6.2平行四边形的判定（第3课时 平行线间的距离及平行四边形的综合）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学导学案聚焦“平行线间的距离及平行四边形的综合”，引导学生掌握距离概念及性质，综合运用平行四边形判定与性质。通过铁轨枕木情景引入，衔接平行四边形性质判定旧知，以操作度量、猜想证明、概念归纳为支架，构建从具体到抽象的学习路径。 导学案以生活化问题激发兴趣，操作探究培养几何直观，逻辑推理发展思维能力，分层练习与综合题（如池塘扩建）提升应用意识，助力学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界，适合自主与合作学习。

6.3平行四边形的判定 导学案 第3课时 平行线间的距离及平行四边形的综合 1.掌握平行线间的距离的概念及性质。 2.能运用平行四边形的性质进行计算和证明。 3.能够综合运用平行四边形的判定定理和性质 学习重点：运用平行四边形的性质进行推理、计算和证明。 学习难点：在几何综合题中恰当、灵活地运用平行四边形的判定定理与性质，建立问题与结论的关联，学会剖析关系、构造辅助线等解决策略。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 知识回顾： 情景引入 如图，在笔直的铁轨下， 夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长?你能说明理由吗？与同伴进行交流． 新知自研：自研课本第164--165页的内容． 【学法指导】 自研课本P164-166页例题上面的内容，思考： ●探究一：平行线之间的距离 ◆1.操作思考 如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度． 经过度量,我们可以发现这些垂线段的长度都相等． 猜想：平行线间距离处处相等. 你能证明猜想的正确性吗？试一试. 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D． 求证：AC = BD． 证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD, ∴∠1=∠2=90°, ∴AC∥BD, ∵a∥b，即AB∥CD, ∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义). ∴AC=BD(平行四边形的对边相等). ◆2.知识归纳 平行线之间的距离 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等(如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离. (简记为：两条平行线间的距离处处相等）. “平行线之间的距离”＝“平行线之间的垂线段的长”， 即：平行线之间的距离处处相等． ◆3.练一练 平行线之间的距离是指两条平行线中(　　) A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段 B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段的长度 C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度 D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度 解：B ◆4.思考交流 ①两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到线之间的距离有何区别与联系？ 点到直线的距离只有一条，即过直线外点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线任一点都可以得到一条两平行直线的距离. ②夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？为什么？画一画，想一想. 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等. ◆5.练一练 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC//AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则四边形ABCD的周长是_______. 解：21 ◆6.尝试交流 每人准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并与同伴讨论各自画图的正确性. 解：如图所示的是几个符合条件的平行四边形.对于画出的平行四边形，画法和说理方式都是多样的，利用平行四边形的各个判定定理都可以得到符合条件的图形. ●探究二：平行四边形判定方法的综合运用 ◆1.探究交流 已知：如图，在中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM=BN，DF=BE． 求证：四边形MENF是平行四边形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC（平行四边形的定义）． ∴ ∠MDF=∠NBE． ∵ DM=BN，DF=BE， ∴ △MDF≌△NBE(SAS). ∴ MF=NE，∠MFD=∠NEB． ∴ ∠MFE=∠NEF． ∴ MF∥NE． ∴ 四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为_____. 分析：根据平行线之间的距离处处相等. 解析：设高为h,则=·BD·h=16,h=4, 所以=·AE·h=×5 ×4=10. 例2如图所示,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC. (1)求证:四边形ABDE是平行四边形; 解:(1)证明:∵AE⊥AC,BD垂直平分AC, ∴AE∥BD. ∵∠ADE=∠BAD, ∴DE∥AB, ∴四边形ABDE是平行四边形. (2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长. 解:(2)∵DA平分∠BDE, ∴∠ADE=∠ADB. 又∵∠ADE=∠BAD, ∴∠BAD=∠ADB,∴BD=AB=5. 设BF=x,则DF=5-x, ∴=-=-, 解得x=,∴BF=, ∴AF=. 又∵BD垂直平分AC, ∴AC=2AF=. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨平行线间的距离的概念及性质； B.探讨如何灵活选择平行四边形判定方法. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，方法归纳总结. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图所示,AD∥BC,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=1,AD=2, 那么AD,BC 间的距离为 ( 　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解：A 2.如图所示，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有( ) A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 解：B 3.如图所示，已知直线a∥b，点A,B,C在直线a上,点D,E,F在直线b上,AB=EF=2.若△CEF的面积为5,则△ABD的面积为(　　) A.2 B.4 C.5 D.10 解：C 4.在四边形ABCD中,AB∥CD,再添加下列其中一个条件后,四边形ABCD不一定是平行四边形的是(　　) A.AB=CD B.AD=BC C.AD∥BC D.∠A=∠C 解：B 5. 如图所示,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2于点 E,FG⊥l2于点 G,则下列说法中正确的有　　　　(填序号) ①AB= CD; ②CE= FG ; ③A，B两点间的距离就是线段 AB 的长度; ④与两平行线间的距离就是线段 CD的长度。 解：① 6.如图所示，点E，F分别在的边BC，AD上，AC，EF相交于点O，请你添加一个条件:　　　(只添加一个即可),使四边形AECF是平行四边形. 解：． 7.设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD间的距离是12 cm，EF与CD间的距离是5 cm，则AB与EF间的距离是　　 cm. 解： 8.如图,直线a∥b,A,B为直线b上两点,C,D为直线a上两点,AD与BC交于点E. (1)请写出图中所有面积相等的三角形:　　　　　　　　; (2)若A,B,C为三个定点,点D在直线a上移动,那么无论点D移动到何处,总有　　　与△ABC的面积相等.这两个三角形底边AB上的高相等的理由是　　　　　　. 解：(1)=,=,= (2)△ABD,平行线之间的距离处处相等 9.如图所示,田村有一口四边形的池塘,在它的四个角A,B,C,D处均种有一棵大核桃树.田村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状,则田村能否实现这一设想?若能,请你设计并画出图形;若不能,请说明理由.(画图要保留痕迹,不写画法) 解：田村能实现这一设想,如图所示(图形不唯一). 10.如图，在□ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数． 解：在□ABCD中，∠ABC=70°， ∴ ∠ADC=∠ABC=70°． ∵ BE平分∠ABC， ∴ ∠EBF=∠ABC=×70°=35°． ∵ BE∥DF， ED∥BF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∴ ∠EDF=∠EBF=35°． ∵ ∠CDF＋∠EDF=∠ADC ， ∴ ∠CDF=∠ADC－∠EDF=70°－35°=35°． 题型一：两平行线间的距离及其应用 1．如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质及应用，熟练掌握垂线的性质是解题的关键，根据垂线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴线段的长度是直线a，b之间的距离， 故选：D． 2．如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（　　） A．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，由平行线之间的距离的定义可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 又∵CM⊥AB， ∴直线AB与CD的距离为CM的长， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离的定义是解题的关键． 3．如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点在上，点在上， ∴的长度是到的距离， 故选：． 4．在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（　　） A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定 【分析】分两种情况，当直线c在直线a、b之间时，当直线c在直线a、b外部时，即可解决问题． 【详解】解：当直线c在直线a、b之间时，如图（1）， 直线a、c间的距离为7﹣3＝4（cm）； 当直线c在直线a、b外部时，如图（2）， 直线a、c间的距离为7+3＝10（cm）， ∴直线a、c间的距离是4或10cm． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的距离，解题时注意分类讨论． 5．已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上的点，连接EF，EF＝10，若∠AEF＝135°，则两直线AB与CD间的距离是（　　） A．5 B．6 C．3 D．5 【分析】作FH⊥AB于H，得到△FEH是等腰直角三角形，因此HFFE＝5． 【详解】解：如图，作FH⊥AB于H， ∵∠AEF＝135°， ∴∠FEH＝180°﹣∠AEF＝45°， ∴△FEH是等腰直角三角形， ∴HFFE， ∵EF＝10， ∴FH＝5． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间的距离的定义；作FH⊥AB于H，得到△FEH是等腰直角三角形，即可求解． 题型二：利用平行四边形性质与判定计算 6．在中，，相交于点O，过点作于点，在上取点，连接，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则的面积为________． 【答案】(1)见详解 (2)96 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟记各性质与判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， 在中，由勾股定理得，，即 ， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 7．如图，将平行四边形的边延长至点E，使 ，连接，F是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，进而利用已知得出，进而得出结论； （2）首先过点A作于点N，再利用平行四边形的性质结合直角三角形的性质得出的长，进而再由勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，F是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点A作于点N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 8.追本溯源：题（1）来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，且．求证：的周长等于． (2)如图2，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，可得，，再进一步求解即可； （2）先证明，，可得，，结合，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为 ． （2）解：在中，，，， ∴，， ∵的平分线交于点，的平分线交于点． ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的判定等腰三角形是解本题的关键． 9．如图，在平行四边形中，，是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到． （1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 10．综合与实践： 问题情景：如图，在中，为对角线，的交点，，，为上一动点，连接并延长交于点． 独立思考：（1）当时，求的度数； 实践探究：（2）当四边形为平行四边形时，求的长． 【答案】（1）（2）4 【分析】本题考查平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据，，推导出，再根据邻补角定义即可求解； （2）根据推导出 和全等，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的性质可知，进而得到点为中点，在中，根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得到的值，进而得到值即可； 【详解】解：（1），， ， ， ． 答：的度数为． （2）， ，， ， 、为对角线， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，，， ， ． 题型三：利用平行四边形性质与判定证明 11．如图1，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判的性质是关键． （1）根据平行四边形的性质证明，即可求解； （2）根据题意得到，，根据平行四边形的判定方法即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ； （2）证明：由（1）得， ， ，即， ， ， 四边形是平行四边形． 12．△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CFDE交AB于点F． (1)当点D是BC边的中点时，如图①，求证：EF＝CD． (2)如图②，当点D是BC边上的任意一点时（除B、C外），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)EF=CD成立，理由见解析 【分析】（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可； （2）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC． ∵D是BC的中点， ∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAC=30°． ∵△AED是等边三角形， ∴AD=DE，∠ADE=60°． ∴∠BDE=90°－∠ADE=90°－60°=30°． ∵CF∥DE， ∴∠BCF=∠BDE =30°． 在△BCF和△CAD中， ∵∠BCF=∠CAD =30°，∠B=∠ACB，BC=AC， ∴△BCF≌△CAD． ∴CF=AD． ∵AD=DE， ∴CF = DE． 又∵CF∥DE， ∴四边形EDCF是平行四边形， ∴EF=CD． （2）解：EF=CD成立．   理由： ∵CF∥DE， ∴∠BDE=∠BCF． ∵∠BDE +∠ADE =∠CAD+∠ACB， 由（1）知∠ADE=∠ACB=60°， ∴∠BDE =∠CAD， ∴∠BCF =∠CAD． 在△BCF和△CAD中， ∵∠BCF=∠CAD ，∠B=∠ACB，BC=AC， ∴△BCF≌△CAD． ∴CF=AD． ∵AD=DE， ∴CF = DE． 又∵CF∥DE， ∴四边形EDCF是平行四边形， ∴EF=CD． 【点睛】此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大． 13．如图，在中，点E在上，点P是上一点，分别与于点F，G，． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求证：； (3)若，直接写出DG的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析； (2)见解析； (3)2． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键． （1）由等边对等角可得，再结合已知条件运用等量代换可得，即，进而的到，再结合即可证明结论； （2）先证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论； （3）先说明是等边三角形可得，再结合已知条件可得．；由平行线四边形的性质可得，，即；然后运用直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： ， ， 又∵， ． ， ， ∵， 四边形PCDG是平行四边形． （2）证明：，， ． ， 又， ． ． （3）解：如图：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴．． ∵， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ． 14．如图，在中，，点P为内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接    (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为_______； ②若M为的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用 证明 , 即可得出答案; （2） ①由三角形内角和定理知 ，再利用角度之间的转化和等量代换可得 ，即可解答； ② 延长 到 ，使 ，连接 、， 得出四边形 为平行四边形，则 且 ， 再利用 证明 ，得 ，即可解答； 【详解】（1）， 证明： ∵， ∴， ∵将线段绕点C顺时针旋转 得到 ， （2）①当 时， 则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴； 故答案为； ②，理由如下： 延长 到 ，使 ，连接 、，    ∵ 为 的中点， ∴， ∴四边形 为平行四边形， ∴ 且 ， 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． 15．已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，连接，将绕点P顺时针方向旋转α，得到，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)M是延长线上一点，连接，且． ①若，求证：； ②如图2，若，，连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，再由可得，从而得出，再由平行四边形的判定可得结论； （2）①先证明，再证明，推出，可得结论； ②延长至N，使，联结、，先证明，可得是线段的线段垂直平分线，得出，则是等腰直角三角形，从而证得，再证明，从而得出，延长交于E，则，最后由勾股定理得出，最后可得结论． 【详解】（1）如图1， ， ； ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）①如图1， ，， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ； ②如图2，延长至N，使，连接、， 在与中， ， ， ，； ， 是线段的线段垂直平分线， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ； 四边形是平行四边形， ， ， ； 在与中， ， ， ，， ； 延长交于E，则， ， ， 四边形内角和为，， ， 在中， ， 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质等知识，正确添加辅助线是解本题的关键． ▲1、平行线之间的距离 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等(如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离. (简记为：两条平行线间的距离处处相等）. “平行线之间的距离”＝“平行线之间的垂线段的长”， 即：平行线之间的距离处处相等． ▲２、夹在两条平行线间的平行线段相等. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3平行四边形的判定 导学案 第3课时 平行线间的距离及平行四边形的综合 1.掌握平行线间的距离的概念及性质。 2.能运用平行四边形的性质进行计算和证明。 3.能够综合运用平行四边形的判定定理和性质 学习重点：运用平行四边形的性质进行推理、计算和证明。 学习难点：在几何综合题中恰当、灵活地运用平行四边形的判定定理与性质，建立问题与结论的关联，学会剖析关系、构造辅助线等解决策略。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 知识回顾： 情景引入 如图，在笔直的铁轨下， 夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长?你能说明理由吗？与同伴进行交流． 新知自研：自研课本第164--165页的内容． 【学法指导】 自研课本P164-166页例题上面的内容，思考： ●探究一：平行线之间的距离 ◆1.操作思考 如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度． 经过度量,我们可以发现这些垂线段的长度都 ． 猜想：平行线间距离 . 你能证明猜想的正确性吗？试一试. 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D． 求证：AC = BD． ◆2.知识归纳 平行线之间的距离 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都 (如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离. (简记为： ）. “平行线之间的距离”＝“平行线之间的 的长”， 即：平行线之间的距离处处相等． ◆3.练一练 平行线之间的距离是指两条平行线中(　　) A.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段 B.从一条直线上一点到另一条直线的垂线段的长度 C.从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度 D.从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度 ◆4.思考交流 ①两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到线之间的距离有何区别与联系？ 点到直线的距离只有 条，即过直线外点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有 即一直线任一点都可以得到一条两平行直线的距离. ②夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？为什么？画一画，想一想. 【画图区】 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为 ，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的 相等. ◆5.练一练 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC//AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则四边形ABCD的周长是_______. ◆6.尝试交流 每人准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并与同伴讨论各自画图的正确性. ●探究二：平行四边形判定方法的综合运用 ◆1.探究交流 已知：如图，在中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM=BN，DF=BE． 求证：四边形MENF是平行四边形． 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为_____. 分析：根据平行线之间的距离处处相等. 例2如图所示,在四边形ABCD中,BD垂直平分AC,垂足为F,E为四边形ABCD外一点,且∠ADE=∠BAD,AE⊥AC. (1)求证:四边形ABDE是平行四边形; (2)如果DA平分∠BDE,AB=5,AD=6,求AC的长. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨平行线间的距离的概念及性质； B.探讨如何灵活选择平行四边形判定方法. C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，方法归纳总结. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图所示,AD∥BC,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=1,AD=2, 那么AD,BC 间的距离为 ( 　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图所示，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形(不包括△ABD)有( ) A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 3.如图所示，已知直线a∥b，点A,B,C在直线a上,点D,E,F在直线b上,AB=EF=2.若△CEF的面积为5,则△ABD的面积为(　　) A.2 B.4 C.5 D.10 4.在四边形ABCD中,AB∥CD,再添加下列其中一个条件后,四边形ABCD不一定是平行四边形的是(　　) A.AB=CD B.AD=BC C.AD∥BC D.∠A=∠C 5. 如图所示,已知l1∥l2,AB∥CD,CE⊥l2于点 E,FG⊥l2于点 G,则下列说法中正确的有　　　　(填序号) ①AB= CD; ②CE= FG ; ③A，B两点间的距离就是线段 AB 的长度; ④与两平行线间的距离就是线段 CD的长度。 6.如图所示，点E，F分别在的边BC，AD上，AC，EF相交于点O，请你添加一个条件:　　　(只添加一个即可),使四边形AECF是平行四边形. 7.设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD间的距离是12 cm，EF与CD间的距离是5 cm，则AB与EF间的距离是　　 cm. 8.如图,直线a∥b,A,B为直线b上两点,C,D为直线a上两点,AD与BC交于点E. (1)请写出图中所有面积相等的三角形:　　　　　　　　; (2)若A,B,C为三个定点,点D在直线a上移动,那么无论点D移动到何处,总有　　　与△ABC的面积相等.这两个三角形底边AB上的高相等的理由是　　　　　　. 9.如图所示,田村有一口四边形的池塘,在它的四个角A,B,C,D处均种有一棵大核桃树.田村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状,则田村能否实现这一设想?若能,请你设计并画出图形;若不能,请说明理由.(画图要保留痕迹,不写画法) 10.如图，在□ABCD中，∠ABC=70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数． 题型一：两平行线间的距离及其应用 1．如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 2．如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CD的距离是（　　） A．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长 3．如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 4．在同一平面内，已知a∥b，b∥c，若直线a、b之间的距离为7cm，直线b、c之间的距离为3cm，则直线a、c间的距离为（　　） A．4cm或10cm B．4cm C．10cm D．不确定 5．已知AB∥CD，点E，F分别为AB，CD上的点，连接EF，EF＝10，若∠AEF＝135°，则两直线AB与CD间的距离是（　　） A．5 B．6 C．3 D．5 题型二：利用平行四边形性质与判定计算 6．在中，，相交于点O，过点作于点，在上取点，连接，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，则的面积为________． 7．如图，将平行四边形的边延长至点E，使 ，连接，F是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 8.追本溯源：题（1）来源于课本中的习题，请你完成解答、提炼方法并解答题（2）． (1)如图1，在中，平分，平分，经过点，与，相交于点，且．求证：的周长等于． (2)如图2，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．若，求的周长． 9．如图，在平行四边形中，，是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，且，求的长． 10．综合与实践： 问题情景：如图，在中，为对角线，的交点，，，为上一动点，连接并延长交于点． 独立思考：（1）当时，求的度数； 实践探究：（2）当四边形为平行四边形时，求的长． 题型三：利用平行四边形性质与判定证明 11．如图1，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是平行四边形． 12．△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CFDE交AB于点F． (1)当点D是BC边的中点时，如图①，求证：EF＝CD． (2)如图②，当点D是BC边上的任意一点时（除B、C外），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 13．如图，在中，点E在上，点P是上一点，分别与于点F，G，． (1)若，判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求证：； (3)若，直接写出DG的长． 14．如图，在中，，点P为内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接    (1)用等式表示与的数量关系，并证明； (2)当时， ①直接写出的度数为_______； ②若M为的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 15．已知：如图1，在四边形中，，．P是边上一动点，连接，将绕点P顺时针方向旋转α，得到，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)M是延长线上一点，连接，且． ①若，求证：； ②如图2，若，，连接、，求证：． ▲1、平行线之间的距离 如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都 (如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离. (简记为： ）. “平行线之间的距离”＝“平行线之间的 的长”， 即：平行线之间的距离处处相等． ▲２、夹在两条平行线间的 相等. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $