6.1平行四边形的性质（第2课时 平行四边形对角线的性质）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学导学案聚焦平行四边形对角线性质及等腰梯形特征，通过知识回顾旧知（平行四边形定义、对边对角性质），以问题情境引导探究对角线特征，搭建新旧知识衔接的学习支架。 特色在于自主学习与合作探究结合，通过证明推理、例题导析培养学生推理意识，分层练习（基础与综合题型）提升几何直观与应用意识，规范几何语言表达，助力学生用数学思维解决问题。

6.1平行四边形的性质 导学案 第2课时 平行四边形边对角线的性质 1.掌握平行四边形对角线的性质。 2.认识梯形、等腰梯形，理解等腰梯形的对称性及角的性质。 3.综合运用平行四边形的性质，进行简单推理与计算 学习重点：平行四边形对角线互相平分、等腰梯形特征的理解与应用。 学习难点：将中心对称与等腰梯形的性质结合在几何推理与计算中的综合运用。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 1.两组对边分别平行的四边形我们称为平行四边形. 如图，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”. 2.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线. 3.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。 4.平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等 情景引入 在上一课“思考·交流”中，我们还能发现平行四边形的哪些性质呢？ 思考：平行四边形的两条对角线有什么特征？ 平行四边形的两条对角线互相平分. 你能尝试证明这一结论吗？ 新知自研：自研课本第155--156页的内容． 【学法指导】 自研课本P155-156页例题上面的内容，思考： ●探究一：平行四边形的对角线的性质 ◆1.尝试交流 证明：平行四边形的对角线互相平分. 已知：如图：▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD(平行四边形的对边相等). AB∥CD(平行四边形的定义). ∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO. ∴△ABO≌△CDO(ASA). ∴OA=OC,OB=OD. 还有其他证法吗？ 还可以利用中心对称图形的性质证明. 证明:∵▱ABCD是中心对称图形， O是对称中心，A与C，B与D是对称点， ∴OA=OC，OB=OD (对应点连接的线段被对称中心平分). ◆2.新知归纳 平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分. 几何语言： 在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD. ◆3.练一练 在▱ABCD中，AC与BD交于点O，OA=12cm，OB=19cm，则AC=_____cm， BD=_____cm. 解：24,38 ◆4.新知探究 例：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线与AD，BC分别相交于点E、F. 求证：OE=OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ DO=BO，AD∥BC. ∴ ∠ODE=∠OBF. ∵ ∠DOE=∠BOF， ∴ △DOE≌△BOF（ASA）. ∴ OE=OF. ●探究二：　梯形 ◆1. 尝试思考 思考：还记得小学学过的梯形的“样子”吗？画一画，将它与平行四边形比较，并试着给出梯形的定义. 总结：梯形的相关定义： 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。如图所示，平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰。 ◆2.尝试交流 等腰梯形是轴对称图形吗?将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现?与同伴进行交流。 ◆3.知识归纳 ①两腰相等的梯形称为等腰梯形。 几何语言： 如图所示，在梯形ABCD中，若AD∥BC， AD≠BC，AB=CD，则梯形ABCD为等腰梯形. ②等腰梯形的性质 1.对称性：等腰梯形是轴对称图形. 2.角的性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等. 几何语言： 如图所示，在等腰梯形ABCD中， AD∥BC，∠A=∠D，∠B=∠C. ◆4.练一练 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB ∥CD，AD=BC=3cm，∠A=60°，BD平分∠ABC，则梯形的周长为( ) cm. A. 12 B.15 C.18 D. 21 解：B 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 如图所示，在□ABCD中,已知对角线 AC，BD相交于点 O. (1)若∠ABC=50°，求∠ADC和∠BCD的度数; (2)若BC=7cm，BD=10cm，AC=6cm,求△AOD的周长。 解:(1)∵四边形 ABCD是平行四边形,∠ABC=50°， ∴∠ADC=∠ABC=50°,AD∥BC, ∴∠ADC+ ∠BCD = 180°， ∴∠BCD=180-∠ADC=130°. (2)∵四边形 ABCD是平行四边形,BD=10cm,AC=6cm,BC= 7cm, ∴OD=OB=BD=5cm, OA=OC=AC=3cm,AD=BC=7cm, ∴△AOD的周长为 OA+OD+AD=3+5+7=15(cm). 例2如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B的度数。 解:如图所示,过点A作AE//DC交BC于点E. ∵AD // BC, ∴四边形 AECD 是平行四边形， ∴EC=AD=3,DC=AE. ∴BE=BC-CE=7-3=4. ∵四边形 ABCD是等腰梯形， ∴CD=AB =4. ∴AE=AB=BE=4. ∴△ABE是等边三角形. ∴∠B=60°. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨平行四边形对角线的性质； B.探讨等腰梯形的性质并会证明； C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，拓展菱形面积的公式. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图所示，在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是(　　) A.BO=DO B.OB=BD C.O是AC的中点 D.AC=BD 解:D 2.如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,下列结论错误的是(　　) A.=4 B.OA=OC,OB=OD C.AD=BC,AB∥DC D.▱ABCD是轴对称图形 解:D 3.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 解:B 4.如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠BAC=90°,E为AB的中点,若AE=3,AO=4,则AD的长为(　　) A.10 B.12 C.10 D.12 解:A 5.如图所示,在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC=6,则线段AO的长等于_____.  解: 6.如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD⊥AB.若AB=3，BC=5，则AC的长是_____ .  解:2 7. 如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO的周长为23 cm，AD比CD长2 cm，AC+BD=34 cm.求▱ABCD的周长. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,BC=AD,AO=CO,BO=DO. ∵AC+BD=34 cm, ∴2(AO+BO)=34 cm,即AO+BO=17 cm. ∵△ABO的周长为23 cm, ∴AB=23-17=6(cm), ∴CD=6 cm. ∵AD比CD长2 cm, ∴AD=8 cm,BC=8 cm, ∴▱ABCD的周长为2×(6+8)=28(cm).　　　　　 8.如图所示，在梯形ABCD中，AD// BC，∠B=80°，∠C=50°，AD=2，BC=5，求腰 AB的长。 解:如图所示，过点A作AM//DC交BC于点M. ∵AD// BC,AD=2, ∴四边形 AMCD 是平行四边形. ∴CM= AD=2. ∵BC=5, ∴BM=BC-CM=3. ∵DC//AM, ∴∠1=∠C=50°, ∴∠2=180-∠B-∠1=50°, ∴∠1=∠2, ∴AB=BM=3. 9.如图所示，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF. (1)根据题意，补全图形; (2)求证:BE=DF. 解: (1)如图所示; (2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,OA=OC. ∵E,F分别是OA,OC的中点, ∴OE=OA,OF=OC, ∴OE=OF. 在△BEO与△DFO中, ∵OE=OF,∠BOE=∠DOF,OB=OD, ∴△BEO≌△DFO(SAS), ∴BE=DF. 题型一：利用平行四边形对角的性质计算 1．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长． 【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝COAC＝3， ∵AB⊥AC，AB＝4， ∴BO5， ∴BD＝2BO＝10， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单． 2．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（　　） A．24 B．26 C．28 D．30 【分析】先利用ASA证明△AOE≌△COF，从而得OE＝OF，AE＝CF，再求得平行四边形周长的一半为多少，然后利用关系式AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF，AE＝CF， ∵平行四边形ABCD的周长为36， ∴AB+BC36＝18， ∴四边形ABFE的周长为： AB+AE+BF+EF＝AB+BF+CF+2OE＝AB+BC+2×3＝18+6＝24． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（　　） 【分析】连接EC，根据已知条件证明△EDC是直角三角形，进而可得△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，连接EC， ∵平行四边形ABCD中，OE⊥AC ∴EO垂直平分AC， ∵AE＝4，DE＝3，AB＝5， ∴EC＝AE＝4，CD＝AB＝5， ∵EC2+DE2＝32+42＝25，CD2＝25， ∴EC2+DE2＝CD2， ∴△EDC是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明△EDC是直角三角形是解题的关键． 4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若DO＝1.5cm，AB＝5cm，BC＝4cm，求▱ABCD的面积． 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得BD＝2DO＝2×1.5＝3（cm），CD＝AB＝5cm，又由BC＝4cm，可得△BCD是直角三角形，继而求得▱ABCD的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BD＝2DO＝2×1.5＝3（cm），CD＝AB＝5cm， ∵BC＝4cm， ∴BC2+BD2＝CD2， ∴∠CBD＝90°， 即DB⊥BC， ∴S▱ABCD＝BC•BD＝4×3＝12（cm2）． 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 题型二：利用平行四边形对角的性质证明 5．如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF． 【分析】证△ADE≌△CBF（SAS），即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB， ∴∠ADE＝∠CBF， ∵点E、F分别是OB、OD上的中点， ∵BEOB，DFOD， ∴BE＝DF， ∴DE＝BF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴∠DAE＝∠BCF． 【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 6．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF． 【分析】证△DOE≌△BOF（SAS），即可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA+AE＝OC+CF， 即OE＝OF， 在△DOE和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF（SAS）， ∴DE＝BF． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△DOE≌△BOF是解题的关键． 7．如图，四边形ABCD是平行四边形，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，AO＝CO．求证：BF＝DE． 【分析】根据平行四边形的性质，可以得到AD∥BC，AD＝BC，然后即可得到∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，再根据AAS可以证明△AOE和△COF全等，从而可以得到AE＝CF，然后即可得到结论成立． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF， 又∵AD＝BC， ∴BC﹣CF＝AD﹣AE， ∴BF＝DE． 【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求结论需要的条件． 8．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为BO，OD的中点，连结AE，CF． （1）求证：AE＝CF． （2）若∠BAC＝90°，AB＝3，AE，求▱ABCD的周长． 【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再由点E，F分别为OB，OD的中点，推导出OE＝OF，即可证明△AOE≌△COF，AE＝CF； （2）由∠BAC＝90°，点E是OB的中点，求得OB＝2AE，由勾股定理求得OA2，则AC＝2OA＝4，所以BC5，即可求得▱ABCD的周长为16． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴OEOB，OFOD， ∵OE＝OF， 在△AOE和△COF， ， ∴△AOE≌△COF（SAS）， ∴AE＝CF． （2）解：∵∠BAC＝90°，点E是OB的中点，AB＝3，AE， ∴OB＝2AE＝2， ∴OA2， ∴AC＝2OA＝2×2＝4， ∴BC5， ∴2AB+2BC＝2×3+2×5＝16， ∴▱ABCD的周长为16． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的周长等知识，证明△AOE≌△COF是解题的关键． 题型三：梯形的定义 9．两组对边中只有一组平行的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【分析】本题可根据各类四边形对边平行的数量特征，逐一分析选项，从而选出符合“只有一组对边平行”条件的四边形． 【解答】解：平行四边形：两组对边分别平行． 矩形：两组对边分别平行（矩形是特殊的平行四边形）． 梯形：只有一组对边平行．（符合题意） 正方形：两组对边分别平行（正方形是特殊的平行四边形）． 10．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【解答】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 11．如图，梯形中共有（）对面积相等的三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本题考查梯形，三角形面积．熟练掌握梯形性质，三角形面积公式，“同底等高的三角形面积相等”，是解决问题的关键． 根据三角形面积相等筛选同底等高的三角形，两个面积相等的三角形减去同一个三角形． 【解答】解：如下图： 与面积相等， 与面积相等； 理由是同底等高； 最后一对面积相等的三角形是与， 理由：∵与面积相等，而它们都包含， ∴当它们减去一个相同面积的三角形时，面积仍然相等； ∴面积相等的三角形有3对． 故选：B． 12．下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【分析】本题考查了梯形及等腰梯形、直角梯形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握其性质及判定方法．根据梯形、等腰梯形、直角梯形的判定定理，逐一分析各选项的正误即可． 【解答】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形， ∴对各选项分析如下： A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符； B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符； C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符； D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意； 故选：D． 题型四：等腰梯形的性质定理 13．如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，作，，证明四边形是矩形，从而有，，根据等腰梯形的性质得，证明，根据所对直角边是斜边的一半得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】如图，作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴等腰梯形的周长为， 故选：． 14．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】此题考查等腰梯形的性质、面积计算和直角三角形的性质等知识点的理解及运用．如图，根据已知可求得，，及，的长，再根据已知求得，的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积． 【解答】解：如图，由题意易得，，   ，， 根据勾股定理可得， 根据三角形的面积可求得上的高为， 又∵， ， ， ， 则此梯形的面积等于． 故选：A． 15．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为_______． 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 先利用得出，再由，求出，即可求出梯形的面积． 【解答】解：， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16．在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为（    ）平方厘米 A． B． C． D． 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作，得到四边形是矩形，推出证明，得到，求出厘米，，继而得到厘米，求出厘米， 得到（平方厘米）， （平方厘米） （平方厘米），求出（平方厘米），计算即可得到答案． 【解答】解：如图，作 等腰梯形中，， ， ，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ，（厘米） ， ， ， （厘米）， （平方厘米）， （平方厘米） （平方厘米）， ，， ， 厘米， 厘米，厘米 （平方厘米） （平方厘米）， 故选：A． ▲1、平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分. ▲２、梯形的相关定义： 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。如图所示，平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰。 ①两腰相等的梯形称为等腰梯形。 几何语言： 如图所示，在梯形ABCD中，若AD∥BC， AD≠BC，AB=CD，则梯形ABCD为等腰梯形. ▲3、等腰梯形的性质 1.对称性：等腰梯形是轴对称图形. 2.角的性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等. 几何语言： 如图所示，在等腰梯形ABCD中， AD∥BC，∠A=∠D，∠B=∠C. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1平行四边形的性质 导学案 第2课时 平行四边形边对角线的性质 1.掌握平行四边形对角线的性质。 2.认识梯形、等腰梯形，理解等腰梯形的对称性及角的性质。 3.综合运用平行四边形的性质，进行简单推理与计算 学习重点：平行四边形对角线互相平分、等腰梯形特征的理解与应用。 学习难点：将中心对称与等腰梯形的性质结合在几何推理与计算中的综合运用。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 1.两组对边分别 的四边形我们称为平行四边形. 如图，平行四边形ABCD记作“ ”. 2.平行四边形 的两个顶点连成的线段叫它的对角线. 3.平行四边形是 图形，两条对角线的交点是它的 。 4.平行四边形的性质定理：平行四边形的 相等；平行四边形的 相等 情景引入 在上一课“思考·交流”中，我们还能发现平行四边形的哪些性质呢？ 思考：平行四边形的两条对角线有什么特征？ 你能尝试证明这一结论吗？ 新知自研：自研课本第155--156页的内容． 【学法指导】 自研课本P155-156页例题上面的内容，思考： ●探究一：平行四边形的对角线的性质 ◆1.尝试交流 证明：平行四边形的对角线互相平分. 已知：如图：▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 还有其他证法吗？ 还可以利用中心对称图形的性质证明. ◆2.新知归纳 平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分. 几何语言： 在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA= ，OB= . ◆3.练一练 在▱ABCD中，AC与BD交于点O，OA=12cm，OB=19cm，则AC=_____cm， BD=_____cm. ◆4.新知探究 例：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线与AD，BC分别相交于点E、F. 求证：OE=OF. ●探究二：　梯形 ◆1. 尝试思考 思考：还记得小学学过的梯形的“样子”吗？画一画，将它与平行四边形比较，并试着给出梯形的定义. 总结：梯形的相关定义： 一组对边平行、另一组对边 的四边形叫作梯形。如图所示， 的两边称为梯形的底，较短的底通常称为 ，较长的底通常称为 。不平行的两边称为梯形的 。 ◆2.尝试交流 等腰梯形是轴对称图形吗?将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现?与同伴进行交流。 ◆3.知识归纳 ①两腰 的梯形称为等腰梯形。 几何语言： 如图所示，在梯形ABCD中，若AD∥BC， AD≠BC， ，则梯形ABCD为等腰梯形. ②等腰梯形的性质 1.对称性：等腰梯形是 图形. 2.角的性质：等腰梯形在同一底上的两个角 . 几何语言： 如图所示，在等腰梯形ABCD中， AD∥BC，∠A= ，∠B= . ◆4.练一练 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB ∥CD，AD=BC=3cm，∠A=60°，BD平分∠ABC，则梯形的周长为( ) cm. A. 12 B.15 C.18 D. 21 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 如图所示，在□ABCD中,已知对角线 AC，BD相交于点 O. (1)若∠ABC=50°，求∠ADC和∠BCD的度数; (2)若BC=7cm，BD=10cm，AC=6cm,求△AOD的周长。 例2如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，AB=4，BC=7，求∠B的度数。 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨平行四边形对角线的性质； B.探讨等腰梯形的性质并会证明； C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，拓展菱形面积的公式. D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图所示，在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是(　　) A.BO=DO B.OB=BD C.O是AC的中点 D.AC=BD 2.如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,下列结论错误的是(　　) A.=4 B.OA=OC,OB=OD C.AD=BC,AB∥DC D.▱ABCD是轴对称图形 3.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（ ） A. 10 B. 14 C. 20 D. 22 4.如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠BAC=90°,E为AB的中点,若AE=3,AO=4,则AD的长为(　　) A.10 B.12 C.10 D.12 5.如图所示,在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC=6,则线段AO的长等于_____.  6.如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD⊥AB.若AB=3，BC=5，则AC的长是_____ .  7. 如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO的周长为23 cm，AD比CD长2 cm，AC+BD=34 cm.求▱ABCD的周长. 8.如图所示，在梯形ABCD中，AD// BC，∠B=80°，∠C=50°，AD=2，BC=5，求腰 AB的长。 9.如图所示，▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF. (1)根据题意，补全图形; (2)求证:BE=DF. 题型一：利用平行四边形对角的性质计算 1．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 2．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若平行四边形ABCD的周长为36，OE＝3，则四边形ABFE的周长为（　　） A．24 B．26 C．28 D．30 3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（　　） 4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若DO＝1.5cm，AB＝5cm，BC＝4cm，求▱ABCD的面积． 题型二：利用平行四边形对角的性质证明 5．如图，▱ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OB、OD上的中点．连接AE、CF．求证：∠DAE＝∠BCF． 6．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF． 7．如图，四边形ABCD是平行四边形，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，AO＝CO．求证：BF＝DE． 8．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为BO，OD的中点，连结AE，CF． （1）求证：AE＝CF． （2）若∠BAC＝90°，AB＝3，AE，求▱ABCD的周长． 题型三：梯形的定义 9．两组对边中只有一组平行的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 10．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 11．如图，梯形中共有（）对面积相等的三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 12．下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 题型四：等腰梯形的性质定理 13．如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 14．已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 15．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为_______． 16．在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为（    ）平方厘米 A． B． C． D． ▲1、平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分. ▲２、梯形的相关定义： 一组对边平行、另一组对边 的四边形叫作梯形。如图所示， 的两边称为梯形的底，较短的底通常称为 ，较长的底通常称为 。不平行的两边称为梯形的 。 ①两腰 的梯形称为等腰梯形。 几何语言： 如图所示，在梯形ABCD中，若AD∥BC， AD≠BC， ，则梯形ABCD为等腰梯形. ▲3、等腰梯形的性质 1.对称性：等腰梯形是 图形. 2.角的性质：等腰梯形在同一底上的两个角 . 几何语言： 如图所示，在等腰梯形ABCD中， AD∥BC，∠A= ，∠B= . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $