6.2平行四边形的判定（第2课时利用四边形对角线的性质判定平行四边形）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学导学案聚焦“利用对角线互相平分判定平行四边形”，通过“小颖画已知对角线长度的平行四边形”问题情境导入，回顾已学判定方法构建知识脉络，提供自研指导、例题导析等学习支架。 资料以自主学习与合作探究结合为特色，题型涵盖基础应用到综合动点问题，注重证明思路分析与多方法探究，助力学生发展几何直观（数学眼光）、逻辑推理能力（数学思维）及应用意识（数学语言），适合学生自主与协作学习，便于教师教学实施。

6.2平行四边形的判定 导学案 第2课时 利用四边形对角线的性质判定平行四边形 1.利用对角线互相平分判定平行四边形。 2.平行四边形对角线相等的相关运用。 学习重点：掌握对角线互相平分的判定方法。 学习难点：运用对角线性质灵活解决复杂图形与推理问题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾： 思考：我们已经学习过的平行四边形判定方法有哪些？ 情景引入： 问题：小颖想要画一个已知两条对角线长度的平行四边形，应该怎样画呢？ 如何说明小颖所画的四边形是平行四边形呢？你是怎样做的？ 新知自研：自研课本第162--163页的内容． 【学法指导】 自研课本P162-163页例题上面的内容，思考： ●探究一：平行四边形判定定理3 ◆1.观察交流 通过上一课“思考·交流”的讨论，我们还发现：对角线互相平分的四边形是平行四边形.请你尝试证明这一结论. 已知:如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． ◆2.知识归纳 平行四边形的判定定理3：对角线互相 的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵OA= ,OD= ， ∴四边形ABCD是平行四边形. ◆3.练一练 在四边形ABCD中,AC、BD 相交于点O,且 OA =OC.如果要使四边形ABCD 是平行四边形,那么还需补充的条件是（ ） A.AC⊥BD B.OA =OB C.OC=OD D.OB=OD ●探究二：利用对角线判定平行四边形的应用 ◆1.尝试交流 ①例:如图，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． 分析：要证明一个四边形是平行四边形，如果从对角线的角度考虑，需要满足什么条件？如果从边的角度考虑呢？ 解:要证明一个四边形是平行四边形,如果从对角线的角度考虑,需要满足对角线 。如果从对边的角度考虑,需要满足两组对边 或两组对边 或一组对边 。 思考：还有其他证法吗？ ②拓展：我们知道平行四边形的两组对角分别相等，那么它的逆命题是什么？是真命题吗？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题.如何证明呢？ 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形. ◆2.思考交流 思考：比较平行四边形的性质定理和判定定理，它们有怎样的关系？与同伴进行交流. 思考：回顾平行四边形的性质定理和判定定理的证明过程，你积累了哪些分析证明思路的经验？ ◆3.练一练 有下列说法: ①一组对角相等; ②两条对角线互相相垂直; ③两条对角线互相平分; ④一组邻角互补； ⑤两组对边都相等； ⑥两组对边分别平行. 能判定四边形是平行四边形的说法有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 如图所示，在中，AC，BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，连接AF，CE，AE，CF. 求证:四边形AECF是平行四边形. 例2 如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O交AD于点E,交BC于点F,且OE=OF. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨从对角线互相平分的四边形是平行四边形； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列条件能判定四边形是平行四边形的是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分 2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　) A.AB∥DC，AD∥BC B.AB=DC，AD=BC C.AO=CO，BO=DO D.AB∥DC，AD=BC 3.如图，在中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为（　　）． A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm 4.，不能得出四边形AECF为平行四边形的是（ ） 5.综合实践课上,嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.下图是其作图过程.在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( ) A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 6.如图，在四边形ABCD中，若AC=8cm，BD=10cm，那么当AO=　 　cm，DO=　 　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 7.如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件　 　(只添加一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形.    8.已知:如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论. 9.如图所示，四边形ABCD中，BC∥AD，∠ABC=90°，AD=5，BC=13，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F. (1)求证:四边形BDFC是平行四边形; (2)若BD=BC，求四边形BDFC的面积.   题型一：添加条件判定是平行四边形 1．如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，如果，那么再添加以下一个条件使得四边形是平行四边形，请选出正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，对角线，交于点O，．添加下列条件中的一个后，可使四边形是平行四边形的有（    ） ①；②；③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法. 你所添加的条件： ； 证明： 5．如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ． 题型二：利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定 6．要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（　　） A．OC＝5 B．OC＝3 C．CD＝3 D．CD＝9 7.已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：　　 ．（只需填一个你认为正确的条件即可） 8.如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26， （1）求证；四边形ABCD为平行四边形； （2）求四边形ABCD的面积． 9.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点． （1）求证：OD＝OC． （2）求证：四边形AFBE平行四边形． 题型三：利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定 10.一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四边形的依据是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 11.下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　） A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3 12.如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形． 13.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于点G，交AD于点E，交BC的延长线于点F，∠DEF＝∠CFG．求证：四边形ABCD是平行四边形． 题型四：平行四边形的判定与动点运动问题 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A． B． C．或 D．或 16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 　 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形． 17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止，点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t s． （1）用含t的代数式表示： AP＝　 cm，DP＝　 　cm，BQ＝　 　cm，CQ＝　 cm； （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？ ▲1、平行四边形的判定定理3：对角线互相 的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵OA= ,OD= ， ∴四边形ABCD是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2平行四边形的判定 导学案 第2课时 利用四边形对角线的性质判定平行四边形 1.利用对角线互相平分判定平行四边形。 2.平行四边形对角线相等的相关运用。 学习重点：掌握对角线互相平分的判定方法。 学习难点：运用对角线性质灵活解决复杂图形与推理问题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾： 思考：我们已经学习过的平行四边形判定方法有哪些？ 情景引入： 问题：小颖想要画一个已知两条对角线长度的平行四边形，应该怎样画呢？ 解:小颖是这样画的：画出两条已知长度线段，交于中点，使两条线段互相平分，依次连接四条线段的四个端点，所得四边形即为所求平行四边形. 如何说明小颖所画的四边形是平行四边形呢？你是怎样做的？ 解:可以用刻度尺量一量它们的两组对边是否相等，也可以用量角器来检查它们的两组对边是否平行. 新知自研：自研课本第162--163页的内容． 【学法指导】 自研课本P162-163页例题上面的内容，思考： ●探究一：平行四边形判定定理3 ◆1.观察交流 通过上一课“思考·交流”的讨论，我们还发现：对角线互相平分的四边形是平行四边形.请你尝试证明这一结论. 已知:如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明: ∵OA＝OC，OB＝OD，且∠AOD＝∠COB， ∴△AOD≌△COB（SAS）， ∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO． ∴AD∥CB． ∴四边形ABCD是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． ◆2.知识归纳 平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵OA=OC,OD=OB， ∴四边形ABCD是平行四边形. ◆3.练一练 在四边形ABCD中,AC、BD 相交于点O,且 OA =OC.如果要使四边形ABCD 是平行四边形,那么还需补充的条件是（ ） A.AC⊥BD B.OA =OB C.OC=OD D.OB=OD 解：D ●探究二：利用对角线判定平行四边形的应用 ◆1.尝试交流 ①例:如图，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF． 求证：四边形BFDE是平行四边形． 分析：要证明一个四边形是平行四边形，如果从对角线的角度考虑，需要满足什么条件？如果从边的角度考虑呢？ 解:要证明一个四边形是平行四边形,如果从对角线的角度考虑,需要满足对角线互相平分。如果从对边的角度考虑,需要满足两组对边平行或两组对边相等或一组对边平行且相等。 证明：如图所示，连接BD，交AC于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD (平行四边形对角线互相平分). ∴AE＝CF， ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF． ∴四边形BFDE是平行四边形 （对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 思考：还有其他证法吗？ 方法二：∵在中，AB=CD，AB//CD. ∴∠BAE=∠DCF. 又∵AE= CF, ∴△BAE ≌△DCF， ∴BE = DF，∠AEB =∠CFD, ∴∠BEF=∠DFE, ∴BE // DF， ∴四边形 BFDE是平行四边形. ②拓展：我们知道平行四边形的两组对角分别相等，那么它的逆命题是什么？是真命题吗？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题.如何证明呢？ 已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°, 又∵∠A=∠C，∠B=∠D, ∴2∠A+2∠B=360°, 即∠A+∠B=180°, ∴AD∥BC, 同理可得AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ◆2.思考交流 思考：比较平行四边形的性质定理和判定定理，它们有怎样的关系？与同伴进行交流. 解:性质定理和判定定理的条件与结论是互换的. 性质定理以平行四边形为条件，得出相关性质； 判定定理以某些性质为条件，得出四边形是平行四边形的结论. 思考：回顾平行四边形的性质定理和判定定理的证明过程，你积累了哪些分析证明思路的经验？ 解:证明平行四边形的性质定理，通常是借助平行线的性质，证明三角形全等，得到对应线段相等，对应角相等； 证明平行四边形的判定定理，通常是借助全等三角形，证明角相等，进而说明对边平行，借助定义得到平行四边形。 ◆3.练一练 有下列说法: ①一组对角相等; ②两条对角线互相相垂直; ③两条对角线互相平分; ④一组邻角互补； ⑤两组对边都相等； ⑥两组对边分别平行. 能判定四边形是平行四边形的说法有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 解:C 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 如图所示，在中，AC，BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，连接AF，CE，AE，CF. 求证:四边形AECF是平行四边形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC，OB=OD. ∵E，F分别为OB，OD的中点, ∴OE=OB，OF=OD, ∴OE=OF. 又∵OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形. 例2 如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O交AD于点E,交BC于点F,且OE=OF. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明:∵AD∥BC, ∴∠AEO=∠CFO. 在△AEO和△CFO中, ∵∠AEO=∠CFO,OE=OF,∠EOA=∠FOC, ∴△AEO≌△CFO(ASA), ∴AO=CO. 同理可证BO=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨从对角线互相平分的四边形是平行四边形； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列条件能判定四边形是平行四边形的是(　　) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分 解：D 2.在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(　　) A.AB∥DC，AD∥BC B.AB=DC，AD=BC C.AO=CO，BO=DO D.AB∥DC，AD=BC 解：D 3.如图，在中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为（　　）． A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm 解：A 4.，不能得出四边形AECF为平行四边形的是（ ） 解：D 5.综合实践课上,嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形.下图是其作图过程.在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( ) A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 解：C 6.如图，在四边形ABCD中，若AC=8cm，BD=10cm，那么当AO=　 　cm，DO=　 　cm时，四边形ABCD为平行四边形． 解：4，5 7.如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件　 　(只添加一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形.    解：BO=DO(答案不唯一) 8.已知:如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论. 解:四边形ABFC是平行四边形. 证明:∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠CFE. ∵E是BC的中点, ∴BE=CE. 在△ABE和△FCE中, ∵∠BAE=∠CFE,∠AEB=∠FEC,BE=CE, ∴△ABE≌△FCE, ∴AE=FE. 又∵BE=CE, ∴四边形ABFC是平行四边形. 9.如图所示，四边形ABCD中，BC∥AD，∠ABC=90°，AD=5，BC=13，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F. (1)求证:四边形BDFC是平行四边形; (2)若BD=BC，求四边形BDFC的面积.   解：(1)证明:∵BC∥AF, ∴∠CBE=∠DFE. ∵E是边CD的中点, ∴CE=DE. 在△BEC与△FED中, ∵∠CBE=∠DFE,∠BEC=∠FED,CE=DE, ∴△BEC≌△FED(AAS), ∴BE=FE, ∴四边形BDFC是平行四边形. (2)由(1)得:△BEC≌△FED, ∴DF=BC=13. ∵BC∥AD, ∴∠BAD+∠ABC=180°, ∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-90°=90°. ∵BD=BC=13,AD=5, ∴AB===12, ∴四边形BDFC的面积=DF·AB=13×12=156. 题型一：添加条件判定是平行四边形 1．如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定，逐项分析即可判断． 【解答】解：A、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； B、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； C、因为，，所以四边形为平行四边形，符合题意； D、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 2．如图，在四边形中，E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，如果，那么再添加以下一个条件使得四边形是平行四边形，请选出正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定．当添加时，可证得，进而推出，，即可得到四边形是平行四边形． 【解答】解：当添加时，， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 而添加，，均无法证明四边形是平行四边形． 故选：D 3．如图，在四边形中，对角线，交于点O，．添加下列条件中的一个后，可使四边形是平行四边形的有（    ） ①；②；③． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，以及先证明，再得出，同理得证四边形是平行四边形，即可作答． 【解答】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 故①符合题意； ∵，， ∴仍证明不了， ∴无法得四边形是平行四边形， 故②不符合题意； ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴故③符合题意； 故选：B 4．如图，已知点E、F在四边形ABCD的对角线BD所在的直线上，且BE=DF，AE∥CF，请再添加一个条件（不要在图中再增加其它线段和字母），能证明四边形ABCD是平行四边形，并证明你的想法. 你所添加的条件： ； 证明： 【答案】AE=CF 【分析】试题分析：要证四边形ABCD是平行四边形，只要得出一组对边（AB和CD）平行且相等即可，即只要添加一个条件使得△ABE≌△CDF，由已知可得两三角形全等的条件有∠E＝∠F，BE＝DF，故可添加AE＝CF（答案不唯一），利用SAS证明△ABE≌△CDF． 试题解析：答案不唯一，例如：添加AE＝CF． 证明如下： ∵AE∥CF， ∴∠E＝∠F， 又BE＝DF，AE＝CF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF， ∴∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，通过题目已有条件分析得出证明四边形ABCD为平行四边形只需证明△ABE≌△CDF是解决问题的关键． 5．如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是 ． 【答案】AE=CF（答案不唯一） 【分析】证AE∥CF，再由AE＝CF，即可得出结论． 【解答】添加条件为：， 理由：，， ， ， 四边形为平行四边形， 故答案为：．（答案不唯一） 【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 题型二：利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定 6．要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（　　） A．OC＝5 B．OC＝3 C．CD＝3 D．CD＝9 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【解答】解：∵AD＝BC＝9，AB＝CD＝5， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵OB＝OD＝7，OA＝OC＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 7.已知：如图，四边形ABCD中，AO＝OC，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是：　　 ．（只需填一个你认为正确的条件即可） 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的四边形可知：添加BO＝DO可以使四边形ABCD是平行四边形． 【解答】解：添加BO＝DO， ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：BO＝DO． 【点评】本题考查了平行四边形的判定：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形． 8.如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26， （1）求证；四边形ABCD为平行四边形； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由勾股定理可求AO＝13，可得AO＝CO＝13，即可得出四边形ABCD是平行四边形； （2）由平行四边形面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠ADB＝90°， ∴AO13， ∵AC＝26， ∴CO＝AO＝13， ∵OD＝OB， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝2OD＝10， ∴四边形ABCD的面积＝AD×BD＝12×10＝120． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理；证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 9.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点． （1）求证：OD＝OC． （2）求证：四边形AFBE平行四边形． 【分析】（1）利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质即可得解． （2）此题已知OA＝OB，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了． 【解答】证明：（1）∵AC∥BD， ∴∠C＝∠D， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴OD＝OC； （2）∵OD＝OC， ∵E、F分别是OC、OD的中点， ∴OFOD，OEOC， ∴EO＝FO， 又∵OA＝OB， ∴四边形AFBE是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 题型三：利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定 10.一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°，我们判定其为平行四边形的依据是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【分析】根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形即可得出结论． 【解答】解：∵一个四边形的四个内角的度数依次为88°，92°，88°，92°， ∴度数为88°的两个内角是一组相等的对角，度数为92°的两个内角是另一组相等的对角， ∴这个四边形是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）． 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 11.下面给出的四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　） A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3 【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有A能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定． 【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 12.如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】证出AB∥CD，AD∥BC，根据平行四边形的判定可得出结论． 【解答】证明：∵∠BAC＝∠DCA， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠DCB＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠D+∠DCB＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 13.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于点G，交AD于点E，交BC的延长线于点F，∠DEF＝∠CFG．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】根据平行线的判定得出AD∥BC，进而利用平行线的性质和平行四边形的判定解答即可． 【解答】证明：∵∠DEF＝∠CFG， ∴AD∥BC， ∴∠D＝∠DCF， ∵∠B＝∠D， ∴∠B＝∠DCF， ∴AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】此题考查平行四边形的判定，关键是根据两组对边平行的四边形是平行四边形解答． 题型四：平行四边形的判定与动点运动问题 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 【分析】由题意已知，AD∥BC，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，列出等式可求解． 【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时，且P在BC上， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t， ∴16﹣t＝21﹣3t， 解得t， ∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形； 当点P在BC延长线上时， ∴16﹣t＝3t﹣21， 解得t， ∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 【点评】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A． B． C．或 D．或 【分析】由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分三种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于/的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 设运动时间为t． 当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t， ∴10﹣t＝10﹣2.5t， 1.5t＝0， ∴t＝0（舍去）； 当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10， ∴10﹣t＝2.5t﹣10， 解得：t； 当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t， ∴10﹣t＝30﹣2.5t， 解得：t（舍去）； 综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分三种情况列出关于t的一元一次方程是解题的关键． 16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 　 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形． 【分析】由题意可得AD∥BC，分BQ＝AP或CQ＝PD两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设点P运动了t秒， ∴CQ＝tcm，AP＝2tcm，BQ＝（15﹣t）cm，PD＝（18﹣2t）cm， ①当BQ＝AP时，且AD∥BC，则四边形APQB是平行四边形， 即15﹣t＝2t， ∴t＝5； ②当CQ＝PD时，且AD∥BC，则四边形CQPD是平行四边形， 即t＝18﹣2t， ∴t＝6， 综上所述：当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时，点P运动了5秒或6秒， 故答案为：5或6． 【点评】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止，点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t s． （1）用含t的代数式表示： AP＝　 cm，DP＝　 　cm，BQ＝　 　cm，CQ＝　 cm； （2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？ 【分析】（1）由题意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm，则DP＝（12﹣t）（cm），BQ＝（15﹣2t）（cm）； （2）当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，即t＝15﹣2t，求出t的值即可． 【解答】解：（1）由题意得：AP＝t cm，CQ＝2t cm， 则DP＝（12﹣t）（cm），BQ＝（15﹣2t）（cm）， 故答案为：t，（12﹣t），（15﹣2t），2t； （2）∵AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形， 即t＝15﹣2t， 解得：t＝5， 即当t为5时，四边形APQB是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． ▲1、平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵OA=OC,OD=OB， ∴四边形ABCD是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $