暑假自测卷03 三角形中的边角关系、命题与证明（暑假单元自测）新八年级数学新教材沪科版

暑假自测卷03 三角形中的边角关系、命题与证明 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1．下列命题中，逆命题正确的是（    ） A．如果两个实数相等，那么他们的绝对值相等 B．如果两个角是直角，那么这两个角相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了实数绝对值的性质、对顶角的性质、平行线的性质，解决此题的关键是掌握这些基本性质，即可快速解决这类题型． 根据实数绝对值的性质、对顶角的性质、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、该选项的逆命题是：两个实数，如果它们的绝对值相等，那么这两个实数相等； 例如：，故本选项错误，不符合题意； B、该选项的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角； 不一定是直角，故本选项错误，不符合题意； C、该选项的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 不一定是对顶角，故本选项错误，不符合题意； D、该选项的逆命题是：内错角相等，两直线平行，正确，符合题意； 故选：D． 2．用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反证法，根据反证法先假设结论的反面成立，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应先假设； 故选D． 3．用长度分别为4、m、7的三根木棒搭建一个三角形木架，则m的值可能是（   ） A．12 B．11 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．由题意可知，，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，即， m的值可能是4， 故选：C． 4．下列能表示的边上的高的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键．作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是任何边上的高，故符合题意； C．是任何边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选B． 5．如图1，在中，，D为斜边的中点，动点M从点B出发，沿B→A→C运动．设，点M运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则图2中的m的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，勾股定理；由图可知，当 M 位于 A 处时，面积最大，且为面积的一半，由图可知，根据面积公式计算即可． 【详解】解：由图可知， 当 M 位于 A 处时，面积最大． 又因为是一条斜边的中点D与顶点A连成的中线， 所以面积是面积的一半． 根据图2，可知， s， 则的面积为， 故的面积为面积的一半，即15． 故选：D． 6．如图，，于点，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，垂线的定义，三角形内角的定理，理解相关知识是解答关键． 根据平角的定义求出的度数，再利用平行线的性质求出的度数，结合垂线的定义和三角形的内角和定理求解． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ． 故选：B． 7．如图，以为边的三角形面积为2，其中点B的横、纵坐标均不超过4，且都不小于0，在下列叙述中，错误的是（   ） A．若点B的横坐标是4，则满足条件的点B有且只有1个 B．若点B是整点（即横、纵坐标都是整数）则满足条件的点B有4个 C．在坐标系内，对于任意满足题意的点B，一定存在一点C，使得三角形、三角形、三角形面积相等 D．在坐标系内，存在一个定点D，使得任意满足条件的点B，面积相等 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，三角形的重心和中线性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 画出以OA为边的△OAB面积为2的格点B，可判断选项A和B，由三角形的重心和中点的性质可判断选项C和D，即可求解． 【详解】解：如图，画出以为边的面积为2的格点B， 故选项A错误，选项B正确； 当点C是三角形的重心时，则面积相等，故选项C正确； 当点D为的中点时，则面积相等，故选项D正确； 故选：A． 8．如图，在中，按图中虚线把角度为的剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， ∴， ∵，， ∴； 故选D． 9．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质的应用，根据直角三角形的两锐角互余，同角的余角相等可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 10．如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键． 根据是的中线得出，根据三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的高线， ∴，即， 解得， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用三角形中线性质找出各部分三角形面积之间的关系． 利用三角形中线平分面积性质，得出 ．根据中点及等底等高三角形面积相等，得到， ．分别表示出， ，将二者相加构建关于的等式并求解． 【详解】∵，分别是的边，的中点，的面积为6， ∴，． ∵是中点，是中点，的面积为，的面积为， ∴， ∴ ． ∴，即， 解得． 故答案为：2． 12．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的一段直角边与含角的三角板的一段直角边重合，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得，再根据对顶角相等可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 故答案为：． 13．一个三角形三个内角的度数之比是，那么这个三角形最大的内角是 ． 【答案】/度 【分析】本题考考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，掌握三角形内角和定理等于是解题关键．设这三个内角度数分别为、、，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：一个三角形三个内角的度数之比是， 设这三个内角度数分别为、、， 则， 解得：， 三个内角的度数分别为、、，即最大的内角是， 故答案为：． 14．为三角形三边长，化简的结果是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可． 【详解】解：解：因为a，b，c是三角形的三边长， 所以， ， ， ． 故答案为：0． 15．如图，点，分别在，上，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和、角平分线定义，熟记三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据邻补角定义及角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， ， 平分，平分， ， ； 故答案为： 16．已知，如图1，在，、的角平分线交于点O，则．如图2，在中，、的两条三等分角线分别对应交于、，则，． 根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ； ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．根据三角形内角和得求出，，，，问题得解． 【详解】解： ， ， ， ……， ∴ ． 故答案为：；． 三、解答题（共8小题，共66分） 17．已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 【答案】(1) (2)6或8 【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c为偶数解答即可． 此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得； （2）根据三角形三边关系可得， 因为第三边c的长为偶数， 所以c取6或8； 故答案为：6或8； 18．如图，在中，是的平分线，交于点．，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理．根据角平分线的性质，可得与的关系，根据平行线的性质，可得与的关系，根据平行线的性质，可得的大小，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 是的角平分线， ， ， ， 在中，. 19．如图，在中，、、分别为的高、角平分线和中线． (1)图中相等的角有 、 ，相等的线段有 ． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线，角平分线，三角形的外角等知识点，解题的关键是掌握它们的性质． （1）利用三角形的高，角平分线和中线判断即可； （2）利用三角形的角平分线和三角形的外角定理即可求得结果． 【详解】（1）解：根据角平分线的性质和三角形的高可知， 图中所有相等的角为，， 根据三角形中线的定义可知， 图中所有相等的线段为， 故答案为：，，． （2）解：∵是的角平分线， ∴， 又， ． 20．已知直线，点为直线、所确定的平面内的一点． (1)如图，写出、、之间的数量关系，并证明； (2)如图，写出、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)；证明见解析 (2)；证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，平行公理的应用，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键． （1）过点P作，根据，得出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）延长交于点E，根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：，证明如下： 过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 延长交于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴． 21．【定理证明】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．在下面的虚框中补充该定理的证明过程； 已知：如图，是的外角． 求证：． 证明： 【问题解决】如图1，在中，若，则叫作的“三分线”． （1）如图2，在中，的三分线分别与的平分线交于点，若，，求的度数； （2）是的外角，的靠近的三分线与的三分线交于点P．若，，直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】[定理证明]见解析；[问题解决]（1）；（2）或 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理； [定理证明]利用三角形内角和定理及邻补角的定义，即可证明结论； [问题解决]（1）由题意可知，，结合三角形的外角的性质，内角和定理求得，，，进而求得，，即可求解； （2）分两种情况：当为的靠近的三分线时，当为的靠近的三分线时，根据三角形的外角的性质，进行讨论求解即可． 【详解】[定理证明]证明：如图，∵， 又∵， ∴． ∴． [问题解决]（1）∵的三分线分别与的平分线交于点，， ∴，， 在中，由三角形的外角可知，， ∴，， 在中，由三角形的内角和定理可知，， ∴， 在中，由三角形的内角和定理可知，； （2）∵，， ∴， ∵ 为的靠近的三分线， ∴， 当为的靠近的三分线时，， 则； 当为的靠近的三分线时，， 则； 综上：或． 22．【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想） (1)若为开心三角形，，则这个三角形最小的内角是多少； (2)已知开心三角形的其中一个内角为，则这个三角形的其他内角是多少； 【答案】(1) (2)，或， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题意，理解“开心角”的定义并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）先判断不是开心角，然后设这个三角形中最小的内角为，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出这个三角形中最小的内角的度数； （2）分两种情况讨论：当是开心角时，则另一开心角为，由三角形的内角和定理即可求出剩余的一个角；当不是开心角时，设这个三角形中最小的内角为，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出这个三角形中最小的内角的度数，进而可求出剩余的一个角． 【详解】（1）解：若为开心三角形，， 当时，， 此时，不合题意，故舍去； 当时，， 此时，不合题意，故舍去； 或， 设这个三角形中最小的内角为， 则， ， 答：这个三角形最小的内角是； （2）解：已知开心三角形的其中一个内角为，则可设， 当是开心角时，则另一开心角为，剩余的一个角为； 当不是开心角时， 设这个三角形中最小的内角为， 则， ， 则； 答：这个三角形的其他内角是，或，． 23．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 24．（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假自测卷03 三角形中的边角关系、命题与证明 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1．下列命题中，逆命题正确的是（    ） A．如果两个实数相等，那么他们的绝对值相等 B．如果两个角是直角，那么这两个角相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，内错角相等 2．用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 3．用长度分别为4、m、7的三根木棒搭建一个三角形木架，则m的值可能是（   ） A．12 B．11 C．4 D．3 4．下列能表示的边上的高的是（   ） A．B．C．D． 5．如图1，在中，，D为斜边的中点，动点M从点B出发，沿B→A→C运动．设，点M运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则图2中的m的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．15 6．如图，，于点，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 7．如图，以为边的三角形面积为2，其中点B的横、纵坐标均不超过4，且都不小于0，在下列叙述中，错误的是（   ） A．若点B的横坐标是4，则满足条件的点B有且只有1个 B．若点B是整点（即横、纵坐标都是整数）则满足条件的点B有4个 C．在坐标系内，对于任意满足题意的点B，一定存在一点C，使得三角形、三角形、三角形面积相等 D．在坐标系内，存在一个定点D，使得任意满足条件的点B，面积相等 8．如图，在中，按图中虚线把角度为的剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 9．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（　　） A． B． C． D． 10．如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 第Ⅱ卷 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11．如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，交于点，的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 12．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的一段直角边与含角的三角板的一段直角边重合，则的度数为 ． 13．一个三角形三个内角的度数之比是，那么这个三角形最大的内角是 ． 14．为三角形三边长，化简的结果是 ． 15．如图，点，分别在，上，平分，平分，若，则的度数为 ． 16．已知，如图1，在，、的角平分线交于点O，则．如图2，在中，、的两条三等分角线分别对应交于、，则，． 根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ； ． 三、解答题（共8小题，共66分） 17．已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 18．如图，在中，是的平分线，交于点．，，求的度数． 19．如图，在中，、、分别为的高、角平分线和中线． (1)图中相等的角有 、 ，相等的线段有 ． (2)当，时，求的度数． 20．已知直线，点为直线、所确定的平面内的一点． (1)如图，写出、、之间的数量关系，并证明； (2)如图，写出、、之间的数量关系，并证明． 21．【定理证明】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．在下面的虚框中补充该定理的证明过程； 已知：如图，是的外角． 求证：． 证明： 【问题解决】如图1，在中，若，则叫作的“三分线”． （1）如图2，在中，的三分线分别与的平分线交于点，若，，求的度数； （2）是的外角，的靠近的三分线与的三分线交于点P．若，，直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 22．【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想） (1)若为开心三角形，，则这个三角形最小的内角是多少； (2)已知开心三角形的其中一个内角为，则这个三角形的其他内角是多少； 23．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 24．（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$