第04讲 垂直平分线和角平分线的性质（暑假预习讲义）新八年级数学新教材浙教版

第04讲 垂直平分线和角平分线的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 作已知线段的垂直平分线 题型3 作垂线(尺规作图) 题型4 角平分线的性质定理 题型5 角平分线性质的实际应用 题型6 作角平分线(尺规作图) .... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 垂直平分线的性质 角平分线的性质 1.学生能准确说出垂直平分线和角平分线的定义，理解并掌握垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）。​ 2.能够运用垂直平分线和角平分线的性质解决简单的几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及进行相关的计算。​ 3.了解垂直平分线和角平分线性质的逆定理，并能运用逆定理判断某点是否在垂直平分线或角平分线上。 学习重点： （1）垂直平分线和角平分线的性质的理解与掌握，即准确把握 “线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” 和 “角平分线上的点到角两边的距离相等” 这两个核心性质。 （2）能够熟练运用垂直平分线和角平分线的性质解决几何证明和计算问题 学习难点： （1）垂直平分线和角平分线性质的探究过程，尤其是如何引导学生从直观操作和观察中抽象出性质，并进行严谨的逻辑证明。 （2）区分垂直平分线和角平分线性质的应用场景，在复杂的几何图形中准确识别出垂直平分线和角平分线，进而运用其性质解决问题。 （3）理解并运用垂直平分线和角平分线性质的逆定理，明确逆定理的条件和结论，以及与原性质的区别和联系 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 垂直平分线 （1）垂直平分线和角平分线性质的探究过程，尤其是如何引导学生从直观操作和观察中抽象出性质，并进行严谨的逻辑证明。 （2）区分垂直平分线和角平分线性质的应用场景，在复杂的几何图形中准确识别出垂直平分线和角平分线，进而运用其性质解决问题。 （3）理解并运用垂直平分线和角平分线性质的逆定理，明确逆定理的条件和结论，以及与原性质的区别和联系 即时即练 1．如图，DE是中边的垂直平分线．若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为，代入数据计算即可． 【详解】解：是中边的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长． 2．如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， 故选：C． 知识点02 角平分线 1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2.作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 ②分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 ③画射线OC，射线OC即为所求。 即时即练 1．如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵平分，，， ∴． 2．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，得到，，再得到，根据题意得到是的角平分线，得到，进一步得到，即可求解． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵点到的距离相等， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型1 线段垂直平分线的性质 【例1】如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．若的周长为10，则的长是（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为10，得出，从而求出的长． 【详解】解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线， ， ∴的周长， ． 【技巧归纳】 1.看到垂直平分线，立刻想到:线上任意一点到线段两端点的距离相等(直接得到等腰三角形) 2.求周长/边长时，优先用性质把线段“替换”，比如把 PA 换成 PB，简化计算。 3.证明题中，遇到“到线段两端距离相等的点”，可以直接判定该点在垂直平分线上。 【变式1-1】如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，   是的垂直平分线，， ∴． 【变式1-2】在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 【变式1-3】如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则_____cm． 【答案】18 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 根据垂直平分线的性质可知即可得知三者相加的和． 【详解】解：∵点O为三边垂直平分线的交点 ∴ ∴ 故答案为：18 ． 题型2 作已知线段的垂直平分线 【例2】如图，在中，平分， (1)作图：作边的垂直平分线分别交，于点，（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，，求的度数． 【答案】(1)解：如图，直线即为所求； (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可； （2）根据角平分线的定义得出，，利用三角形外角的性质得出，，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 平分， ． ∵， ， ∴，， ． 【变式2-1】如图，村庄A、B分别在公路l的两侧，一辆汽车在公路l上行驶，当汽车行驶到点P的位置时，汽车到A、B两村庄的距离相等，请用尺规作图法找出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】根据线段垂直平分线的性质作出的垂直平分线与直线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 【变式2-2】如图，在中，，点在上，请在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线，交于点． 【详解】解：分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点、，过点、作直线，交于点，点即为所求． 由作图可得，直线垂直平分线段， ∵点在直线上， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式2-3】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小明想自制一个风筝，于是就在图纸上画了一个如图所示的，其中． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点；连接并延长到，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的作图和线段的作图进行解答即可； （2）根据等腰三角形三线合一得到．利用证明即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：．点为的中点． ． 在与中， ． 题型3 作垂线(尺规作图) 【例3】如图，，平分，交于点． (1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的基础上，延长交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关的性质定理、正确推理论证是解题关键． （1）根据垂线的作法即可过作的垂线，垂足为； （2）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，，然后根据等腰三角形三线合一的性质得到，再证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）证明：如图， 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【技巧归纳】 1.分两种情况: 点在直线上:以点为圆心画弧，交直线于两点，1再按垂直平分线的方法作中垂线; O点在直线外:以点为圆心画弧，交直线于两点，再按垂直平分线的方法作中垂线。 2.原理依然是SSS 全等，利用弧半径相等构造等腰三角形，等腰三角形三线合一得到垂线。 【变式3-1】如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点D，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】过点A作直线的垂线，则，那么，可得作图正确. 【详解】解：如图，点D为所求． 【变式3-2】如图，是的边上一点．请你用尺规作图法在上方作，使得点在边上，且为斜边．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】利用尺规作图中作过点E的垂线的方法，先作垂线，再与交于F点，即可作出． 【详解】如图所示，即为所求． 【变式3-3】如图，已知． (1)按要求尺规作图（仅用无刻度直尺和圆规），保留作图痕迹，不写作法． ①作出的高； ②在延长线上截取，连接，； (2)在（1）的条件下，线段和的数量关系是什么？请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图，垂线的作法和垂直平分线的判定和性质，观察并利用图形的隐含几何性质是解题的关键； （1）①以点为圆心，长为半径画弧，与线段交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点，将点与这点连接，交于点，高即为所求； ②以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线交于点，即，再连接，即可； （2）由作图可知，垂直平分线段，即可证明． 【详解】（1）①如图所示，高即为所求； ②如图所示，，，即为所求． （2）解：，理由如下： 由作图过程可得，，， ∴垂直平分线段， ． 题型4 角平分线的性质定理 【例4】如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【技巧归纳】 1.看到角平分线，立刻想到:平分线上的点到角两边的垂线段长度相等。 2.必须是“垂线段”，斜线段不适用!证明题中要先画垂线再用性质。 3.判定:到角两边距离相等的点，在角平分线上(注意“距离”也是垂线段) 【变式4-1】在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案． 【详解】解：如图，过F点作于H点， ，， ， 由作图知，平分， ， ， ， 点到的距离为2． 【变式4-2】如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，两弧交，于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】过点D分别作于点H，于点I，过点A作于点J，根据题意可得平分，可得，再通过两种方法表示出和面积，进而即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，平分，过点D分别作于点H，于点I，过点A作于点J， ∴， 由图可得，；， ∴， ∴ 解得． 【变式4-3】如图，已知中，平分，于点，连接，若，，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识．作于点F，由平分，于点E，根据角平分线的性质得，而，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】解：作于点F， ∵平分，于点E， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 题型5 角平分线性质的实际应用 【例5】一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点到三边的距离相等． 【详解】解：∵凉亭到草坪三边的距离相等， ∴该点应是三角形三条角平分线的交点， 故选：B． 【技巧归纳】 1.常见场景:求距离(如到两条相交公路的距离相等的点)、面积计算(利用垂线段相等，把高统一) 2.解题步骤: 。先确定角平分线; 。过平分线上的点向两边作垂线; 利用垂线段相等的性质，直接得出线段长度或面积关系。 【变式5-1】计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 【变式5-2】如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由： 两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 【变式5-3】如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是____． 【答案】36 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．过点分别作、的垂线交、于点、点，连接，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，然后列式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线交、于点、点，连接， ，分别平分和，，，，， ， ， 的周长， ， 故答案为：． 题型6 作角平分线(尺规作图) 【例6】如图，已知． (1)作边上的高，交于点；作的平分线，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)如图，线段，即为所求； (2) 【分析】（1）根据题意过点作的垂线，作的平分线，交于点 （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，进而求得，最后根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 平分， ． ， ， ， ． 【变式6-1】如图，在中，，请用尺规作图法，在上找一点D，使点D到的距离等于．（不要求写作法，标注字母，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】以点为圆心，任意长为半径画弧，与、分别交于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，与的交点即为点． 【详解】解：如图，点D即为所求． 【变式6-2】如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，点即为所求． 【分析】先连接，然后作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求． 【详解】略 【变式6-3】在中， ，． (1)用圆规和无刻度直尺作的角平分线交于点保留作图痕迹； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据尺规作图---角平分线的步骤作图即可； （2）先根据平行线的性质得到，，再由角平分线得到，然后通过三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：， ，， 平分， ， 是的外角， ， 1．到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点 【答案】B 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 2．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（   ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【详解】解：由作图知，， 不能得到，，平分， 综上，只有选项A符合题意． 3．下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：点到、两边距离相等， 点在的角平分线上， 由作法可知，选项C中 为 的角平分线，选项A、B、D均不符合题意． 4．如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】由角平分线的性质定理可得，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，，由作图得，，，然后利用证明即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图得，，，， ∴， ∴，即平分． ∴用到的三角形全等的判定方法是． 6．如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意可知是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，因而可得的周长，据此即可得出答案． 【详解】解：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，， 是线段的垂直平分线， ， 的周长 ． 故选：A． 7．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________． 【答案】/28度 【分析】如图，连接，证明即可得到答案. 【详解】解：如图，连接，通过尺规作图可知， ， 又， ， ∴. 8．如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是________． 【答案】 5 【分析】作，垂足为，然后根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：如图，作，垂足为， ∵平分，点在上，， ∴， ∴点到射线的距离是． 9．如图，在中，的垂直平分线与分别交于，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可推出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线与分别交于， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作，，垂足分别为、，根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为、， ∵是角平分线， ∴， 设， ∵，即 ∴， 解得， ∴， ∵是中的中线， ∴． 故答案为：8． 11．如图，已知四边形，请用尺规作图法在边上求作一点，使得点到边和边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见详解 【分析】作的平分线交于点P即可． 【详解】解：根据题意作的平分线交于点P即可．    根据角平分线的性质可得点到边和边的距离相等， 即点即为所求． 12．如图，在中，，． (1)画出的角平分线； (2)求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，画图如下： （2）解：∵，，为的角平分线， ∴， ∴． 13．如图，已知在中，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，若的周长为，，则的周长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用尺规作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换得到的周长，再根据题意求得即可解答． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴的周长是25． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 垂直平分线和角平分线的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 作已知线段的垂直平分线 题型3 作垂线(尺规作图) 题型4 角平分线的性质定理 题型5 角平分线性质的实际应用 题型6 作角平分线(尺规作图) .... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 垂直平分线的性质 角平分线的性质 1.学生能准确说出垂直平分线和角平分线的定义，理解并掌握垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）。​ 2.能够运用垂直平分线和角平分线的性质解决简单的几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及进行相关的计算。​ 3.了解垂直平分线和角平分线性质的逆定理，并能运用逆定理判断某点是否在垂直平分线或角平分线上。 学习重点： （1）垂直平分线和角平分线的性质的理解与掌握，即准确把握 “线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” 和 “角平分线上的点到角两边的距离相等” 这两个核心性质。 （2）能够熟练运用垂直平分线和角平分线的性质解决几何证明和计算问题 学习难点： （1）垂直平分线和角平分线性质的探究过程，尤其是如何引导学生从直观操作和观察中抽象出性质，并进行严谨的逻辑证明。 （2）区分垂直平分线和角平分线性质的应用场景，在复杂的几何图形中准确识别出垂直平分线和角平分线，进而运用其性质解决问题。 （3）理解并运用垂直平分线和角平分线性质的逆定理，明确逆定理的条件和结论，以及与原性质的区别和联系 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 垂直平分线 （1）垂直平分线和角平分线性质的探究过程，尤其是如何引导学生从直观操作和观察中抽象出性质，并进行严谨的逻辑证明。 （2）区分垂直平分线和角平分线性质的应用场景，在复杂的几何图形中准确识别出垂直平分线和角平分线，进而运用其性质解决问题。 （3）理解并运用垂直平分线和角平分线性质的逆定理，明确逆定理的条件和结论，以及与原性质的区别和联系 即时即练 1．如图，DE是中边的垂直平分线．若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 角平分线 1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2.作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 ②分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 ③画射线OC，射线OC即为所求。 即时即练 1．如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型1 线段垂直平分线的性质 【例1】如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．若的周长为10，则的长是（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 【技巧归纳】 1.看到垂直平分线，立刻想到:线上任意一点到线段两端点的距离相等(直接得到等腰三角形) 2.求周长/边长时，优先用性质把线段“替换”，比如把 PA 换成 PB，简化计算。 3.证明题中，遇到“到线段两端距离相等的点”，可以直接判定该点在垂直平分线上。 【变式1-1】如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【变式1-3】如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则_____cm． 题型2 作已知线段的垂直平分线 【例2】如图，在中，平分， (1)作图：作边的垂直平分线分别交，于点，（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，，求的度数． 【变式2-1】如图，村庄A、B分别在公路l的两侧，一辆汽车在公路l上行驶，当汽车行驶到点P的位置时，汽车到A、B两村庄的距离相等，请用尺规作图法找出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式2-2】如图，在中，，点在上，请在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2-3】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢，”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小明想自制一个风筝，于是就在图纸上画了一个如图所示的，其中． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点；连接并延长到，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证：． 题型3 作垂线(尺规作图) 【例3】如图，，平分，交于点． (1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的基础上，延长交于点，求证：． 【技巧归纳】 1.分两种情况: 点在直线上:以点为圆心画弧，交直线于两点，1再按垂直平分线的方法作中垂线; O点在直线外:以点为圆心画弧，交直线于两点，再按垂直平分线的方法作中垂线。 2.原理依然是SSS 全等，利用弧半径相等构造等腰三角形，等腰三角形三线合一得到垂线。 【变式3-1】如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点D，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3-2】如图，是的边上一点．请你用尺规作图法在上方作，使得点在边上，且为斜边．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式3-3】如图，已知． (1)按要求尺规作图（仅用无刻度直尺和圆规），保留作图痕迹，不写作法． ①作出的高； ②在延长线上截取，连接，； (2)在（1）的条件下，线段和的数量关系是什么？请说明理由． 题型4 角平分线的性质定理 【例4】如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.看到角平分线，立刻想到:平分线上的点到角两边的垂线段长度相等。 2.必须是“垂线段”，斜线段不适用!证明题中要先画垂线再用性质。 3.判定:到角两边距离相等的点，在角平分线上(注意“距离”也是垂线段) 【变式4-1】在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 【变式4-2】如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，两弧交，于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-3】如图，已知中，平分，于点，连接，若，，则的面积是（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 题型5 角平分线性质的实际应用 【例5】一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条中线的交点 【技巧归纳】 1.常见场景:求距离(如到两条相交公路的距离相等的点)、面积计算(利用垂线段相等，把高统一) 2.解题步骤: 。先确定角平分线; 。过平分线上的点向两边作垂线; 利用垂线段相等的性质，直接得出线段长度或面积关系。 【变式5-1】计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式5-2】如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【变式5-3】如图，已知的周长是，，分别平分和， 于点，且，则的面积是____． 题型6 作角平分线(尺规作图) 【例6】如图，已知． (1)作边上的高，交于点；作的平分线，交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求的度数． 【变式6-1】如图，在中，，请用尺规作图法，在上找一点D，使点D到的距离等于．（不要求写作法，标注字母，保留作图痕迹） 【变式6-2】如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式6-3】在中， ，． (1)用圆规和无刻度直尺作的角平分线交于点保留作图痕迹； (2)若，求的度数． 1．到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高线的交点 2．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（   ） A． B． C． D．平分 3．下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 7．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________． 8．如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是________． 9．如图，在中，的垂直平分线与分别交于，则___________． 10．如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________． 11．如图，已知四边形，请用尺规作图法在边上求作一点，使得点到边和边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）    12．如图，在中，，． (1)画出的角平分线； (2)求的度数． 13．如图，已知在中，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，若的周长为，，则的周长是多少？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $