精品解析：2026年河南省三门峡市卢氏县两校联考九年级第三次阶段测试数学试题

2026年中考学科第三次调研考试 数学 考生注意： 1．答题前，请将姓名和准考证号用黑色字迹的签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共8页，考试时间100分钟，满分120分． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡指定区域内，作图可用2B铅笔．写在本试卷或草稿纸上的答案一律无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中既是中心对称又是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年春运期间（2月2日—3月13日），河南全社会跨区域人员流动量约6.73亿人次，同比增长．数据6.73亿用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图四边形，点E在线段上，且平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 一座古代石拱桥的桥拱是一段圆弧，已知桥拱对应的弦长为，拱高（拱顶到弦的垂直距离）为，则这座石拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小明准备给好朋友送河南特产礼盒，现从道口烧鸡、信阳毛尖、新郑大枣、温县铁棍山药、洛阳老八件礼盒这5种特产中，随机抽取1种礼盒送给朋友．则恰好抽到信阳毛尖的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，在y轴左侧存在点C使得，将点C向右平移3个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1所示的电路图．已知电源的电压U（V）保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻，电流表的读数即电流发生改变．测得电路中总电阻R和通过的电流I之间的关系如图2所示（提示：总电阻灯泡电阻+滑动变阻器电阻），下列说法错误的是（ ） A. 电流I（A）关于电路中的总电阻的函数关系为 B. 当经过灯泡的电流为时，电路中的总电阻为 C. 当电路中I为时，则滑动变阻器的阻值为 D. 由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共40个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元．若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花352元 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 化简：______． 12. 某班8名男生在一次引体向上测试中成绩如下（单位：个）：8，9，12，10，7，13，11，9，则这组数据的中位数为______ 13. 如图，在中，，，D为BC边上的一点，，将绕着点A逆时针旋转后到达的位置，则的长为______． 14. 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第次后，骰子朝下一面的点数是_________． 15. 已知正方形的边长为2，E为线段上一点，连接并延长交的延长线于点F，过点D作，交于点H，交于点G，N为的中点，M为上一动点，分别连接．若，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组： 17. 双足机器人“小益”内置中英双语＋河南方言语音系统，2026年1月4日在郑州“大玉米”58楼观光厅正式亮相，某科技公司为测试“小益”的综合表现，对其进行了图像识别能力和运动能力测试，同时与另外两款机器人B、C进行对比．（为结果公正将“小益”记为A机器人）在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为90分、85分、83分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．数据如下： A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 10 85 1.85 B 8.5 9 87 0.61 C 8 n 83 2.01 （1）任务1：______，______； 【数据分析与运用】 （2）任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，计算A、B、C三款机器人的综合成绩； （3）任务3：根据以上所有统计数据，你认为机器人“小益”是不是最好的？并给出你的理由． 18. 如图，在锐角中，为边上的高． （1）仅用无刻度的直尺与圆规，作的平分线交于点E，交于点F；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若，，求证：． 19. 如图，是的内接三角形，，经过圆心O交于点E，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 20. 嵖岈山是河南驻马店的著名旅游景区，某校九年级学生开展综合实践活动——丈量嵖岈山主峰的“身姿”．为了求出山峰高度，选择在山脚下的两处观测点C、D对山顶的标志物A进行测量，如图1，C、D与山脚处B点在同一条直线上，已知测角仪的高度是1米，第一次在C处测得仰角为，第二次在D处测得仰角为，且米．求山峰高度是多少米？（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 21. 探索人形机器人的速度问题． 2026年央视春晚节目《武》中，二十余台宇树科技人形机器人与河南塔沟武校的少年们同台表演，完成了全球首次全自主人形机器人集群武术表演．其中“豫武”人形机器人的最快移动速度v（米/秒）与总质量m（千克）部分数据如下表所示： 总质量m（千克） 50 60 80 90 100 120 180 … 最快速度v（米/秒） 7.2 6 4.5 4 3.6 3 2 … 该机器人自身质量为70千克．在春晚彩排时，它需从A候场区出发，携带5千克的红缨枪道具前往B主舞台（全程约400米），卸下道具后立即原路返回A候场区（装卸时间忽略不计），此时该机器人完成任务． （1）根据学习经验，判断ν是m的哪种函数类型，并求出该函数表达式； （2）请在图中画出v与m的函数图象； （3）求该机器人完成任务所用的最短时间．（结果保留整数） 22. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标互为相反数，则称点P为相异点．例如：，，等都是相异点． （1）判断函数的图象上是否存在相异点，若存在，求出其相异点的坐标： （2）若二次函数的图象上有且只有一个相异点． ①求a、c的值： ②在①的条件下，若时，函数的最小值为2，最大值为11，求实数t的取值范围． 23. 【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，，连接．求证：． 小河的思路是：延长到点E，使，连接．证明，从而可证，请你帮助小河写出完整的证明过程； 【举一反三】 （2）①如图2，四边形中，，，连接，猜想，，之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，若四边形中，，，，连接，若，求四边形的面积； 【深化理解】 （3）在四边形中，，，与相交于点O．若四边形中有一个内角是，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第三次调研考试 数学 考生注意： 1．答题前，请将姓名和准考证号用黑色字迹的签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共8页，考试时间100分钟，满分120分． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡指定区域内，作图可用2B铅笔．写在本试卷或草稿纸上的答案一律无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，允许偏差是．那么下列选项中的乒乓球直径合格的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，， 所以满足题意的范围是， 观察各选项，只有B符合题意．． 2. 下列选项中既是中心对称又是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“轴对称图形是沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合”和“中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合”分析即可． 【详解】解：A、B、C均是轴对称图形，但不是中心对称图形， D既是轴对称图形，又是中心对称图形． 3. 2026年春运期间（2月2日—3月13日），河南全社会跨区域人员流动量约6.73亿人次，同比增长．数据6.73亿用科学记数法可表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：6.73亿． 4. 如图四边形，点E在线段上，且平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，可知，进而根据角平分线的定义可知的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴． 5. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：． 6. 一座古代石拱桥的桥拱是一段圆弧，已知桥拱对应的弦长为，拱高（拱顶到弦的垂直距离）为，则这座石拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设拱顶为A，根据题意构造图形，取圆心O，连接，其中与交于点D，由题意可知，，，根据垂径定理得到，设这座石拱桥的半径为，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设拱顶为A，取圆心O，连接，其中与交于点D， 由题意可知，，， ∴， 设这座石拱桥的半径为，则， ∴， 解得：． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A.，故A错误，不符合题意； B.，故B错误，不符合题意； C.，故C错误，不符合题意； D.，故D正确，符合题意． 8. 小明准备给好朋友送河南特产礼盒，现从道口烧鸡、信阳毛尖、新郑大枣、温县铁棍山药、洛阳老八件礼盒这5种特产中，随机抽取1种礼盒送给朋友．则恰好抽到信阳毛尖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：从道口烧鸡、信阳毛尖、新郑大枣、温县铁棍山药、洛阳老八件礼盒这5种特产中，随机抽取1种礼盒送给朋友，共有5种等可能的结果，选到信阳毛尖的有1种结果， 则概率为． 9. 如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，在y轴左侧存在点C使得，将点C向右平移3个单位，使其对应点恰好落在直线上，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点C的坐标为，，则点的坐标为，由平移可得，过点C作轴，垂足为点D，再根据三角函数求解即可． 【详解】解：设点C的坐标为，，则点的坐标为． ∵点在直线上，点B为直线与y轴交点， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点C作轴，垂足为点D， ∴， ∴． ∴，， 即C的坐标为． 10. 如图1所示的电路图．已知电源的电压U（V）保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻，电流表的读数即电流发生改变．测得电路中总电阻R和通过的电流I之间的关系如图2所示（提示：总电阻灯泡电阻+滑动变阻器电阻），下列说法错误的是（ ） A. 电流I（A）关于电路中的总电阻的函数关系为 B. 当经过灯泡的电流为时，电路中的总电阻为 C. 当电路中I为时，则滑动变阻器的阻值为 D. 由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共40个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元．若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花352元 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象，运用待定系数法求出电流强度I与总电阻R之间的函数解析式为，再把代入计算，得出，把数值代入滑动变阻器电阻=总电阻灯泡电阻计算，得当电路中I为时，则滑动变阻器的阻值为，设购买电流表x个，则滑动变阻器个，再列出不等式得出，然后得出学校的总花销，根据一次函数的性质分析，即可作答． 【详解】解：∵电源两端电压U（单位：V）保持不变，电流强度I与总电阻R成反比， ∴可设，将代入，得， ∴电流强度I与总电阻R之间的函数解析式为， ∴故选项A说法正确，不符合题意； 当时，，故选项B说法正确，不符合题意； 当时，， 则滑动变阻器电阻=总电阻灯泡电阻 故选项C说法不正确，符合题意； 设购买电流表x个，则滑动变阻器个， 则，得， 学校的总花销， ∵ ∴学校的总花销随着的增大而增大 ∴当时，则（元）， ∴至少需要花销元 故选项D说法正确，不符合题意． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式加法运算，约分，因式分解，根据异分母分式加法运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 某班8名男生在一次引体向上测试中成绩如下（单位：个）：8，9，12，10，7，13，11，9，则这组数据的中位数为______ 【答案】9.5 【解析】 【详解】解：将成绩按照从小到大排序：7，8，9，9，10，11，12，13， 共8个数，中位数为第4和第5个数的平均数， 则中位数为 13. 如图，在中，，，D为BC边上的一点，，将绕着点A逆时针旋转后到达的位置，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点M，过点A作于点N，根据等边对等角得到，根据三线合一得到，根据30度角的性质可知，根据勾股定理求出，进而求出，根据旋转的性质可知，，同理得到，可知的长． 【详解】解：如图，过点A作于点M，过点A作于点N， ∵，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， 根据旋转的性质可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 14. 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第次后，骰子朝下一面的点数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，规律探究；根据正方体相对两个面上的数字进行分析解答即可． 【详解】解：观察图可知， 点数和点数相对，点数和点数相对，且四次一循环， 则可知滚动第一次点数朝上，滚动第二次点数朝上，滚动第三次点数朝上，滚动第四次点数朝上，滚动第次后与第四次相同，滚动第次后朝上的点数是，朝下的点数是．故答案为：． 15. 已知正方形的边长为2，E为线段上一点，连接并延长交的延长线于点F，过点D作，交于点H，交于点G，N为的中点，M为上一动点，分别连接．若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，推导出，得到当A、M、N三点共线时，的值最小，继而证明出，得到， 推导出，得到，，再根据勾股定理，得到，求出，，得到，则的最小值为，即可解答． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴A点与C点关于对称，， ∴， ∴， ∴当A、M、N三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴． ∵N是EF的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算与解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）2029 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为． 17. 双足机器人“小益”内置中英双语＋河南方言语音系统，2026年1月4日在郑州“大玉米”58楼观光厅正式亮相，某科技公司为测试“小益”的综合表现，对其进行了图像识别能力和运动能力测试，同时与另外两款机器人B、C进行对比．（为结果公正将“小益”记为A机器人）在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为90分、85分、83分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．数据如下： A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 10 85 1.85 B 8.5 9 87 0.61 C 8 n 83 2.01 （1）任务1：______，______； 【数据分析与运用】 （2）任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，计算A、B、C三款机器人的综合成绩； （3）任务3：根据以上所有统计数据，你认为机器人“小益”是不是最好的？并给出你的理由． 【答案】（1）， （2）A款机器人的综合成绩为分，B款机器人的综合成绩为分，C款机器人的综合成绩为分 （3）“小益”是最好的，理由如下：∵ ， ∴综合成绩最高的是A款机器人，即“小益”的综合成绩最好． （答案不唯一，合理即可） 【解析】 【小问1详解】 由折线统计图可知A款机器人的得分由低到高排列分别为：6分、7分、7分、8分、9分、9分、9分、10分、10分、10分，其中第5和第6均为9分， ∴A款机器人得分的中位数是； 由扇形统计图可知，C款机器人得8分的占，占比最大， ∴C款机器人得分的众数是．故答案为，． 【小问2详解】 ∵A款机器人的综合成绩为， B款机器人的综合成绩为， C款机器人的综合成绩为． 【小问3详解】 略 18. 如图，在锐角中，为边上的高． （1）仅用无刻度的直尺与圆规，作的平分线交于点E，交于点F；（要求：保留作图痕迹，不需写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若，，求证：． 【答案】（1）如图即为所求； （2）证明：∵，为边上的高， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）使用直尺和圆规根据作角平分线的步骤作图即可； （2）先证明得，再证明即可证明结论成立． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 19. 如图，是的内接三角形，，经过圆心O交于点E，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 20. 嵖岈山是河南驻马店的著名旅游景区，某校九年级学生开展综合实践活动——丈量嵖岈山主峰的“身姿”．为了求出山峰高度，选择在山脚下的两处观测点C、D对山顶的标志物A进行测量，如图1，C、D与山脚处B点在同一条直线上，已知测角仪的高度是1米，第一次在C处测得仰角为，第二次在D处测得仰角为，且米．求山峰高度是多少米？（结果精确到1米．参考数据：，，，，，） 【答案】山峰高度约为708米 【解析】 【分析】设，根据解直角三角形，在中可得，在中可得，联立方程可得，进而可得解． 【详解】解：由题意可知，C、D、B三点在同一条直线上，测角仪高度米，且与均垂直于地面，故米，． 设， ∵， ∴， ∵在中，， ， ∴， ∵在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴， 山峰高度（米）． 21. 探索人形机器人的速度问题． 2026年央视春晚节目《武》中，二十余台宇树科技人形机器人与河南塔沟武校的少年们同台表演，完成了全球首次全自主人形机器人集群武术表演．其中“豫武”人形机器人的最快移动速度v（米/秒）与总质量m（千克）部分数据如下表所示： 总质量m（千克） 50 60 80 90 100 120 180 … 最快速度v（米/秒） 7.2 6 4.5 4 3.6 3 2 … 该机器人自身质量为70千克．在春晚彩排时，它需从A候场区出发，携带5千克的红缨枪道具前往B主舞台（全程约400米），卸下道具后立即原路返回A候场区（装卸时间忽略不计），此时该机器人完成任务． （1）根据学习经验，判断ν是m的哪种函数类型，并求出该函数表达式； （2）请在图中画出v与m的函数图象； （3）求该机器人完成任务所用的最短时间．（结果保留整数） 【答案】（1）v是m的反比例函数， （2）函数图象如图： （3）机器人完成任务所用的最短时间为161秒 【解析】 【分析】（1）由表格可知总质量越大，最快移动速度越慢，所以v是m的反比例函数，假设，根据待定系数法求函数表达式即可； （2）先根据数据描点，再画出平滑曲线即可； （3）先求出机器人当时和当时的最快速度，再根据时间等于路程除以速度求解即可． 【小问1详解】 解：由表格分析知v是m的反比例函数， 设，将，代入，得， ∴该函数表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，（米/秒）， 当时，（米/秒）， ∴秒， 答：机器人完成任务所用的最短时间为161秒． 22. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标与纵坐标互为相反数，则称点P为相异点．例如：，，等都是相异点． （1）判断函数的图象上是否存在相异点，若存在，求出其相异点的坐标： （2）若二次函数的图象上有且只有一个相异点． ①求a、c的值： ②在①的条件下，若时，函数的最小值为2，最大值为11，求实数t的取值范围． 【答案】（1）存在， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）根据相异点的定义可知，即，求解即可； （2）①根据的图象上有且只有一个相异点可知方程有两个相等实根，根据根与系数的关系列方程求解即可； ②先求出二次函数，可知当时，，根据对称轴得到当时，函数有最小值为2，根据二次函数的对称性可知时，，进而可得答案． 【小问1详解】 解：根据相异点的定义可知， ∵函数的图象上存在相异点， ∴， 解得， ∴， 故其相异点的坐标为； 【小问2详解】 解：①∵的图象上有且只有一个相异点， ∴方程， 即有两个相等实数根， 由根与系数的关系可得：， 解得：，； ②∵，， ∴二次函数， 当时，， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，函数有最小值为2， 由关于对称轴对称点为，即时，， 若时，函数的最小值为2，最大值为11， 则实数t的取值范围是． 23. 【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，，，连接．求证：． 小河的思路是：延长到点E，使，连接．证明，从而可证，请你帮助小河写出完整的证明过程； 【举一反三】 （2）①如图2，四边形中，，，连接，猜想，，之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，若四边形中，，，，连接，若，求四边形的面积； 【深化理解】 （3）在四边形中，，，与相交于点O．若四边形中有一个内角是，请直接写出线段的长． 【答案】（1）证明：如图1中，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． （2）①如图2，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，，即． ② （3）或 【解析】 【分析】（1）延长到点E，使，连接，证明，进而可得的等边三角形，从而可证； （2）①延长到点E，使，连接，证明，进而可得是等腰直角三角形，从而可得； ②延长到点E，使，连接，证明，可得，过点A作交于点F，根据含角的直角三角形求出 ，继而可求得，最后根据四边形的面积等于即可求解； （3）分当时和当时两种情况讨论，使用题中探究的解题方法求得，过点O作于点P，于点Q，根据三角形同面积法求得的值，进而可求得线段的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②如图3，延长到点E，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点A作交于点F， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积等于． 【小问3详解】 解：如图，当时，延长到点E，使，连接 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点O作于点P，于点Q， ∵，，， ∴， ∴，∴， ∴，即， ∴． 如图3-2中，当时， 同法可证，， ∴． 综上所述，满足条件的的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $