精品解析：2026年河南省周口市郸城县三模中考考前测试数学试题

2026年河南省中考冲刺模拟A卷 数学 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简各选项，再根据负数的定义（小于0的数是负数）判断即可． 【详解】解：A、∵ ，∴，是负数． B、，是正数． C、，是正数． D、，是正数． 2. 下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱柱、五棱柱、正方体的表面展开图的特征进行判断即可． 本题考查展开图折叠成几何体，掌握三棱柱、正方体、五棱柱的表面展开图的特征是正确解答的关键． 【详解】解：A选项A中的图形可以折叠成三棱柱，因此选项A不符合题意； B．选项B中的图形可以折叠成五棱柱，因此选项B不符合题意； C．选项C中的图形不能折叠成四棱柱，因此选项C符合题意； D．选项D中的图形可以折叠成正方体，因此选项D不符合题意． 故选：C． 3. 年春运期间，全国民航累计运输旅客万人次，比年春运同期增长，创历史同期新高．将万用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法表示绝对值较大的数的形式为，要求，等于原数的整数位数减，先将万化为普通整数，再根据科学记数法规则计算即可． 【详解】解：． 4. 如图所示，将一把直尺和一块含和的三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴，， ∴． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】先计算判别式的值，再根据判别式的符号确定根的情况． 【详解】∵对于一元二次方程，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 6. 在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若O到的距离是，O到的距离是，则像的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，确定正确的相似比是解题的关键．先证明，再由题意得出相似比为，最后根据相似三角形的性质及，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵O到的距离是，O到的距离是， ∴相似比为， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同分母分式减法法则计算，再对分子因式分解后约分得到结果，用到平方差公式与分式约分的知识点． 【详解】解：． 8. 某校课后服务期间开展大模型体验活动，老师在电脑上下载了：豆包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件，小美和小好两位同学各自任选其中一个体验，则他们选择同一个的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据画树状图法求概率即可． 【详解】解：豆包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件分别用表示，画树状图如下： ∴共有种等可能的结果，他们选择同一个的结果数为种， ∴他们选择同一个的概率是， 9. 如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，过点作于点.利用菱形对角线互相垂直平分求出和的长，再利用相似三角形求出和的长，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点，过点作于点， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ∵， ， ， 是的中点， ， ，， ，， ， 在中，． 10. 如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（ ） A. 当时，的面积为3平方米 B. 小车的运动速度为1米／秒 C. 长方形的周长为14米 D. 在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了通过函数图象解决几何问题，解题的关键是掌握数形结合的思想． 通过函数图象获取信息，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A.由图可知，用时4秒，面积达到6平方米，面积每秒的变化为平方米， 当时，的面积为平方米， 该选项正确，不符合题意； B.假设运动速度为米／秒，， 结合图象可得，，联立两个方程可得， ， 该选项正确，不符合题意； C.由选项B可知，小车的运动速度为1米／秒， ∴， ∴长方形的周长为米， 该选项正确，不符合题意； D.由选项A得，面积每秒的变化为平方米， 当的面积增加为2平方米时，， 解得； 当的面积减少为2平方米时，， 解得； ∴这两个时刻之和为， 该选项错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到答案． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得 解得． 12. 不等式组的解集是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集为． 13. 如图，以正六边形的一个顶点为圆心，其边长为半径作弧，得到阴影部分的扇形，则这个阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出扇形的弧长，根据扇形的弧长和半径求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：如图， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴阴影部分的面积为． 14. 如图，坐标系中四边形是正方形，若点坐标为，点坐标为，则点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形．过点作轴，垂足为，过点作，证明，得到，，计算的长即可． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长度为______． 【答案】3或4 【解析】 【分析】分的直角顶点为或两种情况，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：设，则，由折叠性质得，． ①当时，过作于，连接，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴，即， 在中，由勾股定理， 解得． ②当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，又， ∴， 综上，的长度为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数运算和整式化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂、二次根式、特殊三角函数值及去绝对值运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式、完全平方公式进行化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 哈尔滨亚冬会的成功举办激起了全民冰雪体育的热情，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冰雪知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取名学生，统计竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，． 乙班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，． 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 甲班 1 5 3 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a 72和78 53.4 乙班 b 80 c 25.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____________，_____________，_____________； （2）请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； （3）按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共85人，其中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数． 【答案】（1），，和 （2）乙班的竞赛成绩更整齐，理由：甲班方差为，乙班方差为，，所以乙班的成绩波动更小，因此乙班的竞赛成绩更整齐； （3）42人 【解析】 【分析】（1）根据中位数，平均数和众数的定义计算即可； （2）根据方差越小，数据波动越小，成绩越整齐，比较两个班的方差即可判断； （3）用样本中80分及以上的占比估计总体，计算两个班获奖人数总和即可． 【小问1详解】 解：将甲班10名同学的测试成绩从小到大排列为：69，72，72，78，78，79，85，86，89，91， 中位数为第5个和第6个数的平均数，因此， 计算乙班10名同学成绩的平均数，， 乙班10名同学的成绩中，74和80都出现了2次，出现次数最多，因此和； 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：由整理数据得， 甲班抽取的10人中，80分及以上的人数为（人）， 乙班抽取的10人中，80分及以上的人数为（人）， 乙班总人数为（人）， 因此总获奖人数为： （人） 答：估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数为42人． 18. 如图，在中，，，． （1）尺规作图：作，使得圆心O在边上，经过点并且与边相切；（不写作法，保留痕迹） （2）求（1）中圆的半径． 【答案】（1）如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线交于点，作的垂直平分线，交于点，以点为圆心为半径作即为所求； （2）利用勾股定理求出，根据，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，解方程即可求出的半径． 【小问1详解】 解：如答案图所示，作的平分线交于点， 作的垂直平分线，交于点， 以点为圆心为半径作即为所求， 证明：平分， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：在中，，，， ， ， ， ， 设的半径为， ，， ， 整理得：， 解得：． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． （1）求n的值和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，且点P在点A下方，当时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、平行线的判定等知识，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出，再代入一次函数的解析式可得的值，从而可得一次函数的解析式和点的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可得； （2）分两种情况：①当点在直线下方的反比例函数的图象上时，先证出，从而可得直线的解析式为，与反比例函数的解析式联立求解即可得；②当点在直线上方的反比例函数的图象上时，证出，，从而可得，即此时与不可能相等，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵点位于轴上，点的横坐标为2， ∴， 将点代入一次函数 得：，解得， ∴一次函数的解析式为， 将点代入一次函数 得：， ∴， 将点代入反比例函数 得：， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：①如图，当点在直线下方的反比例函数的图象上时， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为． ②如图，当点在直线上方的反比例函数的图象上时， 设直线与轴交于点， 对于一次函数， 当时，，即， 由（1）已得：， ∴， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴，即此时与不可能相等； 综上，点的坐标为． 20. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）． 【答案】黄鹤楼的高度约为． 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 依题意，有三个角都是直角的四边形是矩形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴黄鹤楼的高度约为． 21. 艾草作为一种多年生草本药用植物，其特有的药食保健功能深受广大群众的喜爱，河南某艾草经销商计划购进一批香艾草和苦艾草进行销售，两种艾草的进价和售价如表所示：已知该经销商购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元． 进价（元/千克） 售价（元/千克） 香艾香 a 12 苦艾草 b 16 （1）求a，b的值； （2）若该经销商购进两种艾草共160千克，其中苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，设购进香艾草千克，则该经销商应该如何进货才能使销售利润y（元）最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）a的值为7，b的值为12； （2）该经销商应购进100千克香艾草，60千克苦艾草，才能使销售利润y（元）最大，最大利润为740元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的不等式，函数关系式，方程组是解题的关键． （1）根据购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元列出方程组求解即可； （2）设香艾草的进货量为x千克，则苦艾草的进货量为千克，根据苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，列出不等式求出x的取值范围，再根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，得：， 解得：， 答：a的值为7，b的值为12； 【小问2详解】 解：设购进香艾草千克，则购进苦艾草千克， 依题意，得： ， 解得：， 故， ∵全部销售完后的销售利润， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y取得最大值，最大值， 此时． 答：该经销商应购进100千克香艾草，60千克苦艾草，才能使销售利润y（元）最大，最大利润为740元． 22. 已知点是抛物线的顶点． （1）当时，直接写出点的坐标：___________； （2）若点，都在抛物线上，求证：； （3）若，且抛物线与线段有公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：将代入得， ， 将代入得， ， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）将的值代入解析式，化成顶点式求解； （2）利用解析式求出的值，利用完全平方式进行证明； （3）利用临界点坐标，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将代入得， ， 解得或； 将代入得， ， 解得或； ∴时，抛物线对称轴在点A左侧，抛物线与线段有交点， 时，抛物线对称轴在点A右侧，抛物线与线段有交点． ∴若，且抛物线与线段有公共点时，或． 23. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，其中点始终落在边上． （1）如图2，当点恰好落在直线上，且时，求的长； （2）如图3，当点与点重合时，求的值； （3）当直角三角形时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，，，求出，作交于点，则，解直角三角形得出，由勾股定理可得，从而得出，即可得出结果； （2）设，则，连接，作交于点，设，则，由勾股定理可得，从而得出，，由勾股定理可得，由题意可得点、关于对称，从而可得，进而得出，求解可得，从而可得，，即可得出结果； （3）分两种情况：当时，延长交的延长线于点；当时，延长交于点，分别结合平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 如图，作交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴设，则， 如图，连接，作交于点， ， ∵， ∴设，则， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，点与点重合， ∴点、关于对称， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵直角三角形时， ∴当时，如图，延长交的延长线于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中考冲刺模拟A卷 数学 注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（    ） A. B. C. D. 3. 年春运期间，全国民航累计运输旅客万人次，比年春运同期增长，创历史同期新高．将万用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图所示，将一把直尺和一块含和的三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 以上都不对 6. 在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长，若O到的距离是，O到的距离是，则像的长是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 8. 某校课后服务期间开展大模型体验活动，老师在电脑上下载了：豆包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件，小美和小好两位同学各自任选其中一个体验，则他们选择同一个的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为（ ） A. B. 10 C. D. 10. 如图，在长方形自动化工作区中，一台巡检小车从点出发，沿的路径匀速运动，最终到达点．设小车运动的时间为（秒），的面积为（平方米）．已知与的函数图象是一个“梯形”，图象上的三个关键转折点坐标分别为，最终在时降为0．根据图像信息，下列关于工作区和运动过程的分析，错误的是（ ） A. 当时，的面积为3平方米 B. 小车的运动速度为1米／秒 C. 长方形的周长为14米 D. 在运动过程中，的面积为2平方米的时间共有两个，且这两个时刻之和为10秒 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 不等式组的解集是__________ ． 13. 如图，以正六边形的一个顶点为圆心，其边长为半径作弧，得到阴影部分的扇形，则这个阴影部分的面积为______． 14. 如图，坐标系中四边形是正方形，若点坐标为，点坐标为，则点坐标为________． 15. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，则的长度为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）化简： 17. 哈尔滨亚冬会的成功举办激起了全民冰雪体育的热情，某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冰雪知识”竞赛．现分别从甲班、乙班各随机抽取名学生，统计竞赛成绩，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 甲班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，． 乙班名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，，． 【整理数据】两组数据各分数段，如表所示： 成绩 甲班 1 5 3 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 a 72和78 53.4 乙班 b 80 c 25.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____________，_____________，_____________； （2）请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐，并说明理由； （3）按照比赛规定80分及以上可以获得冬奥纪念奖品，若甲乙两班学生共85人，其中甲班学生45人，请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数． 18. 如图，在中，，，． （1）尺规作图：作，使得圆心O在边上，经过点并且与边相切；（不写作法，保留痕迹） （2）求（1）中圆的半径． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． （1）求n的值和反比例函数的解析式； （2）点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，且点P在点A下方，当时，求点P的坐标． 20. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，求黄鹤楼的高度（参考数据：）． 21. 艾草作为一种多年生草本药用植物，其特有的药食保健功能深受广大群众的喜爱，河南某艾草经销商计划购进一批香艾草和苦艾草进行销售，两种艾草的进价和售价如表所示：已知该经销商购进20千克香艾草和5千克苦艾草共需200元，购进15千克香艾草和10千克苦艾草共需225元． 进价（元/千克） 售价（元/千克） 香艾香 a 12 苦艾草 b 16 （1）求a，b的值； （2）若该经销商购进两种艾草共160千克，其中苦艾草的进货量不超过香艾草进货量的3倍，设购进香艾草千克，则该经销商应该如何进货才能使销售利润y（元）最大？最大利润为多少？ 22. 已知点是抛物线的顶点． （1）当时，直接写出点的坐标：___________； （2）若点，都在抛物线上，求证：； （3）若，且抛物线与线段有公共点，求的取值范围． 23. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，，其中点始终落在边上． （1）如图2，当点恰好落在直线上，且时，求的长； （2）如图3，当点与点重合时，求的值； （3）当直角三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $