专题02 二元一次方程组（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材浙教版

专题02 二元一次方程组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 判断是否为二元一次方程 题型14 方程组同解问题 题型2 利用二元一次方程的定义求参数 题型15二元一次方程组中新定义类 题型3 求二元一次方程的整数解 题型16 根据图形列二元一次方程组 题型4 已知二元一次方程的解求参数 题型17 根据实际问题列二元一次方程组 题型5 用一个字母表示另一个字母 题型18 实际应用之分配问题 题型6 判断是否为二元一次方程组 题型19 实际应用之图表信息类 题型7 已知二元一次方程组的解求参数 题型20 实际应用之行程问题类 题型8 解二元一次方程组 题型21 实际应用之工程问题类 题型9 二元一次方程组的特殊解法 题型22实际应用之几何问题类 题型10 构造二元一次方程组求解 题型23 实际应用之方案选择类 题型11 已知二元一次方程组解得情况求参数 题型24 解三元一次方程组 题型12 二元一次方程组错解复原问题 题型25 利用三元一次方程组求解 题型13 判断二元一次方程组解题步骤是否正确 题型26 三元一次方程组的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的概念 能识别二元一次方程，会判断一组数是否为二元一次方程的解 基础概念题，常出现在选择题、填空题 二元一次方程组的概念 理解二元一次方程组及其解的定义，会检验一对数是否为方程组的解 基础必考点，常与实际情境结合考查 代入消元法解二元一次方程组 掌握代入消元法的步骤，能熟练用代入法解二元一次方程组 核心计算考点，是后续学习三元一次方程组的基础 加减消元法解二元一次方程组 掌握加减消元法的适用条件和步骤，能根据方程组特点选择合适的消元方法 高频计算考点，是中考基础计算的常考形式 二元一次方程组的实际应用 能分析实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组并求解，检验结果的合理性 重点难点，常以解答题形式考查，结合生活情境（行程、工程、配套等） 三元一次方程组的概念与解法 了解三元一次方程组的定义，掌握消元的基本思想，能解简单的三元一次方程组 拓展考点，多为选做或拓展题，考查消元思想的迁移 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 示例：方程2x+3y=5中，含有x和y两个未知数，且x、y的次数都是1,因此是二元一次方程；而xy=3(含未知数的项次数为2)+y=2(不是整式方程)都不属于二元一次方程。 易错点： 1.二元一次方程必须是整式方程，分母中含有未知数的分式方程不是二元一次方程。 2.“含未知数的项的次数为1”,不是未知数的次数为1,如cy=1中，含未知数的项次数为2,不是二元一次方程。 3.二元一次方程有无数组解，并非只有一组解。 知识点02 二元一次方程组的概念与解 二元一次方程组：由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组。 二元一次方程组的解：使方程组中两个方程都成立的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 示例：方程组中，同时满足两个方程，因此是这个方程组的解。 易错点： 1.检验一组数是否为方程组的解，必须代入两个方程同时检验，只满足一个方程不是方程组的解。 2.二元一次方程组的解是一对数，不能只写一个未知数的值。 知识点03 代入消元法解二元一次方程组 代入消元法：将方程组中的一个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程，实现消元，进而求得方程组的解。 示例：解方程组,解得,再将 ,得,因此方程组的解为 易错点： 1.变形后的方程必须代入另一个方程，不能代入原方程，否则会出现恒等式，无法求解。 2.求出一个未知数的值后，要代回变形后的方程求另一个未知数，不要直接代入原方程导致计算复杂。 知识点04 加减消元法解二元一次方程组 加减消元法：当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得方程组的解。 示例：解方程组,两个方程中的系数相反，将两式相加，得,解得,再代入 原方程求得,因此方程组的解为 易错点： 1.加减消元时，要注意符号问题，系数为负时，相减容易出错，优先用相加消元。 2.当系数不相等或相反时，要先将方程变形，使某一未知数的系数相等或相反，变形时要注意方程两边同乘同一个数，每一项都要乘，不要漏乘常数项。 知识点05 二元一次方程组的实际应用 步骤：审、设、列、解、验、答。 1.审题：找出题目中的两个等量关系； 2.设未知数：直接设或间接设两个未知数； 3.列方程组：根据等量关系列出二元一次方程组； 4.解方程组：求出未知数的值； 5.检验：检验解是否符合实际意义； 6.作答：写出答案。 示例：某车间有28名工人，生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要配两个螺母，设有x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，可列方程组,解得x =12,y=16,即12人生产螺栓，16人生产螺母。 易错点： 1.等量关系找错，如配套问题中，数量比容易弄反。 2.设未知数时要写清单位，作答时要完整回答问题，不要只写数值。 3.解出的未知数要符合实际意义，如人数、物品数量不能为负数或小数。 知识点06 三元一次方程组（拓展） 三元一次方程组：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组。 解法：通过消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程求解。 示例：解方程组,先消去x,将方程1和方程3相减，得2y=4,解得y=2,再代入 方程1和方程2,转化为二元一次方程组求解。 易错点： 1.消元时要注意消元的一致性，先消同一个未知数，避免消元混乱。 2.计算时要注意符号和系数，尤其是加减消元时容易出错。 题型一 判断是否为二元一次方程 解｜题｜技｜巧 一个方程同时满足下面全部3条，才是二元一次方程： 1.两个未知数(一般是x、y,只能2个，多/少都不行) 2.未知数次数都是1(单个字母右上角不能有平方、立方、根号、倒数) 3.整式方程(分母里不能有未知数，根号里不能有未知数) 【典例1】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个不同的未知数；②每个含有未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(分母不含未知数)． 【详解】解：A：方程中，含未知数的项是，其次数为2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的条件，不是二元一次方程； B：方程含有两个未知数和，含未知数的项、的次数均为1，且方程是整式方程，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； C：方程中，含未知数的项是，其次数为，不满足次数为1的条件，不是二元一次方程； D：方程的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程． 【变式1】（24-25七年级下·福建漳州·期末）下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项只含一个未知数，是一元一次方程，不符合题意； B选项中的次数为2，是二元二次方程，不符合题意； C选项含有两个未知数、，且含未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合题意； D选项中是分式，不是整式方程，不符合题意； 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）下面方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程，根据二元一次方程的定义逐一分析选项进行判断． 【详解】解：A、只含一个未知数，不是二元一次方程； B、只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，不是二元一次方程； C、含有两个未知数、，含未知数的项的次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的定义； D、中的次数为2，不是二元一次方程． 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足两个条件：含有两个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程． 根据二元一次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、中，、、为常数，若或，则未知数个数不足两个，故不一定是二元一次方程； B、不是整式方程，且的次数不为1，故不是二元一次方程； C、可化为，含有两个未知数，且次数均为1，是整式方程； D、只含一个未知数，且次数为2，故不是二元一次方程； 故选：C． 题型二 利用二元一次方程的定义求参数 解｜题｜技｜巧 标准解题四步法 步骤1：标出未知数、参数，区分两者 未知数：x、y等；参数：m、n、k、a等(题目要求求解的字母)。 步骤2：根据“次数为1”列方程 未知数的指数必须等于1,据此列出等式。 易错点：xy形式次数为1+1=2,出现则直接不符合“一次”。 步骤3：根据“二元”列不等式 两个未知数的系数均不为0,据此列出不等关系。 步骤4：联立求解，检验结果 先解方程求参数，再代入不等式验证，舍去不符合的解。 【典例2】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是二元一次方程，则_____________． 【答案】7 【分析】根据二元一次方程的定义，可得和的次数都为，由此得到关于，的一元一次方程，求解得到，的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是二元一次方程． ，． 解得，． 将，代入得． ． 【变式1】（24-25七年级下·江西南昌·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，则且，解之即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：4． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若是二元一次方程，则________． 【答案】4 【分析】此题考查二元一次方程定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，且未知项的系数不等于0，据此可列出方程，，，且，求解得出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，，且， 解得：，， ∴． 故答案为：4． 【变式3】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知方程是二元一次方程，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义，即含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程．先根据二元一次方程的定义得出关于、的方程，求出、的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：方程是二元一次方程， 且，， 解得， ． 故答案为：． 题型三 求二元一次方程的整数解 解｜题｜技｜巧 通用解题四步法(必背) 1.变形方程 选系数简单的未知数，用移项、系数化为1,表示成：y=kx +m或x=ky+m的形式。 2.分析整数条件 根据“另一个未知数是整数”,推出式子中分式部分必须为整数，确定自变量的取值规律。 3.限定取值范围(按需) 若题目要求正整数解/非负整数解，结合x≥0、y≥0列不等式，圈定未知数的可取范围。 4.逐一代入求值 按范围依次取值，求出对应另一个未知数，整理所有解。 【典例3】（24-25七年级下·广东广州·期末）写出关于x，y的二元一次方程的所有正整数解______． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意分别将代入求得的值，结合都是正整数，即可求解． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 其它更小，不是整数， 故正整数解为或 故答案为：或 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在二元一次方程中，若均为非负整数，则该方程的解的组数为（   ） A．5组 B．4组 C．3组 D．2组 【答案】C 【分析】先将方程变形，再根据均为非负整数的条件确定参数的取值范围，枚举所有符合条件的解，统计解的组数即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵，均为非负整数， ∴，，即，且为偶数， 依次枚举的取值： 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； 当时，，不是整数，舍去； 当时，，符合条件； ∴ 符合条件的解共有组. 【变式2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）二元一次方程的正整数解的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，可得，根据、是正整数，则是的倍数，可得或，据此即可求解． 【详解】解：方程可化为， ∵、均为正整数， 当时，；当时，， 方程的正整数解为，，有2个． 【变式3】（24-25七年级下·河北·期末）若二元一次方程有正整数解，则x的取值应为（ ） A．0 B．正偶数 C．正奇数 D．任意整数 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，熟练掌握用含一个未知数的式子表示另一个未知数以及数的奇偶性分析是解题的关键． 先将二元一次方程变形为用表示的形式，再根据正整数解的条件分析的取值特征． 【详解】解：由，可得， ∵方程有正整数解， ∴是正整数，即，且能被整除． 由，解得． 又∵能被整除，为奇数（因为奇数减是偶数）， ∴为正奇数． 故选：C． 题型四 已知二元一次方程的解求参数 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】把代入，得：， 解得：， ∴a的值为1； 故答案为：1． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为________． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将代入求出a的值即可． 本题主要考查了二元一次方程的解的定义，能够使方程成立的一组未知数的值叫做方程的解．理解方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得：． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）已知关于的二元一次方程有一组解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将已知解代入方程解答即可求解，熟练二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二元一次方程有一组解为， ， 解得， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知是二元一次方程的一个解，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将已知解代入方程中解得m的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， 则， 解得：， 故答案为：. 题型五 用一个字母表示另一个字母 【典例5】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y： ______． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式，二元一次方程；把方程移项得到，再把系数化为1即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期末）已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的知识点是解二元一次方程，关键是解题时可以参照一元一次方程的解法，利用等式的性质解题，可以把一个未知数看成已知数来处理．将x看成已知数，先移项，再将y系数化为1即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·云南保山·期末）把方程写成用含的代数式表示的形式，下面表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：把方程写成用含的代数式表示的形式：． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，则“用含的代数式表示”的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解 将x看做已知数，解关于y的一元一次方程即可． 【详解】解：移项得， 系数化为一得：， 故选：C 题型六 判断是否为二元一次方程组 解｜题｜技｜巧 由两个或两个以上方程组成的方程组，全部符合： 1.二元：整个方程组里，一共只有2个不同未知数(通用为x、y); 2.一次：每个方程中，含未知数的项次数都是1; 3.整式方程：分母、根号内不含未知数。 补充：方程组至少包含两个方程，单个方程不能叫方程组。 【典例6】（24-25七年级下·山东济南·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键． 二元一次方程组需满足两个条件：含有两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，据此求解即可． 【详解】解：选项A：第二个方程含，次数为2，不是二元一次方程组； 选项B：第二个方程，次数为2，不是二元一次方程组； 选项C：两个方程均为一次方程，是二元一次方程组． 选项D：第二个方程含，不是整式方程，不是二元一次方程组； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·北京海淀·期末）在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有5个， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成． 【详解】解：，是二元一次方程组， 方程含分式，未知数出现在分母中，次数为，不是一次方程， 中，方程含第三个未知数，导致方程组含三个未知数，不符合条件， ，方程中，项次数为2，不是一次方程， 符合条件的有第一个和第三个方程组，共2个， 故选：A． 题型七 已知二元一次方程组的解求参数 【典例7】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程组的解的定义，将已知的，的值代入原方程组，求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：是二元一次方程组的解， ，解得， ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】把代入方程组，得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， ． 【变式2】（24-25七年级下·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·四川眉山·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 【答案】 5 1 【分析】将已知代入方程，先求出即的值，再将与求得的代入，即可求出的值． 【详解】解：由题意，将代入，得， 解得，即表示的数为， 将，代入，得， 即表示的数为． 题型八 解二元一次方程组 易｜错｜点｜拨 通用基础易错点(两种解法都常错) 1.去括号漏变号(最高发) 错误示例： 由，代入 写成： 正确： 避错：括号前是负数/乘数，括号内每一项都要乘、负号逐项变号。 2.移项不变号 错误示例： 正确： 避错：从等号一侧移到另一侧，正负必须互换。 避错：从等号一侧移到另一侧，正负必须互换。 3.计算四则运算失误 合并同类项、系数化为1时算错加减乘除，尤其负数运算。例：-2x=4,错解x=2,正解x=-2。 4.只求出一个未知数，忘记求另一个 求出x就直接写答案，漏掉回代求y。 避错：解完一个，必须代回原方程求另一个。 5.最后不写方程组的解格式 答题规范：必须写成,只写x、y扣分。 【典例8】（24-25七年级下·山东·期末）解方程组： 【答案】 【详解】解：方程组化简为， 得：， 解得： ， 把 代入①中，得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式1】（24-25七年级下·重庆丰都·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：， 得，解得， 将代入②，得，解得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组整理得， 得，解得， 将代入②，得，解得， ∴方程组的解为． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）的系数互为相反数，用加减消元法解即可； （2）两个方程系数既不相等也不相反，用代入消元法解即可． 【详解】（1）解：， ①②得，，即， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴这个方程组的解是； （2）解：， ，得，即， 把③代入②得，， ，即， ∴， 解得：， 将代入③得，， ∴这个方程组的解是． 【变式3】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）解方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 由①得③， 把③代入②得， 解得． 把代入③得， ∴原方程组的解为． （2）解：， 得，， 将代入①，得， 解得， 故方程组的解为． 题型九 二元一次方程组的特殊解法 【典例9】（24-25七年级下·湖南常德·期末）关于的方程组的解为且，则为（   ） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组的解得出，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴的解为， 将两式相加，得， 即， 所以 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则所求方程组可变形为，根据题意可得方程组的解是，则，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴关于x、y的二元一次方程组可变形为关于m、n的二元一次方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选D． 【变式3】（24-25九年级下·浙江台州·期末）已知方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件将方程组变形为，根据二元一次方程组的解的定义得到，求出，即可． 【详解】解：方程组的解是，方程组可变为 ∴ 解得 ∴方程组 的解为：， 故选：D． 题型十 构造二元一次方程组求解 【典例10】（24-25七年级下·浙江·期末）规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期末）对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，平方根；由题中所给新定义运算可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴，4的平方根是， ∴的平方根是； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·重庆忠县·期末）如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组的应用．编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，根据题意得到，，据此求解即可． 【详解】解：由题意，编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为， 编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为， ∵编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍， ∴， ∴， ∵大长方形的两对边相等， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）在等式中，当，；当，；则当时，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值．根据当，；当，，列出方程组，求出k，b的值，得到等式，再把代入即可求值． 【详解】解：∵当，；当，， ∴， 解得， ∴， ∴当时，． 故答案为： 题型十一 已知二元一次方程组解得情况求参数 【典例11】（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题的关键． 通过将方程组中的两个方程相减，可得，再结合题意可得，即可求解． 【详解】解：， 由，得， 又， ， ． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·福建漳州·期末）已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知式子的值，求二元一次方程组的参数，将方程组转化为与相关的式子，代入计算即可． 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得， 故选B． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x，y的方程组的解满足与互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解二元一次方程组是解决问题的关键．根据题意，解方程组，再由求值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 联立方程组， 解得， ， 故选：C． 【变式3】（24-25七年级下·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 题型十二 二元一次方程组错解复原问题 解｜题｜技｜巧 这类题核心：看错方程，但解是对应方程的正确解，抓住“错解满足没看错的方程”来列式求解，套路固定。 一、题型特点 常见两种看错形式： 1.看错系数：抄错某一个方程的系数/符号，另一个方程完全没错； 2.看错常数项：抄错等号右边数字，含未知数的项没错。 关键结论： 把错解代入【没看错的那个方程】,一定成立，据此列方程求参数。 二、通用解题四步模板(直接套用) 1.分清对错：明确：哪道方程看错了、哪道方程是正确的； 2.代入错解：将题目给出的错误解，代入正确的方程； 3.列方程组：得到关于参数的方程/方程组，求出参数； 4.还原原方程组：把参数代回，解正确方程组，得到最终答案。 【典例12】（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入方程①可得的值，将代入方程②可得的值； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入方程得：， 解得； 将代入方程得：， 解得． （2）解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 【变式2】（24-25七年级下·湖南张家界·期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【详解】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 题型十三 判断二元一次方程组解题步骤是否正确 【典例13】（24-25七年级下·广西贵港·期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 (1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法． (2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】(1)代入 (2)二，整体代入未添加括号 (3)见解析 【分析】（）根据定义判断即可；（）整体代入的过程中如果是代数式要添加括号;（）整体代入后解一元一次方程求出，再代回解出即可． 【详解】（1）把二元一次方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解，这种方法叫做代入消元法； 根据定义可知小强解方程组用的方法是代入消元法； （2）二，整体代入未添加括号； （3）解：由①得③ 将③代入②得，解得； 把代入③，即：，解得x＝2， 原方程组的解为：． 【变式1】（24-25七年级下·河南新乡·期中）数学老师在黑板上出了一道习题，解方程组． 以下是小华的解题步骤： 解：②①，得，第一步 解得：第二步 把代入①，得第三步 所以这个方程组的解为第四步 (1)小华解方程组的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始出错； (3)请你用正确的方法解这个方程组． 【答案】(1)加减 (2)三 (3)见解析 【详解】（1）解：由题意知，小华的方法是加减消元法； （2）解：由题意知，以上解法，从第三步开始错误； （3）解： ②①，得， 解得 把代入①， 解得 所以这个方程组的解为． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×3，得，③       第一步 ，得，         第二步 ．         第三步 将代入①，得．        第四步 所以，原方程组的解为，      第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法：以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 【答案】(1)加减消元；等式的性质 (2)二 (3) 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可解题； （2）第二步计算错误； （3）根据消元法继续计算即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质； （2）解：第二步出现错误，应得到； （3）解：将代入①，得， ∴原方程组的解为． 【变式3】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）解下列方程组并完成相应任务 (1) (2)下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③   第一步 得：               第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是         第四步 ①这种求解二元一次方程组的方法叫做______________；其中第一步这样做的依据是_______________； ②第_________步开始出现了错误，请你写出方程组正确的解___________________． 【答案】(1) (2)①加减消元法，等式的基本性质2；②第二步， 【分析】（1）加减消元法解方程组即可； （2）①根据等式的性质，作答即可；②根据加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴； （2）解：①这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第一步这样做的依据是等式的基本性质2； ②第二步出错； 得：③ 得：，解得； 将代入②得，解得． 所以该方程组的解是． 题型十四 方程组同解问题 解｜题｜技｜巧 核心：两个方程组有完全一样的一组解，先抓公共解，再分步求参数、解方程，套路固定。 一、基本概念 两个二元一次方程组和同解 含义：它们的解完全相同，这组解同时满足四个方程。 二、两大必考题型+标准解题步骤 题型1:两个方程组同解(其中不含参数的方程可联立先求公共解) 通用四步解法 1.挑出两个不含参数的方程，联立，先求出公共解(x,y); 2.把求出的x、y,代入含参数的方程； 3.得到关于参数的新方程组，解出参数； 4.按题目要求作答(求参数/再解方程)。 【典例14】（24-25七年级下·四川达州·期末）已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出a与b的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得，， 把代入①得：， ∴， 把代入，得， ， 解得：， ∴． 即的值为1． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 【变式2】（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段检测）已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组同解问题，根据方程组和的解相同， 得出这两个方程组的解也是方程组的解，然后解方程组，得出，将代入原方程组得出，求出a、b的值，最后代入求值即可． 【详解】解：因为方程组和的解相同， 所以这两个方程组的解也是方程组的解． 解得， 将代入方程组得， 解得， 所以． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）若关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）因为两个方程组同解，所以将两个方程组的没有参数的方程联立，解方程组即可求解； （2）将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组，解方程组即可求解，然后求出的值，再求出算术平方根即可． 【详解】（1）解：依题意可联立方程组：， 解这个方程组可得相同的解为：； （2）解：将（1）所得相同的解代入原方程组，并将含参数a、b的两个方程联立可得方程组：， 解得：， ， 的算术平方根为3． 【点睛】本题考查了同解方程组，求一个数的算术平方根，加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确的计算是解题的关键． 题型十五 二元一次方程组中新定义类 【典例15】（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， 得， ， 把代入②，得， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ， ∵， ， 解得； （3）解：∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ， 解得：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 【变式2】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）新趋势・新定义    对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足.我们就说方程组的解与具有“邻好关系”. (1)请写出一个与具有“邻好关系”的二元一次方程组； (2)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (3)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. 【答案】(1)答案不唯一，如等 (2)方程组的解具有“邻好关系” (3)或6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据“邻好关系”的定义求解即可； （2）利用代入消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义判定即可； （3）利用加减消元法求得方程组的解，再利用具有“邻好关系”的定义列出关于m的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：具有“邻好关系”的二元一次方程组为（答案不唯一）； （2）解：具有“邻好关系”.理由如下： 解方程组， 解得， 再代入，符合条件， 所以方程组的解具有“邻好关系”； （3）解：解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即， 所以或， 所以或6． 【变式3】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 题型十六 根据图形列二元一次方程组 【典例16】（24-25七年级下·山西太原·期末）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每张长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：由图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为． 得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为， 设每张长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得，， 故选：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形找到两个等量关系是解决问题的关键．根据图形找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ∵小长方形的长比宽大4， ∴； ∵大长方形的周长为34， 即， ∴， 即； ∴方程组为． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形，找到合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：小长方形的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 题型十七 根据实际问题列二元一次方程组 【典例17】（2026·浙江舟山·二模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余2辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？可设共有人，辆车，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设共有人，辆车， ∵每人共乘一车，最终剩余辆车空，实际使用车辆为，总人数等于乘使用车辆数， ∴， ∵每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，车上共坐人，加上步行的人等于总人数， ∴， 综上可得方程组． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）小山打算买一件甲商品和一件乙商品，到店后得知这两种商品的原价加起来是200元．过了几天商店调整定价：甲商品单价上涨10%，乙商品单价下调20%．等小山再次到店购买这两种商品各一件时，发现这次的总价比最初的200元多了8%．若设甲商品原来的单价为元，乙商品原来的单价为元，可列出的方程组是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据甲、乙两种商品原来的单价和为200元，调价后总价比最初的200元多了，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意得：． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期末）古代数学著作《九章算术》有这样一道题，今有糙米、白米共五十斗，糙米二斗可换白米一斗．若将全部糙米换白米，共得白米三十斗．问糙米、白米原有各几斗？设糙米原有斗，白米原有斗，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据糙米与白米的总量为斗，全部糙米换白米后总白米量为斗，列方程组即可． 【详解】解：设糙米原有斗，白米原有斗， ∵糙米、白米共五十斗， ∴， ∵糙米二斗可换白米一斗，将全部糙米换白米后共得白米三十斗， ∴斗糙米换得的白米为斗，加上原有白米斗等于30斗， ∴， 综上，可列方程组为． 故选：A． 题型十八 实际应用之分配问题 【典例18】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)使加工出的A，B板块恰好用完，能做个礼盒 (3)9 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 （2）解：由题意可得， ， 解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，， 解得， ∵x、a都是正整数， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，是整数，符合题意， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为9，此时，A、B分别有32块和16块，这样使礼盒制作完毕后的板块恰好用完． 【变式1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组求解即可． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1200张、长方形纸板3000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【变式3】（24-25七年级下·山东临沂·期末）完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】【任务一】每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套； 【任务二】每副镜架的出厂价应定为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用和利润率的计算，关键是理解配套关系和利润率的公式． 任务一：根据“每副镜架由1个镜框和2个镜腿配套”，得到镜腿数量是镜框数量的2倍，据此列方程求解； 任务二：根据“利润率=利润÷成本”先算出利润，再由“出厂价成本利润”利用方程计算出厂价． 【详解】任务一： 解：设分配名工人生产镜框，则名工人生产镜腿． ∵每副镜架需要1个镜框和2个镜腿， ∴镜腿的日产量应是镜框日产量的2倍， 可得方程， 解得， 则生产镜腿的工人数量为(名)． 答：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套． 任务二： 解：设每副镜架的出厂价应定为元． 由题意，得，解得． 答：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元． 题型十九 实际应用之图表信息类 【例题19】（24-25七年级下·北京昌平·期末）传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如左图．人们称之为洛书．如果将龟背上的数字翻译出来，如右图． 一般地，在的方阵中填入9个不重复的数，使每行，每列，每条对角线的数字和都相等，这样的方阵叫作三阶幻方．这个数字和叫作幻和，我们用字母来表示．最中间的数叫作中心数，我们用字母来表示． (1)如图1，三阶幻方中填写了一些数字，则________，________． (2)如图2，三阶幻方中填写了一些数字和字母，则________，________． (3)如图3，三阶幻方中填入，，，，，，，，中，用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)15，5 (2)18， (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列代数式、一元一次方程的应用，解题时要能读懂题意列出关系式是关键． （1）依据题意可得，，则，即可判断得解； （2）依据题意，由，则，故，，进而计算可以得解； （3）依据题意，可得，，，从而可得，，进而计算可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意可得，． 又， ， ； ． ，即“幻方和”是“中心数”的3倍． ． 故答案为：15，5． （2）解：由题意，， ． ，． ，． ． 故答案为：18，． （3）解：． 证明：，① ，② ，③ ①②③，得 ，④ ，⑤ ，⑥ ，⑦ ⑤⑥⑦，得 ，⑧ ④⑧，得 ． ． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【答案】捐5本的有20人，捐8本的有12人，理由见详解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确运用方程表示出数量关系并求解是解题的关键． 根据该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人，由此列式求解即可． 【详解】解：该班45名同学共捐书298本，设捐5本的有x人，捐8本的有y人， ∴， 解得，， ∴捐5本的有20人，捐8本的有12人． 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【答案】(1)大球为2个，小球为4个 (2)三种，当大球6个，小球2个，或大球3个，小球6个，或只放10个小球，过程见解析 【分析】本题考查了列二元一次方程组和列二元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及二元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键． （1）由图得出一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度．设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设此时需a个大球，个小球，根据题意列出方程，由、均为正整数列出所有符合条件的a、b的值即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：一个小球使水面上升3个单位高度；一个大球使水面上升4个单位高度． 设放入的大球为个，小球为个时，水面上升到40个单位的高度． 解得： 答∶需放入大球为2个，小球为4个时，水面上升到40个单位的高度． （2）解：容器恰好装满时，水位需上涨30个单位高度，设此时需a个大球，个小球，则： ． 所以 因为、均为正整数，所以有以下三种情况， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件． 即：当大球6个，小球2个或大球3个，小球6个或只放10个小球时，容器恰好装满． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求A、B两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． (3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据近2周的销售情况表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）不能实现利润为1200元的目标，设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总利润每台的销售利润销售数量，结合销售完、两种型号的电风扇共25台且共获得1200元利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，结合，需为正整数，即可得出不能实现利润为1200元的目标； （3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元． （2）不能实现利润为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 不符合题意，舍去， 即不能实现利润为1200元的目标． （3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 该公司共有3种购买方案， 方案1：购买4台种型号电风扇，15台种型号电风扇； 方案2：购买8台种型号电风扇，10台种型号电风扇； 方案3：购买12台种型号电风扇，5台种型号电风扇． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 题型二十 实际应用之行程问题类 【典例20】（24-25七年级下·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 【变式1】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 【变式2】（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 【变式3】（24-25七年级下·湖南·期末）男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程、一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法及时间相同，路程比等于速度比． ()设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为米，由等量关系列出方程组，即可得解； （）由()知男运动员的速度是女运动员速度的倍，可设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈，利用男运动员追上女运动员时多跑圈，由等量关系列出方程组，即可得解． 【详解】（1）解：（1）设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为． 由题意，得 ， 解得 ， ∴男运动员的速度是女运动员的倍． （2）设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈， 根据题意，得 ， 解得． ∴男运动员追上女运动员时，女运动员跑了圈． 题型二十一 实际应用之工程问题类 【典例21】（24-25六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． （1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：小泓和小智两位同学提出的解题思路如下： ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： 故答案为：①；②． （2）若选择① 则， 解得 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道160米． 若选择② 则， 解得 甲整治的河道长度：米；乙整治的河道长度：米． 【变式1】（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 (2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． （1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得． 【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b， 由题意得： 解得： ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天， 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 （2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元， 由题意得： 解得： 答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元． 【变式2】（24-25七年级下·陕西安康·期末）某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华：设河道整治任务完成后，表示_____，表示_____． 根据题意，可列方程组 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数 (2)见解析，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，根据题意，得， 故答案为：，； ②小华：设河道整治任务完成后，表示甲工程队工作的天数，表示乙工程队工作的天数． 根据题意，可列方程组 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； （2）解：选择① 解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 选择② 设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 甲整治的河道长度：(米)；乙整治的河道长度：(米)． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）阅读理解： 为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务，由两个工程队先后接力完成，工程队每天整治24米，工程队每天整治16米，共用20天． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请分别指出未知数表示的意义． 甲：表示______， 表示：______．乙：表示______， 表示______． (2)补全乙方程组，求出乙方程组的解，并回答两个工程队分别整治河道多少米． 【答案】(1)甲：工程队整治天数；工程队整治天数；乙：工程队整治长度；工程队整治长度 (2)乙：；，工程队整治120米，工程队整治240米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解． （1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，工程队整治天数；工程队整治天数；乙：工程队整治长度；工程队整治长度，补全方程组即可； （2）根据二元一次方程组的解法求解乙方程组即可． 【详解】（1）解：甲：， 乙：； 甲：工程队整治天数；工程队整治天数；乙：工程队整治长度；工程队整治长度 故答案为：工程队整治天数；工程队整治天数；乙：工程队整治长度；工程队整治长度 （2）解：乙：； 整理乙方程组，得 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴乙方程组的解为：， 答：A队整治河道120米，B队整治河道240米． 题型二十二 实际应用之几何问题类 【典例22】（24-25七年级下·浙江台州·期中）用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【分析】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【详解】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． 【变式1】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【答案】(1)放入的大球为4个，放入的小球为6个； (2)有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用以及方程的整数解问题，核心是根据“每个球使水面上升的高度×球的数量=水面总上升高度”的关系建立方程(组)． （1）先根据水面上升的总高度和球的总数，设未知数列出二元一次方程组，通过代入消元法求解即可得到大球和小球的个数； （2）设出大球、小球的个数，根据水面上升高度建立方程，结合小球个数为奇数的条件，找出所有符合条件的解，统计解的数量得到可能的种数． 【详解】（1）解：根据图示信息得：每放入一个大球，水面上升，每放入一个小球，水面上升．设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，解得 答：放入的大球为4个，放入的小球为6个． （2）解：设放入的大球为个，放入的小球为个， 由题意得：，变形为， ∵为正整数，为奇数， ∴当时，；当时，． 答：有2种可能，分别是3个小球，5个大球或9个小球1个大球． 【变式2】（24-25七年级下·重庆巴南·期末）如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可； （2）长方形纸板长为，宽为，即，解方程求出的值， 利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积； （2）解：由题意， 解得， 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为． 【变式3】（24-25七年级下·贵州·期末）如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【答案】(1) (2)长为，宽为 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和列代数式，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系． （）直接列出代数式即可； （）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，列出方程组，求出小长方形的长与宽即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， 大长方形的宽为：， 故答案为：； （2）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得 ， 解得， 所以每块小长方形墙砖的长为，宽为． 题型二十三 实际应用之方案选择类 【典例23】（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践 为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织名师生前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用型、型两种大巴车，相关信息如下： ①若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生； ②型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人； ③两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示： 型号 最大载客人数 日租金（元） 请根据上述信息，完成下列任务： (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】学校计划同时租用型大巴车和型大巴车（两种车型均至少租用辆），且恰好坐满名师生．问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金． (3)【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即型大巴车日租金降为元/辆，型大巴车日租金为元/辆．学校计划用元租用大巴车，且全部用完，且能载名师生．请问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由． 【答案】(1) ， (2) 共有种租车方案，最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元 (3) 能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆 【分析】（1）根据若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生；型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人；列二元一次方程组求解； （2）设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆，根据租车的数量是整数，可知共有种租车方案，分别计算出种方案所需费用，通过比较得出最省钱的租车方案； （3）由（2）可知共有种租车方案：分别计算出降价后种租车方案所需租金，得到符合要求的租车方案． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：， 答：型号大巴车最大载客数为人，型号大巴车最大载客数为人； （2）解：设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆， 为整数且， 解得：， 且为整数， 当时，， 当时，， 共有种租车方案： 方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； ， 最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元； （3）解：由（2）可知共有种租车方案： 方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 学校的计划能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计奖品购买及获奖人数方案 我校举办“数学文化节”活动，对获奖同学进行表彰奖励，分别设置一等奖、二等奖和三等奖．学校准备购买若干定制笔记本与定制水笔作为奖品，需考虑奖品购买方案及获奖人数． 素材1 已知购买1包定制笔记本与4盒定制水笔需要390元；购买2包定制笔记本与3盒定制水笔需要480元． 素材2 学校用1050元购买若干包定制笔记本与若干盒定制水笔两种奖品． 素材3 （1）1包定制笔记本有10本笔记本，1盒定制水笔有6支水笔． （2）计划设置获奖总人数为人，二等奖获奖人数是一等奖的2倍． （3）一等奖：1本笔记本，1支水笔．二等奖：1本笔记本．三等奖：1支水笔． 问题解决： (1)求出1包定制笔记本与1盒定制水笔的价格． (2)若用完1050元购买两种奖品，可以购买几包定制笔记本与几盒定制水笔？写出购买方案． (3)在任务2中购买的奖品恰好全部发完，求的值．（直接写出答案） 【答案】(1)一包定制笔记本为150元，一盒定制水笔为60元 (2)购买5包定制笔记本、5盒定制水笔，或3包定制笔记本、10盒定制水笔，或1包定制笔记本、15盒定制水笔 (3)80 【分析】（1）设一包定制笔记本的价格为x元，一盒定制水笔的价格为y元，根据购买1包定制笔记本与4盒水笔需要390元；购买2包定制笔记本与3盒水笔需要480元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买a包定制笔记本，b盒定制水笔，根据用完1050元购买两种奖品，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论； （3）设一等奖获奖人数为n人，则二等奖获奖人数为人，则三等奖获奖人数为人，分三种情况，根据题意分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设一包定制笔记本的价格为x元，一盒定制水笔的价格为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：一包定制笔记本的价格为150元，一盒定制水笔的价格为60元； （2）解：设购买a包定制笔记本，b盒定制水笔， 根据题意得：， 整理得：， ∵a、b为正整数， ∴或或， ∴购买方案有3种： 方案一：购买5包定制笔记本，5盒定制水笔； 方案二：购买3包定制笔记本，10盒定制水笔； 方案三：购买1包定制笔记本，15盒定制水笔； （3）解：设一等奖获奖人数为n人，则二等奖获奖人数为人，则三等奖获奖人数为人， 根据奖品发放规则可知，所需笔记本总数为（本），所需水笔总数为（支）， 根据题意可知，购买笔记本包，购买水笔盒， 分三种情况： ①按方案一购买（5包定制笔记本，5盒定制水笔）， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去； ②按方案二购买（3包定制笔记本，10盒定制水笔）， 根据题意得：，， 解得：，，符合题意； ③按方案三购买（1包定制笔记本，15盒定制水笔）， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去； 综上所述，m的值为80． 【变式2】（26-27七年级下·陕西西安·期末）陕西历史博物馆的文创商店近期准备推出两种特色文创产品．若购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元． (1)甲、乙这两种文创产品的单价各是多少元？ (2)某班计划购买两种文创产品（两种都需购买）、恰好用完330元，请问该班有几种购买方案？写出所有可行的方案． 【答案】(1)甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元； (2)该班共有2种购进这两种文创产品的方案：①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件；②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件． 【分析】（1）设甲种文创产品的单价是x元，乙种文创产品的单价是y元，根据购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种文创产品m件，购进乙种文创产品n件，根据该班决定花330元购进这两种文创产品，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲种文创产品的单价是x元，乙种文创产品的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：甲种文创产品的单价是30元，乙种文创产品的单价是25元； （2）解：设该班购进甲种文创产品m件，购进乙种文创产品n件， 由题意得：， 整理得， ∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该班共有2种购进这两种文创产品的方案： ①购买甲种文创产品6件，乙种文创产品6件； ②购买甲种文创产品1件，乙种文创产品12件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【变式3】（24-25七年级下·安徽六安·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆型和3辆型汽车需要万元，3辆型和2辆型汽车需要万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车(两种汽车都要购进)，请写出有哪几种购买方案． (3)若销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元； (2)共有3种购买方案：方案1：购进型辆，型1辆；方案2：购进型8辆，型4辆；方案3：购进型4辆，型7辆； (3)方案1获利最大，最大利润是万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、方程的正整数解问题以及利润的计算与最值比较，关键是根据实际购进的资金等量关系建立方程(组)，结合车辆数为正整数的实际意义确定取值，再通过计算比较得出利润最值． （1）先设、两种型号汽车的进价分别为万元、万元，根据题干中两种购进方式的资金总额，列出二元一次方程组，解方程组即可求出两种车型的每辆进价； （2）设购进型辆、型辆，且、均为正整数，根据总购进资金万元列出不定方程，整理化简后结合正整数的限制条件，分析得出未知数的取值需满足的倍数和不等关系，逐一验证求出所有符合条件的、值，进而确定所有购买方案； （3）根据每辆、型汽车的利润，分别计算出（2）中各方案的总利润，通过比较各方案的利润数值，得出获利最大的方案以及对应的最大利润． 【详解】（1）解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， 根据题意列方程组：，解得， 答：A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元． （2）解：设购进型汽车辆，型汽车辆(、均为正整数)， 根据题意得，整理得， ∵、为正整数， ∴需为3的正倍数，且，即， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； ∴共有3种购买方案：方案1：购进型辆，型1辆；方案2：购进型8辆，型4辆；方案3：购进型4辆，型7辆； （3）解：方案1的利润：(万元)； 方案2的利润：(万元)； 方案3的利润：(万元)； ∵， ∴方案1获利最大，最大利润是万元； 答：方案1获利最大，最大利润是万元． 题型二十四 解三元一次方程组 【典例24】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）解三元一次方程组 【答案】 【分析】本题主要考查加减消元法，根据题意将，解得，代入原方程得到，利用加减消元法求得解即可． 【详解】解：， ，得，则； 那么，， 解这个方程组，得， 因此． 【变式1】（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求解． 【详解】解：由得：， 解得：， 由得： ④， 将代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式2】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法，熟练掌握利用整体思想求解方程是解题的关键；根据题意可把整体代入求解z，然后再求解方程组即可． 【详解】解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 【变式3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组是解题的关键； 通过加减消元法，消去，联立，解方程得，再将解代入含的方程求解即可． 【详解】解：由题知，， 得，， 得，， 联立，解得， 把，代入中，可得，解得， 原方程组的解为． 题型二十五 利用三元一次方程组求解 【典例25】（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用加减消元的思想，先将三个方程相加求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：将方程组中三个方程左右两边分别相加，得： ， ∴， ， 将代入得： ， 解得：． 【变式1】（24-25七年级下·河南信阳·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义，将矩阵转化为三元一次方程组，通过消元法解出x和y关于z的表达式，代入并令其系数为0，得到t与m的关系． 【详解】解：由题意得：， 得，， ∴， 将③代入①得，， ∴ ， ∵为定值， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若是从0，，2这三个数中取值的一列数，且，，则在数中，取值为2的数有（   ）个 A．150 B．160 C．180 D．200 【答案】D 【分析】此题主要考查了三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程组是解决问题的关键． 设其中有a个0，b个，c个2，则；由，可得；由，可得；联立得到方程组，求解即可． 【详解】解：∵是从0，，2这三个数中取值的一列数， ∴设其中有a个0，b个，c个2，则； ∵ ∴； ∵ ∴ 联立得到， 解得， ∴在数中，取值为2的数有200个． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，解三元一次方程组，解题的关键是正确化简分式． 先将化简计算得到，则得到方程组，即可求解，再代入求值． 【详解】解： ， ∵（A、B、C均为常数）的计算结果为， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 题型二十六 三元一次方程组的实际应用 【典例26】（24-25七年级下·福建泉州·期末）某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，7本日记本，共50元；若购买7支铅笔，4块橡皮，10本日记本，共69元．则购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要的钱数为（   ） A．24元 B．31元 C．38元 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组问题，代入消元法等知识点，熟练掌握代入消元是解题的关键．设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元，根据题意，列出方程组，解得，，代入，计算即可． 【详解】解：设1支铅笔元，1块橡皮元，1本日记本元， 根据题意，列出方程组， 得， 得， ∴代入①式， ∴， 解得， ∴， ∴， 所以购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要24元． 故选A． 【变式1】（24-25七年级下·北京西城·期末）现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1-图3，其中图3的天平右边托盘中是个球，那么的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键．设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为，由图1，图2可得，，然后利用含的代数式表示出，，最后将其代入中计算即可求得答案． 【详解】解：设一个圆锥的质量为，一个圆柱的质量为，一个球的质量为， 由图1得， 整理得：①， 图2得， 整理得：②， ①②得：， 将代入②得：， 则， 那么， 即， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算3a与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码x，即． 请根据以上信息，解答下列各题： (1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字之和为，计算步骤中的，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和 ； (2)如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，求被污染的两个数字中右边的数字是多少？ 【答案】(1)34 (2)3 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先根据该商品条形码的校验码是7，得出，再根据，代入求得c，然后可得出，再代入b，求出a即可； （2）设被污染的两个数字中右边的数字是y，从而可用y表示出左边被污染的数字，再根据校验码是9，是10的倍数，可得出c的个位数字是1，再用y分别表示出前12位数字中奇数位数字之和为，前12位数字中偶数位数字之和为，根据，得出用y表示出c，再根据c的个位数字是1，得出y是3或8，进而得出y的值． 【详解】（1）解：因为已知该商品条形码的校验码是7， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为前12位数字中奇数位数字之和为， 所以， 解得： 所以该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和， 故答案为：34； （2）解：设被污染的两个数字中右边的数字是y， 则左边被污染的数字是， 因为校验码是9， 所以， 所以， 又是10的倍数， 所以是10的倍数， 即c的个位数字是1， 因为前12位数字中奇数位数字之和为， 前12位数字中偶数位数字之和为， ， 所以， 所以， 因为c的个位数字是1， 所以的个位数字是1， 所以的个位数字是6， 所以y是3或8， 若y是8，则，不符合， 所以， 此时，符合， 所以右边被污染的数字是3． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，则可以列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需根据两种分银子的情况找到对应等量关系，即可列出方程组 【详解】解：设客人为人，银子为两， ∵ 每人分7两，还剩4两，即分出去的银子等于总银子减去剩余的银子， ∴ ， ∵ 每人分9两，还差8两，即需要的总银子等于现有银子加上还差的银子， ∴ ， 因此可得方程组 2．（24-25七年级下·北京通州·期中）关于，的方程组，下列做法可以消去未知数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：得， 观察四个选项，选项C符合题意． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）若是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】把代入，可得关于的方程，即可得的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值是________． 【答案】7 【分析】观察二元一次方程组中两个方程的系数特点，将两式相加整理得到与的关系式，利用解的含义得，整体代入即可求出的值． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 5．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）根据，可得，，则______． 【答案】 【分析】根据题意可得，求出的值，进而即可求解． 【详解】解：根据题中的新定义得：， ∴， 得： 解得， ∴． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，     由①得③，         将③代入②，得，解得，         把代入③得，     原方程组的解为； （2）解： 得③， 得④， 得，解得， 把代入②得，解得， 原方程组的解为． 7．（24-25七年级下·山西太原·期末）邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于1840年，中国邮政于2025年11月18日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票2种．已知1枚《跃马添福》邮票的面值为1.20元，1枚《鸿运驰春》邮票的面值为3元，学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多10枚，且所购两种邮票总面值为96元，求该社团购买两种邮票的数量． 【答案】该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚 【分析】设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将关于的方程整理可得，根据与无关求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论为何值，的解都相同， ∴， ∴，． 2．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 【详解】解：方程组的解为， 故中， 解得． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，是我们七年级下学期学的九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出），使得每一横行，每一竖列及两条斜对角线上三个数的和都相等，则______． 7 2 【答案】 【分析】通过九宫格中每行、每列及对角线上三个数的和相等，列出方程组求解． 【详解】解：设每行、每列及对角线上三个数的和为， 设第一行第三列的数，则， ∴， 从左下到右上的对角线上数的关系：，即， ∴， 设第三行和第二列的数为，则， ∴， 联立方程组得，， 解得，， ∴． 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了加减消元法，已知二元一次方程组的解的情况求参数，二元一次方程的解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 假设解互为相反数，即，代入方程组求解得，与给定不符，由此判断①； 先求出方程组的通解，，代入得，由此判断②； 当时，方程组的解为，，代入成立，由此判断③； 计算得定值3，与无关，由此判断④． 【详解】解：若方程组的解互为相反数， 则， 将代入， 得， 解得：； 将代入， 得， 即； ∴， 解得：， 这与矛盾， 故说法①错误； 方程组， 解得：， 将代入， 得， 即， 解得：， 故说法②正确； 当时，，； 代入，得左边， 且右边，左边=右边， 故说法③正确； 计算， 结果为定值，与无关， 故说法④正确， 故答案为：②③④． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）我们把关于x、y的二元一次方程的系数a、b、c称为该方程的“搭档数”，记作．例如：二元一次方程的“搭档数”是． (1)二元一次方程的“搭档数”是______； (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“搭档数”为，则这个二元一次方程为_________ (3)已知关于x、y的二元一次方程的“搭档数”是，且，是该方程的两组解，求m、n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化为一般式得，根据定义确定二元一次方程的“搭档数”即可； （2）根据方程的“搭档数”为，得这个二元一次方程为，把代入方程求解即可； （3）根据关于x、y的二元一次方程的“搭档数”是，不妨设这个二元一次方程为，根据，是该方程的两组解，构造关于m、n的方程组求解即可． 【详解】（1）解：化为一般式得， 根据定义，得二元一次方程的“搭档数”为； （2）解：因为方程的“搭档数”为， 得这个二元一次方程为， 把代入方程，得， 去括号，得， 整理，得， 解得， 故这个二元一次方程为； （3）解：因为关于x、y的二元一次方程的“搭档数”是， 不妨设这个二元一次方程为， 因为，是该方程的两组解， 所以， 解得． 6．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）2026年福建掀起了足球热，举办闽超．龙岩市某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A、B两种品牌的足球，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元． (1)求购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元？ (2)该学校决定购买A种品牌足球m个，B品牌足球n个，并且A种品牌足球个数少于B种品牌足球，如果此次购买A、B两种品牌足球总费用为1050元，那么该中学购进A、B品牌足球多少个，请你设计购买方案． 【答案】(1)购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元 (2)学校有1种购买足球的方案，购买A品牌足球5个、B品牌足球10个 【分析】（1）利用公式“总费用购买A品牌足球共花的费用购买B品牌足球共花的费用”列出两个等量关系式，组成二元一次方程组求解； （2）根据题意列出二元一次方程，利用二元一次方程的整数解求得答案． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌足球需要x元，购买一个B品牌足球需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元． （2）解：根据题意得：， 即且． ∵105的个位数是5，m、n均为正整数，个位数为或， ∴的个位数得为或， ∵偶数，且是正整数， ∴的个位数只能为0， ∴是5的倍数， 当时，，与题意不符，舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，与题意不符； ∴． 答：学校有1种购买足球的方案，购买A品牌足球5个、B品牌足球10个． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 2．（2025·四川巴中·中考真题）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程即可解答，正确找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得方程组， ， 故选：A． 3．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 【答案】（或或，写出一种即可 ） 【分析】设截成长的钢管根，长的钢管根，根据钢管总长为列出方程，再结合、为正整数求解，进而得到总根数．本题主要考查了二元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题列方程并求正整数解是解题的关键． 【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根． ∵ 钢管总长， ∴ ，即 ． 又∵ 、为正整数， 当时，，总根数为； 当时，，总根数为； 当时，，总根数为 ． 故答案为：（或或，写出一种即可 ）． 4．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 5．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 【答案】游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒，根据“游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元”建立方程组求解即可． 【详解】解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒， 由题意得：， 解得：， 答：游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒． 1 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 判断是否为二元一次方程 题型14 方程组同解问题 题型2 利用二元一次方程的定义求参数 题型15二元一次方程组中新定义类 题型3 求二元一次方程的整数解 题型16 根据图形列二元一次方程组 题型4 已知二元一次方程的解求参数 题型17 根据实际问题列二元一次方程组 题型5 用一个字母表示另一个字母 题型18 实际应用之分配问题 题型6 判断是否为二元一次方程组 题型19 实际应用之图表信息类 题型7 已知二元一次方程组的解求参数 题型20 实际应用之行程问题类 题型8 解二元一次方程组 题型21 实际应用之工程问题类 题型9 二元一次方程组的特殊解法 题型22实际应用之几何问题类 题型10 构造二元一次方程组求解 题型23 实际应用之方案选择类 题型11 已知二元一次方程组解得情况求参数 题型24 解三元一次方程组 题型12 二元一次方程组错解复原问题 题型25 利用三元一次方程组求解 题型13 判断二元一次方程组解题步骤是否正确 题型26 三元一次方程组的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的概念 能识别二元一次方程，会判断一组数是否为二元一次方程的解 基础概念题，常出现在选择题、填空题 二元一次方程组的概念 理解二元一次方程组及其解的定义，会检验一对数是否为方程组的解 基础必考点，常与实际情境结合考查 代入消元法解二元一次方程组 掌握代入消元法的步骤，能熟练用代入法解二元一次方程组 核心计算考点，是后续学习三元一次方程组的基础 加减消元法解二元一次方程组 掌握加减消元法的适用条件和步骤，能根据方程组特点选择合适的消元方法 高频计算考点，是中考基础计算的常考形式 二元一次方程组的实际应用 能分析实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组并求解，检验结果的合理性 重点难点，常以解答题形式考查，结合生活情境（行程、工程、配套等） 三元一次方程组的概念与解法 了解三元一次方程组的定义，掌握消元的基本思想，能解简单的三元一次方程组 拓展考点，多为选做或拓展题，考查消元思想的迁移 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 示例：方程2x+3y=5中，含有x和y两个未知数，且x、y的次数都是1,因此是二元一次方程；而xy=3(含未知数的项次数为2)+y=2(不是整式方程)都不属于二元一次方程。 易错点： 1.二元一次方程必须是整式方程，分母中含有未知数的分式方程不是二元一次方程。 2.“含未知数的项的次数为1”,不是未知数的次数为1,如cy=1中，含未知数的项次数为2,不是二元一次方程。 3.二元一次方程有无数组解，并非只有一组解。 知识点02 二元一次方程组的概念与解 二元一次方程组：由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组。 二元一次方程组的解：使方程组中两个方程都成立的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 示例：方程组中，同时满足两个方程，因此是这个方程组的解。 易错点： 1.检验一组数是否为方程组的解，必须代入两个方程同时检验，只满足一个方程不是方程组的解。 2.二元一次方程组的解是一对数，不能只写一个未知数的值。 知识点03 代入消元法解二元一次方程组 代入消元法：将方程组中的一个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程，实现消元，进而求得方程组的解。 示例：解方程组,解得,再将 ,得,因此方程组的解为 易错点： 1.变形后的方程必须代入另一个方程，不能代入原方程，否则会出现恒等式，无法求解。 2.求出一个未知数的值后，要代回变形后的方程求另一个未知数，不要直接代入原方程导致计算复杂。 知识点04 加减消元法解二元一次方程组 加减消元法：当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得方程组的解。 示例：解方程组,两个方程中的系数相反，将两式相加，得,解得,再代入 原方程求得,因此方程组的解为 易错点： 1.加减消元时，要注意符号问题，系数为负时，相减容易出错，优先用相加消元。 2.当系数不相等或相反时，要先将方程变形，使某一未知数的系数相等或相反，变形时要注意方程两边同乘同一个数，每一项都要乘，不要漏乘常数项。 知识点05 二元一次方程组的实际应用 步骤：审、设、列、解、验、答。 1.审题：找出题目中的两个等量关系； 2.设未知数：直接设或间接设两个未知数； 3.列方程组：根据等量关系列出二元一次方程组； 4.解方程组：求出未知数的值； 5.检验：检验解是否符合实际意义； 6.作答：写出答案。 示例：某车间有28名工人，生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要配两个螺母，设有x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，可列方程组,解得x =12,y=16,即12人生产螺栓，16人生产螺母。 易错点： 1.等量关系找错，如配套问题中，数量比容易弄反。 2.设未知数时要写清单位，作答时要完整回答问题，不要只写数值。 3.解出的未知数要符合实际意义，如人数、物品数量不能为负数或小数。 知识点06 三元一次方程组（拓展） 三元一次方程组：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组。 解法：通过消元，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程求解。 示例：解方程组,先消去x,将方程1和方程3相减，得2y=4,解得y=2,再代入 方程1和方程2,转化为二元一次方程组求解。 易错点： 1.消元时要注意消元的一致性，先消同一个未知数，避免消元混乱。 2.计算时要注意符号和系数，尤其是加减消元时容易出错。 题型一 判断是否为二元一次方程 解｜题｜技｜巧 一个方程同时满足下面全部3条，才是二元一次方程： 1.两个未知数(一般是x、y,只能2个，多/少都不行) 2.未知数次数都是1(单个字母右上角不能有平方、立方、根号、倒数) 3.整式方程(分母里不能有未知数，根号里不能有未知数) 【典例1】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·福建漳州·期末）下列四个方程中，是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）下面方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 题型二 利用二元一次方程的定义求参数 解｜题｜技｜巧 标准解题四步法 步骤1：标出未知数、参数，区分两者 未知数：x、y等；参数：m、n、k、a等(题目要求求解的字母)。 步骤2：根据“次数为1”列方程 未知数的指数必须等于1,据此列出等式。 易错点：xy形式次数为1+1=2,出现则直接不符合“一次”。 步骤3：根据“二元”列不等式 两个未知数的系数均不为0,据此列出不等关系。 步骤4：联立求解，检验结果 先解方程求参数，再代入不等式验证，舍去不符合的解。 【典例2】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是二元一次方程，则_____________． 【变式1】（24-25七年级下·江西南昌·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为______． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若是二元一次方程，则________． 【变式3】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）已知方程是二元一次方程，则______． 题型三 求二元一次方程的整数解 解｜题｜技｜巧 通用解题四步法(必背) 1.变形方程 选系数简单的未知数，用移项、系数化为1,表示成：y=kx +m或x=ky+m的形式。 2.分析整数条件 根据“另一个未知数是整数”,推出式子中分式部分必须为整数，确定自变量的取值规律。 3.限定取值范围(按需) 若题目要求正整数解/非负整数解，结合x≥0、y≥0列不等式，圈定未知数的可取范围。 4.逐一代入求值 按范围依次取值，求出对应另一个未知数，整理所有解。 【典例3】（24-25七年级下·广东广州·期末）写出关于x，y的二元一次方程的所有正整数解______． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在二元一次方程中，若均为非负整数，则该方程的解的组数为（   ） A．5组 B．4组 C．3组 D．2组 【变式2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）二元一次方程的正整数解的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25七年级下·河北·期末）若二元一次方程有正整数解，则x的取值应为（ ） A．0 B．正偶数 C．正奇数 D．任意整数 题型四 已知二元一次方程的解求参数 【变式1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值为________． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为________． 【变式2】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）已知关于的二元一次方程有一组解为，则的值为______． 【变式3】（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知是二元一次方程的一个解，则m的值为______． 题型五 用一个字母表示另一个字母 【典例5】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知二元一次方程，用含x的代数式表示y： ______． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期末）已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·云南保山·期末）把方程写成用含的代数式表示的形式，下面表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知，则“用含的代数式表示”的结果是（   ） A． B． C． D． 题型六 判断是否为二元一次方程组 解｜题｜技｜巧 由两个或两个以上方程组成的方程组，全部符合： 1.二元：整个方程组里，一共只有2个不同未知数(通用为x、y); 2.一次：每个方程中，含未知数的项次数都是1; 3.整式方程：分母、根号内不含未知数。 补充：方程组至少包含两个方程，单个方程不能叫方程组。 【典例6】（24-25七年级下·山东济南·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·北京海淀·期末）在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 题型七 已知二元一次方程组的解求参数 【典例7】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 【变式2】（24-25七年级下·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式3】（24-25七年级下·四川眉山·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 题型八 解二元一次方程组 易｜错｜点｜拨 通用基础易错点(两种解法都常错) 1.去括号漏变号(最高发) 错误示例： 由，代入 写成： 正确： 避错：括号前是负数/乘数，括号内每一项都要乘、负号逐项变号。 2.移项不变号 错误示例： 正确： 避错：从等号一侧移到另一侧，正负必须互换。 避错：从等号一侧移到另一侧，正负必须互换。 3.计算四则运算失误 合并同类项、系数化为1时算错加减乘除，尤其负数运算。例：-2x=4,错解x=2,正解x=-2。 4.只求出一个未知数，忘记求另一个 求出x就直接写答案，漏掉回代求y。 避错：解完一个，必须代回原方程求另一个。 5.最后不写方程组的解格式 答题规范：必须写成,只写x、y扣分。 【典例8】（24-25七年级下·山东·期末）解方程组： 【变式1】（24-25七年级下·重庆丰都·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·期末）解方程组： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）解方程组． (1) (2) 题型九 二元一次方程组的特殊解法 【典例9】（24-25七年级下·湖南常德·期末）关于的方程组的解为且，则为（   ） A．1 B． C．0 D．2024 【变式1】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·浙江台州·期末）已知方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 题型十 构造二元一次方程组求解 【典例10】（24-25七年级下·浙江·期末）规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期末）对于x、y，规定一种运算：，其中a、b为常数，已知，，则的平方根是（　　） A．2 B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·重庆忠县·期末）如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则______． 【变式3】（24-25七年级下·河南南阳·期末）在等式中，当，；当，；则当时，的值为______． 题型十一 已知二元一次方程组解得情况求参数 【典例11】（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·福建漳州·期末）已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x，y的方程组的解满足与互为相反数，则的值为（   ） A． B．0 C．3 D．6 【变式3】（24-25七年级下·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 题型十二 二元一次方程组错解复原问题 解｜题｜技｜巧 这类题核心：看错方程，但解是对应方程的正确解，抓住“错解满足没看错的方程”来列式求解，套路固定。 一、题型特点 常见两种看错形式： 1.看错系数：抄错某一个方程的系数/符号，另一个方程完全没错； 2.看错常数项：抄错等号右边数字，含未知数的项没错。 关键结论： 把错解代入【没看错的那个方程】,一定成立，据此列方程求参数。 二、通用解题四步模板(直接套用) 1.分清对错：明确：哪道方程看错了、哪道方程是正确的； 2.代入错解：将题目给出的错误解，代入正确的方程； 3.列方程组：得到关于参数的方程/方程组，求出参数； 4.还原原方程组：把参数代回，解正确方程组，得到最终答案。 【典例12】（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（24-25七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 【变式2】（24-25七年级下·湖南张家界·期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【变式3】（24-25七年级下·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 题型十三 判断二元一次方程组解题步骤是否正确 【典例13】（24-25七年级下·广西贵港·期中）下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 (1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法． (2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【变式1】（24-25七年级下·河南新乡·期中）数学老师在黑板上出了一道习题，解方程组． 以下是小华的解题步骤： 解：②①，得，第一步 解得：第二步 把代入①，得第三步 所以这个方程组的解为第四步 (1)小华解方程组的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始出错； (3)请你用正确的方法解这个方程组． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×3，得，③       第一步 ，得，         第二步 ．         第三步 将代入①，得．        第四步 所以，原方程组的解为，      第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法：以上求解步骤中，第一步的依据是 ． (2)第 步开始出现错误． (3)直接写出该方程组的正确解： ． 【变式3】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）解下列方程组并完成相应任务 (1) (2)下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③   第一步 得：               第二步 将代入②得：．        第三步 所以该方程的解是         第四步 ①这种求解二元一次方程组的方法叫做______________；其中第一步这样做的依据是_______________； ②第_________步开始出现了错误，请你写出方程组正确的解___________________． 题型十四 方程组同解问题 解｜题｜技｜巧 核心：两个方程组有完全一样的一组解，先抓公共解，再分步求参数、解方程，套路固定。 一、基本概念 两个二元一次方程组和同解 含义：它们的解完全相同，这组解同时满足四个方程。 二、两大必考题型+标准解题步骤 题型1:两个方程组同解(其中不含参数的方程可联立先求公共解) 通用四步解法 1.挑出两个不含参数的方程，联立，先求出公共解(x,y); 2.把求出的x、y,代入含参数的方程； 3.得到关于参数的新方程组，解出参数； 4.按题目要求作答(求参数/再解方程)。 【典例14】（24-25七年级下·四川达州·期末）已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【变式2】（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段检测）已知关于的方程组和的解相同，求的值． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期末）若关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求的算术平方根． 题型十五 二元一次方程组中新定义类 【典例15】（24-25六年级下·上海闵行·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如，，． 已知，，则根据定义可以得到：． (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； (4)若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）新趋势・新定义    对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足.我们就说方程组的解与具有“邻好关系”. (1)请写出一个与具有“邻好关系”的二元一次方程组； (2)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (3)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值. 【变式3】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 题型十六 根据图形列二元一次方程组 【典例16】（24-25七年级下·山西太原·期末）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 题型十七 根据实际问题列二元一次方程组 【典例17】（2026·浙江舟山·二模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余2辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？可设共有人，辆车，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）小山打算买一件甲商品和一件乙商品，到店后得知这两种商品的原价加起来是200元．过了几天商店调整定价：甲商品单价上涨10%，乙商品单价下调20%．等小山再次到店购买这两种商品各一件时，发现这次的总价比最初的200元多了8%．若设甲商品原来的单价为元，乙商品原来的单价为元，可列出的方程组是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·期末）古代数学著作《九章算术》有这样一道题，今有糙米、白米共五十斗，糙米二斗可换白米一斗．若将全部糙米换白米，共得白米三十斗．问糙米、白米原有各几斗？设糙米原有斗，白米原有斗，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 题型十八 实际应用之分配问题 【典例18】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 【变式1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）某宾馆客房部三人间300元/间/天，双人间280元/间/天，为吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团体优惠期间到宾馆入住，本着“每间客房均正好住满人”的原则，租了一些三人间和双人间客房，若旅游团体一天共花去3020元，则租了三人间和双人间客房各多少间？ 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【变式3】（24-25七年级下·山东临沂·期末）完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 题型十九 实际应用之图表信息类 【例题19】（24-25七年级下·北京昌平·期末）传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如左图．人们称之为洛书．如果将龟背上的数字翻译出来，如右图． 一般地，在的方阵中填入9个不重复的数，使每行，每列，每条对角线的数字和都相等，这样的方阵叫作三阶幻方．这个数字和叫作幻和，我们用字母来表示．最中间的数叫作中心数，我们用字母来表示． (1)如图1，三阶幻方中填写了一些数字，则________，________． (2)如图2，三阶幻方中填写了一些数字和字母，则________，________． (3)如图3，三阶幻方中填入，，，，，，，，中，用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）为充实班级图书角，班主任王老师倡导班级学生积极捐书，该班45名同学共捐书298本，捐书情况如下表： 捐书（本） 3 5 8 10 人数（人） 4 9 表中捐书5本和8本的人数不小心被墨水污染，已看不清楚，请你帮忙确定表中的数据，并说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）一个圆柱形容器中，现有20个单位高度的水．请根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入6个球，使水面上升到40个单位的高度，放入的大球、小球各多少个？ (2)现放入若干个（1）中的大球或小球，使得容器恰好装满，问有几种可能？请写出过程，并一一列出． 【变式3】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求A、B两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． (3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 题型二十 实际应用之行程问题类 【典例20】（24-25七年级下·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【变式1】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【变式2】（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【变式3】（24-25七年级下·湖南·期末）男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 题型二十一 实际应用之工程问题类 【典例21】（24-25六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【变式1】（24-25七年级下·广西崇左·期末）某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 【变式2】（24-25七年级下·陕西安康·期末）某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华：设河道整治任务完成后，表示_____，表示_____． 根据题意，可列方程组 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 【变式3】（24-25七年级下·甘肃天水·期末）阅读理解： 为打造黄河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务，由两个工程队先后接力完成，工程队每天整治24米，工程队每天整治16米，共用20天． (1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲： 乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请分别指出未知数表示的意义． 甲：表示______， 表示：______．乙：表示______， 表示______． (2)补全乙方程组，求出乙方程组的解，并回答两个工程队分别整治河道多少米． 题型二十二 实际应用之几何问题类 【典例22】（24-25七年级下·浙江台州·期中）用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【变式1】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)如果放入个球，使水面上升到，放入的大球、小球各多少个？ (2)如果放入若干个球，使水面升高，且小球个数为奇数，问有几种可能？ 【变式2】（24-25七年级下·重庆巴南·期末）如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【变式3】（24-25七年级下·贵州·期末）如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 题型二十三 实际应用之方案选择类 【典例23】（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践 为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织名师生前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用型、型两种大巴车，相关信息如下： ①若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生； ②型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人； ③两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示： 型号 最大载客人数 日租金（元） 请根据上述信息，完成下列任务： (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】学校计划同时租用型大巴车和型大巴车（两种车型均至少租用辆），且恰好坐满名师生．问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金． (3)【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即型大巴车日租金降为元/辆，型大巴车日租金为元/辆．学校计划用元租用大巴车，且全部用完，且能载名师生．请问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计奖品购买及获奖人数方案 我校举办“数学文化节”活动，对获奖同学进行表彰奖励，分别设置一等奖、二等奖和三等奖．学校准备购买若干定制笔记本与定制水笔作为奖品，需考虑奖品购买方案及获奖人数． 素材1 已知购买1包定制笔记本与4盒定制水笔需要390元；购买2包定制笔记本与3盒定制水笔需要480元． 素材2 学校用1050元购买若干包定制笔记本与若干盒定制水笔两种奖品． 素材3 （1）1包定制笔记本有10本笔记本，1盒定制水笔有6支水笔． （2）计划设置获奖总人数为人，二等奖获奖人数是一等奖的2倍． （3）一等奖：1本笔记本，1支水笔．二等奖：1本笔记本．三等奖：1支水笔． 问题解决： (1)求出1包定制笔记本与1盒定制水笔的价格． (2)若用完1050元购买两种奖品，可以购买几包定制笔记本与几盒定制水笔？写出购买方案． (3)在任务2中购买的奖品恰好全部发完，求的值．（直接写出答案） 【变式2】（26-27七年级下·陕西西安·期末）陕西历史博物馆的文创商店近期准备推出两种特色文创产品．若购进甲种文创产品1件，乙种文创产品2件，则费用是80元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品3件，则费用是135元． (1)甲、乙这两种文创产品的单价各是多少元？ (2)某班计划购买两种文创产品（两种都需购买）、恰好用完330元，请问该班有几种购买方案？写出所有可行的方案． 【变式3】（24-25七年级下·安徽六安·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆型和3辆型汽车需要万元，3辆型和2辆型汽车需要万元． (1)求、两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车(两种汽车都要购进)，请写出有哪几种购买方案． (3)若销售、两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 题型二十四 解三元一次方程组 【典例24】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）解三元一次方程组 【变式1】（24-25六年级下·上海虹口·期末）解方程组： 【变式2】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 【变式3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）解方程组 题型二十五 利用三元一次方程组求解 【典例25】（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式1】（24-25七年级下·河南信阳·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若是从0，，2这三个数中取值的一列数，且，，则在数中，取值为2的数有（   ）个 A．150 B．160 C．180 D．200 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二十六 三元一次方程组的实际应用 【典例26】（24-25七年级下·福建泉州·期末）某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，7本日记本，共50元；若购买7支铅笔，4块橡皮，10本日记本，共69元．则购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要的钱数为（   ） A．24元 B．31元 C．38元 D．无法确定 【变式1】（24-25七年级下·北京西城·期末）现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等，将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态，用分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1-图3，其中图3的天平右边托盘中是个球，那么的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式2】（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算3a与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码x，即． 请根据以上信息，解答下列各题： (1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字之和为，计算步骤中的，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和 ； (2)如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，求被污染的两个数字中右边的数字是多少？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若设客人为人，银子为两，则可以列出的方程组为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京通州·期中）关于，的方程组，下列做法可以消去未知数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏南通·期中）若是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 4．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值是________． 5．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）根据，可得，，则______． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）解方程组： (1)； (2)． 7．（24-25七年级下·山西太原·期末）邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，诞生于1840年，中国邮政于2025年11月18日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票2种．已知1枚《跃马添福》邮票的面值为1.20元，1枚《鸿运驰春》邮票的面值为3元，学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多10枚，且所购两种邮票总面值为96元，求该社团购买两种邮票的数量． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，是我们七年级下学期学的九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出），使得每一横行，每一竖列及两条斜对角线上三个数的和都相等，则______． 7 2 4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号） 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）我们把关于x、y的二元一次方程的系数a、b、c称为该方程的“搭档数”，记作．例如：二元一次方程的“搭档数”是． (1)二元一次方程的“搭档数”是______； (2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“搭档数”为，则这个二元一次方程为_________ (3)已知关于x、y的二元一次方程的“搭档数”是，且，是该方程的两组解，求m、n的值． 6．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）2026年福建掀起了足球热，举办闽超．龙岩市某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A、B两种品牌的足球，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元． (1)求购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元？ (2)该学校决定购买A种品牌足球m个，B品牌足球n个，并且A种品牌足球个数少于B种品牌足球，如果此次购买A、B两种品牌足球总费用为1050元，那么该中学购进A、B品牌足球多少个，请你设计购买方案． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 2．（2025·四川巴中·中考真题）《九章算术》中记载：今有共买砖，人出半盈四；人出少半，不足三．问人数，砖价各几何？其大意是：今有人合伙买砖石，每人出钱，会多出4钱，每人出钱，又差3钱．问人数，砖价各是多少？设人数为x，砖价为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为__________________（写出一种情况即可）． 4．（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 5．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数． 1 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $