22.1 函数的概念 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦常量与变量、函数概念，从大千世界运动变化导入，通过汽车行驶、电影票房等实例引导学生观察变量关系，逐步抽象出常量与变量定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例为载体，培养数学眼光（观察现实变量关系）、数学思维（归纳变量共同特征）和数学语言（用解析式表达函数关系）。如汽车油箱油量问题，既训练函数表达式书写，又结合实际意义确定自变量范围，帮助学生理解概念本质，教师可借助丰富实例提升教学效果。

导入新课 数学上常用常量与变量来刻画各种运动变化 大千世界处在不停的运动变化之中，如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？ 探究新知 思考 1.汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千米，行驶时间为 t 小时，填写下表，s的值随t的值的变化而变化吗？ t/h 1 2 3 4 5 s/km 60 120 180 240 300 请说明你的道理： 速度×时间 路程 =____________ (1)在以上这个过程中，变化的量是________________．不变化的量是_____________． (2)试用含t的式子表示s．s=____． 时间t、 速度60千米/时 60 t 这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程. 路程s s t 2.每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少元？若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，y的值随x的值的变化而变化吗？ (1)早场票房收入 = 日场票房收入 = 晚场票房收入 = 请说明道理： 票房收入= 10×205 = 2050 （元） 10×150 = 1500（元） 10×310 = 3100 （元） 售价×售票张数 10x (2)在以上这个过程中，变化的量是________________________．不变化的量是_________． (2)试用含x的式子表示y，y=______． 售票张数x、票房收入y 售价10元 这个问题反映了票房收入____随售票张数_____的变化过程． y x 新知探究 水位/m 106 120 133 135 … 蓄水/m3 2.30×107 7.09×107 1.18×108 1.23×108 … 你能从他制作的表格中获得哪些信息？ 水位高低与水库容量有什么关系？ 小薇的小姨邻居小明的爸爸是某市水库管理员，他将水库的水位变化与水库蓄水量变化情况列成下表： 从表中可以看到，水库蓄水量随着水位的升高而增大，随着水位的下降而减小，当水位稳定时，蓄水量也稳定不变。 情景引入 时间t(时) 8 10 2 4 6 12 14 16 18 20 22 24 0 温度T(C) 2 4 6 8 -2 -4 0 小薇想着寒假也来小姨这里玩，也是上网查阅了杭州冬季一天的气温变化曲线. 随着 的变化而变化. 任意给出这天中的某一时刻t，你能说出这一时刻的气温T吗？ 对于 的每一个值， 都有唯一的值与它对应. 在这一变化过程中，两个变量之间有什么关系？ 温度 时间 时间 温度       情景引入 同学们,你们能从刚才的几个变化过程中找到它们的共同之处吗？ 对于 的每一个值， 有_____值与之对应. 金额与油量 两 唯一 随之变化 人口数与年份 温度与时间 每个变化过程中都有___个变量， 其中 变化时， 也___________； x 和 y 一个变量 另一个变量 其中一个变量 另一个变量 鸡舍的长和宽 水位高低与水库容量 汽车的油箱中有汽油100L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L） 随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km. （1）写出表示y与x的函数关系的式子. 解：（1）行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数， 根据题意，每行驶x km，耗油0.1x L，即总油量减少0.1x L， 则油箱中的油剩下100-0.1x， ∴y与x的函数关系式为：y=100-0.1x. 像y=100-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量 之间的关系,这种式子叫做函数的解析式. 新知生成 汽车的油箱中有汽油100L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随 行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km. （2）指出自变量x的取值范围； (2)因为x代表的实际意义为行驶路程，所以x不能为负数，即x≥0； 又因为行驶中的耗油量为0.1x，不能超过油箱中现有汽油量的值100， 即0.1x≤100，解得，x≤1000． 综上所述，自变量x的取值范围是0≤x≤1000； 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义. 上面这些问题中涉及到的量，你会怎样分类呢? S = 60t y = 10x S = πr2 常量与变量 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 不变的量 变化的量 例如：汽车行驶的速度 汽车行驶的路程 汽车行驶的时间 y = 5 - x 归纳总结 例1 指出下列事件过程中的常量与变量 (1)某水果店橘子的单价为 5 元／千克，买 a 千橘子的总价为 m 元，其中常量是 ，变量是 ； (2)周长 C 与圆的半径 r 之间的关系式是 C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ； (3)三角形的一边长 5 cm，它的面积 S (cm2) 与这边上的高 h (cm) 的关系式 中，其中常量是 ，变量是 ； 5 a，m 2，π C， r 注意：π 是一个确定的数，是常量 S， h _____ 典例精析 探究新知 【问题3】圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径 r 分别为 10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积 S 分别为多少？怎样用半径 r 来表示面积 S ？ 圆面积S与圆的半径r之间的关系式是 ————————； 其中变化的量是 —————；不变化的量是 ————————. S， r π 这个过程反映出面积 S 随半径 r的变化过程. S = πr2 探究新知 【问题4】用 10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长 x 分别为 3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长 y 分别为多少？ 当 x = 3m， 当 x = 3.5m， 当 x = 4m， 当 x = 4.5m， y = 10÷2-3.5 = 1.5m y = 10÷2-4 = 1m y = 10÷2-4.5 = 0.5m y = 10÷2-3 = 2m 常量与变量 典例精析 1 2 变量与常量是相对的，在不同的变化过程中，二者可以相互转化，判断变量与常量的前提是“在某一个变化过程中”.例如：在s=vt中，当s一定时，v，t是变量，s是常量；当t一定时，s，v是变量，t是常量. 变量、常量与字母指数没有关系，如在S=中，不能说r2是变量. 3 注意不是变量，而是常量. 典例精析 例1 指出下列关系式中的变量与常量： (1) y = 3x －4， (2) y=x， (3) y= x2＋2x－8， (4) S = πr2． 解：（1）3和-4是常量，x和y是变量． （2）1是常量，x、y是变量． （3）1、2、-8是常量，x、y是变量． （4）兀是常量，s、r是变量． 例题与练习 练习 1．下表是某报纸公布的世界人口数据情况，表中的变量(　 　) 年份 1957 1974 1987 1999 2010 人口数 30亿 40亿 50亿 60亿 70亿 A．仅有一个，是年份 B．仅有一个，是人口数 C．有两个，一个是人口数，另一个是年份 D．一个也没有 C 2．张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则y＝____________，其中_________是常量，_________是变量． 10＋5x 10，5 y，x 初中数学 汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程为s （单位： km ） 随行驶时间t（单位：h）变化而变化，对于 t 的每一个确定的值， s 都有唯一确定的值与其对应. 可以认为：时间 t是自变量，路程s是t的函数，当t=1时，函数 值s=60，当t=2时，函数值s=120. 初中数学 如图是北京某天的气温变化图，用x表示时间，y表示气温，对 于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应. 可以认为：时间x是自变量，气温y是x函数. 75 （3）把10本书随机收入两个抽屉，第一个抽屉收入x本，第二个抽屉收入y本. 解：（3）变量：x，y；常量：10. 2.假设从 A 地到 B 地的路程为 S km，小明驾车从 A 地出发，速度为 60 km/h，他到达 B 地所用的时间为 t. （1）用含有 t 的式子表示 S； （2）分别写出其中的变量和常量. 解：（1）S=60t. （2）变量：S，t；常量：60. B 练习8 将一些长为40cm，宽为15cm的长方形白纸，按照下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为5cm. 观察图形中的规律，解答下列问题： (1)将2张白纸粘合起来，2张白纸的总长度是_______cm； (2)设将x张白纸粘合后的总长度为ycm，写出y与x之间的关系式； (3)求x的值分别是4，8，15时相对应的y值. 解：(1)将2张白纸粘合起来，2张白纸的总长度是： ， 故答案为：75； (2)根据题意和所给图形可得出： ， 所以，y与x之间的关系式是 ； (3)当 时， ；当 时， ； 当 时， . 练习8.下列说法正确的是( ) A.常量是指永远不变的量 B.具体的数一定是常量 C.字母一定表示变量 D.球的体积公式 ，变量是 ，r $