专题03多边形与平行四边形(期末复习课件，4知识6重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材人教版

这是一份初中数学人教版八年级下学期期末复习课件，围绕多边形与平行四边形专题，构建“考情分析-知识梳理-题型突破-分层验收”学习支架，涵盖核心考点、易错陷阱及多种典型题型，助力系统复习。 资料特色突出核心素养，以生活场景考情题培养数学眼光，通过解题技巧（如折叠全等推理）发展数学思维，用规范证明步骤强化数学语言。分层练习适配不同水平，帮助学生巩固基础提升能力，为教师提供高效教学资源。

专题03多边形与平行四边形 八年级数学下学期 期末复习大串讲 人教版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 多边形基础 基础：熟记所有公式，可直接套用计算边数、角度、对角线条数； 提升：掌握多边形截角、内外角综合方程计算； 冲刺：结合实际情境解决多边形角度、边长计算问题 选择、填空必考，多为基础简单计算题，命题常规无复杂变形；常结合正多边形图形、生活场景出题，属于送分题型 平行四边形性质 基础：熟练背诵所有性质，可快速求解边长、角度、对角线线段长度； 提升：利用性质进行简单几何推理、面积计算； 冲刺：结合折叠、旋转图形，运用性质解决图形变换综合问题 选择、填空、解答题全覆盖，基础题型考查角度、边长计算，中档题型结合图形变换出题，是几何核心基础考点 核心考点 复习目标 考情规律 平行四边形判定 基础：精准区分五种判定条件，能完成基础证明题；提升：根据题干条件灵活选择最优判定方法，规范书写证明步骤； 冲刺：结合多知识点综合证明，规避判定误区 期末必考解答题，固定考查几何证明，题型稳定；常结合中点、平行线、线段相等条件综合命题 三角形中位线 基础：熟记定理，熟练完成线段长度、平行关系基础计算； 提升：结合平行四边形进行综合推理； 冲刺：解决多中点嵌套、线段倍分复杂几何问题 高频中档考点，选择填空常考计算，解答题常作为辅助解题工具，多与平行四边形综合命题，难度适中 综合压轴题型 基础：掌握基础图形变换性质； 提升：能解决单动点、简单坐标几何问题； 冲刺：熟练分类讨论，攻克压轴多问题型，步骤完整规范 期末压轴高频考点，题型递进式设问，前两问基础得分，最后一问难度较高，侧重考查几何思维与分类讨论能力 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 多边形基础知识点 知识点01 1. 定义：平面内，由n（n≥3）条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。 2. 内角和公式：n边形内角和 = (n-2)×180°（必考，绝对不能漏“-2”） 3. 外角和性质：任意多边形外角和恒为 360°（与边数无关，计算优先用外角） 4. 对角线规律 从一个顶点可引对角线：(n-3)条 从一个顶点可分割三角形：(n-2)个 n边形总对角线条数： 5. 正多边形核心公式 每个内角： 每个外角： 正多边形判定：必须同时满足各边相等、各角相等 平行四边形核心重难点 知识点02 1. 定义：两组对边分别平行的四边形，记作▱ABCD 2. 五大性质（边、角、对角线、面积、对称性） 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相平分（OA=OC，OB=OD） 对称性：仅为中心对称图形（无对称轴，不是轴对称图形） 面积：S=底×高；对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形 3. 五种判定方法（考试优先级排序） ① 一组对边平行且相等（最常用、步骤最简） ② 对角线互相平分（遇对角线题型首选） ③ 两组对边分别相等 ④ 两组对边分别平行（定义法） ⑤ 两组对角分别相等 三角形中位线定理（高频中点模型） 知识点03 1. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2. 核心定理：中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 3. 必考结论：任意四边形四边中点依次连接，所得中点四边形一定是平行四边形 期末高频易错陷阱（必避坑） 知识点04 1. 多边形外角和永远为360°，和边数无关，切勿和内角和公式混淆 2. 一组对边平行、另一组对边相等，不能判定平行四边形（可能是等腰梯形） 3. 平行四边形无对称轴，不是轴对称图形 4. 证明题必须写全定理条件，缺一不可 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 多边形内角和、外角和计算（选择/填空基础必考） 题型一 解｜题｜技｜巧 1. 已知内角和求边数：直接套公式(n-2)×180°列方程求解 2. 正多边形角度问题：优先算外角（360°定值，计算量最小） 3. 内外角差值问题：先列式表示差值，再解方程 4. 对角线数量问题：套总条数公式列方程，舍去负根 【典例1-1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 多边形内角和、外角和计算（选择/填空基础必考） 题型一 A 【典例1-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由正多边形的内角公式， 可得， ∵是等边三角形，∴， ∴，， ∴． C 【典例1-3】（25-26八年级上·山东·期末）若一个多边形的内角和比外角和多，则从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意，得 ，解得， 从一个顶点引出的对角线条数为． 故选：A． A 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． D 【变式1-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． D 【变式1-3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【答案】 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 【变式1-4】（25-26八年级上·山东泰安·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 【答案】 【详解】解：设正多边形的边数为，已知该多边形内角和为， 可得，解得，即该多边形为正边形， 由正多边形的外角和为， 可得每个外角的度数为． 故答案为：． 平行四边形边角计算（中档选择/填空高频） 题型二 解｜题｜技｜巧 1. 角度计算：抓对角相等、邻角互补、平行线内错角相等 2. 万能模型：平行线+角平分线=等腰三角形（快速转化边长） 3. 对角线计算：利用对角线互相平分，结合勾股定理求线段长 【典例2-1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 【答案】C 【详解】解：∵平分交边于点E， ∴，∵四边形是平行四边形， ∴，，，∴， ∴，∴，∴， ∴的周长是， 故选：C． C 平行四边形边角计算（中档选择/填空高频） 题型二 【典例2-2】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，点，在的对角线上，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，∴，∴， ∴； 故选D． D 【典例2-3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 平分， ． 又 ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． A 【变式2-1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，∴，∵， ∴，∵，∴， ∴，∵，∴， ∴． 故选：A． A 【变式2-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，平分，，，则的长是______． 【答案】5 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，∴，又平分， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 故答案为：5． 5 【变式2-3】（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，在中，，平分交于点E，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵平分交于点E， ∴， ∴， 故答案为：． 平行四边形证明题（解答题必考核心） 题型三 解｜题｜技｜巧 1. 优先用：一组对边平行且相等（条件最好找，步骤最少） 2. 次选用：对角线互相平分（题干出现对角线、线段相等首选） 3. 辅助线技巧：遇对角线直接连接交点；遇中点优先证平行相等 26 【典例3-1】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图， ，点E，F在上，且． (1)求证： ； (2)连接，求证：四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴， ∴，∵，∴． （2）证明：如图：由（1）知，， ∴，，∴， 即，∴，∴四边形是平行四边形． 【典例3-2】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，． ∵点，分别是，的中点，∴，， ∴．又∵，∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分，∴，又∵，∴， ∴，∴，∴， ∴的周长为． 【典例3-3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【详解】（1）解：∵点为的中点，∴， ∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴，∵点为的中点，∴， ∵是等边三角形，∴，∴． 【变式3-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，点E、F分别为线段上的点，且，，连接，分别交于点G、H，连接，． (1)证明：； (2)证明：四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：，， 在和中，.，； （2）证明：，，， ，，，即，在和中， .，，又，所以四边形为平行四边形 【变式3-2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，． ∵，∴，∴． ∵，∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴．∴，∴，∴．∴， ∴平行四边形的周长是16． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 【详解】（1）证明：甲方案：如图，连接， ∵在中，点是对角线的中点，∴， ．∵，分别为，的中点，∴，∴四边形为平行四边形； 乙方案：∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，，∴， ∵在和中，∴，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形． 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F 【变式3-3】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 请回答下列问题： (1)选择其中一种方案并证明． (2)若，，求的面积． 甲方案 乙方案 分别取的中点E，F 作于点E，于点F （2）解：∵四边形和四边形都为平行四边形， ∴，，∴． ∵ ，∴， ∴ ，． ∵∴ ， ∴ ， 答：的面积为． 三角形中位线综合题（中点模型必考） 题型五 解｜题｜技｜巧 1. 解题口诀：见中点，想中位线；多点连中位线 2. 固定套路：连接四边形对角线，构造两个三角形中位线 3. 核心结论：中位线平行且等于第三边一半，可证平行、求边长 【答案】C 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，，∴，， ∴，又∵，∴，∴， ∵，∴． 【典例4-1】（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． C 【典例4-2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． （1）解：∵，分别是边，上的中线，∴是的中点，是的中点，∴是的中位线，∴，且；又∵点，分别是，的中点，∴是的中位线，∴，且；∴，且，∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，∴；又∵是的中点，∴，∴； （3）解：猜想，证明如下：由（1），， ∴，，∴．∵与同高，∴，同理可得：．又，， ∴． (1)证明：延长至点G，使，连接，如图， 点D、E分别是的边与的中点，， ，在和中，， ，，，，四边形是平行四边形， ，，且； 【典例4-3】（24-25八年级下·吉林·期末）【教材呈现】： （1）如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 （2）如图，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点，求证：； （3）如图，四边形中，，M是中点，N是中点，连接，延长交于点E：若，则的大小为______． (2)证明：是的中点，M是的中点，，是的中点，N是的中点， ，，，； 【变式4-1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，取中点，连接，则， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∵为的中点，为的中点，∴是中位线， 是中位线，是中位线，∴，，，∴， ∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∴， 故答案为：． （2）解：连接并延长交直线于点，， ，，是PC中点， ，，， ，是AB中点，， 所以． (3)解：线段DE的长为10 【变式4-2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）数学兴趣小组对下面问题产生了浓厚兴趣：“如图，两点被池塘隔开，怎样测出两点间的距离？” (1)问题解决：如图1，根据三角形中位线定理，可分别取、中点、，量得米，则可得线段的长是___________米． (2)观察猜想：如图2，若把变成四边形，当，、为中点时，求证； (3)综合应用：如图3，在四边形中，点、为、中点，连接，若，，，求线段的长． 30 【变式4-3】（24-25八年级下·广东深圳·期末）【特例研究】 (1)在中，点D是的中点， ①如图 1，点F是边上的一点，连接并延长至点E，使得，连接，求证： 且； ②如图 2，若，，的取值范围为 ． (2)【拓展延伸】 如图3，线段，过点B作一条射线，使得，动线段在射线上运动（点E在点F的下方），且，点D是 的中点，连接． ①请求出的最小值； ②当等于多少时，？请说明理由． （1） ①解：证，得， ，∴； （2）解：① 的最小值为． ②． 解｜题｜技｜巧 1. 折叠核心：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等 2. 组合套路：折叠全等+平行线性质，推导等角、等边 3. 解题步骤：标等量→转角度→用邻角互补/内角和计算 平行四边形折叠综合题（中档压轴） 题型五 平行四边形折叠综合题（中档压轴） 题型五 【典例5-1】（25-26八年级下·全国·期末）如图，将折叠后，点与点重合，点的对应点为，折痕为．若，，，则点到的距离为____________． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作， 交的延长线于点．设，则．由折叠的性质， 得．∵四边形是平行四边形，，， 是等腰直角三角形．，∴由勾股定理，得．，，解得，． 的面积，，， 即点到的距离为． 【典例5-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，点在上，点在上，将沿折叠，使得点与点重合，得到四边形，点的对应点为点．若，，，则的长是_____． 【典例5-3】（24-25八年级下·山西运城·期末）如图1，在中，，．点E在边上，沿着折叠得到，交于点F，交于点H且． (1)求的长（提示：过点E作，垂足为M,）； (2)如图2，延长与相交于点K，直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)2 (2)， 【变式5-1】（24-25八年级下·福建福州·期末）在平行四边形中，，，于点，点，分别是，的中点，连接，将沿直线对折得到，其中点与点是对称点，连接，则线段的长是________． 【变式5-2】（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在平行四边形中，，，是边的中点，连接，将四边形沿翻折，，的对应点分别是，落在平行四边形所在的平面内，的延长线交于点，则的长为________． 【变式5-3】（24-25八年级下·江西吉安·期末）在平行四边形纸片中，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图①，当点恰好落在边上时，四边形的形状为 ． (2)如图②，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为，，求线段的长． 平行四边形 （2）解 （3）解：线段． 平行四边形动点压轴题（期末难点大题） 题型六 解｜题｜技｜巧 1. 核心思想：以静制动，设时间t，用含t代数式表示线段长 2. 解题关键：将平行四边形存在性，转化为对边相等列方程 3. 必做步骤：动点分区间讨论，求出t后验证位置是否合规 【典例6】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）． (1)_________． (2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值． (3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值． 解： (2)(3)或(4)或 【变式6-1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以的速度向终点运动．同时动点从点出发，沿方向以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动时间为，以、、、为顶点的四边形的面积为，规定三角形是特殊的四边形． (1)直线与之间的距离是_________； (2)求S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (4)当点关于直线的对称点恰好落在直线上时，请直接写出的值． 解：(2)当时，；当时， (3) (4)或2 2.5 【变式6-2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，点E为的边上的动点，点G为上的动点，连接并延长交于点F，连接． (1)如图①，已知，，． ①若，试求出的度数； ②连接．当点F为的中点，时，求证：． (2)如图②，在的延长线上取一点P，使得．当，点G是的中点时，试写出线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 解：（ ②证明：CF=EF (2) 【变式6-3】（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，点为直线上的动点（点不与点C、D重合），连接，将射线绕点顺时针旋转与直线交于点． (1)当点在线段上时，若． ①如图1，求证； ②如图2，连接，若，当是以为底的等腰三角形时，求线段的长； (2)若，请求出线段的长． 解：(1) ①证明；②线段的长为 (2) 线段的长为或． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． B 2．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，七边形中， 的延长线交于点 O，若对应的邻补角的和等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于点K， ∵多边形外角和为，对应的邻补角的和等于， ∴， ∵，∴， ∴． 故选：C C 3．（25-26八年级上·重庆荣昌·期末）若一个多边形的每个外角的度数是，则这个多边形是（   ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【答案】A 利用多边形外角和为的性质，根据每个外角度数求边数. 【详解】解：因为多边形的外角和为，每个外角为， 所以边数， 所以这个多边形是九边形， 故选：A． A 4．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的周长为______． 【答案】 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴，，， ∴， ∵，相交于点O且为， ∴的周长为：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·上海·期末）如果一个多边形的每个内角都是，那么其内角和为_________． 【答案】 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是， ∴它的每个外角为：， ∴多边形的边数是：， ∴其内角和为． 6．（25-26八年级上·湖南湘潭·期末）如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：四边形的内角和为；五边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，平行四边形中，是对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足． (1)求证：； (2)连接，与互相平分吗？为什么？ （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，∴， ∵，，∴， ∴,∴. （2）解：与互相平分．理由：连接， ∵,∴,∵， ∴，∴四边形是平行四边形，∴与互相平分． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，∴， ∵平分，平分，∴， ∴，又∵，∴，∴， ∴四边形是平行四边形． 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是平行四边形． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，，， ，， ． A 2．（25-26八年级上·山东东营·期末）图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则______． 【答案】 【详解】解：由题意，中间五边形为正五边形， 为其的一个外角，∴， 由题意和图可知：为等腰三角形， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东东营·期末）随着科技发展，我国研制了机器人代替医护人员进行卫生防疫，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤进行消毒，速度为，如果该机器人恰好回到A点总共需要______s能完成一轮防疫工作． 【答案】48 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， ∵每一次都是左转，∴多边形的边数， 周长（米）．， ∴该机器人恰好回到A点总共需要能完成一轮防疫工作． 故答案为：48． 48 【答案】3 【详解】解：作于点E，则， ∵，，，∴， ∴，∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，， ，∴ ，， ∵在和中，∴， ∴，∴． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 5．（25-26八年级上·山东泰安·期末）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）． (1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：． (2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． （1）证明：四边形是平行四边形 、 在和中； 3 12 6．（25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形， （2）①证明：∵点D、E分别为，的中点， ∴是的中位线，∴，且，∵点G、F分别为的中点， ∴是的中位线，∴，且，∴，且， ∴四边形是平行四边形； ②解：∴． 7．（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． （1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：， ，四边形是平行四边形， ，， ，，，，四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：，四边形是平行四边形，， ，，点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； ． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $