6.1平行四边形的性质（第1课时 平行四边形边和角的性质）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学导学案聚焦“平行四边形的性质（第1课时：边和角的性质）”，通过生活中平行四边形实例情境引入，引导学生观察共同特点，结合自主学习探究定义及边、角性质，承接四边形知识，为后续判定学习搭建从具体到抽象的学习支架。 导学案以自主与合作学习结合为特色，自主学习含定义探究、性质归纳、基础练习及例题导析，合作探究通过小组验证性质、交流解题思路，习题分求线段长、角度等题型覆盖全面，培养几何直观、推理能力与创新意识，助力学生自主构建知识并提升解题能力。

6.1平行四边形的性质 导学案 第1课时 平行四边形边和角的性质 1.通过观察与实验，理解平行四边形的定义及相关概念。 2.探究并掌握平行四边形边、角的性质，能运用性质解决计算和证明类问题。 学习重点：平行四边形的定义及对边平行、对边相等、对角相等等性质的探究和掌握。 学习难点：利用平面几何知识严格推证平行四边形性质的过程以及将性质灵活运用于解题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 生活中有哪些物体的形状是平行四边形?你想了解平行四边形的哪些方面?怎样研究这些内容呢? 本章将研究平行四边形的概念、性质和判定，以及三角形中位线的性质。你将经历观察、实验、构造基本图形等几何发现的过程，进一步感悟图形直观对发现图形性质的作用，理解几何证明的基本形式和规则，体会数学的严谨性感受几何证明之美，发展几何直观、推理能力等。 情景引入 下图中含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，它们有怎样的共同特点? 思考：满足什么样的条件才是平行四边形呢？平行四边形有什么特殊的性质呢？下面我们一起来探究！ 新知自研：自研课本第153--155页的内容． 【学法指导】 自研课本P153-155页例题上面的内容，思考： ●探究一：平行四边形的相关概念 ◆1.尝试思考 观察下列四边形，说说它们有什么特征？ 你能给出平行四边形的定义吗？ ◆2.新知归纳 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形我们称为平行四边形. 如图，记作“ ”，读作“平行四边形ABCD”. 2.平行四边形的有关概念 对边：AB与CD，AD与BC； 对角：∠A与∠C，∠B与∠D； 对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线. 如图 AC，BD 即为的对角线. ◆3.练一练 在四边形ABCD中，若AB ∥ CD，BC ∥ AD，则四边形ABCD为平行四边形. ●探究二：平行四边形的性质 ◆1.尝试交流 根据三角形的学习经验，你认为平行四边形应研究哪些内容？ 解： (1)平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗？ 解：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 验证：如图，将绕对角线的交点O旋转180°后与自身重合. 因此□ABCD是中心对称图形，两条对角线的交点O是它的对称中心. (2)你还发现平行四边形有哪些性质？与同伴进行交流. 解：我们还发现：平行四边形的对边相等、对角相等. 思考：尝试证明这些结论. ①已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证：AB=CD，BC=DA. 解：证明：连接AC . ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB∥CD，BC∥DA(平行四边形的定义). ∴ ∠1=∠2 ，∠3=∠4. ∵ AC=CA, ∴ △ABC ≌△CDA（ASA）. ∴ AB=CD，BC=DA . ∵△ABC≌ △CDA, ∴∠B=∠D. 又∵∠1=∠2，∠3=∠4, ∴∠1+∠4=∠2+∠3即∠BAD=∠DCB. 思考：由上述证明过程你能得到平行四边形的对角相等吗？ ②不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ 已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证：∠A=∠C,∠B=∠D. 证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD // BC， AB // CD , ∴ ∠A+∠B=180 ° ∠A+∠D=180 ° ∴ ∠B=∠D, 同理可得：∠A=∠C. ◆2.知识归纳： 平行四边形的性质定理 定理：平行四边形的对边相等. 几何语言：在□ABCD中， AB=CD，AD=BC. 定理：平行四边形的对角相等. 几何语言：在□ABCD中， ∠A=∠C，∠B=∠D. ◆3.练一练 平行四边形ABCD的四个内角度数的比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　) A.2∶3∶3∶2 B.2∶3∶2∶3 C.1∶2∶3∶4 D.2∶2∶1∶1 解：B 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 已知:如图，在平行四边形ABCD中，E，F 是对角线AC上的两点，且AE=CF． 求证：BE = DF． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD（平行四边形的对边相等）， AB ∥ CD（平行四边形的定义）. ∴∠BAE=∠DCF. 又∵AE=CF， ∴ △ABE≌ △CDF（SAS）. ∴BE=DF. 例2 如图所示,在中,DE=CE,连接AE并延长,交BC的延长线于点F. (1)求证:△ADE≌△FCE; (2)若AB=2BC,∠F=36°,求∠B的度数. 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠D=∠ECF. 在△ADE和△FCE中, ∵∠D=∠ECF,DE=CE,∠AED=∠FEC, ∴△ADE≌△FCE. (2)∵△ADE≌△FCE,∴AD=FC. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,∴BC=FC. 又∵AB=2BC,∴AB=FB, ∴∠BAF=∠F=36°, ∴∠B=180°-2×36°=108°. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.猜想并验证平行四边形的边和角的性质； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．在中,∠B+∠D=260°,那么∠A的度数是(　　) A.130° B.100° C.50° D.80° 解：C． 2．如图所示,在▱ABCD中,AD=3 cm,AB=2 cm,则▱ABCD的周长等于(　　) A.10 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm 解：B 3.如图所示，将沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，,DE与BC交于点F.若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为(　　) A.102° B.112° C.122° D.92° 解：B 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是AB边上一点,连接DE,CE.若DE,CE分别是∠ADC,∠BCD的平分线,且AB=4,则平行四边形ABCD的周长为(　　) A.10 B.8 C.5 D.12 解：D 5．如图所示,在中,CE平分∠BCD,交AB于点E,EA=3,EB=5,ED=4,则CE的长是(　　) A.5 B.6 C.4 D.5 解：C 6.在中,若∠A+∠C=100°,则∠B=_____°.  解：130 7.以对角线的交点O为原点,平行于BC边的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若点A的坐标为(-2,1),则点C的坐标是______.  解： 8.如图所示，在中，∠ADC=119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF=____°.  解：61 9.如图所示,在中,AC是对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F. 求证:AE=CF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠BAE=∠DCF. ∵BE⊥AC,DF⊥AC, ∴∠AEB=∠CFD=90°. 在△ABE和△CDF中, ∵∠AEB=∠CFD,∠BAE=∠DCF,AB=CD, ∴△ABE≌△CDF, ∴AE=CF. 10.如图所示,在平行四边形ABCD中,AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,交对角线BD于点E,F. (1)若∠BCF=60°,求∠ABC的度数; (2)求证:BE=DF. 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠ABC+∠DCB=180°. ∵CF平分∠DCB, ∴∠DCB=2∠BCF. ∵∠BCF=60°, ∴∠DCB=120°, ∴∠ABC=180°-120°=60°. (2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,∠BAD=∠DCB, ∴∠ABE=∠CDF. ∵AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB, ∴∠BAE=∠BAD,∠DCF=∠DCB, ∴∠BAE=∠DCF, ∴△ABE≌△CDF(ASA), ∴BE=DF. 题型一：利用平行四边形的性质求线段长 1．如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（　　） A．15 B．11 C．20 D．52 【分析】由∠ADC的平分线DE交BC于点E，得∠ADE＝∠CDE，由平行四边形的性质得CD＝AB＝11，AD∥BC，则∠ADE＝∠CED，所以∠CDE＝∠CED，则CE＝CD＝11，求得AD＝CB＝CE+BE＝15，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠ADC的平分线DE交BC于点E， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝11， ∴CD＝AB＝11，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CED， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CE＝CD＝11， ∵BE＝4， ∴AD＝CB＝CE+BE＝11+4＝15， 故选：A． 【点评】此题重点考查角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出∠CDE＝∠CED是解题的关键． 2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，结合角平分线的性质推出∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF，得到AE＝AB＝3，即可求出DE＝DF＝AD﹣AE＝5﹣3＝2． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABF＝∠F，∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE＝∠F＝∠DEF， ∴AE＝AB＝3， ∴DF＝DE＝AD﹣AE＝5﹣3＝2， 故选：C． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3．如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E，且BE＝AB，线段CE的长为（　　） A．2 B．3 C． D．3 【分析】由平行四边形的性质可得AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，由角平分线的性质和平行线的性质可得AB＝AE，DE＝DC，由勾股定理可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E， ∴∠ABE＝∠CBE，∠DCE＝∠BCE， ∴∠EBC+∠ECB＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE＝∠ABE，∠DEC＝∠BCE＝∠DCE， ∴AB＝AE，DE＝DC， ∴AD＝BC＝2， ∴CE3， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（　　） 【分析】连接EC，根据已知条件证明△EDC是直角三角形，进而可得△AEC是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，连接EC， ∵平行四边形ABCD中，OE⊥AC ∴EO垂直平分AC， ∵AE＝4，DE＝3，AB＝5， ∴EC＝AE＝4，CD＝AB＝5， ∵EC2+DE2＝32+42＝25，CD2＝25， ∴EC2+DE2＝CD2， ∴△EDC是直角三角形，△AEC是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明△EDC是直角三角形是解题的关键． 5．如图，已知四边形ABCD、EBFD均为平行四边形，AC、BD相交于点O，且A、E、O、F、C在同一条直线上，AC＝8cm，AE＝2cm，试求EF的长． 【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC．AD∥BC，DE＝BF，DE∥BF，由平行线的性质得到∠ADO＝∠CBO，∠EDO＝∠FBO，根据角的和差得到∠ADE＝∠CBF，推出△ADE≌△CBF，由全等三角形的性质得到AE＝CF＝2cm，于是得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD、EBFD均为平行四边形， ∴AD＝BC．AD∥BC，DE＝BF，DE∥BF， ∴∠ADO＝∠CBO，∠EDO＝∠FBO， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△ADE与△CBF中，， ∴△ADE≌△CBF， ∴AE＝CF＝2cm， ∵AC＝8cm， ∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝4cm． 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型二：利用平行四边形的性质求角度 6．如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（　　） A．125° B．115° C．55° D．135° 【分析】根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠DCE＝55°， ∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣55°＝125°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠DCB＝125°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7．在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 【分析】根据平行线的性质可求得∠ACD，即可求出∠BCD． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝40°， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝40°， ∵∠ACB＝80°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝120°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行四边形的对边平行是解决问题的关键． 8．在▱ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠A+∠B＝180°，由∠A与∠B的度数之比为1：2，得∠B＝2∠A，所以∠A+2∠A＝180°，则∠C＝∠A＝60°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠C＝∠A， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A与∠B的度数之比为1：2， ∴∠B＝2∠A， ∴∠A+2∠A＝180°， ∴∠C＝∠A＝60°， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的性质等知识，由∠A+∠B＝180°，∠B＝2∠A，求得∠C＝∠A＝60°是解题的关键． 9．如图，在平行四边形ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】由等腰三角形的性质得∠DBC＝∠C＝70°，则∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝40°，再由平行四边形的性质得AB∥CD，则∠ABE＝∠BDC＝40°，然后由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵BD＝CD，∠C＝70°， ∴∠DBC＝∠C＝70°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BDC＝40°， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣40°＝50°， 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB． （1）求证：△ABC≌△EAD； （2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD＝BC，∠B＝∠DAE，结合AB＝AE，利用SAS可证明结论； （2）由全等三角形的性质结合角平分线的定义可得△ABE为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解∠BAE＝60°，进而可求解∠AED的度数． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B． ∴∠B＝∠DAE． 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△EAD（SAS）， （2）∵△ABC≌△EAD， ∴∠AED＝∠BAC， ∵AE平分∠DAB（已知）， ∴∠DAE＝∠BAE； 又∵∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠B． ∴△ABE为等边三角形． ∴∠BAE＝60°． ∵∠EAC＝25°， ∴∠BAC＝85°， ∴∠AED＝85°． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABC≌△EAD是解题的关键． 题型三：利用平行四边形的性质求周长或面积 11．若一平行四边形面积为144cm2，相邻两边上的高分别是8cm和9cm，则此平行四边形的周长为（　　） A．64cm B．68cm C．34cm D．70cm 【分析】根据平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积，进行计算即可． 【解答】解：∵平行四边形的面积＝边长×高， ∴当边上的高为8cm时，边长＝144÷8＝18（cm）， 当边上的高为9cm时，边长＝144÷9＝16（cm）， ∴平行四边形的周长为2（18+16）＝68（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S＝a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高． 12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．8 【分析】由EF垂直平分AC得AF＝CF，则AB+BC＝CF+BF+BC＝4，由四边形ABCD是平行四边形得CD＝AB，AD＝BC，则CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵EF垂直平分AC， ∴AF＝CF， ∵△BCF的周长为4， ∴AB+BC＝AF+BF+BC＝CF+BF+BC＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，AD＝BC， ∴CD+AD+AB+BC＝2（AB+BC）＝8， ∴平行四边形ABCD的周长8， 故选：D． 【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、三角形的周长的计算、平行四边形的性质等知识与方法，由△BCF的周长为4求得AB+BC的值是解题的关键． 13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　． 【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果． 【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， ∴S△AFO＝S△CEO， ∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的一半， 过点C作CP⊥AD于点P， ∵CD＝AB＝2，∠ADC＝60°， ∴DP＝1，CP， ∴S平行四边形ABCD＝BC•CP， ∴阴影部分面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键． 14．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 　 ． 【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再证∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD， ∴∠BAF＝∠DAE＝90°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°， ∴AB＝2BE，AD＝2DF ∵BE＝2，DF＝3， ∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6， ∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20， 故答案为：20． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 15．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为 　 　． 【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE＝∠BEC，可得BE＝BC＝10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可． 【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F， ∵∠EBC＝30°，BE＝10， ∴EFBE＝5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， 又EC平分∠BED，即∠BEC＝∠DEC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BE＝BC＝10， ∴平行四边形ABCD的面积＝BC×EF＝10×5＝50． 故答案为：50． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键． 题型四：利用平行四边形的性质证明 16．已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF． 【分析】由题意可证△ABE≌△CDF，可得结论． 【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD，AB＝CD ∴∠ABD＝∠CDB ∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC ∴△ABE≌△CDF ∴AE＝CF 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 17．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF． 【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，进而利用AAS证明△ADF与△ACE全等，利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠ACE， ∵AE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠AEC＝∠AFD＝90°， 在△ADF与△ACE中， ， ∴△ADF≌△ACE（AAS）， ∴AE＝DF． 【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行解答． 18．如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE． 【分析】在△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE即可证明△ABC≌△EAD，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B． ∴∠B＝∠DAE． 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△EAD（SAS）， ∴DE＝AC． 【点评】主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 19．已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE． 【分析】由在平行四边形ABCD中，AM＝DM，证得△AEM≌△DCM（AAS），可得AE＝CD＝AB，由BM平分∠ABC，证得△BCE是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠E＝∠DCM， 在△AEM和△DCM中， ， ∴△AEM≌△DCM（AAS）， ∴AE＝CD， ∴AE＝AB， ∵BM平分∠ABC， ∴∠ABM＝∠CBM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠CBM＝∠AMB， ∴∠ABM＝∠AMB， ∴AB＝AM， ∵AB＝AE，AM＝DM， ∴点M是AD的中点， ∴BC＝2AM， ∴BC＝BE， ∴△BCE是等腰三角形． ∵BM平分∠ABC， ∴BM⊥CE． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 20．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF． （1）求证：△ADE≌△FCE； （2）求证：AE平分∠DAB； （3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质，根据AAS可判定△ADE≌△FCE； （2）根据全等三角形的性质可得AE＝FE，根据BE⊥AF．利用线段垂直平分线的性质可得BA＝BF，进而可得结论； （3）结合（1）根据∠DAB＝60°，AB＝4，利用30度角的直角三角形可得AE和BE的长，根据△ADE≌△FCE，可得△ADE的面积＝△FCE的面积，所以▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积，即可得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠EFC， ∵点E是CD边的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）； （2）证明：∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝FE， ∵BE⊥AF， ∴BA＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA， ∵∠DAE＝∠BFA， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴AE平分∠DAB； （3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4， ∴∠DAE＝∠BAF＝30°， ∵BE⊥AF， ∴BEAB＝2， ∴AEBE＝2， ∵△ADE≌△FCE， ∴△ADE的面积＝△FCE的面积， ∴▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2AE•BE＝22＝4． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质． ▲1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形我们称为平行四边形. 如图，记作“ ”，读作“平行四边形ABCD”. ▲２、平行四边形的性质定理 定理：平行四边形的对边相等. 几何语言：在□ABCD中， AB=CD，AD=BC. 定理：平行四边形的对角相等. 几何语言：在□ABCD中， ∠A=∠C，∠B=∠D. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1平行四边形的性质 导学案 第1课时 平行四边形边和角的性质 1.通过观察与实验，理解平行四边形的定义及相关概念。 2.探究并掌握平行四边形边、角的性质，能运用性质解决计算和证明类问题。 学习重点：平行四边形的定义及对边平行、对边相等、对角相等等性质的探究和掌握。 学习难点：利用平面几何知识严格推证平行四边形性质的过程以及将性质灵活运用于解题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 生活中有哪些物体的形状是平行四边形?你想了解平行四边形的哪些方面?怎样研究这些内容呢? 本章将研究平行四边形的概念、性质和判定，以及三角形中位线的性质。你将经历观察、实验、构造基本图形等几何发现的过程，进一步感悟图形直观对发现图形性质的作用，理解几何证明的基本形式和规则，体会数学的严谨性感受几何证明之美，发展几何直观、推理能力等。 情景引入 下图中含有一些平行四边形。观察这些平行四边形，它们有怎样的共同特点? 思考：满足什么样的条件才是平行四边形呢？平行四边形有什么特殊的性质呢？下面我们一起来探究！ 新知自研：自研课本第153--155页的内容． 【学法指导】 自研课本P153-155页例题上面的内容，思考： ●探究一：平行四边形的相关概念 ◆1.尝试思考 观察下列四边形，说说它们有什么特征？ 你能给出平行四边形的定义吗？ ◆2.新知归纳 1.平行四边形的定义：两组对边分别 的四边形我们称为平行四边形. 如图，记作“ ”，读作“ ”. 2.平行四边形的有关概念 对边：AB与 ， 与BC； 对角：∠A与∠C，∠B与∠D； 对角线：平行四边形 的两个顶点连成的线段叫它的对角线. 如图 AC，BD 即为的对角线. ◆3.练一练 在四边形ABCD中，若AB CD，BC AD，则四边形ABCD为平行四边形. ●探究二：平行四边形的性质 ◆1.尝试交流 根据三角形的学习经验，你认为平行四边形应研究哪些内容？ (1)平行四边形是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗？ (2)你还发现平行四边形有哪些性质？与同伴进行交流. 思考：尝试证明这些结论. ①已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证：AB=CD，BC=DA. 思考：由上述证明过程你能得到平行四边形的对角相等吗？ ②不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ 已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证：∠A=∠C,∠B=∠D. ◆2.知识归纳： 平行四边形的性质定理 定理：平行四边形的对边 . 几何语言：在□ABCD中， AB=CD， . 定理：平行四边形的对角相等. 几何语言：在□ABCD中， ∠A= ，∠B= . ◆3.练一练 平行四边形ABCD的四个内角度数的比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　) A.2∶3∶3∶2 B.2∶3∶2∶3 C.1∶2∶3∶4 D.2∶2∶1∶1 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 已知:如图，在平行四边形ABCD中，E，F 是对角线AC上的两点，且AE=CF． 求证：BE = DF． 例2 如图所示,在中,DE=CE,连接AE并延长,交BC的延长线于点F. (1)求证:△ADE≌△FCE; (2)若AB=2BC,∠F=36°,求∠B的度数. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.猜想并验证平行四边形的边和角的性质； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．在中,∠B+∠D=260°,那么∠A的度数是(　　) A.130° B.100° C.50° D.80° 2．如图所示,在▱ABCD中,AD=3 cm,AB=2 cm,则▱ABCD的周长等于(　　) A.10 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm 3.如图所示，将沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，,DE与BC交于点F.若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为(　　) A.102° B.112° C.122° D.92° 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是AB边上一点,连接DE,CE.若DE,CE分别是∠ADC,∠BCD的平分线,且AB=4,则平行四边形ABCD的周长为(　　) A.10 B.8 C.5 D.12 5．如图所示,在中,CE平分∠BCD,交AB于点E,EA=3,EB=5,ED=4,则CE的长是(　　) A.5 B.6 C.4 D.5 6.在中,若∠A+∠C=100°,则∠B=_____°.  7.以对角线的交点O为原点,平行于BC边的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若点A的坐标为(-2,1),则点C的坐标是______.  8.如图所示，在中，∠ADC=119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF=____°.  9.如图所示,在中,AC是对角线,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F. 求证:AE=CF. 10.如图所示,在平行四边形ABCD中,AE,CF分别平分∠BAD和∠DCB,交对角线BD于点E,F. (1)若∠BCF=60°,求∠ABC的度数; (2)求证:BE=DF. 题型一：利用平行四边形的性质求线段长 1．如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线DE交BC于点E，若AB＝11，BE＝4，则AD的长为（　　） A．15 B．11 C．20 D．52 2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在▱ABCD中，∠ABC、∠BCD的角平分线交于边AB上一点E，且BE＝AB，线段CE的长为（　　） A．2 B．3 C． D．3 4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（　　） 5．如图，已知四边形ABCD、EBFD均为平行四边形，AC、BD相交于点O，且A、E、O、F、C在同一条直线上，AC＝8cm，AE＝2cm，试求EF的长． 题型二：利用平行四边形的性质求角度 6．如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（　　） A．125° B．115° C．55° D．135° 7．在▱ABCD中（如图），连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 8．在▱ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 9．如图，在平行四边形ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE＝（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB． （1）求证：△ABC≌△EAD； （2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数． 题型三：利用平行四边形的性质求周长或面积 11．若一平行四边形面积为144cm2，相邻两边上的高分别是8cm和9cm，则此平行四边形的周长为（　　） A．64cm B．68cm C．34cm D．70cm 12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交CD，AB于点E、F，连接CF．若△BCF的周长为4，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．14 B．12 C．10 D．8 13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB＝2，BC＝3，∠ADC＝60°，则图中阴影部分的面积是 　． 14．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 　 ． 15．如图，在▱ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则四边形ABCD的面积为 　 　． 题型四：利用平行四边形的性质证明 16．已知：▱ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF． 17．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF． 18．如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE． 19．已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE． 20．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF． （1）求证：△ADE≌△FCE； （2）求证：AE平分∠DAB； （3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积． ▲1、平行四边形的定义：两组对边分别 的四边形我们称为平行四边形. 如图，记作“ ”，读作“ ”. ▲２、平行四边形的性质定理 定理：平行四边形的对边 . 几何语言：在□ABCD中， AB=CD， . 定理：平行四边形的对角相等. 几何语言：在□ABCD中， ∠A= ，∠B= . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $