专题03 整式的乘除（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材浙教版

专题03 整式的乘除（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 利用幂的运算判断是否正确 题型14 多项式乘法中规律探索问题 题型2 幂的逆运算求代数式的值 题型15多项式乘法中杨辉三角问题 题型3 利用幂的运算进行简便运算 题型16 判断能否使用平方差公式 题型4 利用幂的运算比较大小 题型17 平方差公式与几何图形 题型5 幂的综合运算 题型18 求完全平方中的字母系数 题型6 幂的运算中用字母表示 题型19 完全平方公式在几何中的应用 题型7 幂的运算中新定义类 题型20 利用乘法公式求代数式的值 题型8 利用单项式乘法求代数式的值 题型21 利用乘法公式求比较大小 题型9 （x+p）（x+q）型多项式乘法求参数 题型22 乘法公式与几何图形综合 题型10 已知多项式乘法中不含某一项问题 题型23 通过对完全平方公式变形求值 题型11 多项式乘法中化简求值 题型24 用科学记数法表示小于1的数 题型12 多项式乘以多项式与图形面积问题 题型25 用科学记数法表示数的除法 题型13 整式乘除中计算题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） 熟练掌握幂的运算法则，能正确进行幂的混合运算，会逆用法则进行简便计算 基础必考点，常出现在选择、填空题，是整式乘除的运算基础 零指数幂与负整数指数幂 理解零指数幂和负整数指数幂的意义，能进行相关计算 易错点，易忽略底数不为 0 的条件，常结合科学记数法考查 单项式乘单项式 / 多项式 掌握单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，能正确计算 基础运算题，常与后续多项式乘法、乘法公式结合考查 多项式乘多项式 掌握多项式与多项式相乘的法则，能按步骤展开计算 中档题常考点，是乘法公式推导的基础，易出现漏项、符号错误 乘法公式（平方差公式、完全平方公式） 能熟练运用平方差公式、完全平方公式进行计算，会逆用公式进行化简、求值 本章核心重难点，常考正向、逆向应用及公式变形，也会结合几何图形考查 整式的除法（单项式除以单项式、多项式除以单项式） 掌握整式除法的运算法则，能正确进行计算 与整式乘法互为逆运算，常出现在基础计算题中，易错点为系数和指数运算 知识点01 同底数幂的乘法 概念：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：(m、n都是正整数)。 示例 易错点： 1.指数直接相乘(如错算成),应是指数相加； 2.底数不同时误用公式(如不能直接用该法则); 3.指数为1时漏写(如错算成，正确应为)。 知识点02 幂的乘方 概念：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式：(m、n都是正整数)。 示例： 易错点： 1.指数直接相加(如(2³)⁴错算成2⁷),应是指数相乘； 2.与同底数幂乘法混淆，乱用指数运算法则； 3.底数为负数时，忽略符号(如(-a²)³错算成a⁶,正确应为-a⁶)。 知识点03 积的乘方 概念：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：(n是正整数)。 示例： 易错点： 1.漏乘部分因式(如(2a)³错算成2a³,正确应为8a³); 2.符号处理错误(如(-2x)³错算成8x³,正确应为-8x³); 3.指数分配不全(如(ab²)³错算成ab⁶,正确应为a³b⁶)。 知识点04 同底数幂的除法 概念：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 公式(、n都是正整数，且)。 示例： 易错点： 1.指数直接相除(如错算成),应是指数相减； 2.忽略底数不能为0的条件(如0⁵÷0³无意义); 3.指数为1时漏写(如a³÷a错算成a³,正确应为a²)。 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 概念： 零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即； 负整数指数幂：任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p次幂的倒数，即 ,p是正整数)。 示例(注意无意义) 易错点： 1.认为,实际无意义； 2.符号处理错误(如错算成，正确应为 3.负指数幂与相反数混淆(如错算成,正确应为 知识点06 单项式乘单项式 概念：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 易错点： 1.漏乘只在一个单项式中出现的字母； 2.系数相乘时符号出错（如负负得正、正负得负混淆）； 3.同底数幂指数相加错误。 知识点07 单项式乘多项式 概念：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 示例： 易错点： 1.漏乘多项式中的某一项(尤其是常数项); 2.单项式为负数时，漏改多项式项的符号； 3.合并同类项时出错。 知识点08 多项式乘多项式 概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 示例： 易错点： 1.漏乘项(常见“交叉项”漏乘); 2.符号错误(尤其是负数项相乘时); 3.合并同类项时计算错误。 知识点09 平方差公式 概念：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式： 易错点： 1.公式应用条件错误(如误用公式); 2.平方时漏加括号(如(2a)²错算成2a²,正确应为4a²); 3.符号处理错误(如错算成,正确应为。 知识点10 完全平方公式 概念： 和的完全平方：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍，即 差的完全平方：两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍，即 易错点： 1.漏写中间项(如错算成; 2.中间项符号错误(如错算成或; 3.系数平方错误(如错算成,正确应为。 知识点11 单项式除以单项式 概念：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 示例： 易错点： 1.漏写只在被除式中出现的字母； 2.系数相除时符号出错； 3.同底数幂指数相减错误。 知识点12 多项式除以单项式 概念：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 易错点： 1.漏除多项式中的某一项(尤其是常数项); 2.符号处理错误(如负号漏变号); 3.同底数幂指数相减错误。 题型一 利用幂的运算判断是否正确 易｜错｜点｜拨 一、运算法则混淆(最高频) 1.同底数幂相乘：指数相加，误算成指数相乘/相除。 2.幂的乘方：指数相乘，误算成指数相加，和同底数幂乘法搞混。 3.同底数幂相除：指数相减，误算成指数相除/相乘。口诀记：乘加、乘方乘、除减。 二、指数细节疏漏 1.单独字母(如a、x)默认指数为1,运算时容易漏掉。 2.多层幂的乘方，连续指数计算出错。 三、积的乘方常见错误 1.只给字母乘方，漏算系数、常数项的乘方。 2.多个因式相乘时，个别因式忘记乘方。 四、符号判断失误 1.负数乘方：奇次幂为负，偶次幂为正，符号判断颠倒。 2.混淆(-a)"与-a"的运算顺序与结果符号。 3.负指数幂、括号前带负号时，逐项变号出错。 五、零指数、负整数指数幂误区 1.认为,实际0的0次幂无意义;零指数幂要求底数,结果为1。 2.把负指数当成数字取负，是取倒数，不是求相反数。 3.混淆和的计算结果。 【典例1】（24-25七年级下·吉林白山·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的相关运算法则及同类项的合并规则，需根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，以及同类项的定义逐一判断选项． 【详解】∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A选项错误； ∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，故B选项正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故C选项错误； ∵与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并， ∴，故D选项错误． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义、单项式乘多项式法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则，逐一判断各选项的运算是否正确． 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并，∴A选项运算错误． ∵根据单项式乘多项式法则，==，∴B选项运算正确． ∵根据同底数幂的乘法法则， ，∴C选项运算错误． ∵根据幂的乘方法则， ，∴D选项运算错误． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘，掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘逐一判断即可． 【详解】解：A．，该项错误； B．，该项错误； C．，该项正确； D．，该项错误； 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，需根据各运算法则逐一判断选项正误，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算正确，符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 题型二 幂的逆运算求代数式的值 解｜题｜技｜巧 设,m、n为正整数 1.同底数幂乘法 正用： 逆用： 2.幂的乘方 正用： 逆用： 3.积的乘方 正用： 逆用： 4.同底数幂除法 正用： 逆用： 【典例2】（24-25七年级下·山东烟台·期末）已知，，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 利用指数运算法则，由，得，，再将表示为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方逆运算．将看作一个整体并求出其值，然后逆用幂的乘方，同底数幂相乘将变形为，再整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式2】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知：，则______． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆运算，解一元一次方程，掌握好相关的运算法则是关键． 将方程中的所有幂转换为以为底的幂，利用指数运算法则简化方程，再根据底数相同指数相等的原则求解． 【详解】解：根据幂的乘方运算法则进行化简，得， ，，，， ∴原方程化简为：， 合并，得， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·江西上饶·期末）若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，解题关键在于掌握同底数幂的乘法运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则将等式，再根据题目给出的定义即可求出答案； （2）根据同底数幂的运算法则与幂的乘方以及题目给出的定义即可求出答案； （3）根据同底数幂的乘法的逆运算法则可将化为，由此可得再根据题目给出的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：， ，， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 即， ， ； （3）解：， ， ， ， 即， ． 【变式4】（24-25七年级下·重庆万州·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）24；（2）1 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 题型三 利用幂的运算进行简便运算 【典例3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算：_____． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的逆用，积的乘方的逆用．先逆用同底数幂的乘法将化为，再逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：4． 【变式1】（24-25七年级下·北京顺义·期中）计算： ____． 【答案】 【详解】解：原式 . 【变式2】（24-25七年级下·浙江台州·期中）计算：_____． 【答案】 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）计算：________． 【答案】 【分析】先将原式中变形为，再逆用积的乘方运算法则进行计算． 【详解】解： 题型四 利用幂的运算比较大小 【典例4】（24-25七年级下·广东湛江·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意，将指数化为相同，底数越大，值越大，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故选：D ． 【变式1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，结合即可比较； （2）根据题意可知，，结合，再逆向推导a、b的大小即可； （3）由指数幂的运算，得，，再结合即可比较； 【详解】（1）解：，且， ，即； （2）解：， ， ， ， ； （3）解： ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请直接把a，b，c用“”连接起来 ； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)200 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小即可； （2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； （2）解：， ∵， ∴原式． 【变式3】（24-25七年级下·河南南阳·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值． (2)若，求m的值． (3)比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算，解决本题的关键是逆运用计算法则． （1）逆用同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，进行运算，即可解答； （2）转化为底数为３的幂进行计算，即可解答； （3）转化为指数相同的幂，再根据正指数相同的正数底数幂，底数大的幂大，底数小的幂小，比较大小，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ∵ ， ∴， ∴， 解得． （3）解：∵，，， ∴， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 题型五 幂的综合运算 【典例5】（24-25七年级下·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项． 先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式2】（24-25七年级下·北京朝阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先用幂的乘方，再计算同底数幂相乘，然后合并同类项； （2）先计算积的乘方、幂的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式3】（24-25七年级下·青海海西·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的运算性质，包括幂的乘方、同底数幂的乘法，以及合并同类项．解题的关键在于熟练掌握幂的运算性质，将每一个单项式通过幂的运算规则进行化简，再将化简后的同类项合并，从而得到最简结果． 【详解】 题型六 幂的运算中用字母表示 【典例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【详解】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如果，，那么______．（用含、的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方，掌握好幂运算的法则是关键． 利用积的乘方法则，将转化为，再代入已知条件即可． 【详解】解：由积的乘方法则可得，． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则正整数与的等量关系为______________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键；将等式两边化简后对照即可得出结论． 【详解】解：， 整理得：， ∴， 即：． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）若，（为整数），则的值是_____．（用含、的代数式表示结果） 【答案】 【分析】根据题意，得，公式变形后代入计算解答即可． 本题考查了幂的运算，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由，得 ， 故， 又， 所以，， 故， 故答案为：． 题型七 幂的运算中新定义类 【典例7】（24-25七年级下·四川眉山·期末）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 【答案】(1)6 (2)； (3) 【分析】本题考查了同底数幂相乘的运算法则．根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴（个1相加）， （个相乘） ， ∴（2025个1相加）， （2025个相乘） ， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____． (2)①若，，，请你尝试证明：；②若，，，则_____（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ， ， ，即． ． (3)结合上文结论，求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② (3) 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义，熟记指数幂相关运算法则是解决问题的关键． （1）由新定义运算法则直接求解即可得到答案； （2）①由新定义运算法则及同底数幂的乘法运算法则证明即可；②按照①的证明思路求解即可得到答案； （3）按照材料中的探究过程，结合新定义运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如果，那么， ， ； ， ； 则， 故答案为：； （2）①证明：，，， ，，， ， ，即， ； ②由①的证明过程可知，，， ， ，即， 则， 故答案为：； （3）解： ； 设，，则， ， ， ， ， 即． 【变式2】（24-25七年级下·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键． （1）根据题意的计算方法求解即可； （2）根据题意得到，，，结合题意，运用幂的乘方，同底数幂的计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）结合幂的乘方及同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （3）根据新定义的运算，结合同底数幂的乘法与有理数的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）当，，时， ； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】本题考查新定义，幂的乘方，同底数幂的乘法，有理数的乘方，求代数式的值，解题的关键是正确理解新定义，掌握相应的运算法则． 题型八 利用单项式乘法求代数式的值 解｜题｜技｜巧 通用解题步骤（四步固定流程） 1.观察式子：判断式子结构（单项式×单项式、单项式×多项式），区分已知条件与待求式； 2.运用法则化简：按单项式乘法规则展开、计算，合并同类项； 3.整理最简形式：将式子化为最简单项式/多项式； 4.代入数值计算：把字母取值代入最简式，算出结果。 【典例8】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）若，则的值为 __． 【答案】4 【分析】先利用单项式乘单项式法则计算，再根据等式得到指数间关系，最后求出． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴①，②． ∴，得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键． 题型九（x+p）（x+q）型多项式乘法求参数 解｜题｜技｜巧 展开公式： 口诀：首平方，尾积为常数，首尾和为一次项系数。 结构对应：二次三项式 (常数项=两个常数之积) 【典例9】（24-25七年级下·福建泉州·期末）若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出给定等式左边的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ． 【变式1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若，则常数n的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法，运用多项式乘多项式法则展开等式左边，再根据等式两边同类项系数相等求解常数n的值. 【详解】∵ ； 又∵， ∴， 根据等式两边同类项系数相等，得． 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·四川乐山·期末）将多项式分解因式为：，则（    ） A．2025 B．1225 C．625 D．225 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 通过比较因式分解后的系数，求出p和q的值，然后计算． 【详解】解：， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 题型十 已知多项式乘法中不含某一项问题 解｜题｜技｜巧 一、核心原理 两个多项式相乘展开后，不含某一项=该项的系数为0。 解题通用逻辑：先展开合并同类项→找到指定项系数→令系数=0→解方程求参数。 二、标准解题四步法(通用所有题型) 1.按法则展开：多项式逐项相乘，不要漏项、错符号； 2.合并同类项：把同次项整理到一起，写成标准多项式形式； 3.锁定目标项：找出题目说“不含”的那一项，提取它的系数； 4.列方程求解：令该系数=0,解出参数，最后可检验。 【典例10】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式与多项式相乘的法则化简，令项系数为0即可计算的值． 【详解】解： 不含项， ， ， 故选：D ． 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键.． （1）先计算A与B的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有x项和常数项为4，列方程即可得到答案； （2）把代入，利用整式的四则运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， 与的乘积中不含有项，常数项为4， ，解得． 把代入，可得， 故． （2）解：根据（1）可知，， ． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算、整式的化简求值、多项式中不含某一项的条件应用，熟练掌握根据新运算定义转化为常规运算，以及利用多项式不含某一项则其系数为0的性质是解题的关键． （1）根据新运算定义，直接代入和进行计算． （2）先按照新运算定义展开，再通过去括号、合并同类项化简，最后利用、互为相反数及是最大的负整数的条件代入求值． （3）先根据新运算定义分别表示出与，再计算它们的差，合并同类项后，根据差中不含项，令项的系数为0，解方程求出的值． 【详解】（1）解：． （2）解： ， 由题意得，， 原式． （3）解：由题意得 ， 与的差中不含项， ， 解得． 【变式3】已知的展开式中不含x的一次项，常数项是，求： (1)m，n的值． (2)的值． 【答案】(1) (2)35 【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出的值； （2）先将原式进行化简，然后将与的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ． 由题意可知，， ． （2）解： ． ， ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 题型十一 多项式乘法中化简求值 【典例11】（24-25七年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，多项式乘多项式——化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用多项式乘以多项式和分配律展开，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）（1） 化简：； （2） 先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2），24 【分析】本题考查整式的化简和求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）直接合并同类项化简即可； （2）先去括号，合并同类项，再代入数值计算． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时， 原式． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算、代数式求值等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 先根据整式的乘法运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式 ． 题型十二 多项式乘以多项式与图形面积问题 【典例12】（24-25七年级下·福建漳州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为平方米 (2)此时种植区的总面积S为130平方米 【分析】（1）把两个阴影长方形拼成一个长为米，宽为米的长方形，根据长方形面积公式列式，再进行多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）把，代入即可求解． 【详解】（1）解： ∴阴影部分的面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）． 答：此时种植区的总面积S为130平方米． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、求代数式的值，根据题意正确列出代数式是解题的关键． （1）用长方形活动场地的面积减去长方形舞台的面积即可得答案； （2）把，代入（1）中所求代数式，得出塑胶跑道的面积，再乘以单价即可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形活动场地的长为，宽为， ∴长方形活动场地的面积为， ∵长方形舞台的长为，宽为， ∴长方形舞台的面积为， ∴塑胶跑道的面积为． （2）解：∵，， ∴塑胶跑道的面积， ∵铺设塑胶跑道的价格为元， ∴铺设塑胶跑道共需（元）． 【变式2】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)绿化面积是平方米． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意是解题的关键． （1）绿化面积=矩形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米． 答：绿化面积是平方米； （2）解：当时，原式（平方米)． 答：绿化面积是平方米． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查了多项式乘法和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形变化准确表示出扩建后长方形的长和宽，再利用面积公式建立方程求解． （1） 先求出扩建后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列出表达式并化简； （2） 先求出原面积与扩建后面积的差，代入得到关于的一元一次方程，解方程求出的值． 【详解】（1）解：扩建后的长为：， 扩建后的宽为：， 扩建后的面积为： 故扩建后的面积为 平方米． （2）解：原面积为：， 面积增加量为：， 当 时，面积增加了400平方米， 代入得，即，， ∴． 答：的值为． 题型十三 整式乘除中计算题 【典例13】（24-25七年级下·江西南昌·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）计算： (1) ； (2) ； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后进行减法计算即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，再加减即可； （3）先根据平方差公式进行化简，再根据完全平方公式进行化简即可； （4）根据完全平方公式进行化简， 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式、完全平方公式、平方差公式及多项式除以单项式的运算法则，按运算顺序逐步化简即可． （1）先利用单项式乘多项式法则展开，再进行单项式除以单项式的运算； （2）先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的项，合并同类项后，再进行多项式除以单项式的运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 题型十四 多项式乘法中规律探索问题 【典例14】（24-25七年级下·浙江台州·期末）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________； ②若t，r为常数，满足，则__________； (3)拓展应用： 若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值． 【答案】(1)成立，过程见解析； (2)①0；②； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘法的系数规律探究及应用，解题的关键是理解并运用“系数之和的乘积相等”“首末项系数乘积对应相等”的规律，简化计算过程． （1）类比探究：先展开多项式，再分别验证系数之和、首末项系数的规律； （2）基础应用①：利用“系数之和的乘积”直接计算； 基础应用②：通过首末项系数对应关系求参数，再验证中间项； （3）拓展应用：根据首末项系数列方程求p，再代入中间项系数关系求q． 【详解】（1）展开计算： ． 验证规律： 左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边右边；． 左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为，左边右边． （2）①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为， ∴故展开式各项系数之和为0； 故答案为：0． ②由首项系数乘积：，得； 由末项系数乘积：，得； 验证中间项：（与右边中间项系数一致）， ∴， 故答案为：． （3）依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得： 解得． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题． (1)分别化简下列各式： 　　； 　　； 　　； 　　． (2)请你利用上面的结论计算：= ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）归纳总结得到规律，写出结果即可； （2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：； ； ； ； （2）． 【变式2】（24-25七年级下·广东梅州·期末）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； … (1)【归纳】由此可得：________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：； (3)【拓展】请运用上面的方法，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键． （1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案； （2）利用（1）中变化规律进而得出答案； （3）将变形为，再利用（1）中变化规律进而得出答案． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ……； ∴， 故答案为：． （2）解： ； （3）解：， ． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·阶段检测）观察下列等式： … 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． (1)利用以上规律直接写出结果：______； (2)设两个因数的十位数字为，用含的代数式表示上述速算法则：__________________； (3)普于思考的小聪通过计算          … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律． 设两个因数的十位数字为，个位数字分别为，且，请用含的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 【答案】(1) (2)，， (3)，理由见解析 【分析】本题考查整式乘法相关的数学规律，关键在于理解题意结合并相关知识． （1）根据题意直接写出答案即可； （2）根据观察规律可得，即可求解； （3）利用代数式表示两个乘数，根据整式的运算计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）由题意可知： … ∴， 故答案为：，，； （3），理由如下： 两个因数分别表示为：，， 则 ， ∵， ∴ ． 题型十五 多项式乘法中杨辉三角问题 【典例15】（24-25七年级下·河南信阳·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应展开式中的系数． (1)根据上面的规律，写出的展开式； (2)利用上面的规律计算：； (3)的展开式的系数和为 ； (4)运用：若今天是星期三，经过天后是星期 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)四． 【分析】（）根据规律即可求解； （）根据规律即可求解； （）由展开式找到系数和的规律，即可求解； （）根据规律展开后看最后一项即可求解； 本题考查了数字类变化规律，读懂题意并根据所给的式子找到规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由规律可得，； （2）解：由规律可得， ； （3）解：由展开式可得， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， ， ∴的展开式的系数和为， 故答案为：； （4）解：， ∵， ∴的余数为， ∴若今天是星期三，经过天后是星期四， 故答案为：四． 【变式1】（24-25七年级下·广东汕头·期末）阅读材料：人教版七年级下册教材118页为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了 的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为_____． (2)的展开式中共有_____项，从右往左第二项的系数是_____． (3)计算：． (4)代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 【答案】(1) (2)， (3)64 (4)见解析 【分析】本题考查整式乘法的应用以及杨辉三角，能够通过杨辉三角得到规律是解题关键； （1）根据规律写出第6行的6个数对应展开式中各项的系数； （2）根据规律得到的展开式共有项，所有项的系数成对称关系，进而可解题； （3）先通过规律写出的展开式，然后令代入即可； （4）令和令代入（1）中展开式，求出的展开式，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据杨辉三角第6行的6个数分别为，，，，， ∴， 故答案为：． （2）解：根据规律可知的展开式共有项， ∴的展开式中共有10项， 又根据题意可总结出所有项的系数成对称关系， ∴从右往左第二项的系数与从左往右第二项的系数相等， 根据题干规律可发现每个展开式的系数从左往右第二项的系数都为， ∴的展开式从左往右第二项的系数为， ∴的展开式从右往左第二项的系数为； 故答案为：，． （3）解：通过规律可知， 令得到， ∴． （4）解：当时，， 当时，， 得：， ∴， ∵为整数， ∴能被整除， 故能被50整除． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式中的系数是______； ②展开式中所有项的系数和为______； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 【答案】（1）4；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查多项式乘多项式、规律型：图形的变化、几何体的展开图，找到规律是解题的关键． （1）①根据已知条件即可得出答案；②根据已知条件即可得出答案； （2）当时，，当时，，进而得出答案； （3）先找到规律，再变形，进而得出答案． 【详解】解：（1）①根据已知可得，展开式中的系数是4； ②根据已知可得，展开式中所有项的系数和为， 的展开式中所有项的系数之和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， 展开式中所有项的系数和为， ⋯， 则展开式中所有项的系数和为． 故答案为：4； （2） ， 当时，， 当时，， ． （3）由题意可得：，，， ， ， ． 【变式3】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘 【核心概念】： 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：      【任务规划】 （1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果； （2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）． 【项目成效】 （3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少． 【答案】（1）；（2）；（3）系数为80 【分析】本题考查了图形的数字规律： （1）根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可； （2）求出n取2，3，4，5时计算结果中第三项的系数，由此得出规律，即可求解； （3）由（2）得：中含的项的系数即为计算结果中第三项的系数，即可求解． 【详解】解：（1）； （2），第三项的系数为； ，第三项的系数为； ，第三项的系数为， ，第三项的系数为， ……， ，第三项的系数为； （3）由（2）得：中含的项的系数是． 题型十六 判断能否使用平方差公式 【典例16】（24-25七年级下·福建宁德·期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平方差公式，能用平方差公式计算的条件是：两个二项式相乘，存在相同项和互为相反数的项，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、中两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、中，存在相同项，互为相反数的项和，符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，符合题意； C、，两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）下列算式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式为，要求两个相乘的二项式中，一组项完全相同，另一组项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，两项均相同，不符合要求，不能用平方差公式计算； 选项B中，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算； 选项C中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构要求，可以用平方差公式计算； 选项D中，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）下列各式中能用平方差公式运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，满足该特征即可用平方差公式运算，据此判断各选项． 【详解】解：A． 中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，能用平方差公式运算． B．，两项均互为相反数，没有完全相同的项，不符合要求，不能用平方差公式． C．不存在完全相同的项和互为相反数的项，不符合要求，不能用平方差公式． D．，三个项均互为相反数，没有完全相同的项，不符合要求，不能用平方差公式． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的适用条件，平方差公式要求两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：中，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式的条件，可以用平方差公式计算，符合题意； B选项：中，没有完全相同的项，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意； C选项：中，没有完全相同的项，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意； D选项：中，虽然有相同项，但与不是互为相反数，不符合条件，不可以用平方差公式计算，不符合题意． 题型十七 平方差公式与几何图形 【典例17】（24-25七年级下·山西太原·期中）观察如图所示的图形，从图1到图2可用式子表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察可知图1可以拼成图2，即图1和图2面积相等． 【详解】解：图1的面积等于一个长方形的面积，为， 图2的面积等于一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积，为， 由题意可得，． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，将剩下的部分对折、剪裁，拼接成一个如图2所示的梯形，则利用面积恒等能验证的公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，图2梯形的高为， 左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是， ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图（1），在边长为的正方形纸片中，剪去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（如图（2）），通过计算两个阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算图（1）和图（2）中阴影部分的面积，根据剪拼前后面积相等建立等式即可得出结果． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积， 即， 图（2）中阴影部分拼成了一个长方形，其长为，宽为， 即， ∵ 剪拼前后阴影部分的面积不变， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用两种不同的方法表示出阴影部分的面积即可得出结果. 【详解】解：由图1可知，阴影部分的面积为， 由图2可知，阴影部分的面积为， 故. 题型十八 求完全平方中的字母系数 解｜题｜技｜巧 一、核心公式(必背) 1.和的完全平方： 结构特征：首平方，尾平方，乘积两倍在中央，符号看前方。 2.题型本质：已知二次三项式是完全平方式，反求未知系数。 二、通用解题步骤 1.定首尾：把多项式中平方项看作公式里的a²、b²,求出首、尾底数； 2.套中间项：中间项=±2×首底数×尾底数； 3.列等式：对比原式中间项，建立方程求参数； 4.检验：代回验证是否符合完全平方式。 【典例18】（24-25七年级下·广东深圳·期中）若代数式是一个完全平方式，则实数______． 【答案】7或 【详解】解：代数式是一个完全平方式， ， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 综上，实数或． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期中）如果关于x，y的二次三项式是一个完全平方式，那么常数m的值是_____________． 【答案】或 【分析】通过比较给定二次三项式与完全平方公式的形式，确定常数的值即可． 【详解】解：是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）若二次三项式是完全平方式，则________． 【答案】5或/或5 【详解】解：完全平方公式为， 二次三项式是完全平方式， ， ， 当 时， 解得， 当 时， 解得． 综上可知，或5． 【变式3】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）若是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【分析】利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式，且， 或 ， 解得或， 题型十九 完全平方公式在几何中的应用 【典例19】（24-25七年级下·广东茂名·期中）两个正方形的边长分别为、，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】14 【分析】用含有的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而即可求出答案． 【详解】解：阴影部分的面积 ， 当，时，原式． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）诚诚在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板，进行探究，纸板与的面积之和为．将纸板按图所示的方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为若将纸板，按图所示的方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】设的边长为，的边长为，根据题意可得，，可得，用，表示图阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：设的边长为，的边长为， ∵纸板与的面积之和为， ∴， ∵图阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图阴影部分的面积为． 【变式2】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）已知长方形的长为，宽为，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中间空白部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为58，则的值为______． 【答案】7 【分析】用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为，面积为， 由图2可得，大长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以， 即， ， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图1，图形、图形是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中，重叠部分分别为图形①、图形②．若知道图形②与图形①的面积差为36，则图形③的周长为________． 【答案】 【详解】解：设长方形的纸片的宽为，长为， 根据题意，图形①为长方形，宽为，图形②③为正方形，则图形②的边长为，③的边长为， ∴图形①的面积为：，图形②的面积为， ∵图形②与图形①的面积差为36， ∴ ∵ ∴ ∴图形③的周长为 题型二十 利用乘法公式求代数式的值 【典例20】（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，则______． 【答案】1 【分析】先由积的乘方逆运算将原式变形为，再结合平方差公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 【变式1】（24-25九年级下·江苏连云港·期中）已知，则的值是____________． 【答案】 6 【分析】观察原式中三个一次项常数的关系，可利用换元法将原方程转化，整理后即可得到所求代数式的值. 【详解】解：设 ，则 ，， 将其代入原方程得： 由完全平方公式展开得： 合并同类项得： 整理得 ，即 . 【变式2】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若，则的值为_______． 【答案】26 【详解】解：， ， 原式 ． 【变式3】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若，则为______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式得到，由非负数的性质求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二十一 利用乘法公式求比较大小 【典例21】（24-25七年级下·江西抚州·期中）阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值． 解：原式，当时，有最小值是． 【类比应用】 (1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______； ②直接写出代数式的最小值为_______； (2)已知，求的值． 【答案】(1) ① ② (2) 【分析】（1）①利用完全平方公式求解； ②将代数式变形为完全平方加有理数的形式即可； （2）利用拆项法将方程变形为：，得到的值，进而求解即可. 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 当时，代数式有最小值为； （2）解：原方程可化为：， ， ∴， 即：， ∴. 【变式1】（24-25七年级下·北京昌平·期中）两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m，n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． (1)，当时，一定有 （填“”，“”，“”）； (2)已知，根据上述方法比较与的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法判断大小即可； （2）利用作差法判断大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图1所示，长为，宽为（其中为正数）的小长方形纸片．现有8张这样的小长方形纸片，把其中的4张按如图2所示的方式不重叠地放在一个正方形内，另外的4张按如图3所示的方式不重叠地放在一个长方形内．设正方形面积为，长方形面积为． (1)正方形的面积为__________，长方形的面积为__________（用含的代数式表示）； (2)是否存在正数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)试比较与的大小． 【答案】(1)；； (2)不存在正数，使得； (3) 【分析】（1）根据题意得出正方形的边长和长方形的长和宽，再计算面积即可； （2）根据（1）所得式子列方程，求出的值，再结合为正数求解即可； （3）根据（1）所得式子作差，利用平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，正方形的边长为，长方形的长为，宽为， 则正方形的面积为，长方形DEFG的面积为； （2）解：不存在正数，使得， 若， 则， ， ， 解得：， 为正数， 不存在； （3）解： ， ， 【变式3】（24-25七年级下·湖南永州·期中）解答下列问题： (1)【特例探究】比较与的大小（用等号或不等号填空）： 当，时，____ 当，时，____ 当，时，____ (2)【猜想证明】无论取何值，试猜想与的大小关系，并说明理由； (3)【拓展应用】①如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，设这两个正方形的面积分别为若阴影部分的面积为2，求的最小值 ②已知、满足 ，求 的最小值． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3)①8；② 【分析】（1）根据有理数的运算法则求解； （2）根据作差法求解； （3）①根据（2）的结论求解；②根据（2）的结论求解． 【详解】（1）解：当，时，，， 此时， 当，时，，， 此时， 当，时，，， 此时； （2）解：，理由如下： ， ； （3）解：①设，，则， ∵，即， ， ， ， ∴的最小值为8； ②解： ，， ∴， ， 当取最大值2时， ∴的最小值为． 【变式4】（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）如图1是一个长为．宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？_______________ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：_________________________________ 方法2：_________________________________ (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：，，_______________ (4)两个正方形、如图3摆放．边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【分析】（1）观察图2，阴影部分的边长就是长方形的长与宽的差，即； （2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积； （3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系； （4）根据题意可得，则可得到，据此可得，再根据（3）可求出，据此结合三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，图2中的阴影部分的正方形的边长等于； （2）解：方法1：图2中的阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为； 方法2：图2中的阴影部分的面积等于一个边长为的正方形面积减去4个长为m，宽为n的长方形面积，其面积为． （3）解：由（2）可得三个代数式之间的等量关系是：； （4）解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 题型二十二 乘法公式与几何图形综合 【典例22】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以，我们把这种方法叫作换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若x满足，则______； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1)15 (2)150 (3) 【分析】（1）仿照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）仿照例题的解题思路进行计算，即可解答； （3）根据题意可得：，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 即； （3）解：由题意得：，，， 设，， ∴， ∵长方形的面积为， ∴， ∵四边形和是正方形， ∴图中阴影部分的面积和 ， 即图中阴影部分的面积和为． 【变式1】（24-25七年级下·安徽六安·期中）在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） (2)【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； (3)【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)①5；②阴影部分的面积为128． 【分析】（1）结合图形直接写出答案即可； （2）①利用完全平方公式计算即可；②利用完全平方公式计算即可； （3）①设，，则，，再利用完全平方公式计算即可；②设，，求得，，利用完全平方公式求得，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：①观察图3，大正方形的面积可表示为，小正方形的面积可表示为； ②与之间的关系：； （2）解：①∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）解：①设，，则，， ∵， ∴； ②设，， 由题意得，，， ∵正方形， ∴， ∵，即， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为128． 【变式2】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式排成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ． (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图． (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为正方形大卡片内，图3中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖面积记为、，若，，，求出大正方形面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，，若，当的长度变化时，，之间满足怎样的数量关系，使的值始终保持不变，请直接写出答案： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)134 (4) 【分析】（1）正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积又等于1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片这四张卡片的面积之和，据此可得答案； （2）画一个长方形的两个邻边分别为和即可； （3）分别表示出，根据，，求出即可得到答案； （4）设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关解题． 【详解】（1）解：图2是一个边长为的大正方形，则其面积为， 图2是由1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片组合而成，则其面积为， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由图可知：， ， ∵，， ∴， 由题意得，面积为的图形是正方形，且其边长为， ， ， ， ， ∴， 大正方形面积为134； （4）设，由图可知， ， ∴ ， 若为定值，则将不随的变化而变化， 即， ． 题型二十三 通过对完全平方公式变形求值 解｜题｜技｜巧 一、核心变形公式(必背，所有题型根源) 由，推导常用变式： 核心逻辑：已知两个整体，求第三个整体，整体代入，不单独求a、b。 【典例23】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为_______． 【答案】27 【分析】利用完全平方公式变形，将所求代数式转化为含已知代数式的形式，再代入计算求值． 【详解】解： ． 【变式1】（24-25七年级下·北京顺义·期中）若，，则 ________，_______． 【答案】 13 1 【分析】本题利用完全平方公式的变形，将所求代数式用已知的和表示，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 将，代入得：； ∴． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则的值是________． 【答案】 10 【分析】利用完全平方公式将已知两个等式展开，将展开后的两式相加，整理变形即可求出的值． 【详解】解：， ∴，， ， 整理得， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，则的值是___________． 【答案】727 【分析】利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值是______． 【答案】/ 【分析】先由已知得到，代入第二个等式后对式子配方，利用偶次方的非负性求出，，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将其代入中， 得 ， ∵任意实数的平方为非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0， ∴，， 解得，， 将代入得， 将，，代入得：． 题型二十四 用科学记数法表示小于1的数 解｜题｜技｜巧 一、核心定义 形式： 要求： ①1≤a<10(a是一位整数带小数的数) ②n为正整数 二、通用解题步骤(四步走) 1.确定a:把原数的小数点移到左边第一个非0数字后，得到a; 2.数位数：数小数点一共向左移动了几位，位数就是n; 3.写指数：指数为-n; 4.组合形式 写成。 【典例24】（2026·山西忻州·模拟预测）词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】C 【详解】解：度． 【变式1】（2026·宁夏固原·三模）小米汽车采用0.0000000048米制程技术打造的全新旗舰车规级芯片—高通8295芯片，其算力、性能、渲染性能大幅提升．把0.0000000048用科学记数法表示为__________． 【答案】 【分析】科学记数法表示绝对值小于1的数时，形式为，其中，为负整数，的绝对值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数，包括小数点前面的那个零． 【详解】解：． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）草履虫的身体很小，呈圆筒形，全身由一个细胞组成，体长大约只有0.0000798米．把0.0000798用科学记数法表示为______． 【答案】 【详解】解：. 【变式3】（2026·四川广元·三模）2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款控制的机器人每秒完成0.0000005次精准的动作调整．将该数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：将数据0.0000005用科学记数法表示为． 题型二十五 用科学记数法表示数的除法 【典例25】（24-25七年级下·广东河源·期中）目前，全球建成的散裂中子源装备仅有个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿、解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将用科学记数法表示为_________． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，根据科学记数法的定义，将数表示为，其中，为整数，将转换为科学记数法，先依次确定和，再按科学记数法表示即可． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数， ∴将转换时，，小数点向右移动了位， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，用海豚能听到的声音的最高频率除以人类能听到声音的最高频率，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2】（2023·河北唐山·一模）某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1)广场的面积为 (2)需要3×105块大理石地砖 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，科学记数法，正确计算是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式列式求解即可； （2）先求出一块大理石的面积，再用广场面积除以一块大理石的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： 答：广场的面积为； （2）解：单块大理石的面积是 ． 答：需要块大理石地砖 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅厘米，其质量也只有克．一个鸡蛋的质量大约是50克，一个鸡蛋的质量大约相当于多少只卵蜂的质量？（结果用科学记数法表示） 【答案】一个鸡蛋的质量大约相当于只卵蜂的质量． 【分析】直接用鸡蛋的重量除以一只卵蜂的质量即可得到答案． 【详解】解： （只）， 答：一个鸡蛋的质量大约相当于只卵蜂的质量． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示数的除法的应用，正确计算是解题的关键． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·广西贵港·期末）已知，，m，n为正整数，则的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵， ∴代入得． 2．（2025·浙江宁波·二模）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了米．用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的形式为，其中，n为整数，原数绝对值小于1时，n的绝对值等于原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】解：． 3．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）若，且是完全平方式，则为（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先解关于的一元二次方程得到的值，再根据完全平方式的定义得到的所有可能取值，最后计算即可得到结果. 【详解】解：∵ ， ∴ 配方得，解得， ∵ 是完全平方式， ∴ ，解得或， 当时，， 当时，， ∴ 为或， 故选：C. 4．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）规定，例如：．已知：，则_________． 【答案】10 【分析】根据题意列出方程，再根据完全平方公式化简，得出的值，即可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 5．（24-25七年级下·四川达州·期中）若是一个完全平方式，则___________． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的形式是，先确定出、对应的值，即可求出的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， ， 解得：或． 6．（24-25七年级下·北京·期末）先化简，再求值： (1)，其中，； (2) ，其中，且． 【答案】(1)，12 (2)，96 【分析】（1）先利用多项式除以单项式，平方差公式进行计算，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）先利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是杨辉三角与（其中n为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律． …… …… …… …… (1)直接写出：______；______． (2)若，其中，，，，，，为各项系数． ①直接写出：______，______； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①1；6；②64 【分析】（1）由可求展开式，由杨辉三角可得展开式中系数为，即可求解展开式； （2）①由系数为，即可求解；②把代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 将用替代可得， 由杨辉三角可得展开式中系数为 ∴； （2）解：①由杨辉三角可得展开式中系数为 ∴系数为， ∴中系数； ②当时，， 即． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为图2重叠部分的面积为．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】正方形的边长为，表示出两个阴影部分的面积，然后利用整式的乘法以及加减运算求解． 【详解】解：令正方形的边长为， ∵， ∴， 则，， 令， 则，， ∴． 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）若a，b为实数，且，，则x，y的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，结合完全平方公式配方，利用平方的非负性判断差的符号即可． 【详解】解： ∵a，b为实数， ∴ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ． 3．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式中的两个常数弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数可以是（    ） A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2 【答案】D 【分析】根据多项式的乘法法则，可求出，从而，即可求解． 【详解】解：∵， 根据题意， ∴， 解得：， ∴． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和 ，则图中阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】设两个正方形的边长分别为和，根据题意可得， ，阴影部分为直角三角形，其面积等于，利用完全平方公式变形求出的值即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可知，为线段上的一点，且， ， 两正方形的面积和 ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长与交于点，延长与交于点，则 ， 阴影部分的面积 ． 5．（2026·江西上饶·三模）一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第n个式子是______． 【答案】 【分析】分别观察每个式子的各部分，总结规律：第一项系数恒为3，a的次数为式子序号n的2倍；第二项系数符号为奇数项为负，偶数项为正，系数绝对值恒为2，b的次数等于式子序号． 【详解】解：由已知式子可得： 每个式子的第一项为系数乘以的次幂，即； 当为奇数时，，第二项符号为负；当为偶数时，，第二项符号为正，符合符号规律，且第二项系数绝对值为，的次数为； 因此第个式子是． 6．（24-25七年级下·广东江门·期中）综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)这个道路宽设计不达到要求 【分析】（1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依照例题画出图形即可； （3）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （4）依据平移变换可知，图中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积即可判断． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图： ； （3）解：由题意：长方形的长为，宽为，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米， 故答案为：； （4）解：由题意，长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． ， ∴这个道路宽设计不达到要求． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解： ， ， 故选：A． 3．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 4．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 5．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据，代入数据进行计算即可求解； （2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 答：该铜棒的伸长量． （2）解：， 解得：， 设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得：， 答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加量为． （3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得， ， 解得： ， 答：该铁棒温度的增加量为． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的乘除（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 利用幂的运算判断是否正确 题型14 多项式乘法中规律探索问题 题型2 幂的逆运算求代数式的值 题型15多项式乘法中杨辉三角问题 题型3 利用幂的运算进行简便运算 题型16 判断能否使用平方差公式 题型4 利用幂的运算比较大小 题型17 平方差公式与几何图形 题型5 幂的综合运算 题型18 求完全平方中的字母系数 题型6 幂的运算中用字母表示 题型19 完全平方公式在几何中的应用 题型7 幂的运算中新定义类 题型20 利用乘法公式求代数式的值 题型8 利用单项式乘法求代数式的值 题型21 利用乘法公式求比较大小 题型9 （x+p）（x+q）型多项式乘法求参数 题型22 乘法公式与几何图形综合 题型10 已知多项式乘法中不含某一项问题 题型23 通过对完全平方公式变形求值 题型11 多项式乘法中化简求值 题型24 用科学记数法表示小于1的数 题型12 多项式乘以多项式与图形面积问题 题型25 用科学记数法表示数的除法 题型13 整式乘除中计算题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 幂的运算（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方） 熟练掌握幂的运算法则，能正确进行幂的混合运算，会逆用法则进行简便计算 基础必考点，常出现在选择、填空题，是整式乘除的运算基础 零指数幂与负整数指数幂 理解零指数幂和负整数指数幂的意义，能进行相关计算 易错点，易忽略底数不为 0 的条件，常结合科学记数法考查 单项式乘单项式 / 多项式 掌握单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，能正确计算 基础运算题，常与后续多项式乘法、乘法公式结合考查 多项式乘多项式 掌握多项式与多项式相乘的法则，能按步骤展开计算 中档题常考点，是乘法公式推导的基础，易出现漏项、符号错误 乘法公式（平方差公式、完全平方公式） 能熟练运用平方差公式、完全平方公式进行计算，会逆用公式进行化简、求值 本章核心重难点，常考正向、逆向应用及公式变形，也会结合几何图形考查 整式的除法（单项式除以单项式、多项式除以单项式） 掌握整式除法的运算法则，能正确进行计算 与整式乘法互为逆运算，常出现在基础计算题中，易错点为系数和指数运算 知识点01 同底数幂的乘法 概念：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：(m、n都是正整数)。 示例 易错点： 1.指数直接相乘(如错算成),应是指数相加； 2.底数不同时误用公式(如不能直接用该法则); 3.指数为1时漏写(如错算成，正确应为)。 知识点02 幂的乘方 概念：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式：(m、n都是正整数)。 示例： 易错点： 1.指数直接相加(如(2³)⁴错算成2⁷),应是指数相乘； 2.与同底数幂乘法混淆，乱用指数运算法则； 3.底数为负数时，忽略符号(如(-a²)³错算成a⁶,正确应为-a⁶)。 知识点03 积的乘方 概念：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：(n是正整数)。 示例： 易错点： 1.漏乘部分因式(如(2a)³错算成2a³,正确应为8a³); 2.符号处理错误(如(-2x)³错算成8x³,正确应为-8x³); 3.指数分配不全(如(ab²)³错算成ab⁶,正确应为a³b⁶)。 知识点04 同底数幂的除法 概念：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 公式(、n都是正整数，且)。 示例： 易错点： 1.指数直接相除(如错算成),应是指数相减； 2.忽略底数不能为0的条件(如0⁵÷0³无意义); 3.指数为1时漏写(如a³÷a错算成a³,正确应为a²)。 知识点05 零指数幂与负整数指数幂 概念： 零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即； 负整数指数幂：任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p次幂的倒数，即 ,p是正整数)。 示例(注意无意义) 易错点： 1.认为,实际无意义； 2.符号处理错误(如错算成，正确应为 3.负指数幂与相反数混淆(如错算成,正确应为 知识点06 单项式乘单项式 概念：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 易错点： 1.漏乘只在一个单项式中出现的字母； 2.系数相乘时符号出错（如负负得正、正负得负混淆）； 3.同底数幂指数相加错误。 知识点07 单项式乘多项式 概念：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 示例： 易错点： 1.漏乘多项式中的某一项(尤其是常数项); 2.单项式为负数时，漏改多项式项的符号； 3.合并同类项时出错。 知识点08 多项式乘多项式 概念：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 示例： 易错点： 1.漏乘项(常见“交叉项”漏乘); 2.符号错误(尤其是负数项相乘时); 3.合并同类项时计算错误。 知识点09 平方差公式 概念：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式： 易错点： 1.公式应用条件错误(如误用公式); 2.平方时漏加括号(如(2a)²错算成2a²,正确应为4a²); 3.符号处理错误(如错算成,正确应为。 知识点10 完全平方公式 概念： 和的完全平方：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍，即 差的完全平方：两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍，即 易错点： 1.漏写中间项(如错算成; 2.中间项符号错误(如错算成或; 3.系数平方错误(如错算成,正确应为。 知识点11 单项式除以单项式 概念：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 示例： 易错点： 1.漏写只在被除式中出现的字母； 2.系数相除时符号出错； 3.同底数幂指数相减错误。 知识点12 多项式除以单项式 概念：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 易错点： 1.漏除多项式中的某一项(尤其是常数项); 2.符号处理错误(如负号漏变号); 3.同底数幂指数相减错误。 题型一 利用幂的运算判断是否正确 易｜错｜点｜拨 一、运算法则混淆(最高频) 1.同底数幂相乘：指数相加，误算成指数相乘/相除。 2.幂的乘方：指数相乘，误算成指数相加，和同底数幂乘法搞混。 3.同底数幂相除：指数相减，误算成指数相除/相乘。口诀记：乘加、乘方乘、除减。 二、指数细节疏漏 1.单独字母(如a、x)默认指数为1,运算时容易漏掉。 2.多层幂的乘方，连续指数计算出错。 三、积的乘方常见错误 1.只给字母乘方，漏算系数、常数项的乘方。 2.多个因式相乘时，个别因式忘记乘方。 四、符号判断失误 1.负数乘方：奇次幂为负，偶次幂为正，符号判断颠倒。 2.混淆(-a)"与-a"的运算顺序与结果符号。 3.负指数幂、括号前带负号时，逐项变号出错。 五、零指数、负整数指数幂误区 1.认为,实际0的0次幂无意义;零指数幂要求底数,结果为1。 2.把负指数当成数字取负，是取倒数，不是求相反数。 3.混淆和的计算结果。 【典例1】（24-25七年级下·吉林白山·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 幂的逆运算求代数式的值 解｜题｜技｜巧 设,m、n为正整数 1.同底数幂乘法 正用： 逆用： 2.幂的乘方 正用： 逆用： 3.积的乘方 正用： 逆用： 4.同底数幂除法 正用： 逆用： 【典例2】（24-25七年级下·山东烟台·期末）已知，，则______． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若，则______． 【变式2】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知：，则______． 【变式3】（24-25七年级下·江西上饶·期末）若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 【变式4】（24-25七年级下·重庆万州·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 题型三 利用幂的运算进行简便运算 【典例3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）计算：_____． 【变式1】（24-25七年级下·北京顺义·期中）计算： ____． 【变式2】（24-25七年级下·浙江台州·期中）计算：_____． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）计算：________． 题型四 利用幂的运算比较大小 【典例4】（24-25七年级下·广东湛江·期末）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请直接把a，b，c用“”连接起来 ； (2)若，求的值． 【变式3】（24-25七年级下·河南南阳·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，（，m，n为正整数）．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值． (2)若，求m的值． (3)比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 题型五 幂的综合运算 【典例5】（24-25七年级下·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）计算：． 【变式2】（24-25七年级下·北京朝阳·期中）计算： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级下·青海海西·期末）计算：． 题型六 幂的运算中用字母表示 【典例6】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，用含的代数式表示为____________． 【变式1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如果，，那么______．（用含、的式子表示） 【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期末）若，是正整数，且满足，则正整数与的等量关系为______________． 【变式3】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）若，（为整数），则的值是_____．（用含、的代数式表示结果） 题型七 幂的运算中新定义类 【典例7】（24-25七年级下·四川眉山·期末）关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____． (2)①若，，，请你尝试证明：；②若，，，则_____（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ， ， ，即． ． (3)结合上文结论，求的值． 【变式2】（24-25七年级下·四川南充·期末）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空： ________  ________  ________． (2)已知，，，，求证：． 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解答下列问题： (1)求的值． (2)，，，求的值． (3)若运算的结果为，则的值是多少？ 题型八 利用单项式乘法求代数式的值 解｜题｜技｜巧 通用解题步骤（四步固定流程） 1.观察式子：判断式子结构（单项式×单项式、单项式×多项式），区分已知条件与待求式； 2.运用法则化简：按单项式乘法规则展开、计算，合并同类项； 3.整理最简形式：将式子化为最简单项式/多项式； 4.代入数值计算：把字母取值代入最简式，算出结果。 【典例8】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）若，则的值为 __． 题型九（x+p）（x+q）型多项式乘法求参数 解｜题｜技｜巧 展开公式： 口诀：首平方，尾积为常数，首尾和为一次项系数。 结构对应：二次三项式 (常数项=两个常数之积) 【典例9】（24-25七年级下·福建泉州·期末）若，则的值为（    ） A．－4 B．－2 C．2 D．4 【变式1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）已知，则的值为(　　)． A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若，则常数n的值为（    ） A． B．2 C． D．6 【变式3】（24-25七年级下·四川乐山·期末）将多项式分解因式为：，则（    ） A．2025 B．1225 C．625 D．225 题型十 已知多项式乘法中不含某一项问题 解｜题｜技｜巧 一、核心原理 两个多项式相乘展开后，不含某一项=该项的系数为0。 解题通用逻辑：先展开合并同类项→找到指定项系数→令系数=0→解方程求参数。 二、标准解题四步法(通用所有题型) 1.按法则展开：多项式逐项相乘，不要漏项、错符号； 2.合并同类项：把同次项整理到一起，写成标准多项式形式； 3.锁定目标项：找出题目说“不含”的那一项，提取它的系数； 4.列方程求解：令该系数=0,解出参数，最后可检验。 【典例10】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江西上饶·期末）已知多项式与的乘积中不含有项，常数项为4． (1)求，的值； (2)计算：． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）定义一种新运算：对任意有理数，都有．例如：． (1)求的值． (2)化简并求值：，其中，互为相反数，是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求的值． 【变式3】已知的展开式中不含x的一次项，常数项是，求： (1)m，n的值． (2)的值． 题型十一 多项式乘法中化简求值 【典例11】（24-25七年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）（1） 化简：； （2） 先化简，再求值：，其中，． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 题型十二 多项式乘以多项式与图形面积问题 【典例12】（24-25七年级下·福建漳州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的长为米，宽为米的长方形地块进行规划改造．如图，学校准备在该地块内修一条宽为a米的小路，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a、b的式子表示出种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求出此时种植区的总面积S的值． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，某校园内有一块长为，宽为的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为，宽为的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动． (1)求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积； (2)若，，铺设塑胶跑道的价格为元，则铺设塑胶跑道共需多少元？ 【变式2】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像，四周的阴影部分进行绿化． (1)绿化的面积是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示） (2)求出当，时的绿化面积． 【变式3】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 题型十三 整式乘除中计算题 【典例13】（24-25七年级下·江西南昌·期末）计算： (1) (2) 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）计算： (1) ； (2) ； (3)； (4)． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）计算： (1)． (2)． 题型十四 多项式乘法中规律探索问题 【典例14】（24-25七年级下·浙江台州·期末）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________； ②若t，r为常数，满足，则__________； (3)拓展应用： 若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题． (1)分别化简下列各式： 　　； 　　； 　　； 　　． (2)请你利用上面的结论计算：= ． 【变式2】（24-25七年级下·广东梅州·期末）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； … (1)【归纳】由此可得：________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：； (3)【拓展】请运用上面的方法，求的值． 【变式3】（24-25七年级下·重庆·阶段检测）观察下列等式： … 从这些计算结果中，你能发现什么？ 我们发现了一个速算法则： 十位数字相同，个位数字分别是3和7的两个两位数的乘积，可以先写出它们的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上3和7的乘积21． 例如，计算，因为，，所以． (1)利用以上规律直接写出结果：______； (2)设两个因数的十位数字为，用含的代数式表示上述速算法则：__________________； (3)普于思考的小聪通过计算          … 发现“十位数字相同，个位数字的和为10的两位数乘法”也有与上述材料类似的规律． 设两个因数的十位数字为，个位数字分别为，且，请用含的等式表示小聪发现的规律，并说明该等式成立． 题型十五 多项式乘法中杨辉三角问题 【典例15】（24-25七年级下·河南信阳·期末）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应展开式中的系数． (1)根据上面的规律，写出的展开式； (2)利用上面的规律计算：； (3)的展开式的系数和为 ； (4)运用：若今天是星期三，经过天后是星期 ． 【变式1】（24-25七年级下·广东汕头·期末）阅读材料：人教版七年级下册教材118页为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了 的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着 展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为_____． (2)的展开式中共有_____项，从右往左第二项的系数是_____． (3)计算：． (4)代数推理：已知为整数，求证：能被50整除． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）八年级数学兴趣小组成员在华师版数学教材37页《阅读材料》中查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】、【项目成效】和【拓展应用】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘． 【核心概念】 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，，利用多项式的乘法运算，还可以得到：当时，将计算结果中多项式以a降次排序各项的系数排列成表，可得到如图2： 【任务规划】 （1）任务：请根据素材1和素材2直接写出： ①展开式中的系数是______； ②展开式中所有项的系数和为______； 【项目成效】 （2）成果展示：若，求的值． 【拓展应用】 （3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图3中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值． 【变式3】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘 【核心概念】： 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：      【任务规划】 （1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果； （2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）． 【项目成效】 （3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少． 题型十六 判断能否使用平方差公式 【典例16】（24-25七年级下·福建宁德·期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）下列算式中，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）下列各式中能用平方差公式运算的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 题型十七 平方差公式与几何图形 【典例17】（24-25七年级下·山西太原·期中）观察如图所示的图形，从图1到图2可用式子表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，将剩下的部分对折、剪裁，拼接成一个如图2所示的梯形，则利用面积恒等能验证的公式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图（1），在边长为的正方形纸片中，剪去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（如图（2）），通过计算两个阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 题型十八 求完全平方中的字母系数 解｜题｜技｜巧 一、核心公式(必背) 1.和的完全平方： 结构特征：首平方，尾平方，乘积两倍在中央，符号看前方。 2.题型本质：已知二次三项式是完全平方式，反求未知系数。 二、通用解题步骤 1.定首尾：把多项式中平方项看作公式里的a²、b²,求出首、尾底数； 2.套中间项：中间项=±2×首底数×尾底数； 3.列等式：对比原式中间项，建立方程求参数； 4.检验：代回验证是否符合完全平方式。 【典例18】（24-25七年级下·广东深圳·期中）若代数式是一个完全平方式，则实数______． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期中）如果关于x，y的二次三项式是一个完全平方式，那么常数m的值是_____________． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）若二次三项式是完全平方式，则________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）若是一个完全平方式，则的值是___________． 题型十九 完全平方公式在几何中的应用 【典例19】（24-25七年级下·广东茂名·期中）两个正方形的边长分别为、，若，，则图中阴影部分的面积为_____． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）诚诚在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板，进行探究，纸板与的面积之和为．将纸板按图所示的方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为若将纸板，按图所示的方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为__________． 【变式2】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）已知长方形的长为，宽为，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中间空白部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为58，则的值为______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图1，图形、图形是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中，重叠部分分别为图形①、图形②．若知道图形②与图形①的面积差为36，则图形③的周长为________． 题型二十 利用乘法公式求代数式的值 【典例20】（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，则______． 【变式1】（24-25九年级下·江苏连云港·期中）已知，则的值是____________． 【变式2】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）若，则的值为_______． 【变式3】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若，则为______． 题型二十一 利用乘法公式求比较大小 【典例21】（24-25七年级下·江西抚州·期中）阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值． 解：原式，当时，有最小值是． 【类比应用】 (1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______； ②直接写出代数式的最小值为_______； (2)已知，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·北京昌平·期中）两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m，n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． (1)，当时，一定有 （填“”，“”，“”）； (2)已知，根据上述方法比较与的大小关系． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图1所示，长为，宽为（其中为正数）的小长方形纸片．现有8张这样的小长方形纸片，把其中的4张按如图2所示的方式不重叠地放在一个正方形内，另外的4张按如图3所示的方式不重叠地放在一个长方形内．设正方形面积为，长方形面积为． (1)正方形的面积为__________，长方形的面积为__________（用含的代数式表示）； (2)是否存在正数，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)试比较与的大小． 【变式3】（24-25七年级下·湖南永州·期中）解答下列问题： (1)【特例探究】比较与的大小（用等号或不等号填空）： 当，时，____ 当，时，____ 当，时，____ (2)【猜想证明】无论取何值，试猜想与的大小关系，并说明理由； (3)【拓展应用】①如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，设这两个正方形的面积分别为若阴影部分的面积为2，求的最小值 ②已知、满足 ，求 的最小值． 【变式4】（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）如图1是一个长为．宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？_______________ (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：_________________________________ 方法2：_________________________________ (3)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式：，，_______________ (4)两个正方形、如图3摆放．边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分的面积． 题型二十二 乘法公式与几何图形综合 【典例22】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以，我们把这种方法叫作换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若x满足，则______； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【变式1】（24-25七年级下·安徽六安·期中）在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为______，小正方形的面积可表示为______； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：_______；（用含a，b的代数式表示出来） (2)【解决问题】 ①若，，则______； ②已知长方形的长和宽分别为m，n，，，求的值； (3)【拓展提升】 ①若t满足，求的值； ②如图4，在正方形中，E，F分别是边上的点，已知，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形、正方形，求阴影部分的面积． 【变式2】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式排成一个边长为的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 ． (2)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图． (3)取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为正方形大卡片内，图3中A，B型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖面积记为、，若，，，求出大正方形面积． (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为，，若，当的长度变化时，，之间满足怎样的数量关系，使的值始终保持不变，请直接写出答案： ． 题型二十三 通过对完全平方公式变形求值 解｜题｜技｜巧 一、核心变形公式(必背，所有题型根源) 由，推导常用变式： 核心逻辑：已知两个整体，求第三个整体，整体代入，不单独求a、b。 【典例23】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为_______． 【变式1】（24-25七年级下·北京顺义·期中）若，，则 ________，_______． 【变式2】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则的值是________． 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·期中）已知，则的值是___________． 【变式4】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值是______． 题型二十四 用科学记数法表示小于1的数 解｜题｜技｜巧 一、核心定义 形式： 要求： ①1≤a<10(a是一位整数带小数的数) ②n为正整数 二、通用解题步骤(四步走) 1.确定a:把原数的小数点移到左边第一个非0数字后，得到a; 2.数位数：数小数点一共向左移动了几位，位数就是n; 3.写指数：指数为-n; 4.组合形式 写成。 【典例24】（2026·山西忻州·模拟预测）词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【变式1】（2026·宁夏固原·三模）小米汽车采用0.0000000048米制程技术打造的全新旗舰车规级芯片—高通8295芯片，其算力、性能、渲染性能大幅提升．把0.0000000048用科学记数法表示为__________． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）草履虫的身体很小，呈圆筒形，全身由一个细胞组成，体长大约只有0.0000798米．把0.0000798用科学记数法表示为______． 【变式3】（2026·四川广元·三模）2026年央视春晚的智能机器人舞蹈表演中，某款控制的机器人每秒完成0.0000005次精准的动作调整．将该数据用科学记数法表示为________． 题型二十五 用科学记数法表示数的除法 【典例25】（24-25七年级下·广东河源·期中）目前，全球建成的散裂中子源装备仅有个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微镜”，能够为探索科学前沿、解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技利器．已知中子的半径约为，将用科学记数法表示为_________． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）海豚能听到声音的最高频率是，人类能听到声音的最高频率是，则海豚能听到声音的最高频率是人类能听到的________倍． 【变式2】（2023·河北唐山·一模）某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅厘米，其质量也只有克．一个鸡蛋的质量大约是50克，一个鸡蛋的质量大约相当于多少只卵蜂的质量？（结果用科学记数法表示） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·广西贵港·期末）已知，，m，n为正整数，则的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江宁波·二模）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了米．用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）若，且是完全平方式，则为（     ） A． B．或 C．或 D． 4．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）规定，例如：．已知：，则_________． 5．（24-25七年级下·四川达州·期中）若是一个完全平方式，则___________． 6．（24-25七年级下·北京·期末）先化简，再求值： (1)，其中，； (2) ，其中，且． 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是杨辉三角与（其中n为正整数）展开式的部分对照，它揭示了展开式的项数及各项系数的有关规律． …… …… …… …… (1)直接写出：______；______． (2)若，其中，，，，，，为各项系数． ①直接写出：______，______； ②求的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为图2重叠部分的面积为．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）若a，b为实数，且，，则x，y的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）某同学粗心大意，计算多项式乘法时，把等式中的两个常数弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数可以是（    ） A．20，5 B．16，4 C．13，3 D．8，2 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和 ，则图中阴影部分面积是______． 5．（2026·江西上饶·三模）一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第n个式子是______． 6．（24-25七年级下·广东江门·期中）综合与实践：【活动主题】弯曲的小路面积 图形操作：（图1，图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段AB向上平移1米到线段，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线ABC（其中点B叫作折线ABC的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，则______平方米，并比较大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)动手操作：如图3，类似地，请你画一条有两个“折点”的折线，同样向上平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并画出阴影部分； (3)联想探索人教7下P30拓广探索： 如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为a米，宽为b米，则空白部分表示的草地的面积是______平方米（用含a，b的式子表示）； (4)实际运用：学校有一块长方形地块，如图5，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为草地，要求草地面积不小于450平方米，现设计道路宽为4米，请你通过计算说明这个道路宽设计是否达到要求？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． y 2 x a b 4．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． 5．（2025·河北·中考真题）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了． (1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． (2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量． (3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $