精品解析：2026年陕西咸阳市秦都区平陵初级中学初中学业水平考试考前预测数学试卷

2026年陕西省初中学业水平考试考前预测 数 学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写关键信息． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 将一张矩形纸片和一张等腰直角三角形纸片（）按如图所示的位置放置，若，度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象经过点M，且y的值随x值的增大而增大，则点M的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是（ ） A. B. C. 1 D. 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 没有实数根 D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）． 10. 《九章算术》中有这样一个问题，原文是：今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四，问人几何？大意为：几个人一起去购买一物品，如果每人出8钱，则多了3钱，如果每人出7钱，则少了4钱．问有________人． 11. 把多项式x3﹣25x分解因式的结果是_____ 12. 如图，矩形中，，，以为直径的半圆与矩形的对角线交于点E，则的长为______． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C．若，则点B的坐标为______． 14. 如图，在中，，，，为的中点，在边上，在边上，且，连接，为的中点，则的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解关于x，y的二元一次方程组 17. 下面是某同学化简分式的解题过程： 解：① ② ③ ④． （1）上述解题过程从第______（填写序号）步开始出现错误； （2）请写出完整的正确解题过程． 18. 如图，在中，，利用尺规作图，在BC边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写画法） 19. 如图，四边形为矩形，为上的一点，连接，，过点作于点．求证：． 20. 某中学“未来城市”科技节设置了五个特色实践项目． 项目A：智能机器人编程； 项目B：打印创意设计； 项目C：无人机航拍实践； 项目D：新能源汽车模型搭建； 项目E：虚拟现实体验． 主办方将五个项目分别印在五张形状完全相同的不透明卡片的正面，这些卡片背面完全相同． （1）若某社团随机抽取一张卡片，抽到“项目D：新能源汽车模型搭建”的概率为多少？ （2）九（1）班先抽取一张卡片，记录项目后放回洗匀，再由九（2）班抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两个班级抽到不同实践项目的概率． 21. 某数学兴趣小组计划测量公园内一栋建筑的高度，测量示意图如下：在斜坡上有一栋建筑，点P在上，在P处安装测角仪，测得建筑顶端C的仰角为，与坡面的夹角为（即），点P与建筑底端D之间的距离．已知测角仪，，均与水平线垂直，求建筑物的高．（结果保留小数点后两位．参考数据：，，，） 22. 某工厂生产一种产品，生产总成本y（元）与生产数量x（件）成一次函数关系．已知生产10件时，总成本为800元；生产20件时，总成本为1500元． （1）求y与x的函数关系式； （2）当该产品的销售单价为100元/件时，该产品能够全部售出．若工厂希望通过生产并全部售出该产品获得2000元利润，请问应将生产数量设定为多少件？（利润销售总价生产总成本） 23. 某校为了解学生的每日课外阅读情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查，按每日课外阅读时长t（单位：分）分为四组，分别为：A组（），B组（），C组（），D组（）（所有学生的每日课外阅读时长均不低于30分钟，不高于120分钟），并绘制了扇形统计图．其中B组共有18个数据，从大到小排列依次为：，，，，，，，，，，，，，，，，，． 扇形统计图中各组占比如下图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组的平均时长为______分． （2）本次被抽取数据的总个数为多少？本次被抽取数据的中位数为多少？ （3）该校共有800名学生，若规定每日课外阅读时长达90分钟及以上为“阅读达人”，请估计该校“阅读达人”的人数． 24. 如图，是的外接圆，是的直径，过点作的切线，交的延长线于点，且，连接． （1）求证：平分； （2）若，求． 25. 某市政工程修建的排水管道截面如图所示，其轮廓为抛物线的一部分，以管道底面截得的线段的中点O为坐标原点，直线为x轴，过原点的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．已知管道底面的宽，管道顶部D（抛物线顶点）距离底面的高度．为提升排水效率，需在管道内安装两层水平滤网和，上层滤网距离底面，下层滤网距离底面，滤网两端均与管道内壁贴合． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若滤网的材料价格为100元（按滤网水平长度计价，不考虑管道纵深长度），上下两层滤网单价相同，求出两层滤网的材料总费用． 26. 综合探究 问题探究 （1）如图①所示，中，，，为边上的中点，连接，求的度数； （2）如图②所示，中，，且，为边上一动点，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图③所示，某学校启动社团实践课，拟在校园一角划出一块边长为的正方形花卉地（即正方形），在正方形内划出一块四边形土地用来种植郁金香，且要满足，，其中为的中点，在边上，灌溉池（灌溉池的大小可忽略不计）在边上，，处是出水口（出水口与地面齐平），现要从到铺设一条水管，为节省材料，要求最短，请你帮忙求出水管的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陕西省初中学业水平考试考前预测 数 学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写关键信息． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据定义直接推导即可得到结果． 【详解】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数， 给定数为，改变符号后为， 的相反数是 ， 故选：C． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【详解】解：图①：不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 图②：既是轴对称图形，又是中心对称图形； 图③：不是轴对称图形，是中心对称图形； 图④：是轴对称图形，不是中心对称图形． 综上所述，既是中心对称图形又是轴对称图形的只有图②，共个． 3. 将一张矩形纸片和一张等腰直角三角形纸片（）按如图所示的位置放置，若，度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质求出的度数，在中利用三角形内角和求出，根据矩形对边平行得到同位角相等，最后利用三角形外角性质求解 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， 在中，， ∵矩形纸片对边平行， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 4. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的基本运算，运用同底数幂乘除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则计算各选项结果，即可选出符合要求的选项． 【详解】解：对于A，∵，∴A不符合要求． 对于B，∵，∴B不符合要求． 对于C，∵，∴C不符合要求． 对于D，∵，∴D符合要求． 5. 一次函数的图象经过点M，且y的值随x值的增大而增大，则点M的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质与一次函数图象上点的坐标特征，由随增大而增大可得，将各选项点的坐标代入解析式求出，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵一次函数中，随值的增大而增大，∴． A．将代入得，解得，不符合要求； B．将代入得，解得，不符合要求； C．将代入得，解得，符合要求； D．将代入得，解得，不符合要求． 6. 如图，在中，，，平分，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明，得到，再证明，得到，从而得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，正方形中，，，将沿对折至，延长交于点，则的长是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．连接，利用折叠性质和正方形性质证明，得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，． ∵沿对折至， ∴，，． ∴，． 在和中，， ∴． ∴．设，则，，． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得：， 即． 解得． ∴的长是． 8. 二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 没有实数根 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用时的函数值及与的关系判断选项D；利用判别式判断选项C 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下， 对称轴为直线， ，即 抛物线与轴交点在轴上方， ，故A选项错误 ， ，故B选项错误 对于方程， ， ，方程有两个不相等的实数根，故C选项错误 由图象可知，抛物线与轴左侧交点在右侧 当时，，即 ，即，故D选项正确 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 满足的整数可以是______（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴整数可以是， 故答案为：3（答案不唯一） 10. 《九章算术》中有这样一个问题，原文是：今有共买物，人出八，盈三，人出七，不足四，问人几何？大意为：几个人一起去购买一物品，如果每人出8钱，则多了3钱，如果每人出7钱，则少了4钱．问有________人． 【答案】 【解析】 【分析】设有x人，根据物品的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值． 【详解】解：设有x人， 依题意，得：8x−3＝7x＋4， 解得：x＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 11. 把多项式x3﹣25x分解因式的结果是_____ 【答案】x（x+5）（x﹣5）． 【解析】 【详解】分析：首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可． 详解：x3-25x =x（x2-25） =x（x+5）（x-5）． 故答案为x（x+5）（x-5）． 点睛：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 12. 如图，矩形中，，，以为直径的半圆与矩形的对角线交于点E，则的长为______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，在中利用勾股定理求出的长，再证明，利用相似三角形对应边成比例列出等式求解即可． 【详解】解：连接  四边形是矩形  是半圆的直径    在中， ． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴交于点C．若，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴的垂线，根据正切的定义设出点的坐标，代入一次函数解析式求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式，联立两函数解析式求解即可得到点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点， ， 设点的坐标为，其中， 一次函数的图象过点， ， 解得， 点的坐标为， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数解析式，得， 整理得， 解得， 经检验，均为原分式方程的解， 当时，，为点的坐标， 当时，，为点的坐标， 点的坐标为． 14. 如图，在中，，，，为的中点，在边上，在边上，且，连接，为的中点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以点为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，则，分别表示出的坐标，根据勾股定理得出的关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：如图，以点为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系， 依题意，，， ∴ 设，则 ∵ ∴，则 ∴，即 ∴ 设 ∵， ∴抛物线的开口向上，有最小值， ∴当时，取得最小值，最小值为 ∴的最小值为 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式乘法、零指数幂、负整数指数幂以及绝对值的化简运算，按照对应运算法则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：原式   ． 16. 解关于x，y的二元一次方程组 【答案】 【解析】 【分析】本题用代入消元法求解二元一次方程组，先将方程组中一个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，代入另一个方程得到一元一次方程，求出一个未知数的值后，再回代计算得到另一个未知数的值． 【详解】解： ②两边同除以得 变形得 把③代入①得 展开整理得 解得 把代入③得 ∴原二元一次方程组的解为 17. 下面是某同学化简分式的解题过程： 解：① ② ③ ④． （1）上述解题过程从第______（填写序号）步开始出现错误； （2）请写出完整的正确解题过程． 【答案】（1）②； （2）解： 【解析】 【分析】（1）根据分式加减法则，同分母分式相加减时分母不变，原解题过程第二步错误去掉了分母，据此可判断错误步骤； （2）先对分母因式分解，通分后按照正确的分式加减法则计算，即可得到正确结果． 【小问1详解】 解：根据分式加减运算法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，第②步错误去掉了公分母， 因此从第②步开始出现错误； 【小问2详解】 略． 18. 如图，在中，，利用尺规作图，在BC边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】解：如图，点D即为所求作的点． 【解析】 【分析】过点A作的垂线，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可知． 【详解】略． 19. 如图，四边形为矩形，为上的一点，连接，，过点作于点．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵在矩形中，， ∴，． ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 【解析】 【分析】先证明，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 20. 某中学“未来城市”科技节设置了五个特色实践项目． 项目A：智能机器人编程； 项目B：打印创意设计； 项目C：无人机航拍实践； 项目D：新能源汽车模型搭建； 项目E：虚拟现实体验． 主办方将五个项目分别印在五张形状完全相同的不透明卡片的正面，这些卡片背面完全相同． （1）若某社团随机抽取一张卡片，抽到“项目D：新能源汽车模型搭建”的概率为多少？ （2）九（1）班先抽取一张卡片，记录项目后放回洗匀，再由九（2）班抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求两个班级抽到不同实践项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率定义，用符合条件的结果数除以总等可能结果数即可求解； （2）通过列举放回抽取的所有等可能结果，得到两个班级抽到不同项目的结果数，再代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，随机抽取1张卡片，共有5种等可能的结果，抽到“项目D”的结果只有1种．因此抽到项目D的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，抽取后放回，列出所有等可能结果如下： A B C D E A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) (B，E) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) (C，E) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) (D，E) E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D) (E，E) 由表可知，共有25种等可能的结果，其中两个班级抽到不同实践项目的结果有20种． 因此两个班级抽到不同实践项目的概率为． 21. 某数学兴趣小组计划测量公园内一栋建筑的高度，测量示意图如下：在斜坡上有一栋建筑，点P在上，在P处安装测角仪，测得建筑顶端C的仰角为，与坡面的夹角为（即），点P与建筑底端D之间的距离．已知测角仪，，均与水平线垂直，求建筑物的高．（结果保留小数点后两位．参考数据：，，，） 【答案】建筑物的高为 【解析】 【分析】如图，过作于，过作于，进一步分别求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过作于，过作于， 结合题意可得：，四边形为矩形，， ∴，，， 在中，，， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴建筑物的高为． 22. 某工厂生产一种产品，生产总成本y（元）与生产数量x（件）成一次函数关系．已知生产10件时，总成本为800元；生产20件时，总成本为1500元． （1）求y与x的函数关系式； （2）当该产品的销售单价为100元/件时，该产品能够全部售出．若工厂希望通过生产并全部售出该产品获得2000元利润，请问应将生产数量设定为多少件？（利润销售总价生产总成本） 【答案】（1）（为正整数） （2）应将生产数量设定为70件 【解析】 【分析】（1）设与的函数关系式为（），根据“生产10件时，总成本为800元；生产20件时，总成本为1500元”即可得到函数关系式； （2）根据题目给出的利润计算公式列出一元一次方程，求解方程即可得到生产数量． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为（）， 把和代入解析式得， 解得， 因此与的函数关系式为（为正整数）； 【小问2详解】 解：设生产数量为件，根据题意得， 将代入上式得， 整理得， 解得． 答：应将生产数量设定为70件． 23. 某校为了解学生的每日课外阅读情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查，按每日课外阅读时长t（单位：分）分为四组，分别为：A组（），B组（），C组（），D组（）（所有学生的每日课外阅读时长均不低于30分钟，不高于120分钟），并绘制了扇形统计图．其中B组共有18个数据，从大到小排列依次为：，，，，，，，，，，，，，，，，，． 扇形统计图中各组占比如下图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组的平均时长为______分． （2）本次被抽取数据的总个数为多少？本次被抽取数据的中位数为多少？ （3）该校共有800名学生，若规定每日课外阅读时长达90分钟及以上为“阅读达人”，请估计该校“阅读达人”的人数． 【答案】（1） （2）， （3）人 【解析】 【分析】（1）根据平均数的公式计算即可； （2）用组数据的个数除以所占的比例即可得到抽查的总数量；根据组和组数据所占的百分比，可以求出组和组数据的个数为个，可知第和个数据分别是，分，根据中位数的定义求出中位数； （3）利用样本百分比代表总体的百分比，计算出“阅读达人”的人数． 【小问1详解】 解：（分）； 【小问2详解】 解：∵组有个数据，占抽查总数的， 本次被抽取的所有成绩的个数为（个）； 由扇形统计图可知组和组的个数占抽查总数的， ∴组和组数据的个数为（个）， 把抽查的分数按照从大到小排列，第和个数据分别是，分， 本次被抽取的所有成绩的中位数为（分）； 【小问3详解】 解：估计该校“阅读达人”的人数大约为（人）． 24. 如图，是的外接圆，是的直径，过点作的切线，交的延长线于点，且，连接． （1）求证：平分； （2）若，求． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平分． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得，则，可得，根据等边对等角得，即可求证； （2）连接，由直径所对的圆周角等于得，由得，设，则，分别在，，，中运用勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴，， ∴，． 设，则， ∴． 设，则， ， ∴，解得， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 25. 某市政工程修建的排水管道截面如图所示，其轮廓为抛物线的一部分，以管道底面截得的线段的中点O为坐标原点，直线为x轴，过原点的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．已知管道底面的宽，管道顶部D（抛物线顶点）距离底面的高度．为提升排水效率，需在管道内安装两层水平滤网和，上层滤网距离底面，下层滤网距离底面，滤网两端均与管道内壁贴合． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若滤网的材料价格为100元（按滤网水平长度计价，不考虑管道纵深长度），上下两层滤网单价相同，求出两层滤网的材料总费用． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据宽可得点A与点B的坐标，再由可得点D的坐标，设出函数的顶点式代入求解即可； （2）分别求解出点E，点F，点G，点H的横坐标，再结合价格求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，点，点，点， ∵点为抛物线的顶点， 设函数的顶点式为，即， 将点代入可得，，解得， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵上层滤网距离底面， ∴令，则， 即，解得， ∴点E的横坐标为，点F的横坐标为， ∴， ∵下层滤网距离底面， ∴令，则， 即，解得， ∴点G的横坐标为，点H的横坐标为， ∴， ∴总长度为， ∵滤网的材料价格为100元，且上下两层滤网单价相同， ∴材料总费用为元． 26. 综合探究 问题探究 （1）如图①所示，中，，，为边上的中点，连接，求的度数； （2）如图②所示，中，，且，为边上一动点，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图③所示，某学校启动社团实践课，拟在校园一角划出一块边长为的正方形花卉地（即正方形），在正方形内划出一块四边形土地用来种植郁金香，且要满足，，其中为的中点，在边上，灌溉池（灌溉池的大小可忽略不计）在边上，，处是出水口（出水口与地面齐平），现要从到铺设一条水管，为节省材料，要求最短，请你帮忙求出水管的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据等边对等角得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）将绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作于点，证明得出则在的垂线上运动，的最小值为的长，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解； （3）在上取一点，使得，证明得出当时，取得最小值，进而根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵中，，为边上的中点， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：如图，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作于点， ∴，则是等边三角形 ∴， ∵把绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴在的垂线上运动， ∵ ∴的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴当时，取得最小值， ∵，为的中点， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当时， ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $