第二章 一元二次函数、方程和不等式（暑假预习举一反三单元自测·提高篇）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 第二章一元二次函数、方程和不等式单元自测提高篇，涵盖单选、多选、填空、解答题型，知识覆盖全面，注重能力梯度，适合暑假巩固提升，可有效检测学生对单元内容的掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不等式性质、二次函数图像（题6）|基础巩固，梯度合理| |多选|3/18|基本不等式应用（题10）、含参不等式（题11）|多维度考查，区分度高| |填空|3/15|代数式取值范围（题12）、最值问题（题13）|聚焦核心技能| |解答|5/77|实际应用（题17花园面积）、含参不等式求解（题19）|综合运用数学思维，体现应用意识|

第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元自测·提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用不等式的性质推理判断AB；举例说明判断CD. 【解答过程】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A. 2．（5分）（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用不等式的基本性质，计算选项中各表达式的取值范围，进而判断选项正误． 【解答过程】选项A：，，即，故A错误； 选项B：，，又， ，即，故B错误； 选项C：，， ，异号，， ，故C正确； 选项D：，，，又，， ，异号，， ，故D错误． 故选：C． 3．（5分）（25-26高一上·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据一元二次不等式的解法以及韦达定理，可得参数的值，利用分式不等式的解法，可得答案. 【解答过程】由不等式的解集为， 则方程的解为或，且， 可得，， 由不等式等价于，即， 则，可得，解得或. 故选：A. 4．（5分）（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘构造基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由，则， 所以 ， 当且仅当即等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 5．（5分）（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【解题思路】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答过程】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 6．（5分）（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解题思路】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【解答过程】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 故选：D. 7．（5分）（25-26高一·全国·寒假作业）已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【解答过程】不等式，可化为． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则． 综上可得，实数a的取值范围是或． 故选：C. 8．（5分）（2026高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【解题思路】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【解答过程】 ， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·湖南娄底·期末）下列命题中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【解题思路】利用不等式的性质可判断AB，利用赋值法可判断CD. 【解答过程】对于A，因为，所以，又因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B正确； 对于C，取，满足，但，故C错误； 对于D，取，满足，可得， 此时，故D错误. 故选：CD. 10．（6分）（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【解题思路】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【解答过程】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD. 11．（6分）（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解题思路】根据一元二次不等式的解集求解、二次函数的性质、一元二次方程的根等知识逐项计算即可. 【解答过程】对于A，时，不等式为， 化简得，令， 解得，即或， 所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，当时，不等式变为，恒成立，所以也符合，B错误； 对于C，令，因为不等式对恒成立， 且是关于的一次函数，所以只需满足且即可. 由恒成立，由，解得，C正确； 对于D，若恰有一个整数使得不等式成立，则，又因为， 所以使不等式成立的整数. 设对应的两个根为，则. 所以，解得，D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】利用待定系数法结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】设， 所以，解得，故， 因为，，所以， 由不等式的基本性质可得，即， 故的取值范围是. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高一上·浙江温州·期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为__________. 【答案】21 【解题思路】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式可得，即可得结果. 【解答过程】因为正实数a，b满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即，可得， 所以的最小值为21. 故答案为：21. 14．（5分）（24-25高一上·云南昆明·阶段检测）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________. 【答案】或 【解题思路】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围. 【解答过程】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·福建南平·阶段检测）（1）已知，比较与的大小. （2）已知，，求代数式和的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】（1）将与利用作差法比较大小即可得解； （2）由求出的范围，由求出的范围，再利用不等式的同向可加性求解即可. 【解答过程】（1） ， 即； （2）因为，，， 则，， 所以. 16．（15分）（24-25高一上·浙江丽水·期中）已知不等式的解集为． (1)解不等式； (2)若，当时，解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解与方程根之间的关系，可得，即可由因式分解求解不等式的解， （2）利用因式分解即可求解. 【解答过程】（1）∵不等式的解集为， ∴，且，是方程的两根， 则，解得， 则有，所以，解得或 故不等式的解集为或 （2）由（1）可知：， 故不等式， 即，又，∴不等式， 方程的两根为，， 又，得， ∴不等式解集为． 17．（15分）（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解题思路】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为 . （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 18．（17分）（24-25高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【解题思路】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 19．（17分）（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)，； (2)； (3)答案见解析 【解题思路】（1）2和是方程的两个实数根，将代入，解得，求出方程的另一实数根为，即； （2）参变分离得到，由基本不等式求出的最小值，得到答案； （3）因式分解得到，分，，，，，求出不等式的解集. 【解答过程】（1）由关于的不等式的解集为，得， 且2和是方程的两个实数根， 将代入可得，解得， 所以的另一实数根为，即，所以，. （2）由，得，又，所以恒成立. 当时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为； （3）当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，. 若，，不等式解集为； 若，不等式可化为，此时不等式解集为； 若，，不等式解集为； 若，，不等式解集为或. 综上可知， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元自测·提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·天津宝坻·阶段检测）设，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，则（　　） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高一上·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（5分）（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 6．（5分）（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 7．（5分）（25-26高一·全国·寒假作业）已知关于x的不等式恰有四个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（5分）（2026高一·全国·专题练习）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·湖南娄底·期末）下列命题中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（6分）（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 11．（6分）（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知不等式，下列说法正确的是（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·河南郑州·期中）已知，，，则的取值范围是__________． 13．（5分）（25-26高一上·浙江温州·期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为__________. 14．（5分）（24-25高一上·云南昆明·阶段检测）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·福建南平·阶段检测）（1）已知，比较与的大小. （2）已知，，求代数式和的取值范围. 16．（15分）（24-25高一上·浙江丽水·期中）已知不等式的解集为． (1)解不等式； (2)若，当时，解关于的不等式． 17．（15分）（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 18．（17分）（24-25高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 19．（17分）（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $