2025-2026学年上海市七年级下册 数学期末试卷（押题C卷）

**基本信息** 2025-2026学年上海市七年级下册数学期末押题C卷，以0.54难度系数覆盖不等式、三角形、平行四边形等核心知识，通过文房四宝购买、秋千运动等情境设计，融合抽象能力、推理意识与应用意识，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|不等式性质、三角形角度计算|结合直角三角板摆放考查平行线性质| |填空题|12/24|三角形中线、动点最值问题|工程路线转向角度计算体现空间观念| |解答题|7/64|全等证明、不等式组应用|文房四宝购买问题考查模型意识，几何综合题（等边三角形内点）提升推理能力|

2025-2026学年上海市七年级下册 数学 期末试卷（押题C卷）答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：A 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三．解答题（共7小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市七年级下册 数学期末试卷（押题C卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B C A B 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若a＞b，则下列式子正确的是（　　） A．﹣3+a＜﹣3+b B．ac＞bc C．a2＞b2 D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．若a＞b，则﹣3+a＞﹣3+b，故选项A错误； B．若a＞b，当c＝0时，ac＝bc；当c＞0时，ac＞bc；当c＜0时，ac＜bc，故选项B错误； C．若a＞b，若a＝﹣2，b＝﹣3，满足a＞b，但a2＝4，b2＝9，a2＜b2，故选项C错误； D．∵m2+1＞0恒成立，若a＞b，则，故选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 2．（2分）如图摆放的一副直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（　　） A．85° B．115° C．75° D．105° 【答案】D 【分析】过点G作HG∥BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又由∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案． 【解答】解：∵∠F＝30°，∠C＝45°，∠A＝∠D＝90°， ∴∠E＝60°，∠B＝45°， 如图，过点G作HG∥BC， ∵EF∥BC，HG∥BC， ∴GH∥BC∥EF， ∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E， ∵∠E＝60°，∠B＝45°， ∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等，正确作出辅助线是解本题的关键． 3．（2分）下列语句中真命题的个数是（　　） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ③若a⊥b，a⊥c，则b∥c； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的判定和性质判断①③⑤命题；根据对顶角判断②命题；根据垂线判断④命题． 【解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； ②命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题，不符合题意； ③在同一平面内，若，a⊥c．则b∥c，原命题是假命题，不符合题意； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，符合题意； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角互补，则其平分线互相垂直，原命题是真命题，符合题意． 即真命题的个数是2个． 故选：B． 【点评】本题考查的是命题与定理，平行线的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 4．（2分）一个三角形的三边长是m、3、5，那么m的取值范围是（　　） A．3＜m＜5 B．0＜m＜5 C．2＜m＜8 D．0＜m＜8 【答案】C 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜m＜5+3， ∴2＜m＜8． 故选：C． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 5．（2分）若四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解． 【解答】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知A符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2分）如图，在△ABC中，M是AC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点，连接MA，MB，MC．若∠MAC＝α，则用含α的代数式表示∠ABC是（　　） A．α B．90°﹣α C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出MA＝MB＝MC，根据等腰三角形的性质求出∠BAM＝∠ABM，∠CBM＝∠BCM，∠MAC＝∠ACM＝α，再根据三角形内角和定理及角的和差求解即可． 【解答】解：∵M是AC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点， ∴MA＝MB＝MC， ∴∠BAM＝∠ABM，∠CBM＝∠BCM，∠MAC＝∠ACM＝α， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴2∠ABM+2∠CBM+2∠MAC＝180°， ∴∠ABM+∠CBM（180°﹣2α）＝90°﹣α， 即∠ABC＝90°﹣α， 故选：B． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练运用相关定理是解题的关键． 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）已知关于x的不等式x＞a﹣1的解集如图，则a的值为 　0　 ． 【答案】0． 【分析】根据数轴可知，该不等式的解集为x＞﹣1，再根据不等式x＞a﹣1，可知a﹣1＝﹣1，即可求得a的值． 【解答】解：由数轴可知，该不等式的解集为x＞﹣1， ∵不等式x＞a﹣1， ∴a﹣1＝﹣1， 解得a＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（2分）如图，工程队铺设一条公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设．若∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数是 　80°　 ． 【答案】80°． 【分析】延长AB交CD于点G，由平行线可得∠CGF＝∠CDE，再由∠ABC＝120°，可求∠CBG＝60°，则∠BCG＝∠CGF﹣∠CBG＝80°． 【解答】解：延长AB交CD于点G， ∵AB∥DE， ∴∠CGF＝∠CDE， ∵∠CDE＝140°， ∴∠CGF＝140°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBG＝60°， ∴∠BCG＝∠CGF﹣∠CBG＝140°﹣60°＝80°， 故答案为：80°． 【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． 9．（2分）连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的　中线　 ． 【答案】中线． 【分析】连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线． 【解答】解：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D， 则线段AD叫做△ABC的边BC上的中线， 故答案为：中线． 【点评】本题考查了三角形的中线，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，点E为△ABC内一动点，点F为DE中点，AC＝6，BC＝2DE＝8，当AE+BF最小时，则∠EAC的度数为 　45　 °． 【答案】45． 【分析】取BD的中点H，连接AH、EH，因为AC＝6，BC＝2DE＝8，所以DE＝DB＝DC＝4，DH＝DF＝2，则HC＝6＝AC，而∠C＝90°，所以∠HAC＝∠AHC＝45°，可证明△DHE≌△DFB，得EH＝BF，由AE+EH≥AH，得AE+BF≥AH，当点E落在AH上时，AE+BF的值最小，此时∠EAC＝∠HAC＝45°，于是得到问题的答案． 【解答】解：取BD的中点H，连接AH、EH， ∵AC＝6，BC＝2DE＝8，D为BC的中点，F为DE中点， ∴DE＝DB＝DCBC＝4， ∴DHDB＝2，DFDE＝2， ∴DH＝DF，HC＝DH+DC＝2+4＝6， ∵∠C＝90°，AC＝HC＝6， ∴∠HAC＝∠AHC＝45°， 在△DHE和△DFB中， ， ∴△DHE≌△DFB（SAS）， ∴EH＝BF， ∵AE+EH≥AH， ∴AE+BF≥AH， ∵当点E落在AH上时，AE+EH的值最小，此时AE+BF的值最小， ∴AE+BF最小时，∠EAC＝∠HAC＝45°， 故答案为：45． 【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 11．（2分）不等式组的解集是x＞a+1，则a的取值范围是 a≥1　 ． 【答案】a≥1． 【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据不等式组的解集的确定方法：大大取大可得到2≥m+1，即可得答案． 【解答】解：， 由①得：x＞2， 由②得：x＞a+1， ∵不等式组的解集是x＞a+1， ∴2≤a+1， ∴a≥1， 故答案为：a≥1． 【点评】本题主要考查了不等式组的解法，关键是能根据不等式的解集和已知得出2≤a+1． 12．（2分）把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【分析】根据把一个命题写成“如果…那么…”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面解答即可． 【解答】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【点评】本题考查了命题与定理，对顶角、邻补角，熟知以上知识是解题的关键． 13．（2分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝3∠ABC，点D在直线BC上，CA＝CD，连接AD，∠ADC的度数为 　72°或18°　 ． 【答案】72°或18°． 【分析】先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝36°，再分两种情况讨论如下：①当点D在线段BC上时，根据CA＝CD，∠ACB＝36°，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠ADC的度数；②当点D在BC延长线上时，根据CA＝CD得∠ADC＝∠CAD，再根据三角形外角性质得∠ACB＝2∠ADC＝36°，由此即可得出∠ADC的度数，综上所述即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∵∠BAC＝3∠ABC， ∴5∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝∠ACB＝36°， ∵点D在直线BC上， ∴有以下两种情况： ①当点D在线段BC上时，如图1所示： ∵CA＝CD，∠ACB＝36°， ∴∠ADC（180°﹣∠ACB）＝72°； ②当点D在BC的延长线上时，如图2所示： ∵CA＝CD， ∴∠ADC＝∠CAD， ∴∠ACB是△ACD的外角， ∴∠ACB＝∠ADC+∠CAD＝2∠ADC＝36°， ∴∠ADC＝18°， 综上所述：∠ADC的度数为72°或18°． 故答案为：72°或18°． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 14．（2分）如图，在△ABC中，用尺规作图的方式得到点D，若△ABD的周长为9，AB＝4，则BC＝　5　 ． 【答案】5． 【分析】由作图可知点D是AC的垂直平分线与BC的交点，所以AD＝CD，则AD+BD＝BC，由△ABD的周长为9，且AB＝4，得BC+4＝9，求得BC＝5，于是得到问题的答案． 【解答】解：由作图得，点D是AC的垂直平分线与BC的交点， ∴AD＝CD， ∴AD+BD＝CD+BD＝BC， ∵△ABD的周长为9， ∴AD+BD+AB＝9， ∵AB＝4， ∴BC+4＝9， ∴BC＝5， 故答案为：5． 【点评】此题重点考查尺规作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，推导出AD＝CD，进而证明AD+BD＝BC是解题的关键． 15．（2分）关于x的不等式组无解，则a的取值范围值是a≤3　 ． 【答案】a≤3． 【分析】根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得． 【解答】解：∵不等式组无解， ∴a﹣1≤2， 解得：a≤3． 故答案为：a≤3． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 16．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，点D在BC边上，且BA＝BD，点E是线段AC上的一个动点（不与点A，点C重合），若△ADE为等腰三角形，则∠AED的度数为　75°或120°　 ． 【答案】75°或120°． 【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理分别求出∠BAC＝100°，∠BAD＝70°，进而得∠DAC＝30°，再由∠C＞∠DAC得AD＞CD，据此得当△ADE为等腰三角形时有以下两种情况：①当AE＝AD时，则∠AED＝∠ADE，再根据∠AED+∠ADE+∠DAC＝180°得∠AED＝75°；②当AE＝DE时，则∠EDA＝∠DAC＝30°，再根据∠EDA+∠DAC+∠AED＝180°得∠AED＝120°，综上所述即可得出∠AED的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝100°， 在△BAD中，BA＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA， ∵∠BAD+∠BDA+∠B＝180°， ∴2∠BAD+40°＝180°， ∴∠BAD＝70°， ∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°， 在△ACD中，∠DAC＝30°，∠C＝40°， ∴∠C＞∠DAC， ∴AD＞CD， ∵点E是线段AC上的一个动点（不与点A，点C重合）， 且△ADE为等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①当AE＝AD时，如图1所示： 在△AED中，AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE， ∵∠AED+∠ADE+∠DAC＝180°， ∴2∠AED+30°＝180°， ∴∠AED＝75°； ②当AE＝DE时，如图2所示： 在△AED中，AE＝DE， ∴∠EDA＝∠DAC＝30°， ∵∠EDA+∠DAC+∠AED＝180°， ∴30°+30°+∠AED＝180°， ∴∠AED＝120°， 综上所述：∠AED的度数为75°或120°． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 17．（2分）如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中实线所围成图形的面积S等于 　50　 ． 【答案】50． 【分析】证明△AEF≌△BAG，△CBG≌△DCH得出EF＝AG，AF＝BG，CG＝DH，CH＝BG，则实线所围成图形的面积＝S梯形EFHD﹣2S△ABG﹣2S△CDH即可求解． 【解答】解：∵AE⊥AB，BC⊥CD， ∴∠BAE＝∠BCD＝90°， ∴∠EAF+∠BAG＝90°，∠BCG+∠DCH＝90°， 由图可知∠F＝∠AGB＝∠CGB＝∠H＝90°， ∴∠AEF+∠EAF＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°， ∴∠AEF＝∠GAB，∠BCG＝∠CDH， ∵BC＝CD，AE＝AB， ∴△AEF≌△BAG，△CBG≌△DCH（AAS）， ∴EF＝AG＝6，AF＝BG3，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3， ∴HF＝16， ∴实线所围成图形的面积＝S梯形EFHD﹣2S△ABG﹣2S△CDH16×（6+4）﹣23×6﹣23×4＝50． 故答案为：50． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，梯形的面积，证明三角形全等是解题关键． 18．（2分）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为　1.8　 米． 【答案】1.8． 【分析】由AAS证明△OBD≌△COE得出OE＝BD，CE＝OD即可推出结果． 【解答】解：∵点B距离地面的高度为1.5m，点C距离地面的高度是1.6m， ∴点D距离地面的高度为1.5m，点E距离地面的高度是1.6m， ∴DE＝1.6﹣1.5＝0.1（m）， ∵∠BDO＝∠BOC＝90°， ∴∠OBD+∠BOE＝∠BOE+∠COD＝90°， ∴∠OBD＝∠COD， 在△OBD和△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.7m，CE＝OD， ∴CE＝OD＝OE+DE＝1.7+0.1＝1.8（m）， ∴点C到OA的距离CE为1.8m， 故答案为：1.8． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△OBD≌△COE是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）不等式组无解，求m的取值范围． 【答案】m≤2． 【分析】先解不等式组，再根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可． 【解答】解：不等式组整理得：， 由条件可得4m≤8， 解得：m≤2， 则m的取值范围是m≤2． 【点评】本题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键． 20．（6分）完成下面的证明． 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：∠BAC+∠AGD＝180°． 证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（ 　垂直的定义　 ）， ∴∠EFB＝∠ADB（等量代换）， ∴EF∥AD（ 　同位角相等，两直线平行　 ）， ∴∠1＝∠BAD（ 　两直线平行，同位角相等　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠BAD （等量代换）， ∴DG∥BA（ 　内错角相等，两直线平行　 ）， ∴∠BAC+∠AGD＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】根据平行线的判定得出EF∥AD，根据平行线的性质得出∠1＝∠BAD，求出∠2＝∠BAD，根据平行线的判定得出DG∥BA，根据平行线的性质得出即可． 【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（垂直的定义）， ∴∠EFB＝∠ADB（等量代换）， ∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠1＝∠BAD（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠BAD（等量代换）， ∴DG∥BA（内错角相等，两直线平行）， ∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；BAD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，补角定义的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 21．（7分）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D，BC与EF交于点O．求证：OC＝OF． 【答案】证明见解析． 【分析】先判定△ABC≌△DEF，得到∠ACB＝∠DFE，再利用等角对等边的性质即可得出结论． 【解答】解：点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝DC， ∴AC＝DF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠DFE， ∴OC＝OF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 22．（8分）如图，已知∠AOB＝60°，点C在OB上． （1）求作∠AOB内部一点P，使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等，且OP＝CP（不要求写作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）； （2）在（1）的条件下，点P到OA的距离是4，那么PC的长是 　8　 ． 【答案】（1）如图，点P为所作； （2）8． 【分析】（1）先作∠AOB平分线，再作OC的垂直平分线，两线相交于点P，则根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得到P点满足条件； （2）过P点作PH⊥OA，PD⊥OB于D点，如图，则PD＝PH＝4，根据角平分线的性质定理的逆定理得到OP平分∠AOB，所以∠POC＝30°，再利用OP＝PC得到∠PCO＝30°，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求解． 【解答】解：（1）如图，点P为所作； （2）过P点作PH⊥OA，PD⊥OB于D点，如图， ∵点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等， ∴PD＝PH＝4，OP平分∠AOB， ∴∠POC∠AOB＝30°， ∵OP＝PC， ∴∠PCO＝∠POC＝30°， 在Rt△PCD中，∵∠PCD＝30°， ∴PC＝2PD＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质． 23．（12分）综合与实践 “文房四宝”是中国传统的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查，得知每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． （1）求甲、乙这两种型号的“文房四宝”每套的价格． （2）若该校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5840元，并且要求购进乙型号“文房四宝”的数量少于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）乙型号的“文房四宝”每套的价格为50元，甲型号的每套为80元； （2）共有三种购买方案，最低费用是5780元． 【分析】（1）假设出两种型号“文房四宝”的价格，根据数量找出等量关系，列出方程求解即可； （2）假设出两种型号“文房四宝”的数量，根据不等关系列出不等式组，确定取值，然后制定方案求出花费的钱数即可． 【解答】解：（1）设乙型号的“文房四宝”每套的价格为x元，则甲型号的每套为（x+30）元，根据题意列分式方程得， ， 整理得，240x＝12000， 解得x＝50， 经检验，x＝50是原分式方程的根，并符合题意， 此时，x+30＝80， 所以，乙型号的“文房四宝”每套的价格为50元，甲型号的每套为80元； （2）设购买甲型号“文房四宝”m套，则乙型号为（100﹣m）套，根据题意列一元一次不等式方程组得， ， 解得25＜m≤28， ∵m取值为正整数， ∴m可取26，27，28， 所以有以下三种购买方案： 方案一：当m＝26时，即购买甲26套，乙74套， 此时费用为80×26+50×74＝2080+3700＝5780（元）； 方案二：当m＝27时，即购买甲27套，乙73套， 此时费用为80×27+50×73＝2160+3650＝5810（元）； 方案三：当m＝28时，即购买甲28套，乙72套， 此时费用为80×28+50×72＝2240+3600＝5840（元）； ∵5780＜5810＜5840 ∴共有三种购买方案，且方案一最省钱，最低费用是5780元． 【点评】本题主要考查了列分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是准确找出等量关系和不等关系． 24．（12分）如图，D是等边△ABC内一点，且DA＝DB，点P是等边△ABC外一点，PB＝AB，∠1＝∠2． （1）求∠P的度数； （2）设PB交AC于点E，连接CP，△ABC的边长为10，AD∥CP，求△BCP的面积． 【答案】（1）30°； （2）25． 【分析】（1）连接CD，由等边三角形的性质推出AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°，判定△ACD≌△BCD（SSS），得到∠ACD＝∠BCD，求出∠BCD∠ACB＝30°，判定△PBD≌△CBD（SAS），推出∠BPD＝∠BCD＝30°； （2）过P作PH⊥BC于H，由等腰三角形的性质推出BD⊥PC，由平行线的性质判定DB⊥AD，得到△ABD是等腰直角三角形，因此∠ABD＝45°，得到∠ABD＝45°，求出∠2＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，得到∠PBC＝2∠2＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到PHPB＝5，即可求出△BCP的面积． 【解答】解（1）连接CD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°， ∵AD＝BD，CD＝CD， ∴△ACD≌△BCD（SSS）， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠BCD∠ACB＝30°， ∵PB＝AB， ∴PB＝BC， ∵∠1＝∠2．BD＝BD， ∴△PBD≌△CBD（SAS）， ∴∠BPD＝∠BCD＝30°； （2）过P作PH⊥BC于H， ∵PB＝CB，∠1＝∠2， ∴BD⊥PC， ∵CP∥AD， ∴DB⊥AD， ∵AD＝BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，BC＝10， ∴∠2＝∠ABC﹣∠ABD＝15°， ∴∠PBC＝2∠2＝30°， ∵∠PHB＝90°， ∴PHPB， ∵PB＝BC＝10， ∴PH＝5， ∴△BCP的面积BC•PH10×5＝25． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质，平行线的性质，关键是判定△ACD≌△BCD（SSS），△PBD≌△CBD（SAS），由含30度角的直角三角形的性质推出PHPB． 25．（14分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图1，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即PM＝PN．过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，已知角尺的夹角∠MPN＝90°． （1）请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因； （2）小明认为，当∠AOB＝90°时，工人师傅就不需要先在边OA，OB上分别取OM＝ON．如图2，直接移动角尺，使角尺的两边分别与OA，OB相交于点M，N，且满足PM＝PN，便可以得到OP平分∠AOB．你觉得小明的观点对吗？并说明理由； （3）如图3，∠AOB＝90°，OQ平分∠AOB．P是射线OQ上的一点，过点P作PE⊥OB于点E，OE＝5．点C在射线OA上运动，过点P作PD⊥PC，与直线OB交于点D．若OD＝2，请直接写出OC的长． 【答案】（1）在△OPM和△OPN中， ， ∴△OPM≌△OPN（SSS）， ∴∠POM＝∠PON， 即OP平分∠AOB； （2）小明的观点正确，理由如下： 如图，过点P作PD⊥OA于点D，作PE⊥OB于点E， ∴∠AOB＝∠PDO＝∠PNO＝90°， ∴∠DPE＝90°， ∵∠MPN＝90°， ∴∠DPM＝∠EPN＝90°﹣∠MPE， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDM＝∠PEN＝90°， ∵PM＝PN， ∴PDM≌△PEN（AAS）， ∴PD＝PE， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OP平分∠AOB． （3）8或12． 【分析】（1）根据SSS证明△OPM≌△OPN即可； （2）过点P作PD⊥OA于点D，作PE⊥OB于点E，证明△PDM≌△PEN（AAS），则PD＝PE，再根据角平分线的判定即可说理； （3）当点D在点O右侧时，过点P作PF⊥OA于点F，证明△FPC≌△EPD（ASA），求出CF，再证明△PFO≌△PEO（AAS），求出OF，即可解答；当点D在点O左侧时，过点P作PF⊥OA于点F，同理可求CF、OF，即可解答． 【解答】（1）证明：在△OPM和△OPN中， ， ∴△OPM≌△OPN（SSS）， ∴∠POM＝∠PON， 即OP平分∠AOB； （2）解：小明的观点正确，理由如下： 如图，过点P作PD⊥OA于点D，作PE⊥OB于点E， ∴∠AOB＝∠PDO＝∠PNO＝90°， ∴∠DPE＝90°， ∵∠MPN＝90°， ∴∠DPM＝∠EPN＝90°﹣∠MPE， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDM＝∠PEN＝90°， ∵PM＝PN， ∴PDM≌△PEN（AAS）， ∴PD＝PE， ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OP平分∠AOB． （3）解：①当点D在点O右侧时，过点P作PF⊥OA于点F，如图， ∵PE⊥OB，OQ平分∠AOB， ∴PF＝PE，∠PFC＝∠PED＝∠PFO＝90°， 同上可得，∠CPD＝∠FPE＝90°， ∴∠FPC＝∠EPD＝90°﹣∠FPD， ∴△FPC≌△EPD（ASA）， ∴CF＝DE＝OE﹣OD＝5﹣2＝3， ∵OQ平分∠AOB， ∴∠FOP＝∠EOP， ∵PO＝PO，∠PFO＝∠PEO＝90°， ∴△PFO≌△PEO（AAS）， ∴OF＝OE＝5， ∴OC＝OF+FC＝8； ②当点D在点O左侧时，过点P作PF⊥OA于点F，如图， ∵PE⊥OB，OQ平分∠AOB， ∴PF＝PE，∠PFC＝∠PED＝∠PFO＝90°， 同上可得，∠CPD＝∠FPE＝90°， ∴∠FPC＝∠EPD＝90°﹣∠FPD， ∴△FPC≌△EPD（ASA）， ∴CF＝DE＝OE+OD＝5+2＝7， ∵OQ平分∠AOB， ∴∠FOP＝∠EOP， ∵PO＝PO，∠PFO＝∠PEO＝90°， ∴△PFO≌△PEO（AAS）， ∴OF＝OE＝5， ∴OC＝OF+FC＝5+7＝12， 综上，OC长为8或12． 【点评】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． ( 第 2 页 共 24 页 ) ( 第 1 页 共 24 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年上海市七年级下册数学 期末试卷（押题C卷）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][ 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A][B]IC][D] 二.填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题 的答题区内作答) 第1页共7页 7. 8 9. 10. y 13. 14. 15. 16. 18 三.解答题（共7小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作 答) 第2页共7页 19.答： 20.答： A E G B D C 第3页共7页 21.答： B E F C 第4页共7页 22.答： A 0 CB 23.答： 24.答： 第5页共7页 y B 第6页共7页 25.答： A M A B 0 图1 图2 图3 第7页共7页 绝密★启用前 2025-2026学年上海市七年级下册 数学期末试卷（押题C卷） 难度系数：0.54；考试时间：100分钟；满分：100分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若a＞b，则下列式子正确的是（　　） A．﹣3+a＜﹣3+b B．ac＞bc C．a2＞b2 D． 2．（2分）如图摆放的一副直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（　　） A．85° B．115° C．75° D．105° 3．（2分）下列语句中真命题的个数是（　　） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ③若a⊥b，a⊥c，则b∥c； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2分）一个三角形的三边长是m、3、5，那么m的取值范围是（　　） A．3＜m＜5 B．0＜m＜5 C．2＜m＜8 D．0＜m＜8 5．（2分）若四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．（2分）如图，在△ABC中，M是AC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点，连接MA，MB，MC．若∠MAC＝α，则用含α的代数式表示∠ABC是（　　） A．α B．90°﹣α C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）已知关于x的不等式x＞a﹣1的解集如图，则a的值为 　 　 ． 8．（2分）如图，工程队铺设一条公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设．若∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数是 　 　 ． 9．（2分）连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的　 　 ． 10．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，点E为△ABC内一动点，点F为DE中点，AC＝6，BC＝2DE＝8，当AE+BF最小时，则∠EAC的度数为 　 　 °． 11．（2分）不等式组的解集是x＞a+1，则a的取值范围是 　 　 ． 12．（2分）把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式　 　 ． 13．（2分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝3∠ABC，点D在直线BC上，CA＝CD，连接AD，∠ADC的度数为 　 　 ． 14．（2分）如图，在△ABC中，用尺规作图的方式得到点D，若△ABD的周长为9，AB＝4，则BC＝　 　 ． 15．（2分）关于x的不等式组无解，则a的取值范围值是　 　 ． 16．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，点D在BC边上，且BA＝BD，点E是线段AC上的一个动点（不与点A，点C重合），若△ADE为等腰三角形，则∠AED的度数为　 　 ． 17．（2分）如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中实线所围成图形的面积S等于 　 　 ． 18．（2分）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为　 　 米． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）不等式组无解，求m的取值范围． 20．（6分）完成下面的证明． 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：∠BAC+∠AGD＝180°． 证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（ 　 　 ）， ∴∠EFB＝∠ADB（等量代换）， ∴EF∥AD（ 　 　 ）， ∴∠1＝∠BAD（ 　 　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠　 　 （等量代换）， ∴DG∥BA（ 　 　 ）， ∴∠BAC+∠AGD＝180°（ 　 　 ）． 21．（7分）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D，BC与EF交于点O．求证：OC＝OF． 22．（8分）如图，已知∠AOB＝60°，点C在OB上． （1）求作∠AOB内部一点P，使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等，且OP＝CP（不要求写作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）； （2）在（1）的条件下，点P到OA的距离是4，那么PC的长是 　 　 ． 23．（12分）综合与实践 “文房四宝”是中国传统的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查，得知每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． （1）求甲、乙这两种型号的“文房四宝”每套的价格． （2）若该校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5840元，并且要求购进乙型号“文房四宝”的数量少于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 24．（12分）如图，D是等边△ABC内一点，且DA＝DB，点P是等边△ABC外一点，PB＝AB，∠1＝∠2． （1）求∠P的度数； （2）设PB交AC于点E，连接CP，△ABC的边长为10，AD∥CP，求△BCP的面积． 25．（14分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图1，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即PM＝PN．过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，已知角尺的夹角∠MPN＝90°． （1）请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因； （2）小明认为，当∠AOB＝90°时，工人师傅就不需要先在边OA，OB上分别取OM＝ON．如图2，直接移动角尺，使角尺的两边分别与OA，OB相交于点M，N，且满足PM＝PN，便可以得到OP平分∠AOB．你觉得小明的观点对吗？并说明理由； （3）如图3，∠AOB＝90°，OQ平分∠AOB．P是射线OQ上的一点，过点P作PE⊥OB于点E，OE＝5．点C在射线OA上运动，过点P作PD⊥PC，与直线OB交于点D．若OD＝2，请直接写出OC的长． ( 第 2 页 共 7 页 ) ( 第 1 页 共 7 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年上海市七年级下册 数学期末试卷（押题C卷） 难度系数：0.54；考试时间：100分钟；满分：100分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若a＞b，则下列式子正确的是（　　） A．﹣3+a＜﹣3+b B．ac＞bc C．a2＞b2 D． 2．（2分）如图摆放的一副直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（　　） A．85° B．115° C．75° D．105° 3．（2分）下列语句中真命题的个数是（　　） ①两直线平行，同旁内角相等； ②命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ③若a⊥b，a⊥c，则b∥c； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2分）一个三角形的三边长是m、3、5，那么m的取值范围是（　　） A．3＜m＜5 B．0＜m＜5 C．2＜m＜8 D．0＜m＜8 5．（2分）若四边形ABCD的对角线互相平分，则四边形ABCD一定是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．（2分）如图，在△ABC中，M是AC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点，连接MA，MB，MC．若∠MAC＝α，则用含α的代数式表示∠ABC是（　　） A．α B．90°﹣α C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）已知关于x的不等式x＞a﹣1的解集如图，则a的值为 　 　 ． 8．（2分）如图，工程队铺设一条公路，他们从点A处铺设到点B处时，由于水塘挡路，决定改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿着与AB平行的DE方向继续铺设．若∠ABC＝120°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数是 　 　 ． 9．（2分）连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的　 　 ． 10．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，点E为△ABC内一动点，点F为DE中点，AC＝6，BC＝2DE＝8，当AE+BF最小时，则∠EAC的度数为 　 　 °． 11．（2分）不等式组的解集是x＞a+1，则a的取值范围是 　 　 ． 12．（2分）把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式　 　 ． 13．（2分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝3∠ABC，点D在直线BC上，CA＝CD，连接AD，∠ADC的度数为 　 　 ． 14．（2分）如图，在△ABC中，用尺规作图的方式得到点D，若△ABD的周长为9，AB＝4，则BC＝　 　 ． 15．（2分）关于x的不等式组无解，则a的取值范围值是　 　 ． 16．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，点D在BC边上，且BA＝BD，点E是线段AC上的一个动点（不与点A，点C重合），若△ADE为等腰三角形，则∠AED的度数为　 　 ． 17．（2分）如图，已知AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，按照图中所标注的数据，则图中实线所围成图形的面积S等于 　 　 ． 18．（2分）小丽与爸爸、妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小丽两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若点B距离地面的高度为1.5m，点B到OA的距离BD为1.7m，点C距离地面的高度是1.6m，∠BOC＝90°，则点C到OA的距离CE为　 　 米． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）不等式组无解，求m的取值范围． 20．（6分）完成下面的证明． 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2，求证：∠BAC+∠AGD＝180°． 证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（ 　 　 ）， ∴∠EFB＝∠ADB（等量代换）， ∴EF∥AD（ 　 　 ）， ∴∠1＝∠BAD（ 　 　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠　 　 （等量代换）， ∴DG∥BA（ 　 　 ）， ∴∠BAC+∠AGD＝180°（ 　 　 ）． 21．（7分）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AF＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D，BC与EF交于点O．求证：OC＝OF． 22．（8分）如图，已知∠AOB＝60°，点C在OB上． （1）求作∠AOB内部一点P，使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等，且OP＝CP（不要求写作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）； （2）在（1）的条件下，点P到OA的距离是4，那么PC的长是 　 　 ． 23．（12分）综合与实践 “文房四宝”是中国传统的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查，得知每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． （1）求甲、乙这两种型号的“文房四宝”每套的价格． （2）若该校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5840元，并且要求购进乙型号“文房四宝”的数量少于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 24．（12分）如图，D是等边△ABC内一点，且DA＝DB，点P是等边△ABC外一点，PB＝AB，∠1＝∠2． （1）求∠P的度数； （2）设PB交AC于点E，连接CP，△ABC的边长为10，AD∥CP，求△BCP的面积． 25．（14分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法：如图1，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即PM＝PN．过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线，已知角尺的夹角∠MPN＝90°． （1）请解释工人师傅这样做能得到角平分线的原因； （2）小明认为，当∠AOB＝90°时，工人师傅就不需要先在边OA，OB上分别取OM＝ON．如图2，直接移动角尺，使角尺的两边分别与OA，OB相交于点M，N，且满足PM＝PN，便可以得到OP平分∠AOB．你觉得小明的观点对吗？并说明理由； （3）如图3，∠AOB＝90°，OQ平分∠AOB．P是射线OQ上的一点，过点P作PE⊥OB于点E，OE＝5．点C在射线OA上运动，过点P作PD⊥PC，与直线OB交于点D．若OD＝2，请直接写出OC的长． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $