6.3三角形的中位线（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学导学案聚焦“三角形的中位线”，引导学生理解概念、证明定理并灵活应用。通过知识回顾平行四边形性质与判定搭建学习支架，结合分蛋糕情景引入，衔接旧知与新知探究脉络。 特色在于设计剪拼实验、定理证明等活动培养几何直观与推理意识，结合池塘测距等实际问题提升应用意识，题型分类系统且合作探究促进交流，助力学生自主构建知识，发展数学核心素养。

6.3三角形的中位线 导学案 1.理解三角形中位线的概念，能证明三角形中位线定理。 2.掌握三角形中位线定理，能灵活运用该定理解题。 学习重点：三角形中位线定理及其证明。 学习难点：运用定理解决灵活变式问题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 知识回顾： 平行四边形的性质与判定 性质 判定 边 两组对边分别平行，两组对边分别相等. 两组对边分别平行的四边形. 两组对边分别相等的四边形. 一组对边平行且相等的四边形. 角 对角相等，邻角互补. （拓展）两组对角分别相等的四边形. 对角线 对角线互相平分. 对角线互相平分的四边形 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等. 情景引入 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，你能帮他设计合理的解决方案吗？ 新知自研：自研课本第171--173页的内容． 【学法指导】 自研课本P171-173页例题上面的内容，思考： ●探究一：三角形的中位线 ◆1.思考交流 (1)你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? (2)连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形? 解：四个全等的三角形. ◆2.知识归纳 三角形的中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 两层含义: ① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的中位线； ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的中点. ◆3.思考交流 ①你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 小明的做法：将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF. ②三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系?能证明你的猜想吗? 解：DE和边BC的关系 位置关系：平行. 数量关系：DE是BC的一半. 能说出理由吗? ◆4.新知探究 已知：如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC,DE=BC.（提示：延长DE至F,使EF=DE,连接CF.） 证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF. ∵ AE=CE, ∠AED=∠CEF, ∴△ADE≌△CFE(SAS), ∴AD=CF,∠A=∠ECF. ∴CF∥AB. ∵AD=BD, ∴BD=CF. ∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DF∥BC,DF=BC. ∴DE∥BC,DE=DF=BC. ◆5.知识归纳 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 用符号语言表示: ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC,DE=BC. 利用三角形中位线定理就可以将任意一个三角形分成四个全等的三角形. ◆6.练一练 如图所示，已知DE是△ABC的中位线，若AC=8,则DE的长为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解：B ◆7.新知探究 例： 如图所示，□ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，E为 AB的中点，∠ADB=90°AC=6，OE=1。求AD和 BD的长度。 解：∵□ABCD的对角线AC与BD相交于点O, ∴AO=OC，DO=OB(平行四边形的对角线互相平分)。 ∵E为 AB的中点， ∴OE是△ADB的中位线(三角形的中位线的定义)。 ∴AD=2OE=2(三角形中位线定理)。 ∵AC=6，AO=OC， ∴AO=AC=×6=3。 在 Rt△ADO中，由勾股定理可得DO==. ∴BD=2DO=2。 ◆8.知识归纳 三角形中位线定理的应用 （1）可以证明两条直线平行； （2）可以证明线段的相等或倍分； （3）可以求线段的长度或角的度数（平移角）. ◆9.练一练 如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，OE=5 cm，则AD的长为_____cm. 解：10 ●探究二：三角形的中位线定理的实际应用 ◆1.探究交流 如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗? 解：其中的道理是:连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线, ∴AB=2MN. 利用三角形中位线定理可以测量两点之间不能到达的距离. ◆2.典例分析 例：如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点. (1)求证:四边形DECF是平行四边形; (2)若边AC=BC=8，求四边形DECF的周长. 证明: (1)∵D,F分别是边AB,AC的中点, ∴DF∥BC. 同理DE∥AC. ∴四边形DECF是平行四边形. (2)∵AC=BC=8,E,F分别是边BC,AC的中点, ∴EC=BC=4,FC=AC=4. ∵四边形DECF是平行四边形, ∴平行四边形DECF的周长=2(EC+FC)=2×(4+4)=16. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.操作猜想并证明三角形中位线的性质； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，总结解题方法. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(　　) A.1 B.2 C. D.1+ 解：A 2.如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后找出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.下列有关他这次探究活动的描述错误的是(　　) A.AB=24 m B.MN∥AB C.=2 D.△ABC的周长是△CMN周长的2倍 解：C 3.如图所示,在△ABC中,点D在BC上,BD=AB,BM⊥AD于点M,N是AC的中点,连接MN.若AB=5,BC=9,则MN=____.  解：2 4.如图所示，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与点B,C重合),AD与EF交于点O,连接DE,DF,要使四边形AEDF为平行四边形,需要添加条件:______(只添加一个条件即可).  解:BD=CD(答案不唯一) 5. 已知D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接DG,GF,FE,ED.如图所示,当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形. 证明:∵D,E分别是边AB,AC的中点, ∴DE∥BC且DE=BC. 同理,GF∥BC且GF=BC, ∴DE∥GF且DE=GF, ∴四边形DGFE是平行四边形. 6.如图所示,△ABC的中线BD,CE相交于点O,F,G分别是BO,CO的中点. 求证:EF∥DG,且EF=DG. 证明: 如图, 连接DE,FG. ∵BD,CE是△ABC的中线, ∴E,D分别是AB,AC的中点, 则DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC,DE=BC. 同理FG∥BC,FG=BC, ∴DE∥FG,DE=FG, ∴四边形DEFG是平行四边形, ∴EF∥DG,且EF=DG. 7.我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,依次连接各边中点得到中点四边形EFGH. (1)这个中点四边形EFGH的形状是______; (2)请证明你的结论. 解：(1) (2)证明:连接AC. ∵E是AB的中点,F是BC的中点, ∴EF∥AC,EF=AC, 同理HG∥AC,HG=AC. ∴EF∥HG,EF=HG, ∴四边形EFGH是平行四边形. 题型一：利用三角形中位线定理求线段长 1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【分析】利用三角形中位线定理求得FGDE，DEBC，于是得到结论． 【解答】解：如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点， ∴DE＝2FG＝4cm， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝8cm， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键． 2.如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，，若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先证明△ABD是等腰直角三角形，得到，再由勾股定理解得，最后由中位线的性质解答即可． 【解答】解：∵∠B＝45°，AD⊥BC， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴， ∵∠C＝60°， ∴∠DAC＝30°， ∴， ∴， 即， ∴， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题关键． 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D和点E分别是AB，AC的中点，点F和点G分别在BA和CA的延长线上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，则GD的长为　 　． 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：∵点D和点E分别是AB，AC的中点，BC＝10， ∴DEBC＝5， 在Rt△ADE中，AD2+AE2＝DE2＝25， 同理可得，AF2+AE2＝EF2＝16，AG2+AF2＝GF2＝36， ∴AD2+AG2＝25+36﹣16＝45， ∴GD3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 4.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，求DE的长． 【分析】先证明DE为△ABC的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出BC＝EF＝3，根据中位线定理即可求解． 【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∴EF∥BC， ∵CF∥BE， ∴四边形BCFE为平行四边形， ∴BC＝EF＝3， ∴DEBC． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定理是解题关键． 题型二：利用三角形中位线定理求角度 5.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若∠CFE＝55°，则∠ADE的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥AB，DF∥AC，再根据平行线的性质求出∠ADE． 【解答】解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， ∴EF∥AB，DF∥AC， ∴∠B＝∠CFE＝55°， ∵DF∥AC， ∴∠ADE＝∠B＝55°， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键． 6.如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，若∠DFB＝32°，∠A＝75°，则∠AED＝　 　． 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠FBC＝∠DFB＝32°，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠FBC＝∠DFB＝32°， ∵BF是∠ABC的平分线， ∴∠DBF＝∠FBC＝32°， ∴∠ADE＝∠DBF+∠DFB＝64°， ∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣75°﹣64°＝41°， 故答案为：41°． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的外角性质、角平分线的定义、平行线的性质，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键． 7.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为 　 　． 【分析】根据三角形中位线定理得到EGCD，FGAB，进而证明EG＝FG，根据等腰三角形的性质得到∠GEF＝∠GFE，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点， ∴EG是△ACD的中位线，FG是△ACB的中位线， ∴EGCD，FGAB， ∵AB＝CD， ∴EG＝FG， ∴∠GEF＝∠GFE， ∵∠EGF＝144°， ∴∠GEF（180°﹣144°）＝18°， 故答案为：18°． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 8.如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求∠APQ的度数． 【分析】取BC的中点H，连接MH，NH，根据三角形中位线定理得到MH∥EC，MHEC．NH∥BD，NHBD，根据平行线的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：取BC的中点H，连接MH，NH， ∵M，H为BE，BC的中点， ∴MH∥EC，MHEC． ∵N，H为CD，BC的中点， ∴NH∥BD，NHBD． ∵BD＝CE， ∴MH＝NH． ∴∠HMN＝∠HNM， ∵MH∥EC， ∴∠HMN＝∠PQA， 同理，∠HNM＝∠QPA， ∴∠APQ＝∠AQP（180°﹣∠A）＝70°． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 题型三：利用三角形中位线定理证明线段关系 9.如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点．求证：BD＝2EF． 【分析】根据等腰三角形的性质得到CE＝ED，根据三角形中位线定理证明结论． 【解答】证明：∵AD＝AC，AE⊥CD， ∴CE＝ED， ∵F是BC的中点， ∴EF是△CDB的中位线， ∴BD＝2EF． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，连接BE、DE，∠ADE＝∠AED，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．求证：FG＝FH． 【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，根据线段的和差得到BD＝CE，根据三角形的中位线定理即可得到结论． 【解答】证明：∵∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∵AB＝AC， ∴AB﹣AD＝AC﹣AE， 即BD＝CE， ∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点， ∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线， ∴FGBD，FHCE， ∴FG＝FH． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 11.如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG． 【分析】连接AD，根据三角形中位线定理证明即可． 【解答】证明：连接AD， ∵E、H分别为AB、BD的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EHAD， 同理可得：FGAD， ∴EH＝FG． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 12.已知：如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF． 【分析】先证明△ABF≌△ECF得BF＝FC，再利用三角形中位线定理即可解决问题． 【解答】证明：∵CE∥AB， ∴∠E＝∠BAF，∠FCE＝∠FBA， 又∵CE＝CD＝AB， ∴△FCE≌△FBA（ASA）， ∴BF＝FC， ∴F是BC的中点， ∵O是AC的中点， ∴OF是△CAB的中位线， ∴AB＝2OF． 【点评】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，出现中点条件想到三角形中位线定理． 题型四：利用三角形中位线定理证明线段角关系 13.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF． 【分析】连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，根据三角形中位线定理得到PFAD，PF∥AD，EPBC，EP∥BC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论． 【解答】证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP， ∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点， ∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线， ∴PFAD，PF∥AD，EPBC，EP∥BC， ∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP， ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴∠PEF＝∠PFE， ∴∠AHF＝∠BGF． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 14.如图，四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，N、M分别是AB、CD的中点，求证：∠PMN＝∠PNM． 【分析】先说明PN是△DBC的中位线得到PNBC，同理可得PMAD，进而得到PN＝PM，最后根据等腰三角形的性质即可证明结论． 【解答】解：∵P是对角线BD的中点，N分别是AB的中点， ∴PN是△DBC的中位线， ∴PNBC， 同理：PMAD， ∵AD＝BC， ∴PN＝PM， ∴∠PMN＝∠PNM． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理成为解答本题的关键． 15.如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，F是AC的中点， （1）求证：EF∥BC； （2）猜想：∠B、∠DAE、∠EAC三个角之间的关系，并加以证明． 【分析】（1）延长AE交BC于H，证明△CAE≌△CHE，得到E是AH的中点，根据三角形中位线定理证明； （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等和三角形外角定理推知：∠EAC＝∠B+∠DAE． 【解答】证明：（1）延长AE交BC于H， 在△CAE和△CHE中， ， ∴△CAE≌△CHE（ASA）， ∴E是AH的中点，又F是AC的中点， ∴EF是△AHC的中位线， ∴EF∥BC； （2）解：∠EAC＝∠B+∠DAE．理由如下： 由（1）知△CAE≌△CHE， ∴∠EAC＝∠EHC． 又∠AEH＝∠B+∠BAH， ∴∠EAC＝∠B+∠DAE． 【点评】本题考查的是三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 16.一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：∠OMN＝∠ONM． 【分析】取AD的中点Q，连接EQ、FQ，根据三角形中位线定理得到EQ∥AC，EQBD，FQAC，FQ∥AC，根据平行线的性质证明即可． 【解答】证明：取AD的中点Q，连接EQ、FQ， ∵E，F、Q分别为AB，CD、AD的中点， ∴EQ∥BD，EQBD，FQAC，FQ∥AC， ∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM， ∵AC＝BD， ∴QE＝QF， ∴∠QEF＝∠QFE， ∴∠OMN＝∠ONM． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 题型五：利用三角形中位线定理解决实际问题 17．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为（　　） A．18m B．24m C．36m D．54m 【分析】依据题意，由D，E分别是边AC，BC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得AB的值即可 【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线． ∴根据三角形的中位线定理，得：AB＝2DE＝36m． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形中位线定理的运用，解题时要能熟练掌握并能灵活运用三角形中位线定理是关键． 18．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若EF＝35cm，则点B距离地面的高度为（　　） A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm 【分析】根据三角形中位线定理即可解决问题． 【解答】解：∵E、F分别为AB、AC的中点，EF＝35cm， ∴BC＝2EF＝70（cm）， ∴点B距离地面的高度为70cm． 故选：B． 【点评】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 19．如图，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形的花坛．已知AB＝12m，BC＝16m，AC＝14m，且四边形BCFE的顶点E，F分别是边AB，AC的中点，则四边形花坛BCFE的周长是（　　） A．20m B．30m C．37m D．42m 【分析】根据三角形中位线定理求出EF，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，AB＝12m，BC＝16m，AC＝14m， ∴EF是△ABC的中位线，BEAB＝6m，CFAC＝7m， ∴EFBC＝8m， ∴四边形花坛BCFE的周长＝BC+CF+EF+BE＝16+7+8+6＝37（m）， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 20．如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． 【分析】 过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD，则可得四边形AMCD是平行四边形，从而AB=AM=DC；可证△ABC≌△DCB，则可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分别为中点，由三角形中位线定理，可得四边形EFGH是平行四边形，则可求得篱笆的总长度． 【解答】过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD 则∠DCB=∠AMB ∵∠DCB=∠ABC ∴∠AMB=∠ABC ∴AM=AB    ∵AD∥BC，AM∥DC   ∴四边形AMCD是平行四边形 ∴AM=DC ∴AB=DC 在△ABC与△DCB中 ∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴BD=AC=10m ∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点 ∴GH=EF=，EH=FG= ∴四边形EFGH是平行四边形 则篱笆的总长度为2(GH+EH)=20(m) 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点较多，掌握它们是关键． ▲1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 用符号语言表示: ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC,DE=BC. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3三角形的中位线 导学案 1.理解三角形中位线的概念，能证明三角形中位线定理。 2.掌握三角形中位线定理，能灵活运用该定理解题。 学习重点：三角形中位线定理及其证明。 学习难点：运用定理解决灵活变式问题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 知识回顾： 平行四边形的性质与判定 性质 判定 边 两组对边分别 ， 两组对边分别 . 两组对边分别 的四边形. 两组对边分别 的四边形. 一组对边 的四边形. 角 对角 ，邻角 . （拓展）两组对角分别 的四边形. 对角线 对角线互相 . 对角线互相 的四边形 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等. 情景引入 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，你能帮他设计合理的解决方案吗？ 新知自研：自研课本第171--173页的内容． 【学法指导】 自研课本P171-173页例题上面的内容，思考： ●探究一：三角形的中位线 ◆1.思考交流 (1)你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? (2)连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形? ◆2.知识归纳 三角形的中位线的概念：连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位线. 两层含义: ① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的 ； ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 . ◆3.思考交流 ①你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 小明的做法：将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF. ②三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系?能证明你的猜想吗? 解：DE和边BC的关系 位置关系： . 数量关系：DE是BC的 . 能说出理由吗? ◆4.新知探究 已知：如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线. 求证：DE∥BC,DE=BC.（提示：延长DE至F,使EF=DE,连接CF.） ◆5.知识归纳 三角形中位线定理：三角形的中位线 第三边，并且等于第三边的 . 用符号语言表示: ∵DE是△ABC的中位线， ∴ 利用三角形中位线定理就可以将任意一个三角形分成四个 的三角形. ◆6.练一练 如图所示，已知DE是△ABC的中位线，若AC=8,则DE的长为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 ◆7.新知探究 例： 如图所示，□ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，E为 AB的中点，∠ADB=90°AC=6，OE=1。求AD和 BD的长度。 ◆8.知识归纳 三角形中位线定理的应用 （1）可以证明两条直线平行； （2）可以证明线段的相等或倍分； （3）可以求线段的长度或角的度数（平移角）. ◆9.练一练 如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，OE=5 cm，则AD的长为_____cm. ●探究二：三角形的中位线定理的实际应用 ◆1.探究交流 如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗? 利用三角形中位线定理可以测量两点之间不能到达的距离. ◆2.典例分析 例：如图所示，在△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点. (1)求证:四边形DECF是平行四边形; (2)若边AC=BC=8，求四边形DECF的周长. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.操作猜想并证明三角形中位线的性质； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，总结解题方法. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(　　) A.1 B.2 C. D.1+ 2.如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后找出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.下列有关他这次探究活动的描述错误的是(　　) A.AB=24 m B.MN∥AB C.=2 D.△ABC的周长是△CMN周长的2倍 3.如图所示,在△ABC中,点D在BC上,BD=AB,BM⊥AD于点M,N是AC的中点,连接MN.若AB=5,BC=9,则MN=____.  4.如图所示，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与点B,C重合),AD与EF交于点O,连接DE,DF,要使四边形AEDF为平行四边形,需要添加条件:______(只添加一个条件即可).  5. 已知D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接DG,GF,FE,ED.如图所示,当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形. 6.如图所示,△ABC的中线BD,CE相交于点O,F,G分别是BO,CO的中点. 求证:EF∥DG,且EF=DG. 7.我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,依次连接各边中点得到中点四边形EFGH. (1)这个中点四边形EFGH的形状是______; (2)请证明你的结论. 题型一：利用三角形中位线定理求线段长 1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 2.如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，，若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D和点E分别是AB，AC的中点，点F和点G分别在BA和CA的延长线上，若BC＝10，GF＝6，EF＝4，则GD的长为　 　． 4.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，求DE的长． 题型二：利用三角形中位线定理求角度 5.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若∠CFE＝55°，则∠ADE的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 6.如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的平分线交DE于点F，若∠DFB＝32°，∠A＝75°，则∠AED＝　 　． 7.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，AB＝CD，∠EGF＝144°，则∠GEF的度数为 　 　． 8.如图所示，在△ABC中，∠A＝40°，D，E分别在AB，AC上，BD＝CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求∠APQ的度数． 题型三：利用三角形中位线定理证明线段关系 9.如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点．求证：BD＝2EF． 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，连接BE、DE，∠ADE＝∠AED，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．求证：FG＝FH． 11.如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点，求证：EH＝FG． 12.已知：如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB＝2OF． 题型四：利用三角形中位线定理证明线段角关系 13.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF． 14.如图，四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，N、M分别是AB、CD的中点，求证：∠PMN＝∠PNM． 15.如图，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于E，F是AC的中点， （1）求证：EF∥BC； （2）猜想：∠B、∠DAE、∠EAC三个角之间的关系，并加以证明． 16.一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：∠OMN＝∠ONM． 题型五：利用三角形中位线定理解决实际问题 17．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为（　　） A．18m B．24m C．36m D．54m 18．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若EF＝35cm，则点B距离地面的高度为（　　） A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm 19．如图，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形的花坛．已知AB＝12m，BC＝16m，AC＝14m，且四边形BCFE的顶点E，F分别是边AB，AC的中点，则四边形花坛BCFE的周长是（　　） A．20m B．30m C．37m D．42m 20．如图，某花木场有一块如四边形形状的空地，其中，其各边中点分别是E、F、G、H，测得对角线，现想利用篱笆围成四边形场地，则需篱笆的总长度是（    ） A． B． C． D． ▲1、三角形中位线定理：三角形的中位线 第三边，并且等于第三边的 . 用符号语言表示: ∵DE是△ABC的中位线， ∴ . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $