专题04 因式分解（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材浙教版

专题04 因式分解（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 判断是否为因式分解 题型8 利用完全平方进行因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型9 因式分解中密码类问题 题型3 找出公因式 题型10 利用因式分解求代数式的值 题型4 提取公因式进行因式分解 题型11 用喜欢的方法进行因式分解 题型5 添（去）括号 题型12 用整体思想进行因式分解 题型6 判断是否能用公式法进行因式分解 题型13 因式分解中新定义类 题型7 利用平方差进行因式分解 题型14 因式分解中最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解的定义 理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能判断一个变形是否为因式分解 基础概念考点，常以选择题形式考查，是后续因式分解方法的基础 提公因式法分解因式 能准确找出多项式的公因式，熟练运用提公因式法分解因式，会处理公因式为多项式的情况 必考基础考点，常与公式法结合考查，是因式分解最常用的方法之一 公式法分解因式（平方差公式） 掌握平方差公式的结构特征，能判断多项式是否符合平方差形式，并正确运用公式分解因式 高频考点，常与提公因式法结合考查，多见于选择、填空和解答题 公式法分解因式（完全平方公式） 掌握完全平方公式的结构特征，能判断多项式是否为完全平方式，并正确运用公式分解因式 高频考点，易与平方差公式混淆，是因式分解的重点内容，常出现在综合题中 因式分解的综合应用（提公因式 + 公式法） 能根据多项式的特征，选择合适的方法分解因式，掌握 “先提公因式，再用公式法” 的分解步骤，确保分解彻底 中考高频考点，常作为解答题出现，也常与分式化简、方程求解结合考查 知识点01 因式分解的定义 概念：把一个 化成几个 的 的形式，这种变形叫做 ，也叫分解因式。 易错点： 1.混淆因式分解与整式乘法，如把当成因式分解(正确是从多项式到整式积的形式); 2.分解不彻底，如只分解到,未继续分解为 3.结果不是整式的积，如出现分式、加减混合形式不是因式分解)。 知识点02 提公因式法 概念：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做 。 公式：(m为公因式，可以是单项式或多项式) 示例： 易错点： 1.公因式找不全，如只提取系数部分或字母部分，如只提取2x(正确应为2cy); 2.提取公因式后漏写“1” 3.符号处理错误， 知识点03 平方差公式分解因式 概念：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 示例：(x+y)²-z²=(x+y+z)(x+y-z) 易错点： 1.混淆平方差与完全平方，如误用平方差公式； 2.未先提公因式直接用公式，如直接分解为(正确应为先提公因式2,再用公式); 3.系数未化为平方形式，如误写成(正确应为)。 知识点04 完全平方公式分解因式 概念：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。 易错点： 1.中间项符号错误，如误分解为(正确应为); 2.系数未处理，如误写成以外的形式，或漏看系数平方； 3.漏掉公因式直接用公式，如3x²+6x+3误分解为(x+1)²(正确应为3(x+1)²)。 知识点05 因式分解的综合应用 概念：分解因式的一般步骤：①先提公因式；②再用公式法(平方差或完全平方)；③检查是否分解彻底。 易错点： 1.顺序颠倒，未先提公因式直接用公式； 2.分解不彻底，如分解到后未继续分解； 3.符号错误，如外的形式。 题型一 判断是否为因式分解 解｜题｜技｜巧 1.变形方向：从“和差”到“积” 左边必须是多项式(加减形式),右边必须是几个整式相乘的纯乘积形式，不能还带着加减号。 比如,右边还有加法，就不是因式分解。 2.因式范围：必须都是整式 分解后的每一个因式，都得是整式，不能出现分式、负指数、无理式(带根号的式子)。 比如,右边含无理式，初中阶段不算因式分解； 右边含分式，也不是。 3.恒等变形：左右两边必须相等 把右边的乘积展开，结果要和左边的多项式完全一样，不能改变原式的值。 ,展开后是和左边不相等，不是因式分解。 【典例1】（24-25七年级下·重庆·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 【变式3】（24-25七年级下·云南德宏·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 题型二 已知因式分解的结果求参数 【典例2】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 【变式1】（2026·广东东莞·二模）已知整式分解因式的结果为，则______． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 【变式3】（24-25七年级下·北京·期末）已知等式：，则________． 题型三 找出公因式 解｜题｜技｜巧 1.确定系数部分 取多项式各项系数的最大公因数。如果系数有负数，一般取正的最大公因数。 例：，系数6和9的最大公因数是3,系数部分公因式为3。 2.确定字母部分 找出各项共同含有的字母，只保留所有项都出现的字母，单独某一项含有的字母不选取。 例：，两项都含有字母a,字母部分先确定为a。 3.确定字母的指数 相同字母，取各项里次数最低的指数。 例：,字母x的指数分别是3和2,取最小指数2,对应x²。 【典例3】（24-25七年级下·广东广州·期末）将因式分解，应提的公因式是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式2】把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·湖南常德·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是_________． 题型四 提取公因式进行因式分解 【典例4】（24-25七年级下·广东广州·期末）因式分解：____． 【变式1】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）分解因式： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级下·广东东莞·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式3】（24-25七年级下·吉林·期末）分解因式：; 【变式4】（24-25七年级下·新疆伊犁·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 题型五 添（去）括号 易｜错｜点｜拨 1.添括号后，括号前添“+”号括到括号里的各项符号都不变。例：a+b-c=a+(b-c)。 2.添括号后，括号前添“一”号 括到括号里的每一项都必须变号，全部项统一变号。 易错：部分项不变号。 例：a-b+c=a-(b-c)；错误写法：a-(b+c)。 3.移动项再添括号 移动多项式中的项时，必须连同前面的符号一起移动。易错：丢项、带错符号。 【典例5】（24-25六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北随州·期末）下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）不改变多项式的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“”，则结果为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25七年级下·重庆北碚·期末）下列去括号（或添括号）变形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 判断是否能用公式法进行因式分解 【典例6】（24-25七年级下·福建泉州·期末）下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·期末）下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25七年级下·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 题型七 利用平方差进行因式分解 【典例7】（24-25七年级下·江西宜春·期末）因式分解： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）因式分解： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）因式分解： (1) ； (2)． (3) (4) 【变式3】（24-25七年级下·四川南充·期末）分解因式： (1) (2) 题型八 利用完全平方进行因式分解 【典例8】（24-25七年级下·河南周口·期末）因式分解 (1) (2) 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）因式分解：． 【变式2】（24-25七年级下·海南海口·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式3】（19-20七年级下·山东淄博·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式4】（24-25七年级下·河北张家口·期末）将下列各式分解因式． (1)； (2)． 题型九 因式分解中密码类问题 【典例9】（24-25七年级下·山东德州·期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，德，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．德州游 C．我爱德州 D．美我德州 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 【变式2】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 【变式3】（24-25七年级下·福建厦门·期末）人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式因式分解后，取自己的年龄14作为x的值，设置了一个密码，他设置的密码可能是（   ） A．101214 B．101410 C．141212 D．121416 题型十 利用因式分解求代数式的值 解｜题｜技｜巧 常见题型与对应思路 题型1：直接给出字母数值 先分解代数式，再将字母取值代入计算。 思路：优先分解简化式子，再代值，减少复杂计算。 例：已知x=2,求 分解得：，代入得 题型2：给出代数式整体的值(高频考点) 题目不单独给字母，只给出如a+b、ab、a—b这类式子的结果。思路：对所求式子因式分解、配方，凑出已知的整体，再整体代入。例：，求。 分解：，整体代入得3×5=15。 题型3：已知等式，先变形再求值 已知含字母的等式，先对等式整理、因式分解，得到字母间关系或字母取值，再代入。 思路：先处理已知等式，分解后求出整体关系，再化简目标代数式。 【典例10】（24-25七年级下·四川成都·期末）如果，，则的值为______． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若，，则_____． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·阶段检测）已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是________ 【变式3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则代数式的值为___________． 【变式4】（24-25七年级下·河北邢台·期末）若，则____________． 题型十一 用喜欢的方法进行因式分解 【典例11】（24-25七年级下·山东滨州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期末）分解因式： (1)； (2) 题型十二 用整体思想进行因式分解 【典例12】（24-25七年级下·全国·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)因式分解：______． (2)因式分解：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）阅读以下材料： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原， 得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)利用上述方法先因式分解：，再当时，求代数式的值． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：； (2)因式分解：． 题型十三 因式分解中新定义类 【典例13】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数为“可乐数”．例如：，所以3，8，64都是“可乐数”． (1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有 ；（填序号） (2)求证：当正整数时，是“可乐数”； (3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”． 【变式1】（24-25七年级下·陕西延安·期末）若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”． (1)通过计算判断45是否为“完美数”； (2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值． 【变式2】（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称为“相伴方程”．例如：方程与方程互为“相伴方程”． (1)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，则___________； (2)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，求的值． 【变式3】（24-25七年级下·四川广安·期末）阅读下列材料： 若一个正整数能表示成（是正整数，且）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的一个平方差分解；再例如：（是正整数），所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解． (1)判断：9___________“明礼崇德数”；（填“是”或“不是”） (2)已知与是的一个平方差分解，求； (3)已知（是正整数，是常数，且），要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个的值，并说明理由． 题型十四 因式分解中最值问题 【典例14】（24-25七年级下·湖南常德·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【变式1】（24-25七年级下·山东滨州·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是_______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当______时，代数式有最_______值，是_________． 【变式2】（24-25七年级下·湖南郴州·期末）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【变式3】（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 原式= 例如：求代数式 的最小值． 原式 ∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： _ ．代数式 的最小值为 ； (2)若 则当 时，y有最 值(填“大”或“小”)，这个值是 ； (3)当a， b， c分别为的三边长， 且满足 时，求c的取值范围． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建漳州·期末）当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·陕西延安·期末）因式分解：______． 6．（24-25七年级下·四川达州·期末）已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 7．（24-25七年级下·黑龙江鹤岗·期末）因式分解 (1)； (2)． 8．（24-25七年级下·河南南阳·期末）在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下：对于多项式： ，分解因式的结果是．当，时， ，将 162， 18， 0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． (1)对于多项式 ，当，时，求生成的六位数密码； (2)若将多项式 分解因式，则当，时，求生成的五位数密码． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）设是一个三位数，其中分别是这个三位数的百位、十位、个位上的数字． (1)用含的式子表示； (2)若，试说明一定能被9整除． 10．（24-25七年级下·山东烟台·期末）下面是喜羊羊同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，“最”，“美”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我最爱美 B．我爱立信 C．最爱立信 D．最美立信 2．（24-25七年级下·上海·期末）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 3．（24-25七年级下·四川广安·期末）若，则___________． 4．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 5．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料、并完成相应任务． 代数式大小比较 比较任意两个代数式，大小，可采用“作差法”．若时，则；若时、则；若时，则． 例如：当时，比较与的大小． 解： ， …… 解决问题： 数学课上，李老师出示了图1和图2（内外均为长方形，数据如图所示），并问：哪个图形阴影部分的面积更大？嘉嘉同学认为图1中“回”字形阴影部分的面积更大；琪琪同学认为图2中“门”字形阴影部分的面积更大． 任务： (1)请直接写出：图1中“回”字形阴影部分的面积为________；图2中“门”字形阴影部分的面积为________； (2)若，请根据作差法判断哪位同学的想法正确． 6．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）通过学习，我们知道可以借助图形面积的不同表示方法来解释一些代数恒等式．如图1，现有边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的小长方形纸片若干，可以拼出图2与图3，由图2可得等式：．请解答下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)用图1中的纸片无重叠地拼成一个面积为的长方形，则需要______张纸片；若每个小长方形纸片的面积为7，周长为12，则拼成的长方形的面积为_______． (3)现分别选用边长为的正方形纸片，边长为的正方形纸片和长为，宽为的小长方形纸片各1张，按如图4方式摆放，点，分别在边，上，，C，G三点共线，连接，．若所用的两种正方形纸片的面积之和为68，小长方形纸片的面积为16，求图中阴影部分的面积． 期末综合拓展练（测试时间：2分钟） 1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 3．（2025·青海西宁·中考真题）分解因式：________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 判断是否为因式分解 题型8 利用完全平方进行因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型9 因式分解中密码类问题 题型3 找出公因式 题型10 利用因式分解求代数式的值 题型4 提取公因式进行因式分解 题型11 用喜欢的方法进行因式分解 题型5 添（去）括号 题型12 用整体思想进行因式分解 题型6 判断是否能用公式法进行因式分解 题型13 因式分解中新定义类 题型7 利用平方差进行因式分解 题型14 因式分解中最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 因式分解的定义 理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能判断一个变形是否为因式分解 基础概念考点，常以选择题形式考查，是后续因式分解方法的基础 提公因式法分解因式 能准确找出多项式的公因式，熟练运用提公因式法分解因式，会处理公因式为多项式的情况 必考基础考点，常与公式法结合考查，是因式分解最常用的方法之一 公式法分解因式（平方差公式） 掌握平方差公式的结构特征，能判断多项式是否符合平方差形式，并正确运用公式分解因式 高频考点，常与提公因式法结合考查，多见于选择、填空和解答题 公式法分解因式（完全平方公式） 掌握完全平方公式的结构特征，能判断多项式是否为完全平方式，并正确运用公式分解因式 高频考点，易与平方差公式混淆，是因式分解的重点内容，常出现在综合题中 因式分解的综合应用（提公因式 + 公式法） 能根据多项式的特征，选择合适的方法分解因式，掌握 “先提公因式，再用公式法” 的分解步骤，确保分解彻底 中考高频考点，常作为解答题出现，也常与分式化简、方程求解结合考查 知识点01 因式分解的定义 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式。 易错点： 1.混淆因式分解与整式乘法，如把当成因式分解(正确是从多项式到整式积的形式); 2.分解不彻底，如只分解到,未继续分解为 3.结果不是整式的积，如出现分式、加减混合形式不是因式分解)。 知识点02 提公因式法 概念：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 公式：(m为公因式，可以是单项式或多项式) 示例： 易错点： 1.公因式找不全，如只提取系数部分或字母部分，如只提取2x(正确应为2cy); 2.提取公因式后漏写“1” 3.符号处理错误， 知识点03 平方差公式分解因式 概念：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 示例：(x+y)²-z²=(x+y+z)(x+y-z) 易错点： 1.混淆平方差与完全平方，如误用平方差公式； 2.未先提公因式直接用公式，如直接分解为(正确应为先提公因式2,再用公式); 3.系数未化为平方形式，如误写成(正确应为)。 知识点04 完全平方公式分解因式 概念：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。 易错点： 1.中间项符号错误，如误分解为(正确应为); 2.系数未处理，如误写成以外的形式，或漏看系数平方； 3.漏掉公因式直接用公式，如3x²+6x+3误分解为(x+1)²(正确应为3(x+1)²)。 知识点05 因式分解的综合应用 概念：分解因式的一般步骤：①先提公因式；②再用公式法(平方差或完全平方)；③检查是否分解彻底。 易错点： 1.顺序颠倒，未先提公因式直接用公式； 2.分解不彻底，如分解到后未继续分解； 3.符号错误，如外的形式。 题型一 判断是否为因式分解 解｜题｜技｜巧 1.变形方向：从“和差”到“积” 左边必须是多项式(加减形式),右边必须是几个整式相乘的纯乘积形式，不能还带着加减号。 比如,右边还有加法，就不是因式分解。 2.因式范围：必须都是整式 分解后的每一个因式，都得是整式，不能出现分式、负指数、无理式(带根号的式子)。 比如,右边含无理式，初中阶段不算因式分解； 右边含分式，也不是。 3.恒等变形：左右两边必须相等 把右边的乘积展开，结果要和左边的多项式完全一样，不能改变原式的值。 ,展开后是和左边不相等，不是因式分解。 【典例1】（24-25七年级下·重庆·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解的定义为：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，变形是整式乘法，从整式乘积得到多项式，不符合因式分解定义． 选项B中，等式右边的不是整式，不符合因式分解要求． 选项C中，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义． 选项D中，等式右边是是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义． 【变式1】（24-25七年级下·广东佛山·期末）下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； B选项右边未化为几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； C选项是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； D选项将多项式化为两个整式的乘积，变形正确，符合因式分解定义. 【变式2】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 【答案】B 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可． 【详解】解：、该变形是整式的乘法，是因式分解的逆运算，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、，是因式分解，故本选项符合题意； 、等式右边不是整式积的形式，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、本选项不符合题意． 【变式3】（24-25七年级下·云南德宏·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可． 【详解】解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解， B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解， C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求， D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解． 题型二 已知因式分解的结果求参数 【典例2】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 【答案】B 【分析】计算，与的对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：根据题意可得， ∴，． 【变式1】（2026·广东东莞·二模）已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解，将已知分解后的结果展开，对比原式对应项系数即可求得． 【详解】解：， 则， 即． 【变式2】（24-25七年级下·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则及因式分解与整式乘法的关系，利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解后的整式展开，通过对应项系数相等求出n的值． 【详解】解：根据多项式乘多项式法则，将展开：， ∵， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·北京·期末）已知等式：，则________． 【答案】 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求原式，将展开为，然后比较求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 题型三 找出公因式 解｜题｜技｜巧 1.确定系数部分 取多项式各项系数的最大公因数。如果系数有负数，一般取正的最大公因数。 例：，系数6和9的最大公因数是3,系数部分公因式为3。 2.确定字母部分 找出各项共同含有的字母，只保留所有项都出现的字母，单独某一项含有的字母不选取。 例：，两项都含有字母a,字母部分先确定为a。 3.确定字母的指数 相同字母，取各项里次数最低的指数。 例：,字母x的指数分别是3和2,取最小指数2,对应x²。 【典例3】（24-25七年级下·广东广州·期末）将因式分解，应提的公因式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．通过观察多项式的各项，找出公因式，即各项都含有的因子． 【详解】解：∵的两项和都含有因子，且系数1和3的最大公因数为1， ∴公因式为． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法．确定多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，从而找出公因式． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 【变式2】把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键． 根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出． 【详解】∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， ∴公因式为． 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·湖南常德·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键．一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式．公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：的公因式为． 故答案为：． 题型四 提取公因式进行因式分解 【典例4】（24-25七年级下·广东广州·期末）因式分解：____． 【答案】 【分析】找出原式的公因式，提取公因式即可完成因式分解 【详解】解： 【变式1】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级下·广东东莞·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【变式3】（24-25七年级下·吉林·期末）分解因式：; 【答案】 【分析】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式，进而分解因式得出答案． 【详解】解： 【变式4】（24-25七年级下·新疆伊犁·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法进行因式分解． （1）通过观察各项的公因式，提取公因式进行因式分解； （2）先将式子中的（）转化为，再提取公因式完成因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五 添（去）括号 易｜错｜点｜拨 1.添括号后，括号前添“+”号括到括号里的各项符号都不变。例：a+b-c=a+(b-c)。 2.添括号后，括号前添“一”号 括到括号里的每一项都必须变号，全部项统一变号。 易错：部分项不变号。 例：a-b+c=a-(b-c)；错误写法：a-(b+c)。 3.移动项再添括号 移动多项式中的项时，必须连同前面的符号一起移动。易错：丢项、带错符号。 【典例5】（24-25六年级上·山东淄博·期末）下列各式中，添括号或去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号与添括号的法则，按照去括号或添括号的法则进行即可． 【详解】解：A、，故添括号错误； B、，故添括号错误； C、，故去括号错误； D、，故去括号正确． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）运用乘法公式计算时，下列变形中，最适合运用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式对整式进行变形，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式进行变形即可． 【详解】解： 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北随州·期末）下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添括号的法则：括号前是“”时，括号内各项符号不变；括号前是“”时，括号内各项符号改变，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握添括号的法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项添括号错误，不符合题意； B、，故原选项添括号正确，符合题意； C、，故原选项添括号错误，不符合题意； D、，故原选项添括号错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）不改变多项式的值，把它的后三项用括号括起来，且括号前带有“”，则结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了添括号，解题的关键是掌握添括号法则． 根据添括号法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式4】（24-25七年级下·重庆北碚·期末）下列去括号（或添括号）变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号和添括号的规则．根据规则：括号前是正号, 去括号或添括号时括号内各项不变号；括号前是负号, 则括号内各项变号． 逐一验证各选项即可． 【详解】解：，故A选项变形错误，不合题意； ，故B选项变形正确，符合题意； ，故C选项变形错误，不合题意； ，故D选项变形错误，不合题意； 故选：B． 题型六 判断是否能用公式法进行因式分解 【典例6】（24-25七年级下·福建泉州·期末）下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式的结构特征，即两个平方项的差（符号一正一负），逐项判断即可． 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公式法因式分解，关键是熟练应用知识点解题；需判断各选项是否符合平方差公式或完全平方公式的形式． 【详解】解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式， ∴对各选项分析如下： A选项：，可用平方差公式因式分解， B选项：，可用完全平方公式因式分解， C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解， D选项：，可用完全平方公式因式分解， 故答案为：C． 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·期末）下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查公式法分解因式． 逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【详解】解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方式的判定；依据完全平方公式结构特征分析，关键是符合的形式． 【详解】解：完全平方式必须满足的形式， A、，不符合完全平方式，故A不符合题意； B、，符合完全平方式，故B符合题意； C、，不符合完全平方式，故C不符合题意； D、，不符合完全平方式，故D不符合题意． 故选：B． 题型七 利用平方差进行因式分解 【典例7】（24-25七年级下·江西宜春·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提公因式，再利用平方差公式即可得到答案； （2）利用平方差公式因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握基本的因式分解方法是关键； （1）提取公因式即可； （2）利用平方差公式公式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）因式分解： (1) ； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解 （2）根据完全平方公式因式分解； （3）利用平方差公式进行因式分解； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解： 【变式3】（24-25七年级下·四川南充·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解的提取公因式法与平方差公式的综合运用，平方差公式与完全平方公式在因式分解中的连续运用． ()先提取多项式的公因式，将其化为，符合平方差公式的形式，利用平方差公式进一步分解，得到最终因式分解结果． ()先将中的转化为，使其满足平方差公式的结构特征，运用平方差公式分解后，得到的两个因式均符合完全平方公式，再分别利用完全平方公式继续分解，直至不能再分解为止． 【详解】（）解：原式     ． （）解：原式 ． 题型八 利用完全平方进行因式分解 【典例8】（24-25七年级下·河南周口·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据完全平方公式分解因式，即可求解； （2）先提取公因式，再根据完全平方分解因式，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，关键是掌握完全平方公式即可得出结果． 将看成整体，应用完全平方公式因式分解，再利用十字相乘法分解即可得出结果； 【详解】解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级下·海南海口·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的技巧是关键． （1）将视为整体，使用完全平方公式进行因式分解即可； （2）将视为整体，使用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式3】（19-20七年级下·山东淄博·期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原式的提取公因式，则原式可得，然后再将运用十字相乘法分解即可； （2）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可． 【详解】（1）原式． （2） ． 【变式4】（24-25七年级下·河北张家口·期末）将下列各式分解因式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活选择是关键． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型九 因式分解中密码类问题 【典例9】（24-25七年级下·山东德州·期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息，，，，，分别对应下列六个字：州，爱，我，德，游，美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．德州游 C．我爱德州 D．美我德州 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，先对给定多项式因式分解，再根据密码对应关系得到结果即可． 【详解】解： ∵对应我，对应爱,对应德,对应州， ∴因式分解结果对应的密码信息是我爱德州． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 【答案】C 【分析】先对多项式用提公因式法和平方差公式分解因式，再代入，的值计算各因式的取值得到因式码，最后将因式码从小到大排列得到密码，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 得到三个因式码为13，21，31， 按从小到大顺序排列后连接得到密码132131． 【变式2】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是熟练应用知识点解题；通过提取公因式法和平方差公式对密文进行因式分解，再对应密码手册得到明文． 【详解】解：∵原式= = = ∵根据密码手册：对应“我”，对应“施”，对应“爱”，对应“恩”， ∴组合后明文可能为“我爱恩施”， 故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·福建厦门·期末）人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式因式分解后，取自己的年龄14作为x的值，设置了一个密码，他设置的密码可能是（   ） A．101214 B．101410 C．141212 D．121416 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提取公因式x，再利用平方差公式分解得出，代入，计算各因式的值得到因式码，再按从小到大顺序排列形成密码，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵ ， 当时，， 即因式码为14、12、16，把因式码按从小到大顺序排列形成密码121416． ∴他设置的密码可能是121416． 故选：D 题型十 利用因式分解求代数式的值 解｜题｜技｜巧 常见题型与对应思路 题型1：直接给出字母数值 先分解代数式，再将字母取值代入计算。 思路：优先分解简化式子，再代值，减少复杂计算。 例：已知x=2,求 分解得：，代入得 题型2：给出代数式整体的值(高频考点) 题目不单独给字母，只给出如a+b、ab、a—b这类式子的结果。思路：对所求式子因式分解、配方，凑出已知的整体，再整体代入。例：，求。 分解：，整体代入得3×5=15。 题型3：已知等式，先变形再求值 已知含字母的等式，先对等式整理、因式分解，得到字母间关系或字母取值，再代入。 思路：先处理已知等式，分解后求出整体关系，再化简目标代数式。 【典例10】（24-25七年级下·四川成都·期末）如果，，则的值为______． 【答案】 【分析】将用提公因式法因式分解得到，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：，， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若，，则_____． 【答案】10 【详解】解：根据平方差公式可得 将，代入得原式． 【变式2】（24-25七年级下·江苏常州·阶段检测）已知实数a，b满足，，且，则代数式的值是________ 【答案】3 【分析】根据题意可得，，进一步可得，根据推出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则代数式的值为___________． 【答案】 2026 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是注意整体代入思想的应用．将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：2026． 【变式4】（24-25七年级下·河北邢台·期末）若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 题型十一 用喜欢的方法进行因式分解 【典例11】（24-25七年级下·山东滨州·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先利用完全平方公式法进行因式分解，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·期末）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解即可； （2）先根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十二 用整体思想进行因式分解 【典例12】（24-25七年级下·全国·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)因式分解：______． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照材料的解题方法，将看成整体，进行因式分解即可； （2）仿照材料的解题方法，将看成整体，将式子整理后进行因式分解即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“a”还原，得原式． （2）解：将“”看成整体，令，则 原式 再将“m”还原，得原式． 【变式1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）阅读以下材料： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原， 得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)利用上述方法先因式分解：，再当时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 因式分解结果为，当时，代数式的值为 【分析】（1）把看作整体，利用完全平方公式分解因式； （2）首先把看作整体，利用多项式乘多项式的法则把展开，再利用完全平方公式进行因式分解，把代入化简后的结果计算求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时， 可得：原式． 【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·期末）小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查整体思想在因式分解中的应用及完全平方公式的运用，核心是通过换元将复杂多项式转化为熟悉的完全平方式进行分解． （1）观察式子结构，可将看作一个整体，式子符合完全平方差公式的形式，直接套用公式分解后还原即可； （2）先将设为整体，把原式转化为关于该整体的二次式，展开后用完全平方公式分解，再对还原后的多项式继续利用完全平方公式分解，得到最终的因式分解结果． 【详解】（1）解：令，则原式， 将还原，得原式； （2）解：令，则原式， 将还原，得原式， ， 原式． 题型十三 因式分解中新定义类 【典例13】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数为“可乐数”．例如：，所以3，8，64都是“可乐数”． (1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有 ；（填序号） (2)求证：当正整数时，是“可乐数”； (3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)2704 【分析】本题考查了新定义“可乐数”以及平方差公式的运用． （1）根据“可乐数”的定义解答即可； （2）根据解答即可； （3）由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”，若偶数是“可乐数”，根据 与的奇偶性相同，可得是偶数，则一定是4的倍数，且，所有的“可乐数”从小到大排列为：，进而得到当时，所有“可乐数”可以表示为，当时，分别是第个“可乐数”，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴12，15是“可乐数”， ∵18不能表示为两个正整数的平方差， ∴18不是“可乐数”； 即“可乐数”的有①②； （2）解：证明：∵， ∴ 即能表示为两个正整数和的平方差， ∴当正整数时，是“可乐数”． （3）解：由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”， 若偶数是“可乐数”，则存在正整数，使得， ∴， ∵与的奇偶性相同， ∴是偶数， 因为是偶数，且与的奇偶性相同， 所以与均为偶数，故一定是4的倍数 所有的“可乐数”从小到大排列为：， 当时，所有“可乐数”可以表示为， 当时，分别是第个“可乐数”， ∵， ∴第2026个“可乐数”为． 【变式1】（24-25七年级下·陕西延安·期末）若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”． (1)通过计算判断45是否为“完美数”； (2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值． 【答案】(1)45是“完美数” (2)符合条件的的值为10 【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可得出结果； （2）对进行配方，再结合“完美数”的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴45是“完美数”； （2）解： ， ∵为“完美数”， ∴， ∴， ∴符合条件的的值为10． 【变式2】（24-25七年级下·江西南昌·阶段检测）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称为“相伴方程”．例如：方程与方程互为“相伴方程”． (1)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，则___________； (2)若关于的方程与方程互为“相伴方程”，求的值． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】本题为新定义问题，理解新定义是解题关键﹒ （1）根据“相伴方程”定义即可求出； （2）变形为，变形为，根据“相伴方程”定义得到，求出，代入即可求解﹒ 【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“相伴方程”， ∴﹒ 故答案为：6； （2）解：变形为，变形为﹒ ∵关于的方程与方程互为“相伴方程”， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·四川广安·期末）阅读下列材料： 若一个正整数能表示成（是正整数，且）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的一个平方差分解；再例如：（是正整数），所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解． (1)判断：9___________“明礼崇德数”；（填“是”或“不是”） (2)已知与是的一个平方差分解，求； (3)已知（是正整数，是常数，且），要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个的值，并说明理由． 【答案】(1)是 (2) (3)当时，为“明礼崇德数”，理由见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，以及因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式计算． （1）根据和“明礼崇德数”的定义进行判断； （2）根据“明礼崇德数”的定义列式求解即可； （3）通过因式分解得，根据“明礼崇德数”的定义，列出k的方程求得k便可． 【详解】（1）解：， 是“明礼崇德数”． 故答案为∶ 是． （2）解：与是的一个平方差分解， ． （3）解： ， ∴当，即时，为“明礼崇德数”． 故当时，为“明礼崇德数”． 题型十四 因式分解中最值问题 【典例14】（24-25七年级下·湖南常德·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)132 (4)，，最小值为2016 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征即可确定出k的值； （2）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）首先把y配方写成，根据平方的非负性得y的最大值； （4）用拆项的方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴． ∴当时，y有最大值，最大值为132； （4）解： ， 当，时代数式有最小值， 解得，，最小值为2016． 【变式1】（24-25七年级下·山东滨州·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是_______，______．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当______时，代数式有最_______值，是_________． 【答案】(1)，； (2)； (3)当时，有最小值，最小值为； (4)，大，． 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式的应用． （1）根据完全平方公式、平方差公式作答即可； （2）仿照例1作答即可； （3）仿照例2作答即可； （4）仿照例2作答即可． 【详解】（1）解：例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是，， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． ， ， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ， 当时，有最大值，最大值为． 故答案为：，大，． 【变式2】（24-25七年级下·湖南郴州·期末）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)时，多项式有最小值，最小值为 (3)，时，多项式的最小值为 【分析】（）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∵，， ∴当且时，多项式取最小值， 即时，多项式有最小值，最小值； （3）解： ， ，， ∴当且时，多项式取最小值， 即当，时，多项式的最小值为． 【变式3】（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式 原式= 例如：求代数式 的最小值． 原式 ∴当时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： _ ．代数式 的最小值为 ； (2)若 则当 时，y有最 值(填“大”或“小”)，这个值是 ； (3)当a， b， c分别为的三边长， 且满足 时，求c的取值范围． 【答案】(1)；3 (2)1；大； (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，三角形的三边关系，解决本题的关键是理解配方法的解答过程． （1）按照配方法将式子进行因式分解；用配方法将式子写成一个完全平方公式和一个常数的和，据此可得该式子有最小值． （2）将进行配方，求出该式子有最大值，求出结果即可； （3）将题中式子进行配方，得到两个完全平方公式的和为0，根据完全平方公式的非负性，求出，然后求出c的取值范围． 【详解】（1）解： ； ， ， 当时，有最小值，最小值是3． 故答案为：；3． （2）解： ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值是． 故答案为：1；大；． （3）解：， 即， 即， 所以，， 所以，， a，b，c分别为的三边长， ， 即． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先运用提公因式法，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 2．（24-25七年级下·广东湛江·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形为从左到右，根据定义即可判断各选项． 【详解】解：∵因式分解要求从左到右变形后，结果为几个整式的积的形式， ∴A 选项中右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B 选项中，左边是多项式，右边，是两个整式的积的形式，变形正确，是因式分解； C 选项中，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解； D 选项中，右边是和的形式，不是积的形式，不是因式分解． 3．（24-25七年级下·湖南常德·期末）下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子． 【详解】解：， ∴被遮盖的式子为． 4．（24-25七年级下·福建漳州·期末）当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将代入已知等式，求出的值；然后将代入目标代数式，变形后代入的值计算最终结果． 【详解】解：∵当时，， ，即， 移项得． 当时，， ∴． 5．（24-25七年级下·陕西延安·期末）因式分解：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 6．（24-25七年级下·四川达州·期末）已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________． 【答案】6 【分析】先设另一个因式为，根据多项式乘法展开后与二次三项式对应系数相等，从而求解出n的值． 【详解】解：设二次三项式 的另一个因式为， ， 所以有，，， 解得，． 7．（24-25七年级下·黑龙江鹤岗·期末）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先将所求式子变形为，再提取公因式即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（24-25七年级下·河南南阳·期末）在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下：对于多项式： ，分解因式的结果是．当，时， ，将 162， 18， 0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． (1)对于多项式 ，当，时，求生成的六位数密码； (2)若将多项式 分解因式，则当，时，求生成的五位数密码． 【答案】(1)生成的六位数密码是130162 (2)生成的五位数密码是26188 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式． （1）先求出当时，的值，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先分解因式得，再求出当，时，各个式子的值，从而求出密码即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ， ∴生成的六位数密码是：130162； （2）解： ， 当时，， 将18，26，8这三个数值按从大到小的顺序排列为26，18，8， ∴生成的五位数密码是26188． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）设是一个三位数，其中分别是这个三位数的百位、十位、个位上的数字． (1)用含的式子表示； (2)若，试说明一定能被9整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了列代数式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据十进制数表示方法列出代数式即可； （2）根据（1）列出代数式，变形后，得出一定能被9整除． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴ ∴一定能被9整除． 10．（24-25七年级下·山东烟台·期末）下面是喜羊羊同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请写出因式分解的最后结果； (2)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不彻底， (2) 【分析】本题考查了用完全平方公式分解因式，灵活运用完全平方公式分解因式是解题的关键． （1）中的还可以运用完全平方公式分解因式，即可得到答案； （2）设，原式可化为，根据完全平方公式可得，所以可化为，进一步运用完全平方公式即得到答案． 【详解】（1）解：不彻底，设， 原式 ； （2）设， 原式 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，“最”，“美”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我最爱美 B．我爱立信 C．最爱立信 D．最美立信 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用（提取公因式法、平方差公式），先提取公因式，再用平方差公式分解因式，得到，结合给定的对应关系，即可得出密码信息． 【详解】解： ∵，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”， ∴密码是由“信”，“爱”，“我”，“立”这四个汉字组成的， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海·期末）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【详解】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 3．（24-25七年级下·四川广安·期末）若，则___________． 【答案】72 【分析】利用平方差公式分解因式后化简可求解． 【详解】解：∵， ∴ = ． 4．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查数的规律探索，关键是根据规律推导得出的表达式，再通过代数运算建立方程求解． 【详解】解：观察图2中虚线标记的一列数：可知： ，，，， ； 则， 当时， 整理化简得， 为正整数， ， 解得； 故答案为：． 5．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料、并完成相应任务． 代数式大小比较 比较任意两个代数式，大小，可采用“作差法”．若时，则；若时、则；若时，则． 例如：当时，比较与的大小． 解： ， …… 解决问题： 数学课上，李老师出示了图1和图2（内外均为长方形，数据如图所示），并问：哪个图形阴影部分的面积更大？嘉嘉同学认为图1中“回”字形阴影部分的面积更大；琪琪同学认为图2中“门”字形阴影部分的面积更大． 任务： (1)请直接写出：图1中“回”字形阴影部分的面积为________；图2中“门”字形阴影部分的面积为________； (2)若，请根据作差法判断哪位同学的想法正确． 【答案】(1)； (2)嘉嘉同学的想法正确，理由见解析 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式的加减运算，因式分解的应用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用分割法以及多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用作差法进行判断即可． 【详解】（1）解：由图1可知， ， ， ， ∴“回”字形阴影部分的面积为； 由图2可知， ， ， ， ∴“门”字形阴影部分的面积为； 故答案为：；； （2）解： ， ， ， ，， ， ， 嘉嘉同学的想法正确． 6．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）通过学习，我们知道可以借助图形面积的不同表示方法来解释一些代数恒等式．如图1，现有边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的小长方形纸片若干，可以拼出图2与图3，由图2可得等式：．请解答下列问题： (1)由图3可得等式：___________； (2)用图1中的纸片无重叠地拼成一个面积为的长方形，则需要______张纸片；若每个小长方形纸片的面积为7，周长为12，则拼成的长方形的面积为_______． (3)现分别选用边长为的正方形纸片，边长为的正方形纸片和长为，宽为的小长方形纸片各1张，按如图4方式摆放，点，分别在边，上，，C，G三点共线，连接，．若所用的两种正方形纸片的面积之和为68，小长方形纸片的面积为16，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)9；79 (3)30 【分析】本题考查多项式乘以多项式、完全平方公式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键； （1）根据题意表示图形的面积，即可求解； （2）计算，进而可得答案；由长方形的周长和面积公式得到，，结合完全平方公式求解即可； （3）先根据已知，结合完全平方公式求得，，再由图得到图中阴影部分的面积为 ，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：； 故答案为： （2）解：； 则需要边长为的正方形纸片2张，边长为的正方形纸片2张，长为，宽为的小长方形纸片5张，共需要（张）纸片； 由题意，，，即， ∴拼成的长方形的面积为， 故答案为：9；79； （3）解：连接， 由题意，，，，，， ∴，则（负值已舍去）； ，则（负值已舍去）， ∴图中阴影部分的面积为 ． 期末综合拓展练（测试时间：2分钟） 1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可. 【详解】解：. 故选：C 2．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（2025·青海西宁·中考真题）分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $