第1章 三角形 单元自测卷（暑假单元自测）新八年级数学新教材浙教版

**基本信息** 浙教版初中数学三角形单元自测卷，考点全覆盖，含10单选、6填空、8解答题，通过基础巩固与综合探究题梯度设计，检测抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|三角形三边关系、内角和、全等判定（如HL）|结合图形考查几何直观（如折叠问题）| |填空|6/18|角平分线性质、命题结构、倍角三角形|通过作图题培养空间观念（如作高）| |解答|8/72|全等证明、中线与面积、内外角平分线综合|综合题（如动点与面积探究）发展推理意识与创新意识|

第1章 三角形 单元自测卷 【新教材，浙教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位），用它们能摆成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，6，20 D．5，5，11 【答案】A 【详解】解：A、，能摆成三角形，该选项符合题意； B、，不能摆成三角形，该选项不符合题意； C、，不能摆成三角形，该选项不符合题意； D、，不能摆成三角形，该选项不符合题意． 2．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴． 4．如图，旗杆，将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的B木桩和C木桩上，且木桩B，C到旗杆的距离相等，通过证明可判断两根绳子长度相等，则证明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C ． 5．下列命题中，假命题是（    ） A．垂线最短 B．互为相反数的两个数绝对值相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数 【答案】A 【分析】本题考查初中数学基本概念与定理，只需判断各命题的真假，找出假命题即可． 【详解】∵ 垂线是直线，无确定长度，正确结论为“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”， ∴ 选项A“垂线最短”是假命题； 选项B中，互为相反数的两个数符号不同绝对值相同，因此该命题是真命题； 选项C中，“同旁内角互补，两直线平行”是平行线的判定定理，因此该命题是真命题； 选项D中，实数与数轴上的点是一一对应关系，因此该命题是真命题． 6．如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，当动点运动到点时，时，有最小值时，，即可． 【详解】解：过点作于点， ∵为的角平分线，于点， ∴， ∵点为边上的动点，， ∴点与点重合时，，，此时有最小值，即， ∴． 7．如图，已知和的顶点、、、在同一直线上，已知，，下列哪个条件不能判定≌（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件结合各选项提供的条件，利用全等三角形的判定定理（、、、和）进行判断即可，注意“、”不能判定三角形全等． 【详解】解：已知， 对于A，添加，根据可判定，故不符合题意； 对于B，添加， ，即，根据可判定，故不符合题意； 对于C，添加，，根据可判定，故不符合题意； 对于D，添加，此时为两边及其中一边的对角对应相等（），不能判定，故符合题意． 8．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图： ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ． 9．如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】利用中点性质得出线段倍数关系，进而得出相关三角形面积的倍数关系，最后将阴影部分面积转化为几个已知面积三角形的和即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， ， 点 是的中点 点是的中点 点是的中点 点是的中点，即 点是的中点，即 点是的中点，即 由图可知，阴影部分的面积为 阴影部分的面积为 10．如图，点，，在同一条直线上，，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．有下列结论：①；②；③；④平分；⑤；⑥．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由得；结合证，得；由全等得点B到和的距离相等，利用角平分线判定定理证明平分；由 ，，而 ，故 ，故 ，；利用对顶角性质证 ． 【详解】解：， ， 在 和 中， ， ，，， 故①③正确． 由 且，得点 到 和 的距离相等， ∴ 点 在 的平分线上，即 平分 ， 故④正确； 是 的外角， ， 是 的外角， ， 而 ， ， ，， 故②⑤错误； ， 故⑥正确； 综上，正确的结论有①③④⑥，共4个． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知，若，则的长是______________． 【答案】2 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 12．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是________． 【答案】 【分析】由作图过程可知，直线，然后通过三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线， ． ， ， ． 13．对于命题“同角的余角相等”，题设是________，结论是________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【详解】解：将命题“同角的余角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， “如果”之后的内容是题设，“那么”之后的内容是结论， ∴题设是两个角是同一个角的余角，结论是这两个角相等． 14．如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先证明，得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 15．如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【答案】30 【分析】延长交于．根据三角形内角和公式求出，可得，根据三角形外角的性质得，然后代入数据求解即可． 【详解】解：延长交于． ，， ， ． ，， ． ． 16．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的（为大于1的正整数）倍，则称为“倍角三角形”．例如，在中，，，，可知，所以为“倍角三角形”．如图，直线直线于点，点，分别在射线，上，点在的延长线上．已知，的平分线分别与的平分线所在的直线交于点，．若为“倍角三角形”，则的度数为_____________． 【答案】 或 【分析】首先利用角平分线性质推导的度数，确定为直角三角形，进而可得，的度数，然后根据三角形内角和定理表示出，确定的取值范围，然后根据“倍角三角形”的定义，分情况讨论直角与锐角、锐角与锐角之间的倍数关系，最后结合图形几何性质确定的取值范围，筛选出符合题意的解． 【详解】平分，平分， ，， ， ， 是直角三角形， ， ， 直线平分， ， 点在射线上， ， 在中，， ， ， 为“倍角三角形”，且， 分以下情况讨论： 当直角是锐角的倍时， 若， ，解得，此时，符合题意； 若， 则， 解得， ，此时，不符合题意，舍去； 当一个锐角是另一个锐角的倍时， 若， ， ， 解得， 此时，符合题意； 若， 则， 解得，此时，不符合题意，舍去； 综上所述，的度数为或． 3、 解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每小题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在中，为边上的一点，为的中点，连接并延长至点，连接，使得．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵ ∴ ∵为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴． 18．如图，在中，，平分，交于点D． (1)若，求的度数； (2)尺规作图：在中，作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后由平角的定义可得答案； （2）根据垂线的尺规作图方法作图即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ； （2）解：如图所示，即为所求． 19．已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 【答案】(1)4；1 (2) 【分析】（1）几个非负数的和为0，则这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）根据三角形的三边的关系求出b的取值范围，结合b为整数求出b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， 又∵为整数， ∴， ∴的周长． 20．如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用“角角边”可证明，再由全等三角形的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得到，再结合三角形内角和定理即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 中，， ． 21．如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少2，求的长度． 【答案】(1)15° (2)8 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出，进而求出，然后根据两锐角互余求出，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先结合已知条件和中线的性质确定的数量关系，继而可以求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 又∵为的角平分线， ∴． ∵为边上的高， ∴， ∴． （2）解：∵为边上的中线， ∴． 又∵的周长比的周长少2，， ∴， ∴， ∴． 22．综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) ；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 23．如图，在中，，点D是边上一动点，连接，，，于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点G，若，求的长； (3)在（2）的条件下，与交于点M，设的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）因为，所以可推出；又因为，所以可利用定理证明． （2）先由（1）的全等结论得到，结合的条件，可得；因为，所以可证明，得到；再根据，算出的长度，进而得到的长度，最后求出的长． （3）利用 ，， 面积关系，可计算的最终差值． 【详解】（1）证明：∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， 在和中， ， ∴ （）． （2）解：由全等得：，， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴ （）， 得 ， ∵ ， ∴ ． （3）解：∵ ，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， 24．如图，点 P是两内角平分线的交点，N是两外角平分线的交点，延长交于点M． (1)①若 ，则 ②的数量关系是 ； (2)请探索证明与之间的数量关系； (3)在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍时，求的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或或或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，关于角平分线的计算等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，得出，根据角平分线定义得出，，求出，根据三角形内角和定理求出结果即可；②求出，，即可得到答案； （2）根据角平分线定义得出，，根据，得出，同理得出，根据四边形内角和求出即可； （3）先证明， 根据，得出，分四种情况分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： ②∵N是两外角平分线的交点，延长交于点M． ∴， ∵，， ∴， 即， 故答案为： （2）解：；理由如下： ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 即， 同理得：， ∴； （3）解：∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： 若，则， ∴； 若，则， ∴， ∴； 若，则， ∴； 若，则， ∴； 综上所述，的度数是或或或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 单元自测卷 【新教材，浙教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列每组数分别是三根小木棒的长度（单位），用它们能摆成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，6，20 D．5，5，11 2．如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，旗杆，将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的B木桩和C木桩上，且木桩B，C到旗杆的距离相等，通过证明可判断两根绳子长度相等，则证明的依据是（   ） A． B． C． D． 5．下列命题中，假命题是（    ） A．垂线最短 B．互为相反数的两个数绝对值相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数 6．如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知和的顶点、、、在同一直线上，已知，，下列哪个条件不能判定≌（     ） A． B． C． D． 8．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是EC、AF、BD的中点，那么阴影部分的面积为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 10．如图，点，，在同一条直线上，，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．有下列结论：①；②；③；④平分；⑤；⑥．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知，若，则的长是______________． 12．如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是________． 13．对于命题“同角的余角相等”，题设是________，结论是________． 14．如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 15．如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 16．在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的（为大于1的正整数）倍，则称为“倍角三角形”．例如，在中，，，，可知，所以为“倍角三角形”．如图，直线直线于点，点，分别在射线，上，点在的延长线上．已知，的平分线分别与的平分线所在的直线交于点，．若为“倍角三角形”，则的度数为_____________． 3、 解答题（本题共8小题，第17-20题每小题8分，第21-24题每小题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在中，为边上的一点，为的中点，连接并延长至点，连接，使得．求证：． 18．如图，在中，，平分，交于点D． (1)若，求的度数； (2)尺规作图：在中，作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 19．已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 20．如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)当为的角平分线时，若，，求的度数． (2)当为边上的中线时，若，的周长比的周长少2，求的长度． 22．综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 23．如图，在中，，点D是边上一动点，连接，，，于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接交于点G，若，求的长； (3)在（2）的条件下，与交于点M，设的面积为，四边形的面积为，求的值． 24．如图，点 P是两内角平分线的交点，N是两外角平分线的交点，延长交于点M． (1)①若 ，则 ②的数量关系是 ； (2)请探索证明与之间的数量关系； (3)在 中，存在一个内角等于另一个内角的3倍时，求的度数． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $