第21章 四边形 期末复习课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学四边形单元复习课件系统梳理了多边形、平行四边形、三角形中位线、矩形、菱形、正方形等核心知识，通过要点分类、例题解析及课堂活动，构建知识网络，体现各知识点间的内在逻辑联系。 其亮点在于以例题为载体，融合数学眼光（几何直观）与数学思维（推理能力），设计分层练习（如基础计算到综合证明题），帮助学生巩固知识，提升解题能力，也为教师提供系统复习框架，增强教学针对性。

第二十一章 四边形 1 要点一　多边形及其内角和与外角和 例1　若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和为1 800°，则原多边形的边数是（ ） A．12 B．11 或 12 C．12 或 13 或 14 D．11 或 12 或 13　 解析：设多边形截去一个角后的边数为 n， 则(n－2)·180°＝1 800°， 解得 n＝12． 截去一个角后，多边形的边数会怎么变化？ C B A D C B A D 要点一　多边形及其内角和与外角和 C B A D 以四边形为例： 截去一个角后边的数量情况有：①减少1； ②不变；③增加1． ∴ 原来多边形的边数是 11 或 12 或 13． 例2　如图，小亮从 A 点出发，沿直线前进 10 米后，向左转 30°，再沿着直线前进 10 米，又向左转 30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走了 米． 解析：依题意，小亮行走的路线构成了一个正多边形，每一个外角都是 30°． ∵ 360÷30＝12， ∴ 他需要走 12 次才会回到原来的起点， 即一共走了 12×10＝120 （米）． 要点一　多边形及其内角和与外角和 120 例3　如图，四边形 ABCD 的内角∠BCD 的平分线与外角∠ABE 的平分线相交于点 F． （1）若 BF∥CD，∠ABC＝80°，求∠BCD 的度数； 解：（1）∵ ∠ABC＝80°， ∴ ∠ABE＝180°－80°＝100°． ∵ BF 平分∠ABE， ∴ ∠ABF＝∠EBF＝50°． ∵ BF∥CD， ∴ ∠BCD＝∠EBF＝50°． 要点一　多边形及其内角和与外角和 要点一　多边形及其内角和与外角和 例3　如图，四边形 ABCD 的内角∠BCD 的平分线与外角∠ABE 的平分线相交于点 F． （2）已知四边形 ABCD 中，∠A＝110°，∠D＝120°，求∠F 的度数． 解：（2）∵ CF 平分∠BCD，BF 平分∠ABE， ∴ ∠BCF＝∠DCF＝ ∠BCD，∠EBF＝∠ABF． ∵ ∠A＋∠D＋∠ABC＋∠BCD＝360°，∠A＝110°，∠D＝120°， ∴ ∠ABC＋∠BCD＝360°－110°－120°＝130°， 即 180°－∠ABE＋2∠BCF＝130°． ∵ ∠ABE＝2∠EBF，∠EBF＝∠F＋∠BCF， ∴ 180°－2(∠F＋∠BCF)＋2∠BCF＝130°， ∴ 2∠F＝50°， ∴ ∠F＝25°． 要点一　多边形及其内角和与外角和 例1　如图，在□ABCD 中，AD＝10，对角线 AC 与 BD 相交于点 O．若 AC＋BD＝22，则△BOC 的周长为（ ） A．20 B．21 C．22 D．23 要点二　平行四边形的性质与判定 B 解析：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD， BC＝AD＝10， ∵ AC＋BD＝22，∴ OC＋OB＝11， ∵ BC＝10，∴ △BOC 的周长＝OC＋OB＋BC＝21． 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠A＝∠C，DC∥AB， ∴ ∠A＋∠ADC＝180°． ∵ DE⊥AB，DF⊥BC， ∴ ∠A＋∠ADE＝90°，∠C＋∠CDF＝90°，∴ ∠ADE＝∠CDF． ∵ ∠ADE＋∠CDF＝60°，∴ ∠ADE＝30°，∴ ∠A＝60°， ∴ ∠ADC＝120°，∴ ∠EDF＝60°． 例2　如图所示，□ABCD 中，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，且∠ADE＋∠CDF＝60°，求∠EDF 的度数． D A E B F C 要点二　平行四边形的性质与判定 例3　如图，在□ABCD 中，点 M，N 分别在边 BC，AD 上，AM∥CN，对角线 BD 分别交 AM，CN 于 E，F．求证 BE＝DF． 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD，AB＝CD， ∴ ∠ABE＝∠CDF． ∵ AM∥CN，∴ ∠AEB＝∠NFE． 又 ∠NFE＝∠CFD，∴ ∠AEB＝∠CFD， 要点二　平行四边形的性质与判定 例3　如图，在□ABCD 中，点 M，N 分别在边 BC，AD 上，AM∥CN，对角线 BD 分别交 AM，CN 于 E，F．求证 BE＝DF． 要点二　平行四边形的性质与判定 在 △AEB 和 △CFD 中， ∴ △AEB≌△CFD（AAS）， ∴ BE＝DF． 解：如图，作 DE⊥AB，垂足为 E，则∠AED＝90°． ∵ ∠A＝45°，∴ ∠ADE＝45°，∴ AE＝DE． ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD＝BC＝2， 又 AE2＋DE2＝AD2， ∴ 2DE2＝22，∴ DE＝ ， ∴ AB 与 CD 之间的距离为 ． 例4　在□ABCD 中，∠A＝45°，BC＝2，则 AB 与 CD 之间的距离为（ ） A．1 B． C． D．2 要点二　平行四边形的性质与判定 B C A B D E 例5　如图，在□ABCD 中，点 E，F 分别是 AD，BC 边上的点，且∠ABE＝∠CDF． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）连接 CE，若线段 CE 平分∠DCB，DF⊥BC，DF＝4，DE＝5，求△BCE 的面积． 要点二　平行四边形的性质与判定 （1）证明：∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠DCF，AB＝CD． ∵ ∠ABE＝∠CDF， ∴ △ABE≌△CDF（ASA）． ∴ AE＝CF． ∴ AD－AE＝BC－CF，即 DE＝BF． 又 DE∥BF， ∴ 四边形 BEDF 是平行四边形． 要点二　平行四边形的性质与判定 要点二　平行四边形的性质与判定 （2）解：∵ 四边形 BEDF 是平行四边形， ∴ BF＝DE＝5，DE∥BC，∴ ∠DEC＝∠ECB． ∵ CE 平分∠DCB，∴ ∠DCE＝∠ECB， ∴ ∠DEC＝∠DCE，∴ DE＝CD． ∵ DF⊥BC，DF＝4，DE＝5， 在 Rt△DFC 中， CF＝ ＝ ＝3． ∴ BC＝BF＋CF＝5＋3＝8， ∴ S△BCE＝ BC·DF＝ ×8×4＝16． 要点三　三角形的中位线及其定理 例1　如图，□ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，BD＝12，则△DOE 的周长为（ ） A．15 B．18 　 C．21 　　 D．24　 D E C A B O 要点三　三角形的中位线及其定理 例2　在△ABC 中，BC＞AC，点 D 在 BC 上，且 DC＝AC，∠ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，E 是 AB 的中点，连接 EF． （1）求证：EF∥BC； （1）证明：∵ DC＝AC，CF 平分∠ACB， ∴ 点 F 是 AD 的中点， 又 点 E 是 AB 的中点， ∴ EF 是△ABD 的中位线， ∴ EF∥BC． 要点三　三角形的中位线及其定理 例2　在△ABC 中，BC＞AC，点 D 在 BC 上，且 DC＝AC，∠ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，E 是 AB 的中点，连接 EF． （2）若四边形 BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积． 要点三　三角形的中位线及其定理 （2）解：如图，连接 DE， ∵ EF 是△ABD 的中位线， ∴ EF∥BC，EF∶BD＝1∶2， ∴ S△DEF∶S△DEB＝1∶2， 又 四边形 BDFE 的面积为 6， ∴ S△DEF＝ ×6＝2， 又 点 F 是 AD 的中点， ∴ S△AEF＝S△DEF＝2， ∴ S△ABD 的面积＝2＋6＝8． 要点四　矩形的性质与判定 例1　如图，矩形 ABCD 中，AC，BD 交于点 O，M，N 分别为 BC，OC 的中点．若 MN＝4，则 AC 的长为 ．　 解析：∵ M，N 分别为 BC，OC 的中点， ∴ MN 是 △COB 的中位线， ∴ BO＝2MN＝2×4＝8． ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC＝BD＝2BO＝16． 16 例2　如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，OM∥AB 交 AD 于点 M，若 OM＝3，BC＝10，则 OB 的长为（ ） A．5 B．4 C． D． 要点四　矩形的性质与判定 D 例3　如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在点 E 处，BE 与 AD交于点 F． （1）求证：△ABF≌△EDF； （2）若AB＝6，BC＝8，求 AF 的长． 要点四　矩形的性质与判定 （1）证明：在矩形 ABCD 中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°． 由折叠得 ED＝CD，∠E＝∠C＝90°， ∴ AB＝ED，∠A＝∠E＝90°． 在△ABF 和△EDF 中， ∴ △ABF ≌△EDF（AAS）． 要点四　矩形的性质与判定 （2）解： ∵ △ABF ≌△EDF， ∴ BF＝DF． 设 AF＝x，则 BF＝DF＝8－x， 在 Rt△ABF 中，由勾股定理，得 BF2＝AB2＋AF2， 即(8－x)2＝62＋x2， 解得 x＝ ，即 AF＝ ． 要点四　矩形的性质与判定 归纳 解决矩形折叠问题的方法 （1）利用折叠的性质：折痕两侧的对应部分能够完全重合，折痕两侧的对应线段相等，对应角相等． （2）此类问题往往通过折叠将对应线段或对应角转换到同一个直角三角形中，利用直角三角形的相关性质来解决． 要点四　矩形的性质与判定 例4　如图，在△ABC 中，AB＝AC．将△ABC 沿着 BC 方向平移得到△DEF ，其中点 E 在边 BC 上，DE 与 AC相交于点 O． （1）求证：△OEC 为等腰三角形； （2）连接 AE，DC，AD，试证明：当点 E 在 BC 中点时，四边形 AECD 是矩形． 要点四　矩形的性质与判定 证明：（1）∵ AB＝AC， ∴ ∠B＝∠ACB． ∵ △ABC 平移得到△DEF， ∴ AB∥DE， ∴ ∠B＝∠DEC， ∴ ∠ACB＝∠DEC， ∴ OE＝OC， 即△OEC 为等腰三角形． 要点四　矩形的性质与判定 解：（2）∵ AB＝AC，E 为 BC 的中点， ∴ AE⊥BC，BE＝EC， ∵ △ABC 平移得到△DEF， ∴ BE∥AD，BE＝AD， ∴ AD∥EC，AD＝EC， ∴ 四边形 AECD 是平行四边形． 又 AE⊥BC， ∴ 四边形 AECD 是矩形． 要点四　矩形的性质与判定 例1　如图，BD 是菱形 ABCD 的一条对角线，点 E 在 BC 的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE＝ ． 解析：∵ BD 是菱形 ABCD 的一条对角线，∠ADB＝32°， ∴ ∠CDB＝∠ADB＝32°． 又 AD∥BC， ∴ ∠DBC＝∠ADB＝32°， ∴ ∠DCE＝∠DBC＋∠CDB ＝32°＋32°＝64°． 要点五　菱形的性质与判定 B A D C E 64° D C A B O E 例2　四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 AC 上，若 OE＝ ，则 CE 的长为（　 ） A． B． C． 或 D．6 解析：根据题意画出示意图， ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC． ∵ ∠BAD＝60°，∴ △ABD 是等边三角形， ∴ BD＝AB＝6，∴ OB＝ BD＝3， 要点五　菱形的性质与判定 例2　四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 AC 上，若 OE＝ ，则 CE 的长为（　 ） A． B． C． 或 D．6 C D C A B O E ∴ OC＝OA＝ ＝ ． ∵ 点 E 在 AC 上，OE＝ ， ∴ 当点 E 在点 O 的左边时，CE＝OC＋OE＝ ， 当点 E 在点 O 的右边时，CE＝OC－OE＝ ， 综上所述，CE 的长为 或 ． 要点五　菱形的性质与判定 归纳 菱形性质的应用 （1）菱形的每一条对角线平分每一组对角，可以用来证明角相等； （2）菱形的对角线互相垂直，可以用来证明线段垂直，且菱形的两条对角线将它分为四个全等的直角三角形； （3）有一个内角是 60°的菱形，较短的对角线将其分成两个全等的等边三角形． 要点五　菱形的性质与判定 例3　如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O．过点 O 作 OE∥BC，交 AB 于点 E，E 恰好为 AB 中点，且 OE＝OA．过点 E 作 EF∥AC，交 BC 于点 F，且 AC＝BC． （1）求证：四边形 OEFC 是菱形； （2）若 AB＝2，S菱形OEFC＝1，求 BC 的长． 要点五　菱形的性质与判定 （1）证明：∵ OE∥BC，EF∥AC， ∴ 四边形 OEFC 是平行四边形． ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA＝OC＝ AC． ∵ OE∥BC，E 为 AB 中点， ∴ OE 是△ABC 的中位线， ∴ OE＝ BC， 又 AC＝BC，∴ OE＝OC，∴ 四边形 OEFC 是菱形． 要点五　菱形的性质与判定 （2）解：如图，连接 CE， 由（1）得 OE 是△ABC 的中位线，∴ AE＝BE，OE＝ BC． 又 由（1）得 四边形OEFC 是菱形， ∴ OE＝FC，∴ BF＝FC． ∴ S△EBF＝S△ECF，S△EAO＝S△ECO， ∴ S△ABC ＝2S菱形OEFC＝ AB×CE＝2， ∵ AB＝2，∴ CE＝2，BE＝1， ∴ BC＝ ＝ ＝ ． 要点五　菱形的性质与判定 解析：如图，连接 DE，交 AC 于 P，连接 BP，此时 PB＋PE 的值最小． 例1　如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE＝2，AE＝3BE，P 是 AC 上一动点，则 PB＋PE 的最小值是 ． 10 要点六　正方形的性质与判定 A B C D E P P ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ B，D 关于 AC 对称，∴ PB＝PD， ∴ PB＋PE＝PD＋PE＝DE． ∵ BE＝2，AE＝3BE，∴ AE＝6，AB＝8， ∴ DE＝ ＝10，故 PB＋PE 的最小值是 10． 例2　如图所示，点 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 求证：四边形 是正方形． 要点六　正方形的性质与判定 要点六　正方形的性质与判定 证明：（证法 1）∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． ∵ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴ △ ≌△ ≌△ ≌△ ． ∴ ＝ ＝ ＝ ，∠2＝∠3． ∴ 四边形 为菱形． ∵ ∠1＋∠2＝90°，∴ ∠1＋∠3＝90°， ∴ ∠ ＝180°－(∠1＋∠3)＝90°， ∴ 四边形 为正方形． 要点六　正方形的性质与判定 证明：（证法 2）∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． ∵ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴ △ ≌△ ≌△ ≌△ ． ∴ ＝ ，∠2＝∠3． ∵ ∠1＋∠2＝90°，∴ ∠1＋∠3＝90°，∴ ∠ ＝90°． 同理 ∠ ＝∠ ＝90°． ∴ 四边形 为矩形． 又 ＝ ，∴ 四边形 为正方形． 例3　如图，正方形 ABCD 边长为 6．菱形 EFGH 的三个顶点 E，G，H 分别在正方形 ABCD 的边 AB，CD，DA 上，且 AH＝2． 要点六　正方形的性质与判定 （1）当 DG＝2 时，求证：菱形 EFGH 为正方形； （2）设 DG＝x，试用含 x 的代数式表示△FCG 的面积． 要点六　正方形的性质与判定 （1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ ∠D＝∠A＝90°． ∵ 四边形 EFGH 是菱形，∴ HG＝EH． 在△HDG 和△AEH 中， ∴ Rt△HDG≌Rt△EAH（HL）， ∴ ∠DHG＝∠AEH， ∴ ∠DHG＋∠AHE＝90°， ∴ ∠GHE＝90°，∴ 菱形 EFGH 为正方形． ∵ CD∥AB，∴ ∠AEG＝∠MGE． ∵ GF∥HE，∴ ∠HEG＝∠FGE， ∴ ∠AEH＝∠MGF． 在 Rt△AHE 和 Rt△MFG 中， ∴ Rt△AHE≌Rt△MFG（AAS）， ∴ MF＝AH＝2．∵ DG＝x，∴ CG＝6－x． ∴ S△FCG＝ CG·MF＝6－x． 要点六　正方形的性质与判定 （2）解：连接 GE，过 F 作 FM⊥CD，垂足为 M， M C $