第03讲 全等三角形（暑假预习讲义）新八年级数学新教材浙教版

第03讲 全等三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 图形的全等 题型2 全等三角形的概念 题型3 全等三角形的性质 题型4 全等三角形的证明-SSS 题型5 全等三角形的证明-SAS 题型6 全等三角形的证明-ASA 题型7 全等三角形的证明-AAS 题型8 全等三角形的性质与判定综合 题型9 结合尺规作图的全等问题 题型10 添加条件使三角形全等 题型11 倍长中线模型 .... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 全等三角形的性质，判定 1.准确理解全等三角形的概念，能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，规范书写全等表达式； 2.熟练掌握全等三角形的所有性质，能够利用性质进行边长、角度的计算，以及线段、角相等的证明； 3.熟记4种三角形全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），明确各定理的适用条件和易错点，能根据题目条件灵活选择判定方法； 4.掌握全等三角形证明题的基本解题步骤和书写格式，能独立完成简单的几何证明、计算类题目 学习重点： 1.掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质，并能用于线段、角度计算和几何证明; 2.熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，明确各定理的适用’场景; 3.掌握全等三角形证明题的标准步骤，能准确结合题目己知条件、公共边、公共角、对顶角等隐含条件，完成全等判定与推理。 学习难点： （1）对应关系识别:复杂图形(经过平移、翻折、旋转、叠加的图形)中，快速、准确找准全等三角形的对应边和对应角，避免对应关系混乱; （2）判定定理辨析:区分易混淆定理，精准识别SAS的“夹角”、ASA的“夹边”，规避SSA.AAA的判定误区:区分普通三角形和直角三角形的判定差异; （3）隐含条件挖掘:解题时灵活挖掘图形中的公共边、公共角、对顶角、等角对等边、同角的余角/补角相等、线段和差等隐含条件:; （4）综合推理应用:结合全等三角形的性质和判定进行综合性几何推理，解决多步骤证明线段平行垂直证明、图形边角计算等综合题型，建立完整的几何逻辑链条。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 全等图形 1.全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 2.全等多边形的性质 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 即时即练 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【答案】C 【分析】能够完全重合的两个图形是全等图形，根据概念逐一判断各选项即可得到正确答案． 【详解】解：A、形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，因此不一定全等，本选项错误． B、两个长方形的长和宽不一定对应相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． C、两个全等图形能够完全重合，因此面积一定相等，本选项正确． D、两个正方形的边长不一定相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． 2．在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个完全重合的图形称为全等图形，根据定义逐项判定即可得到答案． 【详解】 解：A、两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形形状不同，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形的形状和大小都不相同，不是全等图形，不符合题意． 知识点02 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 （四）全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 ②全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 即时即练 1．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．全等的两个三角形的面积相等 B．两个等腰直角三角形全等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形是全等三角形 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理以及性质是解题关键．根据全等三角形的性质和判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、全等的两个三角形的面积相等，说法正确，符合题意； B、两个等腰直角三角形角度相等，三边不一定相等，所以不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意； D、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意； 故选：A． 知识点03 全等三角形的判定 1.（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 （2）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 即时即练 1．如图，已知，若不添加辅助线，则不能证明的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：满足边角边的判定定理，能证明，故A不符合题意； 对于选项B：属于边边角的情况，不能证明，故B符合题意； 对应选项C：满足角角边的判定定理，能证明，故C不符合题意； 对应选项D：满足角边角的判定定理，能证明，故D不符合题意． 2．如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴． (2)证明：∵， ∴． 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，然后由进而得出； 接下来根据即可判定． （2）根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，在中，于点D，过点B作于点E，交于点F，．求证：． 【答案】∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先结合，得出，再结合对顶角相等以及角的等量代换，得，又因为，故，即可作答． 【详解】略 题型1 图形的全等 【例1】下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 【变式1-1】下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个周长相等的图形一定是全等图形 C．全等三角形的角平分线相等 D．两个边长为整数且周长为3的等腰三角形一定是全等图形 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形：“能够完全重合的两个图形叫做全等形”根据全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意； B、两个周长相等的图形不一定是全等图形，故B错误，不符合题意； C、全等三角形的对应角平分线的长度相等，故C错误，不符合题意； D、两个边长为整数且周长为3的等腰三角形一定是等边三角形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】如图所示的是一个网球场地，在A，，，，，六个图形中，其中全等图形有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形的识别．熟练掌握全等图形的特征，是解题的关键． 由全等图形的定义，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，分析即得答案． 【详解】观察图形，根据全等的知识可知：图中A与，与，与能够重合，是全等形． 共对．  故选：C． 题型2 全等三角形的概念 【例2】下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意． 故选：D． 【变式2-1】说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误； 两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误． 长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确； 故选D． 【变式2-2】如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 【变式2-3】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定以及全等变换，以为公共边时有3个三角形，以为公共边时有1个三角形与全等，关键是考虑全面，不要漏解． 【详解】解：如图所示：    以为公共边的三角形有3个，以为公共边的三角形有0个，以为公共边的三角形有1个，共个， 故选：D． 题型3 全等三角形的性质 【例3】如图，已知，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令与交于点，根据三角形内角和性质结合题意求出的值，再根据全等的性质，求出的值，最后根据是的外角，得，即可求解． 【详解】如图，与交于点， ∵的内角和为，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴． 【变式3-1】如图，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴． 【变式3-2】如图所示的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵如图所示的两个三角形全等，a和c的夹角分别为和 ∴． 【变式3-3】如图，已知，点与点，点与点分别是对应顶点，若，，，则的度数及的长分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由三角形内角和定理得出，由全等三角形的性质得出，． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，． 题型4 全等三角形的证明-SSS 【例4】如图，点D，A，E，B在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据等式的性质得出，利用证明与全等，进而解答即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，是线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据中点的性质得到，再由证明三角形全等． 【详解】证明：是线段的中点， ． 在和中， ，                         ． 【变式4-2】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)若，， 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明角相等． （1）根据可得，再加上条件，．可利用定理证明； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质得到对应角相等，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）解：， ，即． 在和中， ， ． （2）解：由（1）知， ． ，， ． 【变式4-3】如图，，与相交于点O．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合等角对等边即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 题型5 全等三角形的证明-SAS 【例5】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 【变式5-1】如图，线段、相交于点，且互相平分． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵线段、相交于点O，且互相平分， ，，， ∴． (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由相互平分以及对顶角的性质可得、、，再利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-2】如图，点E在的边上，与交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由可得，进而根据判定定理“”即可证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 是和的外角， ， ． 【变式5-3】如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，根据进行判定即可； （2）由（1）可得，得到，证明，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明： 在和中， ， ， ． 题型6 全等三角形的证明-ASA 【例6】如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． 在和中 ， ∴． 【分析】先根据平行线的性质得到，再利用证明即可． 【详解】略 【变式6-1】如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，关键是找到、所在的全等三角形．通过角的和运算得到，结合公共边和，利用判定，从而推出． 【详解】证明：∵，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，已知，点C和点F在线段上，与交于点O，，． (1)求证：； (2)若，则的度数为 度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由易证，再通过，即可得证； （2）由，易得，可得，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40cm (3) 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答； （3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：，，，， ， ，， ． 在和中， ； （2）解：由题意得：，． ， ，， ， 故两堵木墙之间的距离为． （3）解：依题意，四边形是梯形， ∴四边形的面积 ． 题型7 全等三角形的证明-AAS 【例7】如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，和中，，点B、E、C在同一条直线上，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求BC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用同角的余角相等得出，再利用证明即可． （2）利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ，， ． 【变式7-2】如图，在四边形中，，，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）首先推导出，然后根据证出； （2）求出，证，推出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴． 【变式7-3】如图，在△和△中，，平分，交于点，，． (1)求的长； (2)求△的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练运用相关知识点是解题的关键． （1）由等腰三角形的“三线合一”即可得出答案； （2）作出底边上的高，由条件可得出三角形全等，进而可求出高，由三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，平分 ∴ （2）过点作，交的延长线于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 题型8 全等三角形的性质与判定综合 【例8】如图，已知， (1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） (2)选择（1）中的一种情况进行证明． 【答案】(1)②或③（任选一个填即可） (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；分析条件，可得一边与一角对应相等，若用判定，则选择②；若用判定，则选择③，从而可完成两问的解答． 【详解】（1）解：②或③（任选一个填即可） （2）选择② 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； 选择③ 证明：， ， ， ， ， 在和中，， ； 【变式8-1】如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 【变式8-2】如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接用即可证明； （2）由，可得出，由， 可得出，由即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ∴ （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键． 题型9 结合尺规作图的全等问题 【例9】根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有． 根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选： D． 【变式9-1】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、C选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A、C不符合题意； B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的； D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意． 故选：D． 【变式9-2】如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可； 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中 ∴ ∴， ∵． ∴， ． 【变式9-3】如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 题型10 添加条件使三角形全等 【例10】如图，在一条直线上，，要说明，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， 、当添加时，对应条件为，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，，能证明，符合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意． 【变式10-1】如图，点在同一条直线上，，，添加下列条件不能判定 的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， A、添加条件，结合条件，，可以由证明，不符合题意； B、添加条件，结合条件，，可以由证明，不符合题意； C、添加条件，则，即，结合条件，，可以由证明，不符合题意； D、添加条件，得，结合条件，，不可以由证明，符合题意． 【变式10-2】如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角，根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 当添加， ∵，，，不能证明， ∴A选项不符合题意； 当添加，那么，即， ∵，，，不能证明， ∴B选项不符合题意； 当添加， ∵，，，满足， ∴可证， ∴C选项符合题意； 当添加，不能证明， ∴D选项不符合题意； ∴需要添加的条件可以是， 故选：C． 【变式10-3】如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知，是和的公共边，即．结合全等三角形判定定理、，补充一组对应边相等或两边的夹角相等，即可证明． 【详解】解：由题意可知： 是两个三角形公共边， ， 又已知， 添加条件： 在和中： ， ； 添加条件： 在和中： ， ， 综上，可填：（答案不唯一）． 题型11 倍长中线模型 【例11】如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先延长到，使，连接，证明，然后根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，则． 是的中线， ， 和中， ， ． ， ， 在中，， ． 【技巧归纳】 倍长中线模型，是通过延长中线一倍，构造SAS全等三角形，把分散的边 / 角条件集中到同一三角形中，常用于解决线段取值范围、和差关系、平行 / 相等证明的全等三角形经典辅助线模型 【变式11-1】如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】构造全等三角形和，可得，由三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，可得的取值范围，也就是的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的取值范围是：． 【变式11-2】如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式11-3】【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 【答案】 （1）平行； （2） （3） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形三边关系、以及等腰三角形的判定，核心方法是“倍长中线法”和构造全等三角形，同时结合平行线与角的转化解决问题． （1）考查倍长中线法构造全等三角形，利用全等得到平行关系，再结合三角形三边关系求中线范围； （2）考查倍长中线法构造全等三角形，结合角平分线性质与全等三角形的判定，推导线段的倍数关系； （3）考查平行线的性质、等腰三角形的判定与全等三角形的构造，通过角的转化和线段的等量代换求解长度． 【详解】解：（1）由，得，故． 在中，，，由三边关系，即，化简得． 故答案为：平行；． （2）如图，延长到，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图，过作，交的延长线于，则． ∵是中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设，则，，故． 由，解得， ∴． 1．下列四组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形． 根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A、大小不等，不是全等图形，故此选项不合题意； B．形状不同，不是全等图形，故此选项不合题意； C．形状相同，大小相等，旋转后能够完全重合，是全等图形，故此选项符合题意； D．形状不同，不是全等图形，故此选项不合题意； 故选：C． 2．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，，A、F、B、D四点在同一直线上，若，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵A、F、B、D四点在同一直线上，，， ∴． 4．如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点的定义可得两组对应边相等，根据对顶角相等可得一组对应角相等，利用即可判定三角形全等． 【详解】解：点是两根细木条的中点， ，． 与是对顶角， ． 在和中， ， ． 5．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，证明，推出，根据网格特点，可知，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 由图可知，， ∴. 6．如图，已知，下列所给条件能证明的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可. 【详解】解：根据已知， 只有两个条件没法证明全等，故D选项不符合题意， 当，，根据可以得到； 当或时，不能得到. 7．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】证明：，， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ． 【分析】由题意可得，再由线段的和差得出，再利用证明即可． 【详解】略 9．如图，已知，且，E、F是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，、是上两点， ， ， ， ， 在和中， ， (2) 【分析】（1）利用“”直接证明全等即可； （2）由三角形内角和定理可得，再根据全等三角形的性质，得出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）得， ， ， 的度数是． 10．如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）首先利用三角形的高线的性质证明 ，然后利用即可证明 ； （2）利用全等三角形的性质可以得到 、 的长度，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 的两条高 ， 交于点 ， ， 即 ， 在 与 中， ； （2）解： ， ， ， ，， ， ， ． 11．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）诚诚在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请将证明“”的过程补充完整． 求证：． 证明：延长到点E，使，连接． 在和中， ， ∴（③______）． （2）由（1）中的结论，根据与之间的关系，探究的取值范围； [总结感悟] 解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [问题解决] （3）如图2，在中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长． 【答案】（1）对顶角相等；；；（2）；（3）8 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； 故答案为：对顶角相等；；； （2）解：由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）解：延长交的延长线于F， ∵是的中线 ∴ ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是8． = 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 全等三角形 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 图形的全等 题型2 全等三角形的概念 题型3 全等三角形的性质 题型4 全等三角形的证明-SSS 题型5 全等三角形的证明-SAS 题型6 全等三角形的证明-ASA 题型7 全等三角形的证明-AAS 题型8 全等三角形的性质与判定综合 题型9 结合尺规作图的全等问题 题型10 添加条件使三角形全等 题型11 倍长中线模型 .... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 全等三角形的性质，判定 1.准确理解全等三角形的概念，能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，规范书写全等表达式； 2.熟练掌握全等三角形的所有性质，能够利用性质进行边长、角度的计算，以及线段、角相等的证明； 3.熟记4种三角形全等判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），明确各定理的适用条件和易错点，能根据题目条件灵活选择判定方法； 4.掌握全等三角形证明题的基本解题步骤和书写格式，能独立完成简单的几何证明、计算类题目 学习重点： 1.掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质，并能用于线段、角度计算和几何证明; 2.熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，明确各定理的适用’场景; 3.掌握全等三角形证明题的标准步骤，能准确结合题目己知条件、公共边、公共角、对顶角等隐含条件，完成全等判定与推理。 学习难点： （1）对应关系识别:复杂图形(经过平移、翻折、旋转、叠加的图形)中，快速、准确找准全等三角形的对应边和对应角，避免对应关系混乱; （2）判定定理辨析:区分易混淆定理，精准识别SAS的“夹角”、ASA的“夹边”，规避SSA.AAA的判定误区:区分普通三角形和直角三角形的判定差异; （3）隐含条件挖掘:解题时灵活挖掘图形中的公共边、公共角、对顶角、等角对等边、同角的余角/补角相等、线段和差等隐含条件:; （4）综合推理应用:结合全等三角形的性质和判定进行综合性几何推理，解决多步骤证明线段平行垂直证明、图形边角计算等综合题型，建立完整的几何逻辑链条。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 全等图形 1.全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 2.全等多边形的性质 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 即时即练 1．下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 2．在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A． B． C． D． 知识点02 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 （四）全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 ②全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 即时即练 1．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．全等的两个三角形的面积相等 B．两个等腰直角三角形全等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形是全等三角形 知识点03 全等三角形的判定 1.（1）三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 （2）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 即时即练 1．如图，已知，若不添加辅助线，则不能证明的条件是（     ） A． B． C． D． 2．如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，．求证： (1)； (2)． 3．如图，在中，于点D，过点B作于点E，交于点F，．求证：． 题型1 图形的全等 【例1】下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列说法正确的是（　　） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个周长相等的图形一定是全等图形 C．全等三角形的角平分线相等 D．两个边长为整数且周长为3的等腰三角形一定是全等图形 【变式1-3】如图所示的是一个网球场地，在A，，，，，六个图形中，其中全等图形有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 题型2 全等三角形的概念 【例2】下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【变式2-1】说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 【变式2-2】如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 题型3 全等三角形的性质 【例3】如图，已知，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【变式3-1】如图，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3-2】如图所示的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，已知，点与点，点与点分别是对应顶点，若，，，则的度数及的长分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型4 全等三角形的证明-SSS 【例4】如图，点D，A，E，B在同一直线上，，，．求证：． 【变式4-1】如图，是线段的中点，，．求证：． 【变式4-2】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)若，， 求的度数． 【变式4-3】如图，，与相交于点O．求证： (1)； (2)． 题型5 全等三角形的证明-SAS 【例5】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【变式5-1】如图，线段、相交于点，且互相平分． (1)求证：； (2)求证：． 【变式5-2】如图，点E在的边上，与交于点，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式5-3】如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1) (2) 题型6 全等三角形的证明-ASA 【例6】如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式6-1】如图，与相交于点，，，求证：． 【变式6-2】如图，已知，点C和点F在线段上，与交于点O，，． (1)求证：； (2)若，则的度数为 度． 【变式6-3】王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 题型7 全等三角形的证明-AAS 【例7】如图，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式7-1】如图，和中，，点B、E、C在同一条直线上，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求BC的长． 【变式7-2】如图，在四边形中，，，连接，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，交于点，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式7-3】如图，在△和△中，，平分，交于点，，． (1)求的长； (2)求△的面积． 题型8 全等三角形的性质与判定综合 【例8】如图，已知， (1)现要从如下条件中再添加一个①；②；③；④得到．你添加的条件是：________．（填序号） (2)选择（1）中的一种情况进行证明． 【变式8-1】如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 【变式8-2】如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 题型9 结合尺规作图的全等问题 【例9】根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 【变式9-2】如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________． 【变式9-3】如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．    题型10 添加条件使三角形全等 【例10】如图，在一条直线上，，要说明，添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，点在同一条直线上，，，添加下列条件不能判定 的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 题型11 倍长中线模型 【例11】如图，在中，是的中线，已知，，则的取值范围为______． 【技巧归纳】 倍长中线模型，是通过延长中线一倍，构造SAS全等三角形，把分散的边 / 角条件集中到同一三角形中，常用于解决线段取值范围、和差关系、平行 / 相等证明的全等三角形经典辅助线模型 【变式11-1】如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 【变式11-2】如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【变式11-3】【发现问题】小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【初步探索】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，易证，于是我们把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【问题解决】（1）如图1，与的位置关系是_____；的取值范围是_____． 【问题应用】（2）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长． 1．下列四组图形中，是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，A、F、B、D四点在同一直线上，若，，，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 4．如图1是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图2所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点O固定在一起，则有，因此量出的A，B两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 5．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知，下列所给条件能证明的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 8．如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 9．如图，已知，且，E、F是上两点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 10．如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 11．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）诚诚在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请将证明“”的过程补充完整． 求证：． 证明：延长到点E，使，连接． 在和中， ， ∴（③______）． （2）由（1）中的结论，根据与之间的关系，探究的取值范围； [总结感悟] 解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [问题解决] （3）如图2，在中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $