专题拓展：集合中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

专题拓展：集合中的参数求值与取值范围问题 题型一：根据元素互异性求参数取值范围 【例1】（1）集合中，实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】根据集合的互异性可知，，解得. （2）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是__________． 【答案】 【详解】解：由元素的互异性，可知， 解得:且且. 元素应满足的条件是： 【方法总结】 根据元素的互异性求参数的取值范围方法： (1) 先分析集合元素的情况，需要化简，先化简集合再分析元素. (2) 然后根据集合元素的互异性，集合中任意两个元素互不相等，建立不等式（组），然后解不等式（组）即可得解.（有时元素含有分母、偶次方根式、对数等，还需要保证元素有意义，） 【变式1-1】若集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，违反集合互异性；当时，此时，符合题意， 故实数a的取值范围为. 【变式1-2】已知集合 ，且集合 中的元素互不相同，求实数 的取值范围. 【答案】 【详解】二次根式被开方数须非负：； 根据集合元素互异性，要求三个元素两两不等 ① 两边同时平方： ② 结合，该条件自然成立； ③ 由，可知两边平方得： 判别式，方程无实数解，故此条件恒成立； 所以实数 的取值范围为： 题型二：根据元素与集合的关系求参数 角度1：求参数值 【例2】（1）已知，则实数的取值集合为___________. 【答案】 【详解】由，所以 ①当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. ②当时，得，解得或， 但时，，集合里的元素出现重复，故舍去，所以. 综上可知，实数的取值集合为. （2）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． （3）已知全集，集合，若，则________. 【答案】2 【详解】因为，所以，是3，4，5中的两个数. 当时，得. 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 当时，得，则，不符合题意. 【方法总结】 类型 I：元素属于数集： ①将元素代入集合对应的解析式，列方程，解方程求参数值；②检验：根式 / 分式有意义、集合元素互异性；③确定最终参数的值； 类型 II：元素不属于数集：①先假设 求出参数范围；②取其补集，得到 的范围；③附加根式、分式等定义域限制； 类型III：已知点属于集合：①将点坐标代入集合中的方程 / 不等式；②联立方程求解参数；③无互异性要求，只需检验式子本身有意义. 【变式2-1】已知，则a的值为______． 【答案】 【详解】因为，所以，解得：． 【变式2-2】已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【答案】 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 角度2：求参数取值范围 【例3】（1）已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. （2）已知集合A中元素x满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴，解得，又∵，∴，解得，∴． 【方法总结】 类型 I：元素属于不等式型集合：将元素代入不等式，直接解不等式（组）即可（有时还要注意不等式中是否含有分母、偶次根式、对数等，自带限制条件别忘记）； 类型 II：元素不属于集合：先求时参数范围，再取补集，同时兼顾定义域. 类型III：已知点属于 / 不属于集合：将点坐标代入对应等式 / 不等式求解，点集无需验证元素互异性. 【变式3-1】已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由且，得解得. 题型三：根据集合中元素的个数求参数 角度1：求参数值 【例4】（1）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【详解】集合，表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得，此时，符合题意, 综上可得或. （2）已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 【方法总结】 类型 I：方程解集型：集合为一元一次 / 二次方程的解集，限定元素个数（0 个或 1 个）：①0 个元素（空集）：方程无实数根；②1 个元素（单元素集）：方程有两个相等实数根；③优先讨论二次项系数是否为 0（区分一次、二次方程）. 类型 II：含参区间 / 不等式集合：集合由不等式构成，结合区间端点、参数范围限定元素个数，多求取值范围，根据不等式解集的构成，分析边界参数，确定范围. 【变式4-1】已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 角度2：求参数取值范围 【例5】（1）已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为_________ 【答案】 【详解】集合中只有一个整数元素， 则，，即，此时，故，解得. 故. （2）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，且中只有一个元素，则必有，且不属于集合， 所以,则实数的取值范围是 （3）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 【方法总结】 类型 I：方程解集型：集合为二次方程的解集，限定元素个数（0 个或2 个）： ① 0 个元素（空集）：方程无实数根； ② 2 个元素：方程有两个不相等实数根； 类型 II：不等式解集型集合：限定整数元素个数、离散元素个数，①先求解不等式，写出解集区间；②根据指定元素个数，分析区间端点临界值；③确定参数范围. 【变式5-1】若集合恰有8个整数元素，则实数a取值范围为：________． 【答案】 【详解】依题意可得，解得，则．则实数a取值范围为. 题型四：根据集合的相等关系求参数值 【例6】（1）已知a，，若，则______. 【答案】 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以. （2）若集合，则实数a的取值范围为________________． 【答案】 【详解】令，则， 化简得，即， 而集合， 可得，解得. 故答案为： 【方法总结】 根据集合相等定义，对应元素相等建立方程（组），解方程（组）得出参数值，然后反代回集合，验证是否满足集合元素的互异性. 【变式6-1】（多选）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】AC 【详解】若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，这不符合集合中元素的互异性，所以不符合题意； 若，则，此时，符合题意． 【变式6-2】已知互异复数，集合，则__________． 【答案】 【详解】， ①或②. ， 由①得（舍）， 由②两边相减得， ， 故答案为. 题型五：根据集合间的包含关系求参数 角度1：求参数值 【例7】（1）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. （2）（多选）已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（   ） A．2 B． C．2.5 D．4 【答案】BCD 【详解】因为是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 则或，解得或； 综上所述：或. 角度2：求参数范围 【例8】（1）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，， 因为，所以，解得. （2）已知集合.若，使得，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【分析】由题可得，再利用集合的包含关系求解作答 【详解】因为，，使得，则， 于是得，解得， 所以实数m的取值范围是． 【方法总结】 已知两个集合之间的关系求参数： (1) 因为空集是任何集合的子集，所以注意对是否存在空集的情况进行讨论. (2) 用数轴分析与不等式相关的集合间的包含关系时，要注意检验参数能否取到端点值. (3) 若集合用列举法表示或集合与方程相关，可根据元素间的相等关系列出方程 (组) 求解. 【变式8-1】已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 【答案】（1）或（2） 【详解】（1）即的范围小于的范围. 当，即时，，满足； 当，即时，要使，由图1得， ①②等号不同时成立，解得. 综上所述，的取值范围为或. （2）BA即的范围小于的范围. 要使BA，优先考虑是否为空集. 当，即时，，满足BA； 当，即时，要使BA，由图2得或， 解得.又因为，所以. 综上所述，的取值范围为. 题型六：根据集合的基本运算求参数 角度1：根据并集运算求参数 【例9】（1），，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出的范围即可． 【详解】已知集合，， ，， ①当时，满足，此时，故； ②当时，因，则，解得． 综上，． （2）（多选）已知集合，，若，则a的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【详解】∵，则，解得， 由选项可知，的值可以是或或． （3）已知集合，.若，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】考虑当时，实数的取值范围，则， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，解得， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. 【方法总结】 类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数. ①根据并集定义：参数必须是并集中的元素； ②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解； ③逐一验证，确定参数值. 类型2：已知（即）： ①分类讨论： 两种情况（空集优先讨论，极易漏解）； ②分别列不等式组，借助数轴限定范围； ③单独检验区间端点取值； ④合并所有符合条件的参数范围 类型3：已知某确定区间（比如：R，等） ① 画出已知并集的数轴范围； ② 画出集合的区间，保证两个区间合起来铺满目标范围； ③ 列不等式组约束参数，重点核对衔接处端点； ④ 排除矛盾情况，得出范围. 角度2：根据交集运算求参数 【例10】（1）记全集，集合，.若，求a的取值范围. 【答案】或 【详解】因为，则， ，或， 当时，，解得； 当时，或， 解得或， 综上,若，求a的取值范围为或. （2）已知集合，.若，求实数的取值范围. 【答案】或 【详解】因为， 当时，由（1）知； 当时，可得或，解得或； 综上所述：实数的取值范围是或. 【方法总结】 类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数. ①根据并集定义：参数必须是并集中的元素； ②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解； ③逐一验证，确定参数值. 类型2：已知（即）： ①分类讨论： 两种情况（空集优先讨论，极易漏解）； ②非空时，借助数轴列出区间包含的不等式组； ③单独检验区间端点取值； ④合并所有符合条件的参数范围. 类型3：已知 ① 讨论集合为空集的情况（空集与任意集合交集为空）； ② 集合非空时，数轴分析：A 整体在 B 左侧 或 A 整体在 B 右侧； ③ 列不等式，重点核对端点等号. 角度3：根据补集运算求参数 【例11】（1）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. （2）已知，，且，则的值等于___________. 【答案】 【详解】，故， 所以，解得， 故， 又，故，， 所以，解得，. （3）已知集合，. ①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】若选①，因，可得，则. 若选②，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 【方法总结】 类型1：已知补集，反求原集合中的参数. ①由补集定义 ，写出集合 A 的范围； ②若为区间集合，对比左右端点列方程；若为有限集，对应元素列方程； ③验证端点 / 集合互异性. 类型2：补集运算转化为子集关系求参： ①分类转化为子集关系：，； ②根据子集关系求出参数的取值范围. 角度4：根据并交补混合运算求参数 【例12】（1）（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； （2）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 【方法总结】 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来 方法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）； （4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】一是确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；二是千万不要忘记考虑空集． 一、单选题 1．设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以，解得． 2．已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 3．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 4．已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 5．设集合，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有4个元素 D．若，则 【答案】D 【详解】（1）当时，，； （2）当时，，； （3）当时，，； （4）当时，，； 综上可知A，B，C，不正确，D正确 6．已知集合，，若中恰好含有个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，a＞﹣4，则∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，又A＝{x|x＜﹣3或x＞1}，A∩（∁RB）中恰好含有2个整数，∴A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，∴3≤a＜4． 二、多选题 7．已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 8．下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【详解】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确． 9．对于集合A，B，我们把集合且记作；把集合记作.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为集合且记作， 且集合，， 所以，A正确； 又，则，B错误； 因为， 又，所以，C正确； 因为，， 所以，D正确. 三、填空题 10．已知数集．有下列个条件：①，②，③，则满足条件的的数值有__________组． 【答案】3 【详解】，，，则的取值可以是或. ①时，，，即数组为； ②时，则，或，，即数组为和. 因此，符合题中条件的数组有组. 11．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由 ， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 12．已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【详解】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 13．已知集合，或． (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为集合， 若A中只有一个元素，则，解得. （2）因为集合，或， 若，则，解得， 所以的取值范围为. （3）因为集合，或， 若，则有： ①当时，，解得. ②当时，或，解得； 综上，的取值范围是. 14．已知，，， . （1）若，求实数的范围； （2）若，求实数的范围； （3）若，求实数的范围. 【答案】（1）或.（2）.（3）. 【详解】，， . （1）若，则或，故或. （2）若，则 ，所以. （3）, 因为，所以，所以. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题拓展：集合中的参数求值与取值范围问题 题型一：根据元素互异性求参数取值范围 【例1】（1）集合中，实数的取值范围为______. （2）若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是__________． 【方法总结】 根据元素的互异性求参数的取值范围方法： (1) 先分析集合元素的情况，需要化简，先化简集合再分析元素. (2) 然后根据集合元素的互异性，集合中任意两个元素互不相等，建立不等式（组），然后解不等式（组）即可得解.（有时元素含有分母、偶次方根式、对数等，还需要保证元素有意义，） 【变式1-1】若集合，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知集合 ，且集合 中的元素互不相同，求实数 的取值范围. 题型二：根据元素与集合的关系求参数 角度1：求参数值 【例2】（1）已知，则实数的取值集合为___________. （2）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． （3）已知全集，集合，若，则________. 【方法总结】 类型 I：元素属于数集： ①将元素代入集合对应的解析式，列方程，解方程求参数值；②检验：根式 / 分式有意义、集合元素互异性；③确定最终参数的值； 类型 II：元素不属于数集：①先假设 求出参数范围；②取其补集，得到 的范围；③附加根式、分式等定义域限制； 类型III：已知点属于集合：①将点坐标代入集合中的方程 / 不等式；②联立方程求解参数；③无互异性要求，只需检验式子本身有意义. 【变式2-1】已知，则a的值为______． 【变式2-2】已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 角度2：求参数取值范围 【例3】（1）已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2）已知集合A中元素x满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 类型 I：元素属于不等式型集合：将元素代入不等式，直接解不等式（组）即可（有时还要注意不等式中是否含有分母、偶次根式、对数等，自带限制条件别忘记）； 类型 II：元素不属于集合：先求时参数范围，再取补集，同时兼顾定义域. 类型III：已知点属于 / 不属于集合：将点坐标代入对应等式 / 不等式求解，点集无需验证元素互异性. 【变式3-1】已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三：根据集合中元素的个数求参数 角度1：求参数值 【例4】（1）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 （2）已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【方法总结】 类型 I：方程解集型：集合为一元一次 / 二次方程的解集，限定元素个数（0 个或 1 个）：①0 个元素（空集）：方程无实数根；②1 个元素（单元素集）：方程有两个相等实数根；③优先讨论二次项系数是否为 0（区分一次、二次方程）. 类型 II：含参区间 / 不等式集合：集合由不等式构成，结合区间端点、参数范围限定元素个数，多求取值范围，根据不等式解集的构成，分析边界参数，确定范围. 【变式4-1】已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 角度2：求参数取值范围 【例5】（1）已知集合中只有一个整数元素，则实数的取值范围为_________ （2）已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【方法总结】 类型 I：方程解集型：集合为二次方程的解集，限定元素个数（0 个或2 个）： ① 0 个元素（空集）：方程无实数根； ② 2 个元素：方程有两个不相等实数根； 类型 II：不等式解集型集合：限定整数元素个数、离散元素个数，①先求解不等式，写出解集区间；②根据指定元素个数，分析区间端点临界值；③确定参数范围. 【变式5-1】若集合恰有8个整数元素，则实数a取值范围为：________． 题型四：根据集合的相等关系求参数值 【例6】（1）已知a，，若，则______. （2）若集合，则实数a的取值范围为________________． 【方法总结】 根据集合相等定义，对应元素相等建立方程（组），解方程（组）得出参数值，然后反代回集合，验证是否满足集合元素的互异性. 【变式6-1】（多选）已知集合，则的值可能为（   ） A．2 B．0 C． D．4 【变式6-2】已知互异复数，集合，则__________． 题型五：根据集合间的包含关系求参数 角度1：求参数值 【例7】（1）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． （2）（多选）已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（   ） A．2 B． C．2.5 D．4 角度2：求参数范围 【例8】（1）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）已知集合.若，使得，则实数的取值范围为___________. 【方法总结】 已知两个集合之间的关系求参数： (1) 因为空集是任何集合的子集，所以注意对是否存在空集的情况进行讨论. (2) 用数轴分析与不等式相关的集合间的包含关系时，要注意检验参数能否取到端点值. (3) 若集合用列举法表示或集合与方程相关，可根据元素间的相等关系列出方程 (组) 求解. 【变式8-1】已知或. （1）若或，，求的取值范围. （2）若，，求的取值范围. 题型六：根据集合的基本运算求参数 角度1：根据并集运算求参数 【例9】（1），，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2）（多选）已知集合，，若，则a的值可以是（    ） A． B．0 C． D． （3）已知集合，.若，求实数的取值范围． 【方法总结】 类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数. ①根据并集定义：参数必须是并集中的元素； ②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解； ③逐一验证，确定参数值. 类型2：已知（即）： ①分类讨论： 两种情况（空集优先讨论，极易漏解）； ②分别列不等式组，借助数轴限定范围； ③单独检验区间端点取值； ④合并所有符合条件的参数范围 类型3：已知某确定区间（比如：R，等） ① 画出已知并集的数轴范围； ② 画出集合的区间，保证两个区间合起来铺满目标范围； ③ 列不等式组约束参数，重点核对衔接处端点； ④ 排除矛盾情况，得出范围. 角度2：根据交集运算求参数 【例10】（1）记全集，集合，.若，求a的取值范围. （2）已知集合，.若，求实数的取值范围. 【方法总结】 类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数. ①根据并集定义：参数必须是并集中的元素； ②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解； ③逐一验证，确定参数值. 类型2：已知（即）： ①分类讨论： 两种情况（空集优先讨论，极易漏解）； ②非空时，借助数轴列出区间包含的不等式组； ③单独检验区间端点取值； ④合并所有符合条件的参数范围. 类型3：已知 ① 讨论集合为空集的情况（空集与任意集合交集为空）； ② 集合非空时，数轴分析：A 整体在 B 左侧 或 A 整体在 B 右侧； ③ 列不等式，重点核对端点等号. 角度3：根据补集运算求参数 【例11】（1）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 （2）已知，，且，则的值等于___________. （3）已知集合，. ①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【方法总结】 类型1：已知补集，反求原集合中的参数. ①由补集定义 ，写出集合 A 的范围； ②若为区间集合，对比左右端点列方程；若为有限集，对应元素列方程； ③验证端点 / 集合互异性. 类型2：补集运算转化为子集关系求参： ①分类转化为子集关系：，； ②根据子集关系求出参数的取值范围. 角度4：根据并交补混合运算求参数 【例12】（1）（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． （2）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【方法总结】 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来 方法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）； （4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】一是确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；二是千万不要忘记考虑空集． 一、单选题 1．设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 2．已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．设集合，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有4个元素 D．若，则 6．已知集合，，若中恰好含有个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题 7．已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 8．下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 9．对于集合A，B，我们把集合且记作；把集合记作.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知数集．有下列个条件：①，②，③，则满足条件的的数值有__________组． 11．设集合 ，且 ，则实数的取值集合为_____. 12．已知集合，求实数的取值范围__________． 四、解答题 13．已知集合，或． (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 14．已知，，， . （1）若，求实数的范围； （2）若，求实数的范围； （3）若，求实数的范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $