暑假作业01 相交线（巩固培优，15大题型+能力培优练+创新拓展练）七年级数学新教材人教版

**基本信息** 以相交线核心概念为统领，通过定义-性质-判断三级知识架构与15类分层题型结合，形成“概念辨析-性质应用-综合迁移”的完整训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|3个核心知识点|邻补角/对顶角双标准判断、三线八角F/Z/U型识别法、垂线段最短原理|从相交线定义出发，衍生邻补角/对顶角性质，拓展到垂线性质及点到直线距离，构建概念网络| |题型突破|15类分层题型|基础判断（3题）、性质计算（5题）、作图应用（4题）、综合压轴（3题）|按“概念辨析→单一性质应用→多性质综合→动态探究”梯度设计，覆盖中考基础到拔高点|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 相交线 【知识点1 相交线的定义与邻补角、对顶角】 1.定义：两条直线有 ，就说这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 ：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，它们互为邻补角。 性质：邻补角 (和为180°)。 ：两个角有公共顶点，且两边互为反向延长线，它们互为对顶角。 性质：对顶角 。 注：判断邻补角/对顶角的两个标准： ①邻补角：有公共边+另一边互为反向延长线； ②对顶角：有公共顶点+两边互为反向延长线。 【知识点2 垂线的定义与性质】 1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是**90°时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 2.垂线的性质： ·性质1：在同一平面内，过一点 与已知直线垂直； ·性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， （简称“垂线段最短”）。 1.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离。 【知识点3同位角、内错角、同旁内角】 两条直线被第三条直线所截，形成8个角，其中： 1. ：在两条被截直线的同一方，且在截线的同侧，形如“F”型； 2. ：在两条被截直线的之间，且在截线的两侧，形如“Z”型； 3. ：在两条被截直线的之间，且在截线的同侧，形如“U”型。 注：判断三类角的关键：先找“截线”和“被截线”,再根据位置关系判断。 【题型1 判断是否为对顶角】 1．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（     ） A．B．C． D． 2．下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各图中，与是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【题型2 利用对顶角的性质求角度】 1．如图，直线，相交于点O，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将一把剪刀张开一定的角度，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．中国在科学领域取得了很多举世瞩目的成就，世界上第一个小孔成像的实验就是由我国古代的墨子和他的学生完成的（得出了光沿直线传播的结论）．如图，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线，相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型3 判断是否为邻补角】 1．如图，和是邻补角的图形是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 4．如图，下列判断正确的是（   ） A．图①中和是一组对顶角 B．图②中和是一组对顶角 C．图③中和是一对邻补角 D．图④中和互为邻补角 【题型4 利用邻补角互补求角度】 1．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则的值为_____． 2．如图，已知直线相交于点平分，若，则_______． 3．如图，直线交于点是的平分线，，则________． 4．如图，已知直线相交于点O，平分，，则的度数是________；的补角度数是________；与相等的角有________． 【题型5 画垂线（作图题）】 1．如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为； (2)填空： ①线段___________的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“”“”或“”） 2．如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 3．如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到）；测得点到的距离为________（精确到）． (2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“”或“”或“”填空）依据是________． 4．图：已知，平面内三个点A，B，C不在同一条直线上． (1)按要求画图，保留画图痕迹； ①画线段，画射线，画直线； ②延长线段到点D，使得； ③过点A画直线，垂足为； ④连接． (2)观察你画出的图形，写出图形中正确的结论（不少于个）． 【题型6 垂线段最短】 1．如图，点表示村庄，现要把河中的水引向村庄．村民选择沿线段挖渠，理由是________． 2．下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是______（填序号） AI 3．数学来源于生活，服务于生活．下面生活现象体现的数学原理是________． 现象：测量跳远成绩 【题型7 利用点到直线的距离求长度】 1．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是_________． 2．如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是______________． 3．点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为______． 4．如图，在中，，，，，则点A到边的距离是（     ） A．6 B．8 C． D． 5．已知C，D，E三点在直线上，P为直线外一点，，，，则点P到直线的距离（   ） A．等于1 B．小于1 C．大于1 D．不大于1 6．如图，已知，为的中点，点在上，且，到的距离为，的面积为，求的长（   ） A．20 B．12 C．32 D．36 【题型8 利用点到直线的距离求最小】 1．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 2．如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_____． 3．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____． 【题型9 利用垂线的性质求角度】 1．如图，直线、交于点，过点作，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点O，平分，垂足为O．若，则的度数为______ 3．如图，是直线上一点，，射线平分，，则______． 【题型10 正确的判断“三线八角”】 1．《天工开物》中记载我国古代的提水工具“桔槔（）”，它是由竖立的架子和一根细长的杠杆组成．如图是“桔槔”的简易装置图，图中与是内错角的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，与是__________．（同位角，内错角，同旁内角） 3．如图为某巷子的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点和“丁字路口”点，经过测量已知． (1)与有怎样的位置关系，并说明理由； (2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数． 4．如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【题型11 相交线综合解答题】 1．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 2．如图，与互为邻补角，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 3．如图，直线，相交于点，平分，射线在内部． (1)若，求的度数； (2)若，，与垂直吗？请说明理由． 4．如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 【题型12 相交线综合之比值问题求解】 1．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 2．如图，已知直线相交于点O，，垂足为O． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小． 3．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，且，求的度数． 4．如图，直线相交于点O，平分． (1)若，直接写出，的度数； (2)若在直线的上方，，，求的度数． 5．如图，直线，交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 6．如图，直线，相交于点O，直线经过点，，分别平分，，在内部，． (1)若，求的度数； (2)若，，求与的数量关系． 【题型13 相交线综合之倍数问题求解】 1．如图，直线相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 2．如图，直线，相交于点O，平分，于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 3．如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的数量关系是_________，依据是________； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 4．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，且在直线上方，求证：． 5．如图，直线，相交于点O，过点作，在内部作射线． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 【题型14 相交线综合之和差关系求解】 1．如图，直线，相交于点，平分，，射线在内部． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 2．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．若，求的度数． 3．如图，直线，相交于点O，平分，，于点O．若，求的度数． 4．如图，直线与交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 【题型15 相交线综合压轴】 1．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 2．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的一个顶点放在处，边与直线重合，． (1)如图，求的度数． (2)将直角三角尺绕点以度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线绕点以度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺的停止而停止，记旋转时间为秒． ①如图，当直角三角尺旋转到直线上方，且平分时，求的度数． ②探究：在旋转过程中，当时，求的值． 3．是的平分线， (1)若（如图1），请写出的余角 ； (2)若，（如图2），求的度数； (3)若，是平面内一点，设，求的度数（用的关系式表示，且是小于平角的角）． 4．已知是直线上的一点，平分． (1)如图1，射线在直线的同侧． ①若，_________；若，_________； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，射线在直线的异侧，判断与之间的数量关系与②中的结论是否相同，并说明理由． 5．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 1．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知直线相交于点O，平分，平分，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，直线与相交于点O，是的平分线，，． （1）若，则的度数为_______； （2）若，则的度数为_______．（用含的式子表示） 6．中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，井口放置一平面镜，太阳光线与地面的夹角，反射光线恰好垂直于地面（反射角等于入射角，），则平面镜与地面的夹角______． 7．含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图放置，其中和重合．三角板的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．则____时，． 8．如图，直线，相交于点，，分别在，的内部，且平分． (1)若，，求的度数； (2)若，与垂直吗？请说明理由． 9．如图，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为__________； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）． 1．如图所示，平分角的仪器源自几何原理，兴于工匠应用，定型于现代数学教学的便捷分角工具，下列说法不正确的是（     ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 2．汉代初期的《淮南万毕术》所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律探清井底情况的方法．如图是一口深井的示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的是地球截面图，其中分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线M的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线垂直，已知，则的度数是_______． 4．小明从A处向北偏东方向走到达B处，小亮也从A处出发向南偏西方向走到达C处，则的度数为______度． 5．如图，，为两条笔直的公路，加油站位于上． (1)过加油站修建与垂直的公路，与公路交于点，在图中画出公路； (2)在图中画出从加油站到公路的最近路线（点位于上）； (3)在（1）（2）的基础上，到的距离为线段________的长度，，，这三条线段的大小关系为_________（用“<”连接）． 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 相交线 【知识点1 相交线的定义与邻补角、对顶角】 1.定义：两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，它们互为邻补角。 性质：邻补角互补(和为180°)。 对顶角：两个角有公共顶点，且两边互为反向延长线，它们互为对顶角。 性质：对顶角相等。 注：判断邻补角/对顶角的两个标准： ①邻补角：有公共边+另一边互为反向延长线； ②对顶角：有公共顶点+两边互为反向延长线。 【知识点2 垂线的定义与性质】 1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是**90°时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 2.垂线的性质： ·性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ·性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”）。 1.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 【知识点3同位角、内错角、同旁内角】 两条直线被第三条直线所截，形成8个角，其中： 1.同位角：在两条被截直线的同一方，且在截线的同侧，形如“F”型； 2.内错角：在两条被截直线的之间，且在截线的两侧，形如“Z”型； 3.同旁内角：在两条被截直线的之间，且在截线的同侧，形如“U”型。 注：判断三类角的关键：先找“截线”和“被截线”,再根据位置关系判断。 【题型1 判断是否为对顶角】 1．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角，对各选项进行判断即可； 【详解】解： A、与的两边不互为反向延长线，不是对顶角； B、与的两边不互为反向延长线，不是对顶角； C、与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角； D、与没有公共顶点，不是对顶角． 2．下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对顶角定义逐项验证即可． 【详解】解：D选项的图形中，与是对顶角；A、B、C选项的图形中，与不是对顶角． 3．下列各图中，与是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与没有公共顶点，故不是对顶角，不符合题意； B、的一条边不是的一条边的反向延长线，故不是对顶角，不符合题意； C、的一条边不是的一条边的反向延长线，故不是对顶角，不符合题意； D、两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线‌，故是对顶角，符合题意． 【题型2 利用对顶角的性质求角度】 1．如图，直线，相交于点O，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角相等可得，利用角平分线的定义可得，进一步利用邻补角的含义求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 2．如图，将一把剪刀张开一定的角度，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图知与是对顶角，则． 3．如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的性质求出的度数，利用对顶角相等求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：， ． 平分， ， ． 4．中国在科学领域取得了很多举世瞩目的成就，世界上第一个小孔成像的实验就是由我国古代的墨子和他的学生完成的（得出了光沿直线传播的结论）．如图，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，和是对顶角，，又因为和是邻补角，邻补角的定义是两个角相邻且它们的和为．因此，我们可以得出的度数． 【详解】解：和是对顶角， ， ∵， ， 和是邻补角， ， ． 5．如图，直线，相交于点，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得出，由已知条件得出，再由补角的定义得出． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴． 【题型3 判断是否为邻补角】 1．如图，和是邻补角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，由此即可求解． 【详解】解：根据邻补角的概念可得，与有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， 只有选项D符合题意． 2．下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 【详解】解：观察发现：选项D中的∠1与∠2互为邻补角． 3．如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义． 根据题意可得，再根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】， ，即， ， ， 为直线， ， ，即与互补，故A正确，不符合题意； ， 与互余，故B正确，不符合题意； ，， ， 则与互补，故C正确，不符合题意； ， 与互补， 又 与不一定相等， 与互补说法错误，故D错误，符合题意． 故选：D． 4．如图，下列判断正确的是（   ） A．图①中和是一组对顶角 B．图②中和是一组对顶角 C．图③中和是一对邻补角 D．图④中和互为邻补角 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角和邻补角的概念．根据对顶角和邻补角概念逐项判断即可．有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．熟练掌握两者定义是解题的关键． 【详解】解：图①和没有公共顶点，故和不是一组对顶角，故A不符合题意； 图②中的其中一边不是的反向延长线，故和不是一组对顶角，故B不符合题意； 图③中和相加不等于，所以和不是邻补角；故C不符合题意； 图④中和两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，是邻补角，故D符合题意； 故选：D． 【题型4 利用邻补角互补求角度】 1．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则的值为_____． 【答案】或 【分析】分这两个角是对顶角和邻补角两种情况讨论，根据对顶角的性质和邻补角的定义列方程求解即可． 【详解】解：当这两个角是对顶角时， 可得，即， 解得； 当这两个角是邻补角时， 可得，即， 解得， 综上，的值为或． 2．如图，已知直线相交于点平分，若，则_______． 【答案】/度 【分析】设，，根据角平分线定义得出，利用邻补角互补列出关于的方程，求出的度数，最后根据邻补角定义计算的度数，即可求解． 【详解】解：设，， 平分， ， ， ， 解得， ， ， ． 3．如图，直线交于点是的平分线，，则________． 【答案】 【分析】先根据邻补角求出，再根据角平分线定义求出角，最后根据邻补角定义求得． 【详解】解：， ， 是的平分线， ， ． 4．如图，已知直线相交于点O，平分，，则的度数是________；的补角度数是________；与相等的角有________． 【答案】 ， 【分析】根据角平分线的定义由的度数求出和的度数；根据补角的定义求出的补角的度数；根据对顶角相等和等角的补角相等找出与相等的角． 【详解】解：因为平分，， 所以， 因为， 所以的补角度数是， 因为直线，相交于点， 所以， 又因为， ， 所以， 所以与相等的角有，． 【题型5 画垂线（作图题）】 1．如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为； (2)填空： ①线段___________的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“”“”或“”） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）①根据垂线的定义解题即可； ②根据垂线段最短解题即可． 【详解】（1）解：如图，、即为所求； （2）解：①线段的长度表示点P到直线的距离； ②因为垂线段最短，则． 2．如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）先结合两处垂直条件，连续运用垂线段最短分步比较线段大小，最后得出． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 得此结论的依据是垂线段最短． 3．如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到）；测得点到的距离为________（精确到）． (2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“”或“”或“”填空）依据是________． 【答案】(1)见解析 (2)；垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段： （1）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这个点到这条直线的距离； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【详解】（1）解：如图所示，垂线段，即为所求． ∵， ∴点到的距离为线段的长度，经测量（依据图形实际大小确定）． ∵， ∴点到的距离为线段的长度，经测量（依据图形实际大小确定）． （2）∵， ∴点与直线上各点的连线中垂线段最短． ∴． 4．图：已知，平面内三个点A，B，C不在同一条直线上． (1)按要求画图，保留画图痕迹； ①画线段，画射线，画直线； ②延长线段到点D，使得； ③过点A画直线，垂足为； ④连接． (2)观察你画出的图形，写出图形中正确的结论（不少于个）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析（答案不唯一） 【分析】（）根据射线、直线、线段的画法，垂线的画法，画出图形即可求解； （）观察图形可得，由垂线定义可知，即；由画图步骤可知，且线段与相交于点，这些均为图形中的正确结论． 【详解】（1）解：①画线段：用直尺连接点和点，得到线段； 画射线：以为端点，经过向方向无限延伸； 画直线：经过和两点，向两端无限延伸； ②延长线段到点：从出发，沿着的延长线方向截取一段长度等于的线段，使得，即； ③过点画直线：将三角板的一条直角边与重合，另一条直角边经过点，沿着这条直角边画直线，与交于点，即为所求垂线，垂足为； ④连接：用直尺连接点和点，得到线段， 如图所示，线段，射线，直线，线段，，即为所求； （2）解：观察图形发现：第一个：， 即：（垂线的定义）； 第二个：（由画图步骤②可知，）； 第三个：线段与线段相交于点（由画图步骤②和④可知）； 第四个：点在上，且是从到的垂线段（垂线段最短）． 【题型6 垂线段最短】 1．如图，点表示村庄，现要把河中的水引向村庄．村民选择沿线段挖渠，理由是________． 【答案】 垂线段最短 【详解】解：由图可知，，即为点到直线的垂线段， 根据垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短， 所以村民选择沿线段挖渠，理由是垂线段最短． 2．下列三个日常现象：其中可以用“垂线段最短”来解释的是______（填序号） AI 【答案】① 【分析】本题考查了垂线段最短、两点之间线段最短以及直线的性质，根据垂线的性质：垂线段最短，两点之间线段最短，两点确定一条直线，分别分析三个现象即可得到结论． 【详解】解：①跳远成绩的测量，是测量落地点到起跳线的垂直距离，利用了“垂线段最短”的性质，符合题意． ②道路改道，是将弯曲的道路改为直路，缩短了路程，利用了“两点之间线段最短”的性质，不符合题意． ③木条固定，是用两个钉子将木条固定在墙上，利用了“两点确定一条直线”的性质，不符合题意． 3．数学来源于生活，服务于生活．下面生活现象体现的数学原理是________． 现象：测量跳远成绩 【答案】垂线段最短 【分析】根据生活现象：测量跳远成绩体现的数学原理是垂线段最短，进行作答即可． 【详解】解：依题意，测量跳远成绩体现的数学原理是垂线段最短． 【题型7 利用点到直线的距离求长度】 1．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是_________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是． 2．如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是______________． 【答案】 【分析】点在点时，值最大，当点运动到时，值最小，求出的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，取得最小值， 此时； 当点与点重合时，取得最大值，最大值为4． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点到直线的距离和直角三角形的性质，根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半，进行计算． 3．点是直线外一点，，，分别是直线上三点，已知，，，若点到直线的距离记为，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．利用点到直线的距离定义求解即可． 【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 点到直线的距离， 的取值范围为． 故答案为：． 4．如图，在中，，，，，则点A到边的距离是（     ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】解：设点A到边的距离是， ∵在中，，，，， ∴，即， ∴， 即点A到边的距离是． 5．已知C，D，E三点在直线上，P为直线外一点，，，，则点P到直线的距离（   ） A．等于1 B．小于1 C．大于1 D．不大于1 【答案】D 【分析】根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：垂线段最短， ∴点P到直线的距离不大于、、． ，，， ． 点P到直线的距离不大于，即不大于1． 6．如图，已知，为的中点，点在上，且，到的距离为，的面积为，求的长（   ） A．20 B．12 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离，过点作于点，根据题意得出，根据的面积为，，得出的面积为，根据三角形的面积公式求得，由为的中点，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点 ∵到的距离为， ∴， ∵的面积为，， ∴的面积为， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：C． 【题型8 利用点到直线的距离求最小】 1．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 2．如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故答案为：． 3．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：在中，，，为边上的高，，如图，过点作于点， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为， 故答案为：． 【题型9 利用垂线的性质求角度】 1．如图，直线、交于点，过点作，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等的性质及垂线的定义，根据图形找出角度间的关系是解题关键，由对顶角相等可得，由垂直可得，进而利用角的和差关系求解． 【详解】解： 直线、交于点， （对顶角相等）， ， ， ． 2．如图，直线相交于点O，平分，垂足为O．若，则的度数为______ 【答案】/140度 【分析】先求出，，即可求出结论． 【详解】解：平分，， ， ， ， ． 3．如图，是直线上一点，，射线平分，，则______． 【答案】/20度 【分析】根据条件先求出，设，则，根据列出方程，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 【题型10 正确的判断“三线八角”】 1．《天工开物》中记载我国古代的提水工具“桔槔（）”，它是由竖立的架子和一根细长的杠杆组成．如图是“桔槔”的简易装置图，图中与是内错角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 【详解】解：图中与是内错角的是． 2．如图，与是__________．（同位角，内错角，同旁内角） 【答案】同位角 【详解】解：由图可知，与是同位角． 3．如图为某巷子的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点和“丁字路口”点，经过测量已知． (1)与有怎样的位置关系，并说明理由； (2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的同位角，内错角，同旁内角． 【分析】（1）根据垂线的定义，结合平角与，可以得到，由此确定与的位置关系； （2）根据可得，结合三线八角的同位角，内错角以及同旁内角的定义，可以确定的同位角，内错角以及同旁内角，由此可以解答本题． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是直线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴的同位角，内错角，同旁内角． 4．如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 【题型11 相交线综合解答题】 1．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据对顶角相等和已知条件，求出，从而求出即可； （2）先根据垂直定义和已知条件求出，再根据已知条件求出，进而求出即可证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：， ． ， ， ∴， ， ， 与互余． 2．如图，与互为邻补角，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据邻补角的定义求出，根据角平分线的定义得到，，即可求出的度数； （2）根据角平分线的定义得到，根据邻补角的定义求出，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：与互为邻补角， ， 平分，平分， ，， ； （2）解：平分，， ， 与互为邻补角， ， 平分， ． 3．如图，直线，相交于点，平分，射线在内部． (1)若，求的度数； (2)若，，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)与垂直，理由见解析 【分析】（1）由对顶角相等，邻补角互补求出，，由角平分线的定义得出，即可求出的度数； （2）先求出，再根据对顶角相等得到，根据平角的定义求出的度数，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，． 平分， ． ． （2）解：，理由如下： ，， ． ． 平分， ． ． ． 4．如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)与垂直，理由见解析 【分析】（1）根据对顶角定义直接求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，再根据邻补角的定义可得的度数； （3）根据角平分线的定义可得，，再根据邻补角的定义可得． 【详解】（1）解：的对顶角是，的邻补角是； （2）平分，， ， ， 的度数为； （3）与垂直，理由如下： 平分，平分， ，， 又， ， ． 【题型12 相交线综合之比值问题求解】 1．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对顶角相等得到，再由角平分线的定义得到，进而根据即可求解； （2）设 ，由角平分线的定义得到，因此 ．由，得到，即可列出方程，求得，因此，根据对顶角相等即可解答． 【详解】（1）解：和是对顶角， ． 平分， ， （2）解： ， 设 ． 平分， ， ． ， ， ， ， 解得， ， ， ． 2．如图，已知直线相交于点O，，垂足为O． (1)若，求的大小； (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂线的定义得到，再由平角的定义可得答案； （2）根据邻补角互补和已知条件求出的度数，由垂线的定义得到，则可求出的度数，再由邻补角互补可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对顶角可得，然后利用角平分线的定义和平角定义进行计算，即可解答； （2）根据已知，可设，再利用角平分线的定义可得，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，再利用角的和差关系得，即可得到答案． 【详解】（1）解：和是对顶角， ， 平分， ， ； （2）解：， ∴设， 平分， ∴， ， ， ， ， ，解得， ， ， ． 4．如图，直线相交于点O，平分． (1)若，直接写出，的度数； (2)若在直线的上方，，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对顶角相等得出，利用邻补角的定义求出，再利用角平分线的定义即可得出； （2）由垂线的定义得到，由，，求出，利用邻补角的定义求出，再利用角平分线的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵平分， ∴ ； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 5．如图，直线，交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据对顶角相等得到，根据垂线的定义得到，即可求出的度数； （2）根据求出，根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵且平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 6．如图，直线，相交于点O，直线经过点，，分别平分，，在内部，． (1)若，求的度数； (2)若，，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，设，则，根据平角的定义列方程求出，根据对顶角相等，结合垂直的定义即可求出； （2）由平角的定义得出，根据角平分线的定义得出，根据垂直的定义得出，根据即可得答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型13 相交线综合之倍数问题求解】 1．如图，直线相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ； （2）解：设，则． 平分， ， 又， ， 解得， ． ， ， ． 2．如图，直线，相交于点O，平分，于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，进一步结合角的和差求解即可； （2）设，，解得，根据对顶角相等，角的和差求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：平分， ， 设， ， ， ， 解得， ， ， ， ． 3．如图，直线，相交于点，． (1)若，判断与的数量关系是_________，依据是________； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，同角的余角相等 (2) 【分析】（1）由垂直的定义，依据同角的余角相等即可得到答案； （2）由已知条件和平角定义列方程求解得到，再结合对顶角相等求出，最后由垂直的定义，数形结合表示出要求的角度即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 则，依据是同角的余角相等； （2）解：，， ， 则， ， ， ． 4．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，且在直线上方，求证：． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ， ． 【分析】（1）根据对顶角相等可得，根据邻补角互补可得，根据角平分线的定义可得，进而求得； （2）根据垂直的定义可得，进而根据角平分线的定义可得，则，即可得证． 【详解】（1）解： ， ，， 平分， ， ， （2）证明：略． 5．如图，直线，相交于点O，过点作，在内部作射线． (1)若，求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等角的余角相等即可求得； （2）设，则，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，解得， ∴， ∵， ∴． 【题型14 相交线综合之和差关系求解】 1．如图，直线，相交于点，平分，，射线在内部． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，则，再利用平分，得，最后根据与为对顶角求得答案； （2）根据，求得，结合题干求得，再根据求得答案． 【详解】（1）， ， 平分， ， ； （2）由（1）知，， ， ，， ， ， ， ． 2．如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】设，则，则，再由角平分线得到，最后根据建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴． 3．如图，直线，相交于点O，平分，，于点O．若，求的度数． 【答案】 【分析】根据垂线的定义得到，，进而得到，求出，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 解得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 4．如图，直线与交于点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由垂线的定义可得，即可得出，由角平分线的定义得出，再利用邻补角计算即可得出答案； （2）由题意得出，表示出，根据角平分线的定义得出，结合求出，再求出的度数，即可得解． 【详解】（1）解： ， ， ． 平分， ， ． （2）解： 比大， ， ． 平分， ． ， ， 解得， ， ． 【题型15 相交线综合压轴】 1．直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 2．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的一个顶点放在处，边与直线重合，． (1)如图，求的度数． (2)将直角三角尺绕点以度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线绕点以度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺的停止而停止，记旋转时间为秒． ①如图，当直角三角尺旋转到直线上方，且平分时，求的度数． ②探究：在旋转过程中，当时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角的性质、角的和差运算以及动态几何中的分类讨论思想，熟练掌握角的和差关系、根据旋转位置进行分类讨论并建立方程是解题的关键． （）利用平角为的性质，结合已知、，通过角度和差关系直接计算的度数． （2）①先根据角平分线的定义，由平分且，得出；再结合旋转中角度的动态变化关系，建立关于时间的方程，进而求出的度数．②根据三角尺的旋转位置分三种情况讨论：当未与重合时，结合的关系表示出，再由列方程求解．当与重合后、未到下方时，分析角度关系列出方程，检验解是否符合区间范围．当在下方时，用含的式子表示和，再根据角度倍数关系列方程求解，最终综合所有情况得到的值． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：①如图2， 平分，， ， 当旋转时间为秒时，， 则，解得， ， ②（）当顺时针旋转未与重合，即当时，如图 ， 由，得， 解得； （）当与重合后开始逆时针旋转，即当时，如图， ， 则， 由，得， 解得，此情况不符合题意，舍去， （）当在下方，即当时，如图， ， 由，得， 解得， 综上所述，或． 3．是的平分线， (1)若（如图1），请写出的余角 ； (2)若，（如图2），求的度数； (3)若，是平面内一点，设，求的度数（用的关系式表示，且是小于平角的角）． 【答案】(1)和 (2) (3)；； 【分析】本题主要考查了角的和差，角的平分线，余角的定义，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，根据角平分线得出相等的角，然后根据余角定义进行求解即可； （2）根据角平分线得出相等的角，然后根据角的和差进行求解即可； （3）根据角平分线得出相等的角，然后分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的余角是和； 故答案为：和； （2）解：平分， ， ， 答：； （3）解： 平分，， ， 点在所在直线的上方，如答图所示： ，，， ， 答：的度数可表示为； 点在所在直线的下方，且时，如答图所示 ，； 答：的度数可表示为； 点在所在直线的下方，且时，如答图所示： ， ， 答：的度数可表示为． 4．已知是直线上的一点，平分． (1)如图1，射线在直线的同侧． ①若，_________；若，_________； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，射线在直线的异侧，判断与之间的数量关系与②中的结论是否相同，并说明理由． 【答案】(1)①，；②，证明见解析； (2)相同，理由见解析 【分析】本题考查角度的计算，主要涉及角平分线，垂直，邻补角的相关知识，计算过程中注意合理利用已知条件，利用角的和差来求解要求的角． （1）①先求出，根据平分得到，即可得到，同理可得当时，； ②猜想，根据，平分即可得到，由，得到，猜想得证； （2）根据，平分即可得到，由，得到，结论得证． 【详解】（1）解：①∵ ∴， ∵平分． ∴ ∵， ∴； ∵ ∴， ∵平分． ∴ ∵， ∴， 故答案为：；； ②猜想， 证明：∵，平分． ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：与之间的数量关系与②中的相同，即， 理由如下： ∵，平分． ∴， ∴， 即． 5．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值， 1．新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线、互为完美交线，O为它们的完美点，，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据定义，分类画图求解即可； 【详解】解：如图，根据题意，得， ， ， ； 如图，根据题意，得， ， ， ； 故的度数为或； 2．直线、相交于，平分，过点作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对顶角的性质可求得的度数，由角平分线的性质得出的度数，再利用垂直定义得出的度数，最后根据求解即可． 【详解】解：直线、相交于，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：D． 3．如图，O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由题意可得，，再根据平角的定义列方程，求出，即可得解． 【详解】解：设， ，， ，， 是的平分线， ， ， ， ， ． 4．如图，已知直线相交于点O，平分，平分，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】利用角平分线的有关计算，邻补角的定义，对顶角相等分别计算求解． 【详解】解：平分，， ， ，故①正确； ， ． 平分， ， ，即，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ，故④正确． 综上所述，正确的有个． 5．如图，直线与相交于点O，是的平分线，，． （1）若，则的度数为_______； （2）若，则的度数为_______．（用含的式子表示） 【答案】 /度 / 【分析】（1）由邻补角的定义可得，由垂直的定义可得，再运用角的和差即可解答； （2）由邻补角的定义可得，利用角平分线的定义可得，由垂直的定义可得，再运用角的和差即可解答． 【详解】解：（1）∵与是邻补角，且， ∴ ， ∵， ∴， ∴． （2）∵与是邻补角，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．中国古代重要文献《淮南万毕术》中记载了古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图，为了将深井照亮，井口放置一平面镜，太阳光线与地面的夹角，反射光线恰好垂直于地面（反射角等于入射角，），则平面镜与地面的夹角______． 【答案】68 【分析】由题意可得，，再结合求出，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图放置，其中和重合．三角板的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．则____时，． 【答案】3或39 【分析】分两种情况：当转动时，，一共转动，． 【详解】解：当转动时，，如图： ∴， 当再转动时，，如图： ∴一共转动， ∴， 综上所述，t为3或39时，． 8．如图，直线，相交于点，，分别在，的内部，且平分． (1)若，，求的度数； (2)若，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】（1）根据角平分线得出，然后结合图形求解即可； （2）根据角平分线得出，然后结合图形确定，得出，即可证明． 【详解】（1）解：平分，， ，      点O在直线上， ，      ． （2）． 理由：平分，， ，      ， ， 即，      ， ，      ． 9．如图，点O在直线上，与互补，． (1)若，，则的度数为__________； (2)若，求n的值； (3)若，设，求的度数（用含的代数式表示的度数）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解； （2）设，根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，根据，即可求解； （3）根据补角的性质以及邻补角的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵与互补， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设． 因为，， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以； （3）解：因为，， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 1．如图所示，平分角的仪器源自几何原理，兴于工匠应用，定型于现代数学教学的便捷分角工具，下列说法不正确的是（     ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】对每个选项，先找到对应两个角的边，确定截线与被截直线，再根据三类角的位置特征判断是否符合定义，选出不符合对应角定义的选项． 【详解】解：本题考查三线八角（同位角、内错角、同旁内角）的定义，三类角都要求两个角各有一条边在同一条公共截线上，再根据位置判断： 选项A：与，是直线、被直线所截，两个角在截线同侧，且夹在、之间， 属于同旁内角，A说法正确． 选项B：与，是直线、被直线所截，两个角在截线两侧，且夹在、之间， 属于内错角，B说法正确． 选项C：与，不满足同位角的位置关系， 不存在公共截线使二者构成同位角，C说法错误． 选项D：与是直线、被直线所截，两个角在截线同侧，且在被截线、之间， 属于同旁内角，D说法正确． 2．汉代初期的《淮南万毕术》所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律探清井底情况的方法．如图是一口深井的示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再结合已知条件求出，最后根据求解即可． 【详解】解：，， ， 且 ， ， 3．如图所示的是地球截面图，其中分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线M的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线垂直，已知，则的度数是_______． 【答案】 【分析】由垂直的定义得，再根据平角的定义求解． 【详解】解：由题意知， ， 又 ， ． 4．小明从A处向北偏东方向走到达B处，小亮也从A处出发向南偏西方向走到达C处，则的度数为______度． 【答案】 【分析】本题考查方位角的应用，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，，再求出 则，即可解答． 【详解】解：如图所示，由题意，得   ，， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，，为两条笔直的公路，加油站位于上． (1)过加油站修建与垂直的公路，与公路交于点，在图中画出公路； (2)在图中画出从加油站到公路的最近路线（点位于上）； (3)在（1）（2）的基础上，到的距离为线段________的长度，，，这三条线段的大小关系为_________（用“<”连接）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)； 【分析】（1）过点作直线即可； （2）过点作线段即可； （3）由连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，即可得出结果． 【详解】（1）解：下图中即为所作： （2）解：下图中即为所作： （3）解：由图可知， ∴到的距离为垂线段的长度， ∴． 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $