 【变式训练9-2】阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 【答案】(1) (2)购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元 【分析】（1）根据题中所给的换元法进行求解即可； （2）设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可令，原方程组化为， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：设购买1件甲商品需元，购买1件乙商品需元，购买1件丙商品需元，由题意得： ， 得：， ∴； 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需150元． 1．下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数；②每个未知数的最高次数为1次；③方程组中的方程都是整式方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的定义逐个判断： ∵①中含有三个未知数， ∴①不属于二元一次方程组； ∵②中共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴②属于二元一次方程组； ∵③共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴③属于二元一次方程组； ∵④中未知数的最高次数为2， ∴④不属于二元一次方程组； 综上，属于二元一次方程组的共个． 2．下列是二元一次方程 的解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程解的定义，将各选项的值代入原方程，验证左右两边是否相等即可判断． 【详解】解：A：将代入方程左边 左边 ，右边 左边右边，因此A是原方程的解； B：将代入，左边 ，不是原方程的解； C：将代入，左边 ，不是原方程的解； D：将代入，左边 ，不是原方程的解． 3．已知方程组：，则的结果是（    ） A．7 B．5 C．3 D． 【答案】A 【分析】直接用第二个方程减去第一个方程，即可直接得到的值． 【详解】解：， 得， 整理得． 4．王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支3元，笔记本每本2元，王芳同学花了20元钱，则可供她选择的购买方案有（两样都买，钱全用完）（     ）． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据题意列出方程后，结合均为正整数的条件，找出所有符合要求的解，即可统计得到方案个数． 【详解】解：设购买中性笔支，购买笔记本本，其中均为正整数， 根据总花费可列方程： ， 整理得 ， ， ， 解得 ， 为正整数， 为整数，即为正偶数， 符合条件的为，对应为，共3种购买方案． 5．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，则可以列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需根据两种分银子的情况找到对应等量关系，即可列出方程组 【详解】解：设客人为人，银子为两， ∵ 每人分7两，还剩4两，即分出去的银子等于总银子减去剩余的银子， ∴ ， ∵ 每人分9两，还差8两，即需要的总银子等于现有银子加上还差的银子， ∴ ， 因此可得方程组 6．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 解得，． 7．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是______． 【答案】 【分析】先推导出，解得，继而推导出，解得，则，即可解答． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴联立，解得， 将代入，得 ， 解得， ∴． 8．在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的平方根为________． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，应满足方程②，应满足方程①，将它们分别代入方程②和①，就可解得a，b的值，进而即可求解. 【详解】解：将代入②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ∴，即：的平方根是． 9.解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 10．北京时间2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲，乙两种航天飞船模型进行销售，根据了解，购进2件甲种航天飞船模型和3件乙种航天模型共花费340元；购进4件甲种航天飞船模型和2件乙种航天模型共花费360元． (1)求甲，乙两种航天飞船模型每件的进价分别多少元？ (2)超市计划用1800元购买甲，乙两种航天飞船模型，每种模型至少购买一台，共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种航天模型进价50元，乙种航天模型80元 (2)共4种购买方案，分别是购买甲模型28台，乙模型5台；甲模型20台，乙模型10台；甲模型12台，乙模型15台；甲模型4台，乙模型20台 【分析】（1）设甲种航天模型进价元，乙种航天模型元，根据题意建立二元一次方程组求解； （2）设甲种航天模型购买台，乙种航天模型购买台，由题意得，再求其符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲种航天模型进价元，乙种航天模型元， 由题意得， 解得． 答：甲种航天模型进价50元，乙种航天模型80元； （2）解：设甲种航天模型购买台，乙种航天模型购买台， 由题意得 ， 化简得 ， 即 ， 、均为正整数， 时，； 时，； 时，； 时，； 答：共4种购买方案，分别是购买甲模型28台，乙模型5台；甲模型20台，乙模型10台；甲模型12台，乙模型15台；甲模型4台，乙模型20台． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 二元一次方程（组）的概念 题型2 解二元一次方程组 题型3 二元一次方程组的错解问题 题型4 二元一次方程组的相同解问题 题型5 二元一次方程组的应用-方案问题 题型6 二元一次方程组的应用-配套问题 题型7 二元一次方程组的应用-几何问题 题型8 二元一次方程组的应用-其他问题 题型9 二元一次方程组-特殊解问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 1.二元一次方程（组）的定义与解 2. 2.二元一次方程组的解法 3. 3.特殊解法与参数问题 4. 4.二元一次方程组的实际应用 5.方程组与不等式、几何综合问题 5. 6.含参数方程组解的讨论 6. 7.实际情境建模与方案设计 1.概念辨析题： 判断方程 / 方程组是否为二元一次方程（组），利用定义求参数值（系数不为 0、次数为 1）；判断一对数是否为方程组的解，为选择题、填空题高频基础题。 2.方程组解法题： 代入消元法、加减消元法的常规求解，是基础计算必考题；含分母、括号的复杂方程组化简求解，侧重步骤规范与计算准确性。 3.特殊解法与参数问题： 整体思想与换元法的应用（如含相同整体的方程组）；错解问题（看错系数 / 常数项），结合正确解与错解反推参数，为期中、期末高频压轴小题。 4.实际应用解答题： 以和差倍分、配套问题、工程问题、行程问题（相遇 / 追及 / 顺逆）、利润问题、分段计费为常见模型，考查列表梳理等量关系、列方程组求解并检验实际意义的能力，是解答题的主力题型。 5.跨章节综合题： 方程组的解满足不等式条件，求参数范围；结合三角形边长、平行线角度，用方程组求解几何未知量，为期末解答题常考的综合题。 6.解的情况分析题： 含参数方程组有唯一解、无解、无数解的条件分析，为拓展提升题常考题型。 7.开放性情境应用题： 结合生活场景（购物优惠、租车方案、物资调配），列方程组求解整数解，设计最优方案，侧重模型构建与分类讨论思想的考查。 考情解码：本章是浙教版七年级下册代数部分的核心内容，承接上学期一元一次方程的知识，是后续学习函数、不等式的重要基础，也是初中阶段 “方程建模思想” 的关键载体。 命题趋势从单一概念辨析、基础计算，逐步向综合应用 + 跨章节融合 + 实际情境建模过渡。其中，消元法的规范步骤、实际问题的等量关系梳理、参数问题的逻辑分析是本章的高频重难点，侧重培养学生的代数运算能力与模型意识 知识点一 二元一次方程（组）定义 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程的解，叫做二元一次方程组的解． 即时即练 1．下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 3．已知方程是关于的二元一次方程，则m的值是________． 知识点二 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 【易错提醒】 1.代入消元：变形后的式子只能代入另一个方程，严禁代回原方程；代入整体加括号，杜绝漏乘、错号问题。 2. 加减消元：方程同乘倍数时，所有项（含常数项）全部乘；两式相减消元，被减式子整体变号。 3. 化简运算：去分母时常数项必须乘最简公分母；负号去括号，括号内各项全变号。 4. 基础检验：求解完成后，务必将结果代回原方程组，验证两个方程均成立。 即时即练 1．用代入消元法解方程组时，消去y后得到的方程是（    ）． A． B． C． D． 2．解下列方程组： (1)； (2)． 知识点三 二元一次方程的应用 二元一次方程（组）的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 【易错提醒】 统一题目单位，结果需符合实际，人数、物件数取正整数，舍去负数和小数。 即时即练 1．《书生坐船》原文：今有书生泛舟，四人共一舟，三舟空；三人共一舟，五人留．问人与舟各几何？译文：若干书生坐船，若每4人坐一条船，则空余3条船；若每3人坐一条船，则有5人无船可坐．问共有多少人、多少条船？若设有人，条船，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当时，，的值分别为（     ） A．3，2 B．1，4 C．2，3 D．7，5 3．在校园足球邀请赛中，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．阳光队在本赛季共赛了10场，负了3场，总共获得21分．那么这个队胜了几场？平了几场？ (1)用一元一次方程求解，可设这个队胜了场，由题意，可列方程为_____________； (2)请用二元一次方程组求解； (3)对比两种解法，说说你发现的一元一次方程与二元一次方程组之间的联系（写出1条即可）． 4．今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用辆型车和辆型车装满物资一次可运吨；用辆型车和辆型车一次可运吨、某物流公司现有吨物资，计划同时租用型和型车，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)辆型车和辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； 5．铁岭榛子以果实硕大、营养丰富而驰名省内外，银州区某榛子商店购进A，B两种不同包装的榛子共130件，总费用为12000元，A包装的进价为80元/件，售价为120元/件，B包装的进价为100元/件，售价为150元/件． (1)该榛子商店购进A，B两种不同包装的榛子各多少件？ (2)该榛子商店将这130件榛子售完后获得的利润是多少元？ 题型1 二元一次方程(组)的相关概念 【例1】下列各式中，属于二元一次方程的是（        ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】下列是二元一次方程的解的是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练1-2】若是关于x，y的二元一次方程，则m的值（     ） A．4 B．2 C． D．1 【变式训练1-3】若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（    ） A．8 B．5 C． D． 题型2 解二元一次方程组 【例2】方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】用代入法解方程组时，将①代入②后，得到的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】解方程组： (1) (2) 题型3 二元一次方程组的错解问题 【例3】小轩在解方程组时，本应解出，由于看错了系数c，从而得到解，求a，b，c的值． 【变式训练3-1】在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的b，求得的解为．求正确的的值． 【变式训练3-2】数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得， 根据上面的信息解答： (1)求出正确的的值； (2)求出原方程组的正确解． 题型4 二元一次方程组的相同解问题 【例4】已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练4-1】已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 题型5 二元一次方程组的应用-方案问题 【例5】某科研团队为优化人形机器人的动作稳定性，分别采用电机参数调试和动态算法迭代两种技术改进方式． 已知完成2次电机参数调试和3次动态算法迭代，共需要21小时：完成3次电机参数调试和1次动态算法迭代，共需要14小时 (1)求完成1次电机参数调试和1次动态算法迭代各需要多少小时？ (2)若该团队共用24小时完成这两项改进工作，且两种改进方式都至少进行1次，则有几种符合条件的安排方案？ 【变式训练5-1】根据以下素材，探索完成任务． 素材1“浙BA”的门票分为A，B，C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票需要64元；购买2张A档门票和3张B档门票需要110元；购买1张C档门票需要8元． 素材2某购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． (1)求A档和B档门票的单价． (2)某篮球俱乐部组织30名同学观看比赛． ①若购买A档门票8张、B档门票10张，其余都是C档门票，求俱乐部购买门票需要多少元? ②若该俱乐部购买门票共花了420元（三种门票都有购买），且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 【变式训练5-2】某运输公司有A，B两种货车，2辆A货车与3辆B货车一次可以运货吨，5辆A货车与2辆B货车一次可以运货吨． (1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有吨货物需要运输，该运输公司计划安排A，B两种货车将全部货物一次运完（A，B两种车型至少1辆，均需满载），其中每辆A货车一次运货花费元，每辆B货车一次运货花费元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少？ 题型6 二元一次方程组的应用-配套问题 【例6】某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【变式训练6-1】列方程或方程组解应用题 福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？ 【变式训练6-2】综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 题型7 二元一次方程组的应用-几何问题 【例7】现有8个大小相同的长方形，可拼成图1、图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 【变式训练7-1】如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积． 【变式训练7-2】根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 题型8 二元一次方程组的应用-其他问题 【例8】为了更有效地利用水资源，鼓励居民节约用水，某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为2.91元；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按3.71元计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分水价按6.11元计算． 已知小红家上月用水，并没有超过，缴纳水费59.80元．问：该市规定的用水标准A是多少？小红家按第二段超量部分计费的用水量是多少？ 【变式训练8-1】数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【变式训练8-2】下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 爱国 9 9 0 18 敬业 9 5 4 14 诚信 9 4 5 13 友善 9 2 7 11 (1)胜一场积___________分，负一场积___________分； (2)若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 题型9 二元一次方程组-特殊解问题 【例9】对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)若有一个“开心”方程组的解为，则的值为__________； (2)下列方程组是“开心”方程组的是__________；（填序号） ①，②，③， (3)若关于，的方程组是“开心”方程组，求的值． 【变式训练9-1】规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组 叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于x、y的方程组 为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组 时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以 ③×4得： ①④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组 的解． 【变式训练9-2】阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为，解得， 把代入，得，解得， ∴原方程组的解为． 学以致用： (1)解方程组： (2)有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元，购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元，求购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少钱． 1．下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列是二元一次方程 的解的是（     ） A． B． C． D． 3．已知方程组：，则的结果是（    ） A．7 B．5 C．3 D． 4．王芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支3元，笔记本每本2元，王芳同学花了20元钱，则可供她选择的购买方案有（两样都买，钱全用完）（     ）． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，则可以列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 6．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 7．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是______． 8．在数学课上，吴老师叫同学们解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的平方根为________． 9.解方程组： (1)； (2)． 10．北京时间2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲，乙两种航天飞船模型进行销售，根据了解，购进2件甲种航天飞船模型和3件乙种航天模型共花费340元；购进4件甲种航天飞船模型和2件乙种航天模型共花费360元． (1)求甲，乙两种航天飞船模型每件的进价分别多少元？ (2)超市计划用1800元购买甲，乙两种航天飞船模型，每种模型至少购买一台，共有几种购买方案？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $