6.2平行四边形的判定（第1课时 利用四边形边的关系判定平行四边形）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学导学案聚焦“平行四边形的判定（第1课时）”，核心内容为利用边的关系判定平行四边形，包括两组对边分别相等、一组对边平行且相等的判定定理。课堂导入通过回顾平行四边形定义，结合“画以AB、AD为邻边的平行四边形”的情景问题，搭建从定义到判定的认知支架，引导学生自然过渡到新知探究。 该资料亮点在于自主探究与合作学习深度融合，通过“问题思考—动手操作—证明归纳”的探究过程，培养学生抽象能力和推理意识。题型分类练习（三组不同判定方法）及规范几何语言表达，助力学生用数学语言精准描述判定过程，提升应用意识，同时小组群学与等级评定设计促进主动参与，发展创新意识。

6.2平行四边形的判定 导学案 第1课时 利用四边形边的关系判定平行四边形 1. 平行四边形判定方法的探究。 2.平行四边形判定方法的理解和灵活应用。 学习重点：引导学生探索并掌握平行四边形的多种判定定理。 学习难点：根据具体情境灵活选用判定方法解决平行四边形相关问题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 ◎知识回顾： ◎情景引入 问题：如图，要画出一个以线段AB，AD为邻边的，你有哪些想法？与同伴进行交流. 如图,根据平行四边形的定义,可以分别画出AB和AD的平行线,相交于点C. 则四边形ABCD就是所求作的▱ABCD. 还可以作两组对边分别相等，或一组对边平行且相等来完成. 新知自研：自研课本第159--161页的内容． 【学法指导】 自研课本P159-161页例题上面的内容，思考： ●探究一：平行四边形的判定定理1 ◆1.问题思考 根据定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.除此之外，你还能发现平行四边形的哪些判定条件？你是怎样想到的？与同伴进行交流. 我们发现：两组对边分别 的四边形是平行四边形. 请你尝试证明这一结论. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB= ，AD= . 求证：四边形ABCD是平行四边形. ◆2.知识归纳 平行四边形的判定定理1：两组对边分别 的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵AB=CD， ， ∴四边形ABCD是平行四边形. ◆3.练一练 如图所示，在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.若∠B=110°,则∠A的度数为(　　) A.110° B.80° C.70° D.90° ●探究二：:平行四边形的判定定理2 ◆1.尝试交流 取四根细木条，其中两根长度相等，另两根长度也相等，能否在平面内将这四根细木条首尾顺次相接，搭成一个平行四边形？说说你的理由，与同伴进行交流. 请你尝试证明这一结论. 证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. ◆2.知识归纳 平行四边形的判定定理2：一组对边平行且 的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵ ，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ◆3.练一练 小明是这样画平行四边形的:如图所示，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到的位置，这时四边形AB就是平行四边形.小明这样做的依据是______. 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的两点，且AF＝CE. 求证：四边形AECF为平行四边形. 例2 已知：如图，在中，点E,F分别为AD和CB的中点. 求证：四边形BFDE是平行四边形. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.操作猜想并证明四边形从边的角度判定平行四边形的方法； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，方法总结. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图所示，能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( ) A.AB=AD，CB=CD B.∠A=∠B，∠C=∠D C.AB//CD，∠B+∠C=180° D.AB=CD，AD=BC 2. 如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是( ) A.5 B.10 C.15 D.20 3.如图所示，在四边形ABCD中，AB=5，BC=8，当CD=____,AD=____时,四边形ABCD是平行四边形. 4.如图所示,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,CB,则四边形ABCD是______,理由是_______. 5.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,若加上AD//BC,则四边形ABCD为平行四边形，现在请你添加一个适当的条件:______使得四边形AECF为平行四边形.(图中不再添加点和线) 6.如图所示,将的边AD延长至点E,使DE=AD,连接CE,F是BC边的中点,连接FD. 求证:四边形CEDF是平行四边形.   7.如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，猜想BE与CF之间的数量关系，并加以证明. 题型一：利用两组对边平行的四边形是平行四边形 1.如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（　　） A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180° 3.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 　　． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC． 求证：四边形ABED是平行四边形． 5.已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，连结BE． 求证：四边形BEFC为平行四边形． 题型二：利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定 6.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC C．OB＝OD D．AC⊥BD 7.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 8.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形． 9.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABEO是平行四边形． 10.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形． 题型三：利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定 11.下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．2：3：4：5 B．3：3：4：4 C．4：3：3：4 D．4：3：4：3 12.如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． 求证：四边形DBEC是平行四边形． 13．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论． 14.如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD＝BC． （1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 15.如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形． ▲1、平行四边形的判定定理1：两组对边分别 的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵AB=CD， ， ∴四边形ABCD是平行四边形. ▲２、平行四边形的判定定理2：一组对边平行且 的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵ ，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2平行四边形的判定 导学案 第1课时 利用四边形边的关系判定平行四边形 1. 平行四边形判定方法的探究。 2.平行四边形判定方法的理解和灵活应用。 学习重点：引导学生探索并掌握平行四边形的多种判定定理。 学习难点：根据具体情境灵活选用判定方法解决平行四边形相关问题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 ◎知识回顾： ◎情景引入 问题：如图，要画出一个以线段AB，AD为邻边的，你有哪些想法？与同伴进行交流. 如图,根据平行四边形的定义,可以分别画出AB和AD的平行线,相交于点C. 则四边形ABCD就是所求作的▱ABCD. 还可以作两组对边分别相等，或一组对边平行且相等来完成. 新知自研：自研课本第159--161页的内容． 【学法指导】 自研课本P159-161页例题上面的内容，思考： ●探究一：平行四边形的判定定理1 ◆1.问题思考 根据定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形.除此之外，你还能发现平行四边形的哪些判定条件？你是怎样想到的？与同伴进行交流. 我们发现：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 请你尝试证明这一结论. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：如图，连接BD. 在△ABD和△CDB中, ∵AB=CD，AD=CB ，BD=DB， ∴△ABD≌△CDB(SSS). ∴ ∠1=∠2 , ∠ 3=∠4. ∴AB∥ CD , AD∥ CB ∴四边形ABCD是平行四边形. ◆2.知识归纳 平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ◆3.练一练 如图所示，在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD.若∠B=110°,则∠A的度数为(　　) A.110° B.80° C.70° D.90° 解:C ●探究二：:平行四边形的判定定理2 ◆1.尝试交流 取四根细木条，其中两根长度相等，另两根长度也相等，能否在平面内将这四根细木条首尾顺次相接，搭成一个平行四边形？说说你的理由，与同伴进行交流. 请你尝试证明这一结论. 证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接AC. ∵AB//CD, ∴∠1=∠2. 又∵AB=CD，AC=CA， ∴△ABC≌△CDA（SAS）. ∴BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）. ◆2.知识归纳 平行四边形的判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵AB=CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ◆3.练一练 小明是这样画平行四边形的:如图所示，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到的位置，这时四边形AB就是平行四边形.小明这样做的依据是______. 解：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的两点，且AF＝CE. 求证：四边形AECF为平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC,∠B=∠D， ∵AF＝CE， ∴AD-AF=BC-CE,即DF=BE， ∴△ABE≌△CDF(SAS), ∴AE=CF, 又∵AF=CE, ∴四边形AECF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 例2 已知：如图，在中，点E,F分别为AD和CB的中点. 求证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB， AD∥CB， ∵点E,F分别是AD和BC的中点， ∴DE＝AD，BF= CB， ∴ED=FB，ED∥FB， ∴四边形BFDE是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.操作猜想并证明四边形从边的角度判定平行四边形的方法； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，方法总结. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图所示，能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( ) A.AB=AD，CB=CD B.∠A=∠B，∠C=∠D C.AB//CD，∠B+∠C=180° D.AB=CD，AD=BC 解：D． 2. 如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是( ) A.5 B.10 C.15 D.20 解：B 3.如图所示，在四边形ABCD中，AB=5，BC=8，当CD=____,AD=____时,四边形ABCD是平行四边形. 解：5,8 4.如图所示,D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连接AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连接CD,CB,则四边形ABCD是______,理由是_______. 解：平行四边形,两组对边分别相等的四边形是平行四边形 5.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,若加上AD//BC,则四边形ABCD为平行四边形，现在请你添加一个适当的条件:______使得四边形AECF为平行四边形.(图中不再添加点和线) 解：BE=DF 6.如图所示,将的边AD延长至点E,使DE=AD,连接CE,F是BC边的中点,连接FD. 求证:四边形CEDF是平行四边形.   解:证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC且AD=BC. ∵DE=AD，F是BC的中点, ∴DE=FC. 又∵AD∥BC，即DE∥FC, ∴四边形CEDF是平行四边形. 7.如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，猜想BE与CF之间的数量关系，并加以证明. 解: BE=CF. 证明:∵DE∥BC, ∴∠DBC=∠BDE. ∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠DBC=∠ABD, ∴∠ABD=∠BDE, ∴DE=BE. ∵DE∥BC,EF∥AC, ∴四边形DEFC是平行四边形, ∴DE=CF, ∴BE=CF. 题型一：利用两组对边平行的四边形是平行四边形 1.如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D 【分析】利用平行线的判定方法及平行四边形的判定可得出答案． 【解答】解：A．∵∠D＝∠5， ∴AD∥BC， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故A选项不符合题意； B．∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC， 又∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故B选项不符合题意； C．∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形， 故C选项符合题意； D．∵AB∥CD， ∴∠B+∠BCD＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠D+∠BCD＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（　　） A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180° 【分析】先证AB∥CD，再由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】解：应增加的条件是：∠ABD＝∠CDB，理由如下： ∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 3.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 　　． 【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵AD∥EF，CD∥GH， ∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC， ∴图中平行四边形有：▱ABCD，▱ABHG，▱CDGH，▱BCFE，▱ADFE，▱AGOE，▱BEOH，▱OFCH，▱OGDF共9个． 即共有9个平行四边形． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC． 求证：四边形ABED是平行四边形． 【分析】由等腰三角形的性质得∠DEC＝∠C，再证∠B＝∠DEC，则AB∥DE，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰三角形的性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 5.已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，连结BE． 求证：四边形BEFC为平行四边形． 【分析】证△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再证∠EBC+∠BCA＝180°，则BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出结论． 【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°， ∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD， 即∠EAB＝∠DAC， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠EBA＝∠DCA＝60°， ∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°， ∴∠EBC+∠BCA＝180°， ∴BE∥CF， 又∵EF∥BC， ∴四边形BEFC为平行四边形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明△ABE≌△ACD是解题的关键． 题型二：利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定 6.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝CD，添加列其中一个条件，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A．AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC C．OB＝OD D．AC⊥BD 【分析】由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【解答】解：添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是∠ABD＝∠BDC，理由如下： ∵∠ABD＝∠BDC， ∴AB∥CD， 又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟记“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”是解题的关键． 7.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论． 【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC， ∴AB∥CD． ∴∠BAE＝∠DCF． 在△ABE与△CDF中， ． ∴△ABE≌△CDF（AAS）． ∴AB＝CD． ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 8.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使，连接DE、CD、EF．求证：四边形DCFE是平行四边形． 【分析】证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，DEBC，再证明DE＝CF，即可得出结论． 【解答】证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∵CFBC， ∴DE＝CF， 又∵DE∥CF， ∴四边形DCFE是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 9.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABEO是平行四边形． 【分析】与证明四边形ABEO是平行四边形，只需推知AB＝OE且AB∥OE即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD和四边形DOEC都是平行四边形， ∴AB∥CD且AB＝CD，OE∥CE且OE＝DC， ∴AB∥OE且AB＝OE． ∴四边形ABEO是平行四边形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 10.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形． 【分析】（1）由SAS证明△ABC≌△DEF即可； （2）由全等三角形的性质得AC＝DF，∠ACB＝∠F，则AC∥DF，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； （2）由（1）得：△ABC≌△DEF， ∴AC＝DF，∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF， ∴四边形ACFD是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明△ABC≌△DEF是解题的关键． 题型三：利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定 11.下面给出的是四边形ABCD中，AB，BC，CD，DA的长度之比，其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．2：3：4：5 B．3：3：4：4 C．4：3：3：4 D．4：3：4：3 【分析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故只有选项D能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对边相等，故不能判定． 【解答】解：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知D正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，运用了两组对边分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 12.如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD． 求证：四边形DBEC是平行四边形． 【分析】先证明△EBF≌△DCF，可得DC＝BE，可证四边形BECD是平行四边形 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF， ∵点F是BC的中点， ∴BF＝CF， 在△DCF和△EBF中， ， ∴△EBF≌△DCF（AAS）， ∴DC＝BE， ∴四边形BECD是平行四边形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质. 13．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论． 【分析】利用平行线的性质得出∠BAE＝∠CFE，由AAS得出△ABE≌△FCE，得出对应边相等AE＝EF，再利用平行四边形的判定得出即可． 【解答】解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CFE， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）； ∴AE＝EF， 又∵BE＝CE ∴四边形ABFC是平行四边形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 14.如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD＝BC． （1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB． （2）求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】（1）根据HL可证明Rt△ACD≌Rt△CAB． （2）由全等三角形的性质得出AB＝DC，AD＝BC，由平行四边形的判定可得出结论． 【解答】证明：（1）在Rt△ACD和Rt△CAB中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△CAB（HL）； （2）∵△ACD≌△CAB， ∴AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，证明Rt△ABF≌Rt△CDE是本题的关键． 15.如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形． 【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，由等边三角形的性质得出BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，证明△ADE≌△CBF（SAS），得出DE＝BF，则可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB， ∵△ABE和△CDF是等边三角形， ∴BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°， ∴∠DCB﹣∠DCF＝∠DAB﹣∠BAE， 即∠DAE＝∠FCB， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）， ∴DE＝BF， 又∵BE＝DF， ∴四边形BFDE为平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键． ▲1、平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ▲２、平行四边形的判定定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵AB=CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $