第02讲 定义﹑命题与证明（暑假预习讲义）新八年级数学新教材浙教版

第02讲 定义﹑命题与证明 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断是否是命题 题型2 写出命题的题设与结论 题型3 判断命题真假 题型4 举例说明假(真)命题 题型5 举反例 题型6 逻辑推理与论证 题型7 三角形内角和定理的证明 题型8 三角形的外角的定义及性质 .... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 命题 反例 证明 1.理解定义的含义，能说出常见数学名词的定义。 2.掌握命题概念，会区分命题与非命题;能找出命题的条件和结论，改写成“"如果.. 那么.…" 形式。 3.区分真命题、假命题，会用举反例说明一个命题是假命题。 4.了解逆命题，能写出一个命题的逆命题，并判断真假。 5.知道基本事实(公理)定理的概念，理解三者区别与联系。 6.掌握证明的含义与规范格式，能完成简单几何命题的证明，每一步标注依据。 7.初步了解反证法的思路与基本步骤。 学习重点： （1）识别命题，拆分命题的条件与结论，熟练改写为 “如果…… 那么……”。 （2）判断命题真假，用反例证明假命题。 （3）分清原命题与逆命题，正确写出逆命题。 （4）几何证明的规范格式，证明过程书写、每一步注明推理依据。 （5）运用定义、基本事实、定理进行简单推理论证 学习难点： （1）复杂语句的命题拆分条件和结论，改写语句不通顺、遗漏条件。 （2）准确构造反例反驳假命题. （3）区分定义、命题、公理、定理四者概念 （4）几何证明:找准推理思路，合理串联条件，不跳步、不缺依据。 （5）理解反证法的逻辑思路，会简单运用反证法说理。 （6）证明过程几何语言规范、逻辑顺序正确。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 定义与命题 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． 2．判断一件事情的语句叫做命题． 3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 即时即练 1．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 2．下面各个命题中，定义为（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫做负数 D．今天的天气很好 知识点02 真命题和假命题 1．正确的命题叫做真命题． 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 即时即练 1．下列命题中，是假命题的是（    ） A．同位角相等 B．无理数是无限小数 C．若，则 D．正数的两个平方根的和为0 2．下列命题中，是真命题的是(     ) A．内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 知识点03 证明 1.从条件出发，用定义、基本事实、定理一步步推出结论 2.作用：严谨、可靠、不依赖观察 / 测量 即时即练 1．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 2．求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 题型1 判断是否是命题 【例1】下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 【技巧归纳】 1.命题必须是能判断真假的陈述句 2.排除:问句(?)、祈使句(画/作/求)、感叹句，这些都不是命题。 【变式1-1】下列语句是命题的是（   ） A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 【变式1-2】下列语句是命题的是（   ） A．美丽的天空 B．负数都小于零 C．过一点作已知直线的垂线 D．你的数学作业做完了吗？ 【变式1-3】下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 题型2 写出命题的题设与结论 【例2】把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 【技巧归纳】 1.先把命题改写成 **”如果!……， 那么."* 的形式。 2.“如果”后面的部分是题设(条件)，“那么”后面的部分是结论 3.改写时要注意补全省略的主语，保证句子完整。 【变式2-1】对于命题“同角的余角相等”，题设是________，结论是________． 【变式2-2】将“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式为______． 【变式2-3】把命题“等角的余角相等”改写成“如果......那么......”的形式___． 题型3 判断命题真假, 【例3】下面命题中，是真命题的是（     ） A．有理数、0、无理数统称实数 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【技巧归纳】 1.真命题:符合客观事实或经过推理证明正确的命题。 2.假命题:只需找到一个反例即可证明它是假的，无需复杂证明。 【变式3-1】下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等 【变式3-2】下列各命题是假命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．等角的补角相等 C．对顶角相等 D．两个锐角的和是钝角 【变式3-3】下列五个命题：①相等的角是对顶角；②内错角相等；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④在同一平面内，对于直线，，，如果，，那么；⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4 举例说明假(真)命题 【例4】对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.说明假命题:找一个符合题设，但不符合结论的例子(反例) 2.说明真命题:通常需要证明，而非举例 【变式4-1】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 【变式4-2】若要说明命题“如果，那么”是假命题，则可以举反例为(    ) A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型5 举反例 【例5】要说明命题“若，则”是假命题，举的一个反例中可以是_____． 【技巧归纳】 1.反例必须满足两个条件:①符合命题的题设;(②不符合命题的结论。 2.步骤:先明确题设和结论，再构造满足前者、不满足后者的具体例子。 【变式5-1】已知命题：“三角形三条高线的交点一定在三角形的内部．”琪琪想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 【变式5-2】判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为(    ) A． B． C． D． 【变式5-3】请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例：______． 题型6 逻辑推理与论证 【例6】有三个不透明的饮料瓶，上面标签分别贴着“橙汁”“可乐”“咖啡”，标号为1、2、3号，工作人员说三个标签全部贴错了，让小明打开2号瓶发现里边装着咖啡，则可乐在_________号瓶． 【技巧归纳】 1.规范格式:先写“已知““求证”，再写“证明”过程。 2.步步有据:每一步推理都要注明理由如“对顶角相等”“两直线平行，内错角相等""三角形内角和定理”等)。 3.思路方法:从已知条件出发，结合定义、公理、定理，逐步推导至结论;或从结论倒推，寻找需要的条件。 【变式6-1】校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名的是______． 【变式6-2】四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【变式6-3】如图是一个三位数的密码锁，已知以下三个条件： ①密码数字均为奇数，且各不相同； ②密码数字从上至下递减； ③最上面的密码数字是10的因数，则正确密码为___________． 题型7 三角形内角和定理的证明 【例7】著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【技巧归纳】 1.核心方法:作平行线转移角，把三个内角拼成一个平角(180°)· 2.常见辅助线:过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用“两直线平行，内错角相等“将另外两个内角转移与顶角组成平角。 3.关键依据:平行线的性质 +平角的定义。 = 【变式7-1】如图，，与的平分线相交于点G， (1)完成下面的证明： ∵平分（              ）， ∴（              ）， 同理． ∵（          ）， ∴________（         ）． ∴________． ∵________（          ）， ∴________． ∴与的位置关系是________． (2)把上面的题设和结论，用文字语言概括为一个命题： ___________________． 【变式7-2】如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 【变式7-3】如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 题型8 三角形的外角的定义及性质 【例8】如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1.定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角, 2.性质1(核心):三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.性质 2:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 4.应用 直接求角度:用外角等于两不相邻内角和，快速计算。 比较大小:用外角大于任一不相邻内角，判断角的大小关系 【变式8-1】如图，在中，延长至点D，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，是的角平分线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式8-3】如图，在中，下列关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 1．下列语句中，是命题的是（    ） A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段到点，使得 2．下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．两直线平行，内错角互补 C．不相等的角不是内错角 D．同旁内角互补，两直线平行 3．为了说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，连接，点E在上，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（     ） A． B． C． D． 6．两根木条，按如图所示的方式放在地面上，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．在光学反射现象中，光线碰到平面镜会发生反射．如图，光线照射到平面镜上，然后反射到平面镜上，根据反射原理可知，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．命题“同位角相等，两直线平行”是______命题．（填“真”或“假”） 9．将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 10．如图，在中，点在上，连接．根据图中标出的度数可知____． 11．如图，与、分别交于点、，则______ 12．如图，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了C地，经B地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达B地．求这一方向与方向的夹角的度数． 13．如图（1），点D在内部．求证： (1)； (2) (3)如图（2）如果点D在内部，且在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 14．【问题情景】我们知道，多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作多边形的外角． 如图1所示，、、是的三个外角，下面我们来探究、、和三内角之间的数量关系． 【方法感悟】解：因为在中，，所以．因为，所以．所以．同理可得：，． 因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【解决问题】 (1)已知：如图2，与分别为的两个外角，请直接利用上述结论，试探究与的数量关系． (2)已知：如图3，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 定义﹑命题与证明 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断是否是命题 题型2 写出命题的题设与结论 题型3 判断命题真假 题型4 举例说明假(真)命题 题型5 举反例 题型6 逻辑推理与论证 题型7 三角形内角和定理的证明 题型8 三角形的外角的定义及性质 .... 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 命题 反例 证明 1.理解定义的含义，能说出常见数学名词的定义。 2.掌握命题概念，会区分命题与非命题;能找出命题的条件和结论，改写成“"如果.. 那么.…" 形式。 3.区分真命题、假命题，会用举反例说明一个命题是假命题。 4.了解逆命题，能写出一个命题的逆命题，并判断真假。 5.知道基本事实(公理)定理的概念，理解三者区别与联系。 6.掌握证明的含义与规范格式，能完成简单几何命题的证明，每一步标注依据。 7.初步了解反证法的思路与基本步骤。 学习重点： （1）识别命题，拆分命题的条件与结论，熟练改写为 “如果…… 那么……”。 （2）判断命题真假，用反例证明假命题。 （3）分清原命题与逆命题，正确写出逆命题。 （4）几何证明的规范格式，证明过程书写、每一步注明推理依据。 （5）运用定义、基本事实、定理进行简单推理论证 学习难点： （1）复杂语句的命题拆分条件和结论，改写语句不通顺、遗漏条件。 （2）准确构造反例反驳假命题. （3）区分定义、命题、公理、定理四者概念 （4）几何证明:找准推理思路，合理串联条件，不跳步、不缺依据。 （5）理解反证法的逻辑思路，会简单运用反证法说理。 （6）证明过程几何语言规范、逻辑顺序正确。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 定义与命题 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． 2．判断一件事情的语句叫做命题． 3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 即时即练 1．下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【详解】解：∵选项A是对事件作出明确判断的陈述语句，∴A是命题； ∵选项B是疑问句，未对事情作出判断，∴B不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事情作出判断，∴C不是命题； ∵选项D是操作指令，未对事情作出判断，∴D不是命题． 2．下面各个命题中，定义为（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫做负数 D．今天的天气很好 【答案】C 【详解】解：A、两点之间，线段最短，是性质不是定义，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是性质不是定义，且原说法错误，不符合题意； C、在正数前加上符号“”的数叫做负数，是定义，符合题意； D、今天的天气很好，不是定义，不符合题意． 知识点02 真命题和假命题 1．正确的命题叫做真命题． 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 即时即练 1．下列命题中，是假命题的是（    ） A．同位角相等 B．无理数是无限小数 C．若，则 D．正数的两个平方根的和为0 【答案】A 【详解】解：∵只有两直线平行时，同位角才相等，命题“同位角相等”缺少两直线平行的前提，∴A是假命题； ∵无理数是无限不循环小数，属于无限小数，∴B是真命题； ∵若，等式两边同时平方可得，∴C是真命题； ∵正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为，∴D是真命题． 2．下列命题中，是真命题的是(     ) A．内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】分别根据平行线的性质，对顶角的含义，补角的定义，垂线的定义对选项依次判断即可． 【详解】解： A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； C、互补的两个角可以都是直角，原命题是假命题，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意， 知识点03 证明 1.从条件出发，用定义、基本事实、定理一步步推出结论 2.作用：严谨、可靠、不依赖观察 / 测量 即时即练 1．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导． 【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明； 选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理； 选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理； 选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理； 选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理． 故选：D． 2．求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【答案】见解析 【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形三个内角的和等于． 【详解】解：已知：． 求证：． 证明：过点作的平行线， ， ，， ， ． 题型1 判断是否是命题 【例1】下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 【答案】C 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”的定义，判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A选项：“垂线段最短”，对垂线段的性质做出了判断，是命题； B选项：“对顶角相等”，对对顶角的性质做出了判断，是命题； C选项：“画直线”，只是操作指令，没有对任何事情做出判断，不是命题； D选项：“直角都相等”，对直角的性质做出了判断，是命题． 【技巧归纳】 1.命题必须是能判断真假的陈述句 2.排除:问句(?)、祈使句(画/作/求)、感叹句，这些都不是命题。 【变式1-1】下列语句是命题的是（   ） A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 【答案】B 【分析】命题的定义为：判断一件事情的语句叫做命题．根据定义判断语句是否对一件事情作出判断即可得到结果． 【详解】解：选项A、画一条线段是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题． 选项B、对顶角相等，对对顶角的大小关系作出了明确判断，符合命题的定义． 选项C、过点作直线的垂线是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题． 选项D、今天天气好吗？是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题． 【变式1-2】下列语句是命题的是（   ） A．美丽的天空 B．负数都小于零 C．过一点作已知直线的垂线 D．你的数学作业做完了吗？ 【答案】B 【分析】判断一件事件的语句是命题，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解： A选项“美丽的天空”没有对事件做出判断，不是命题. C选项是描述作图动作，没有对事件做出判断，不是命题. D选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题. B选项对负数与零的大小关系做出了明确判断，符合命题定义．∴B选项是命题， 故选：B． 【变式1-3】下列四个选项中不是命题的是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点作直线的平行线 C．正数大于负数 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】B 【详解】解∶A．两点确定一条直线是可判断为真的陈述句，属于命题． B．过直线外一点作直线的平行线是操作指令，无法判断真假，不属于命题． C．正数大于负数是可判断为真的陈述句，属于命题． D．有公共顶点的两个角是对顶角是可判断为假的陈述句，属于命题． ∴不是命题的是B选项． 【点睛】命题为判断真假的陈述句． 题型2 写出命题的题设与结论 【例2】把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 【答案】如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数 【详解】解：把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数． 【技巧归纳】 1.先把命题改写成 **”如果!……， 那么."* 的形式。 2.“如果”后面的部分是题设(条件)，“那么”后面的部分是结论 3.改写时要注意补全省略的主语，保证句子完整。 【变式2-1】对于命题“同角的余角相等”，题设是________，结论是________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， “如果”之后的内容是题设，“那么”之后的内容是结论， ∴题设是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等． 【变式2-2】将“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式为______． 【答案】如果两个角是邻补角，那么这两个角互补 【详解】解：命题“邻补角互补”的题设为：两个角是邻补角，结论为：这两个角互补， 因此改写为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 【变式2-3】把命题“等角的余角相等”改写成“如果......那么......”的形式___． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 【分析】命题由题设和结论两部分组成，将命题改写为“如果...那么...”的形式时，“如果”后接题设，“那么”后接结论，只需找出原命题的题设与结论即可进行改写. 【详解】解：命题“等角的余角相等”的题设是两个角相等，结论是这两个角的余角相等，因此改写为：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等. 题型3 判断命题真假, 【例3】下面命题中，是真命题的是（     ） A．有理数、0、无理数统称实数 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】根据实数分类 平行公理 平行线和垂线的基本性质，逐一判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：对于选项A，∵实数分为有理数和无理数，属于有理数，分类标准不统一， ∴A是假命题． 对于选项B，∵该结论缺少“同一平面内”的前提条件，空间中该结论不成立， ∴B是假命题． 对于选项C，∵正确结论为“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线， ∴C是假命题． 对于选项D，该命题符合《初中平面几何》中垂线的基本性质， ∴D是真命题． 【技巧归纳】 1.真命题:符合客观事实或经过推理证明正确的命题。 2.假命题:只需找到一个反例即可证明它是假的，无需复杂证明。 【变式3-1】下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及对顶角概念，平行线的性质，平方的性质等初中知识点，逐一分析选项即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时同位角相等，但同位角不是对顶角，∴A是假命题； 对于B选项，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不存在符合要求的平行线，∴B是假命题； 对于C选项，若，则或，例如满足但，∴C是假命题； 对于D选项，“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，是真命题． 【变式3-2】下列各命题是假命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．等角的补角相等 C．对顶角相等 D．两个锐角的和是钝角 【答案】D 【分析】根据平行线性质，补角性质，对顶角性质，逐项判断，即可． 【详解】解：选项A：根据平行线性质，两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故本选项不符合题意． 选项B：根据补角性质，等角的补角相等，是真命题，故本选项不符合题意． 选项C：根据对顶角性质，对顶角相等，是真命题，故本选项不符合题意． 选项D：两个锐角的和不一定是钝角，例如两个锐角分别为和，和为仍是锐角，因此该命题是假命题，故本选项符合题意． 【变式3-3】下列五个命题：①相等的角是对顶角；②内错角相等；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④在同一平面内，对于直线，，，如果，，那么；⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．其中真命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了命题，逐一分析每个命题的真假性即可． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行产生的同位角相等，不是对顶角，故①是假命题； ②只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，命题未给出两直线平行的条件，故②是假命题； ③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③是真命题； ④平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，如果，，那么，故④是真命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，即和为，设这组同旁内角分别为和，则此时，它们的平分线为和，平分，平分，则两个半角的和为，根据三角形内角和定理，两条角平分线的夹角为，即两条平分线互相垂直，故⑤是真命题． 题型4 举例说明假(真)命题 【例4】对于命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查举反例判断命题真假，反例需满足命题的条件，但不满足命题的结论，据此逐一检验选项即可． 【详解】解：说明该命题是假命题的反例，需要满足条件，且不满足结论，即， 对选项A：，，满足条件，且，满足结论，不符合要求； 对选项B：，，满足条件，且，满足结论，不符合要求； 对选项C：，，不满足，不符合条件，不符合要求； 对选项D：，，，满足，但，不满足，符合反例要求． 【技巧归纳】 1.说明假命题:找一个符合题设，但不符合结论的例子(反例) 2.说明真命题:通常需要证明，而非举例 【变式4-1】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子． 【详解】解：A、，则，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意； B、，，则，满足条件，但，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意； C、，，，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意； D、，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意． 【变式4-2】若要说明命题“如果，那么”是假命题，则可以举反例为(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了举反例说明命题是假命题，要说明命题“如果|，那么”是假命题，找到满足但的例子． 【详解】解：A：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例． B：，．计算得，，满足，但，符合反例要求． C：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例． D：，．计算得，，不满足，不符合条件． 故选：B． 【变式4-3】下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可． 【详解】解：A、，，同时满足条件和结论，故不符合题意； B、，，不满足条件“两个锐角”，故不符合题意； C、，，满足条件“两个锐角”，不满足结论“和是锐角”，符合题意； D、，，不满足条件“两个锐角”，故不符合题意． 故选：C． 题型5 举反例 【例5】要说明命题“若，则”是假命题，举的一个反例中可以是_____． 【答案】 【分析】本题考查利用举反例证明命题真假．能够正确的举出反例是解题关键．反例就是满足命题的题设，但不能由它得到结论，据此举出反例即可． 【详解】解：∵时，，但， ∴举的一个反例中可以是． 故答案为： 【技巧归纳】 1.反例必须满足两个条件:①符合命题的题设;(②不符合命题的结论。 2.步骤:先明确题设和结论，再构造满足前者、不满足后者的具体例子。 【变式5-1】已知命题：“三角形三条高线的交点一定在三角形的内部．”琪琪想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 【答案】B 【分析】本题考查了举反例证明命题是假命题，根据钝角三角形的三条高线所在直线的交点在三角形的外部进行判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、锐角三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 、钝角三角形三条高线的交点在三角形外部，符合反例要求； 、等边三角形三条高线的交点在三角形的内部，不在外部，不符合反例要求； 、任意三角形三条高线的交点为可能为直角顶点或在三角形外部或在三角形的内部，不符合反例要求； 故选：． 【变式5-2】判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，非负数的性质：偶次方，关一键是通过计算得到与命题的结论相反的例子． 由命题的条件，找到与命题的结论相反的例子即可． 【详解】解：A、，，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意． 故选：D． 【变式5-3】请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例：______． 【答案】，，（答案不唯一） 【分析】本题考查反例的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 反例需满足两个锐角之和不是钝角，而是锐角或直角，据此解答即可． 【详解】解：锐角是指小于的角，钝角指大于且小于的角，当两个锐角均较小时，其和可能小于，例如，，，结果为锐角而非钝角，故该命题为假命题， 故答案为，，（答案不唯一）． 题型6 逻辑推理与论证 【例6】有三个不透明的饮料瓶，上面标签分别贴着“橙汁”“可乐”“咖啡”，标号为1、2、3号，工作人员说三个标签全部贴错了，让小明打开2号瓶发现里边装着咖啡，则可乐在_________号瓶． 【答案】1 【分析】根据三个标签全部贴错的约束条件，结合已知2号瓶装咖啡，通过排除法推理得到可乐所在的瓶子编号． 【详解】解：由题意得，1号瓶标签为橙汁，2号瓶标签为可乐，3号瓶标签为咖啡，且所有标签全部贴错， 所以，实际1号瓶内饮料橙汁，实际2号瓶内饮料可乐，实际3号瓶内饮料咖啡， 已知2号瓶内实际装咖啡，满足实际2号瓶内饮料可乐，符合全部贴错的条件. 剩余饮料为橙汁和可乐，需要分配给1号瓶和3号瓶，由实际1号瓶内饮料橙汁，可得1号瓶内只能装可乐，剩余3号瓶内装橙汁． 【技巧归纳】 1.规范格式:先写“已知““求证”，再写“证明”过程。 2.步步有据:每一步推理都要注明理由如“对顶角相等”“两直线平行，内错角相等""三角形内角和定理”等)。 3.思路方法:从已知条件出发，结合定义、公理、定理，逐步推导至结论;或从结论倒推，寻找需要的条件。 【变式6-1】校运会上，小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛．小振的成绩在前三名，小东既不是第一也不是最后一名，小启也不是第一名，小新是第二名．则获得第一名的是______． 【答案】小振 【分析】本题主要考查了逻辑推理能力，解题的关键是根据题意进行合理的逻辑推理．根据给出的信息进行合理的逻辑推理即可． 【详解】解：小振、小东、小启、小新四位同学进行跳绳比赛，小东既不是第一也不是最后一名，小新是第二名， 则小东是第三名， 因为小振的成绩在前三名，小启也不是第一名， 则小振是第一名，小启是最后一名， 故答案为：小振． 【变式6-2】四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【答案】C 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，仔细读题是解决本题的关键． 根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可． 【详解】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾， ∴两人的话必有一真一假， ∵“只有一个小孩说真话”， ∴小张和小明的话都是假话， ∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃． 故选C． 【变式6-3】如图是一个三位数的密码锁，已知以下三个条件： ①密码数字均为奇数，且各不相同； ②密码数字从上至下递减； ③最上面的密码数字是10的因数，则正确密码为___________． 【答案】531 【分析】本题考查了逻辑推理，根据题意结合所给信息推导出各位数字是解题的关键．根据题意分析推理即可，由①结合③可以确定最上边第一位数字为5，由①②可以确定后两位数为31，据此分析即可． 【详解】解：由③最上面的密码数字是10的因数且①密码数字均为奇数，且各不相同， ∴最上边第一位数字为5， ∵①密码数字均为奇数，且各不相同且②密码数字从上至下递减， ∴中间和下面两个数字分别为3和1， 则正确密码为531， 故答案为：531． 题型7 三角形内角和定理的证明 【例7】著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可； （2）由平行线的性质得到，，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． 【技巧归纳】 1.核心方法:作平行线转移角，把三个内角拼成一个平角(180°)· 2.常见辅助线:过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用“两直线平行，内错角相等“将另外两个内角转移与顶角组成平角。 3.关键依据:平行线的性质 +平角的定义。 = 【变式7-1】如图，，与的平分线相交于点G， (1)完成下面的证明： ∵平分（              ）， ∴（              ）， 同理． ∵（          ）， ∴________（         ）． ∴________． ∵________（          ）， ∴________． ∴与的位置关系是________． (2)把上面的题设和结论，用文字语言概括为一个命题： ___________________． 【答案】(1)证明见详解 (2)两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直 【分析】（1）利用角平分线的定义将和分别表示为和的一半；再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）求出的度数，进而求出的度数；最后利用三角形内角和定理求出的度数，从而判断和的位置关系； （2）需将几何证明中的题设（平行线、角平分线）和结论（垂直）用文字语言准确表述即可． 【详解】（1）证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理． ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴． ∵（三角形内角和定理）， ∴． ∴与的位置关系是． （2）解：根据上述证明过程，题设为“两平行直线被第三条直线所截”，条件涉及“同旁内角的角平分线”，结论为“互相垂直”， ∴概括为：两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直． 【变式7-2】如图，已知，平分，平分，，那么成立吗？请说明理由． 【答案】 ，理由见详解． 【分析】本题主要考查角平分线的性质和三角形内角和定理的应用．解决本题的关键是熟练使用等量代换求解． 根据角平分线的性质可得，，再由，可得，由此可求解，由此可解． 【详解】解： ，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． ∴， 又∵， 即，且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【变式7-3】如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 【答案】，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，内错角相等，，，三角形的内角和等于； 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的证明，平行线的性质，根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可； 【详解】解：， ∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵直线过点A ∴， ∴ ． 于是，我们证明了结论：三角形的内角和等于． 题型8 三角形的外角的定义及性质 【例8】如图，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线平行，同位角相等可得，再由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：， （两直线平行，同位角相等）， 又， ． 【技巧归纳】 1.定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角, 2.性质1(核心):三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.性质 2:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 4.应用 直接求角度:用外角等于两不相邻内角和，快速计算。 比较大小:用外角大于任一不相邻内角，判断角的大小关系 【变式8-1】如图，在中，延长至点D，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ，， ， 故选：A． 【变式8-2】如图，在中，是的角平分线，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴． 【变式8-3】如图，在中，下列关系一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，进行判断即可． 【详解】解： 是的外角， ，，故选项B错误，选项C一定正确， ∵与是的两个内角，与是的两个内角， 无法确定大小关系，故选项A、D不一定正确． 1．下列语句中，是命题的是（    ） A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段到点，使得 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，根据“判断一件事情的语句叫做命题”这一定义，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题； B选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题； C选项是对等角的余角关系做出判断的陈述句，符合命题定义，是命题； D选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题． 2．下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．两直线平行，内错角互补 C．不相等的角不是内错角 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】根据真假命题的定义，结合平行线的性质与判定定理，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵只有两直线平行时，同位角才相等，∴选项A是假命题． ∵两直线平行，内错角相等，不是互补，∴选项B是假命题． ∵两直线不平行时，内错角不相等，因此存在不相等的内错角，∴选项C是假命题． ∵“同旁内角互补，两直线平行”是正确的平行线判定定理，∴选项D是真命题． 3．为了说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、当，时，满足，此时，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例； B、当，时，不满足，不可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例； C、当，时，不满足，不可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例； D、当，时，满足，此时，不可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例． 4．如图，已知，连接，点E在上，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 5．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，，得，，在中，，故． 【详解】解：，，， ，， 在中，， ． 6．两根木条，按如图所示的方式放在地面上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角的性质，求出的度数，进而求出的度数即可. 【详解】解：由图可知：， ∵，， ∴， ∴. 7．在光学反射现象中，光线碰到平面镜会发生反射．如图，光线照射到平面镜上，然后反射到平面镜上，根据反射原理可知，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，由得，由可求出的度数 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴， 故选：C． 8．命题“同位角相等，两直线平行”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】根据平行线的判定定理，直接判断所给命题的真假即可． 【详解】解：“同位角相等，两直线平行”是平行线判定的基本定理，内容正确， 因此该命题是真命题． 9．将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中， 改写为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 10．如图，在中，点在上，连接．根据图中标出的度数可知____． 【答案】 【分析】由三角形的外角和定理得，结合的内角和求出的值，从而求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ． 11．如图，与、分别交于点、，则______ 【答案】 180 【分析】根据三角形外角的性质可得，再根据平角的定义和三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：∵和分别是和的外角， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，飞机要从A地飞往B地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了C地，经B地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达B地．求这一方向与方向的夹角的度数． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 13．如图（1），点D在内部．求证： (1)； (2) (3)如图（2）如果点D在内部，且在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，由此即可证明问题； （2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，由此即可证明问题； （3）由三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：延长，交于点E，如下图 ， ． （2）证明：如图（1） ， ． （3）解：，理由如下： 连接，如下图 ，， ， ． 14．【问题情景】我们知道，多边形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作多边形的外角． 如图1所示，、、是的三个外角，下面我们来探究、、和三内角之间的数量关系． 【方法感悟】解：因为在中，，所以．因为，所以．所以．同理可得：，． 因此，我们得到一个重要的结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【解决问题】 (1)已知：如图2，与分别为的两个外角，请直接利用上述结论，试探究与的数量关系． (2)已知：如图3，在中，，分别平分和，试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由外角的性质可得，，相加并结合三角形的内角和定理即可得到结论； （2）由角平分线的性质可得，，，则，结合三角形的内角和定理可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $