专题04 因式分解（暑假复习讲义）新八年级数学新教材浙教版

专题04 因式分解 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 因式分解的识别 题型2 公因式 题型3 因式分解-提公因式 题型4 因式分解-公式法 题型5 因式分解-提公因式和公式法综合 题型6 因式分解的应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.因式分解的定义与意义 2.提公因式法 3 公式法 4.因式分解的步骤 5.因式分解的实际应用 1.概念辨析题：判断变形是否为因式分解，区分因式分解与整式乘法；利用定义判断结果形式（乘积式），为选择题高频基础题。 2.基础运算题：提取单项式 / 多项式公因式，含负号、系数的公因式提取，侧重公因式的找法与符号处理，为基础计算必考题。 3.公式应用与变形题：直接套用平方差、完全平方公式分解；识别公式特征，含负号、变形的式子分解，为高频考点。 4.综合分解题：结合提公因式与公式法分解；分解到不能再分解为止，检查是否分解彻底，为解答题基础题型。 5.化简求值题：利用因式分解简化计算；整体代入求值，侧重分解的灵活性与计算简便性。 考情解码：本章是浙教版七年级下册代数运算的收尾板块，承接整式乘除的知识，是后续分式化简、二次方程求解的重要基础，也是初中阶段代数变形能力培养的关键载体。 命题趋势从单一提公因式、公式套用，逐步向综合分解 + 变形应用 + 跨章节融合 + 实际情境建模过渡。其中，因式分解的步骤规范、公式法的灵活应用、分解是否彻底的易错辨析是本章的高频重难点，侧重培养学生的代数变形能力与整体意识。 知识点一 因式分解的定义 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解。 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。 3.弄清因式分解与整式乘法的内在关系。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。 即时即练 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】选项A、属于整式乘法，右边是多项式的差，不是整式积的形式，故A不符合题意； 选项B、结果为，不是几个整式积的形式，故B不符合题意； 选项C、将多项式化为两个整式与的积，符合因式分解的定义，故C符合题意； 选项D中，左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，故D不符合题意． 2．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义判断，因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，据此逐一分析选项即可. 【详解】解：∵ 因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式乘积的形式， A选项中 右边不是整式，变形后不是整式乘积，不属于因式分解， B选项中 左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，属于因式分解， C选项中 是单项式，不是多项式，不属于因式分解， D选项中 变形是从整式乘积化为多项式和的形式，属于整式乘法，不属于因式分解， ∴ 答案选B. 知识点二 公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫作这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 即时即练 1．因式分解代数式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】公因式是多项式各项都含有的公共因式，确定规则为：相同字母取最低次幂，乘积即为所求公因式． 【详解】解：∵ 多项式为，各项均含有的公共字母为和， 又∵在两项中的次数分别为和，最低次数为；在两项中的次数分别为和，最低次数为， ∴公因式为． 2．多项式的公因式是_______． 【答案】 【分析】根据确定公因式的方法，依次确定系数的最大公约数，相同字母，相同字母的最低次幂，即可得到结果． 【详解】解：多项式的公因式是． 知识点三 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 【易错提醒】 1.公因式找不全:只提系数或只提字母，漏掉最高次公因式。 2.符号处理错:首项为负时，忘记整体提负号，或括号内项的符号未全部改变。 3.漏项:提公因式后，剩余项为1时，容易漏掉，导致括号内项数减少。 即时即练 1．分解因式：____________． 【答案】 【详解】解：． 2．因式分解：_______． 【答案】 【详解】解：． 知识点四 公式法分解 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【易错提醒】 1.公式记混:平方差和完全平方公式特征混淆，尤其是完全平方公式的中间项。 2.符号错误:分解形，未先提负号，直接套用平方差导致结果错误0 3.漏分解:分解后未检查，忽略部分项仍可继续分解(如分解出的平方项还能再套公式) 即时即练 1．分解因式：________． 【答案】 【详解】解： ． 2．因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：． 知识点五 提公因式与公式法分解 （1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 （2）公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【易错提醒】 1.步骤易错:未遵循“一提二套三查”顺序，直接套用公式，忘记先提公因式 2.分解不彻底:结果中仍含有公因式、或仍可继续用公式分解，未分解到每个因式都不能再分解为止 即时即练 1．将多项式分解因式为_____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解即可. 【详解】解： ． 2．因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解即可． 【详解】解：． 题型1 因式分解的识别, 【例1】下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：因式分解要求等式左边为多项式，右边为几个整式的积的形式， A中从左到右是整式乘法，结果为和的形式，不属于因式分解，错误； B中，左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，正确； C中等式本身变形错误，不属于因式分解，错误； D中等式本身变形错误，且结果不是整式积的形式，不属于因式分解，错误． 【变式训练1-1】若，则常数________． 【答案】 【分析】先计算，再比较即可求解． 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴． 【变式训练1-2】下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，且等式需成立，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法，左边是乘积形式，右边是多项式，不符合因式分解定义，故A选项5．错误，不符合题意； B、等式右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解定义，故B选项错误，不符合题意； C、展开右边得，与左边不相等，因式分解错误，故C选项错误，不符合题意； D、对左边因式分解，，符合因式分解定义且变形正确，故D选项正确，符合题意． 【变式训练1-3】若二次三项式可分解为，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查根据因式分解的结果求参数，把利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相同列出方程求解即可得到m的值． 【详解】解：， 可分解为， ，， ，， 故答案为：． 题型2 公因式。 【例2】对多项式用提公因式法分解因式，应提取的公因式是__________． 【答案】 【分析】解题思路是分别确定系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，再组合得到公因式即可． 【详解】解：系数的最大公约数， 相同字母的最低次幂：多项式中各项都含有的相同字母是，的最低次幂是，仅在第二项出现，不纳入公因式， 因此，应提取的公因式是． 【变式训练2-1】多项式的公因式是________． 【答案】 【详解】解：多项式中，系数与的最大公约数为，两项都含有的相同字母为和，的最低次幂是，的最低次幂是，因此多项式的公因式为. 【变式训练2-2】将多项式分解因式，应提取的公因式是_________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握提公因式法因式分解是解题关键．各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，提公因式的方法为：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑．公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数．据此即可获得答案． 【详解】解：， 所以，将多项式分解因式，应提取的公因式是． 故答案为：． 【变式训练2-3】（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 题型3 因式分解-提公因式 【例3】因式分解：_____． 【答案】 【详解】解： . 【变式训练3-1】因式分解：________． 【答案】 【分析】观察多项式，找出各项的公因式，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： 【变式训练3-2】因式分解：____． 【答案】 【分析】先对原式进行变形，再提取公因式分解因式，即可得出答案． 【详解】解： ． 【变式训练3-3】因式分解：__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法因式分解成为解题的关键． 直接提取公因式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 题型4 因式分解-公式法 【例4】因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：． 【变式训练4-1】因式分解：____________． 【答案】 【详解】解： 【变式训练4-2】分解因式：________． 【答案】 【详解】解：． 【变式训练4-3】因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查运用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题关键． 原式符合平方差的结构形式，先利用平方差公式分解，再对可分解的多项式继续分解即可． 【详解】解： 题型5 因式分解-提公因式和公式法综合 【例5】把多项式分解因式的结果是______． 【答案】/ 【分析】此题考查因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和完全平方公式法因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ． 【变式训练5-1】因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 【变式训练5-2】因式分解：________． 【答案】 【分析】先对原式变形构造公因式，再提取公因式，最后利用平方差公式进行二次因式分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式训练5-3】分解因式： _____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．观察式子，发现可化为，从而提取公因式，再利用平方差公式分解，即可作答． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型6 因式分解的应用 【例6】若，，则__________． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：， 将，代入得，原式． 【变式训练6-1】已知，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，已知式子的值，求代数式的值，利用提公因式法分解因式，然后再代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 【变式训练6-2】如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据长方形的周长和面积计算公式可得的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练6-3】已知，则________． 【答案】 【分析】先根据平方差公式因式分解，代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 1．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式的右边不是积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意. 2．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（     ） A．2 B．x C．2x D． 【答案】B 【分析】按照“找系数最大公约数，找相同字母取最低次幂”的规则即可确定公因式. 【详解】解：∵ 多项式的两项为和 ∴应提取的公因式是. 3．若，，则的值是（   ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【分析】把所求式子分解因式得到，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 4．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 4 … 明文 … 玉 家 美 林 乡 爱 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．玉林美 B．家乡美 C．爱美丽 D．爱玉林 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的实际应用，先对密文用提取公因式法和平方差公式因式分解，再结合表格对应关系得到明文即可． 【详解】解： 根据表格对应关系，对应“家”，对应“美”，对应“乡” 则组合后明文为“家乡美”． 5．因式分解：________． 【答案】 【详解】解：． 6．用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解为________ ． 【答案】 【分析】观察图1和图2，根据面积公式列出关系式即可． 【详解】解：根据题意得：． 7．如果，，则的值为______． 【答案】 【分析】将用提公因式法因式分解得到，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：，， ∴． 8．定义：若一个正整数能表示成两个连续正奇数的平方差形式，那么我们把这样的正整数叫做“奇衍数”，如，正整数8就是“奇衍数”．那么100以内所有“奇衍数”的和为__________． 【答案】624 【分析】设n为正整数，则是两个连续的正奇数，可证明，则所有的“奇衍数”一定是8的倍数，求出100以内所有能被8整除的正整数的和即可得到答案． 【详解】解：设n为正整数，则是两个连续的正奇数， ， ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴所有的“奇衍数”一定能被8整除， ∴100以内所有“奇衍数”的和为． 9．计算：__________． 【答案】 【分析】利用平方差公式将每个因式分解，分解后式子可通过约分简化计算，最终得到结果． 【详解】解： 10．已知实数m满足，则的值是_____． 【答案】 【分析】对所求多项式进行降次变形，结合已知条件计算，将所求式子提取公因式转化为含已知式子的形式，再代入求值． 【详解】， ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 因式分解的识别 题型2 公因式 题型3 因式分解-提公因式 题型4 因式分解-公式法 题型5 因式分解-提公因式和公式法综合 题型6 因式分解的应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.因式分解的定义与意义 2.提公因式法 3 公式法 4.因式分解的步骤 5.因式分解的实际应用 1.概念辨析题：判断变形是否为因式分解，区分因式分解与整式乘法；利用定义判断结果形式（乘积式），为选择题高频基础题。 2.基础运算题：提取单项式 / 多项式公因式，含负号、系数的公因式提取，侧重公因式的找法与符号处理，为基础计算必考题。 3.公式应用与变形题：直接套用平方差、完全平方公式分解；识别公式特征，含负号、变形的式子分解，为高频考点。 4.综合分解题：结合提公因式与公式法分解；分解到不能再分解为止，检查是否分解彻底，为解答题基础题型。 5.化简求值题：利用因式分解简化计算；整体代入求值，侧重分解的灵活性与计算简便性。 考情解码：本章是浙教版七年级下册代数运算的收尾板块，承接整式乘除的知识，是后续分式化简、二次方程求解的重要基础，也是初中阶段代数变形能力培养的关键载体。 命题趋势从单一提公因式、公式套用，逐步向综合分解 + 变形应用 + 跨章节融合 + 实际情境建模过渡。其中，因式分解的步骤规范、公式法的灵活应用、分解是否彻底的易错辨析是本章的高频重难点，侧重培养学生的代数变形能力与整体意识。 知识点一 因式分解的定义 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫作把这个多项式因式分解。 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。 3.弄清因式分解与整式乘法的内在关系。 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式。 即时即练 1．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（  ） A． B． C． D． 知识点二 公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫作这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 即时即练 1．因式分解代数式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 2．多项式的公因式是_______． 知识点三 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式。 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的。 【易错提醒】 1.公因式找不全:只提系数或只提字母，漏掉最高次公因式。 2.符号处理错:首项为负时，忘记整体提负号，或括号内项的符号未全部改变。 3.漏项:提公因式后，剩余项为1时，容易漏掉，导致括号内项数减少。 即时即练 1．分解因式：____________． 2．因式分解：_______． 知识点四 公式法分解 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【易错提醒】 1.公式记混:平方差和完全平方公式特征混淆，尤其是完全平方公式的中间项。 2.符号错误:分解形，未先提负号，直接套用平方差导致结果错误0 3.漏分解:分解后未检查，忽略部分项仍可继续分解(如分解出的平方项还能再套公式) 即时即练 1．分解因式：________． 2．因式分解：_____． 知识点五 提公因式与公式法分解 （1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 （2）公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【易错提醒】 1.步骤易错:未遵循“一提二套三查”顺序，直接套用公式，忘记先提公因式 2.分解不彻底:结果中仍含有公因式、或仍可继续用公式分解，未分解到每个因式都不能再分解为止 即时即练 1．将多项式分解因式为_____． 2．因式分解：__________． 题型1 因式分解的识别, 【例1】下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ）． A． B． C． D． 【变式训练1-1】若，则常数________． 【变式训练1-2】下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】若二次三项式可分解为，则m的值为______． 题型2 公因式。 【例2】对多项式用提公因式法分解因式，应提取的公因式是__________． 【变式训练2-1】多项式的公因式是________． 【变式训练2-2】将多项式分解因式，应提取的公因式是_________________． 【变式训练2-3】（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 题型3 因式分解-提公因式 【例3】因式分解：_____． 【变式训练3-1】因式分解：________． 【变式训练3-2】因式分解：____． 【变式训练3-3】因式分解：__________． 题型4 因式分解-公式法 【例4】因式分解：_________． 【变式训练4-1】因式分解：____________． 【变式训练4-2】分解因式：________． 【变式训练4-3】因式分解：___________． 题型5 因式分解-提公因式和公式法综合 【例5】把多项式分解因式的结果是______． 【变式训练5-1】因式分解：________． 【变式训练5-2】因式分解：________． 【变式训练5-3】分解因式： _____． 题型6 因式分解的应用 【例6】若，，则__________． 【变式训练6-1】已知，则的值为___________． 【变式训练6-2】如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为_______． 【变式训练6-3】已知，则________． 1．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．用提公因式法因式分解时，应提取的公因式是（     ） A．2 B．x C．2x D． 3．若，，则的值是（   ） A．2 B．1 C．3 D．4 4．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 4 … 明文 … 玉 家 美 林 乡 爱 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．玉林美 B．家乡美 C．爱美丽 D．爱玉林 5．因式分解：________． 6．用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解为________ ． 7．如果，，则的值为______． 8．定义：若一个正整数能表示成两个连续正奇数的平方差形式，那么我们把这样的正整数叫做“奇衍数”，如，正整数8就是“奇衍数”．那么100以内所有“奇衍数”的和为__________． 9．计算：__________． 10．已知实数m满足，则的值是_____． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $