专题06分式与分式方程 期末复习讲义 -2025-2026学年北师大版数学八年级下册

专题06分式与分式方程 期末复习讲义 期末复习◆重点 明晰分式定义，掌握分式有意义、无意义、分式值为零的判定条件，能辨析整式与分式。 理解分式的基本性质，能依据性质对分式进行约分、通分，识别并化简为最简分式。 掌握分式乘方、乘除、加减运算法则，规范完成分式四则混合运算与化简求值类习题。 掌握分式方程的求解步骤，理解增根的成因，会检验分式方程的根，能借助增根求解参数值。 能够结合实际情境（行程、工程、利润等问题）列分式方程解题，严格执行解题验根流程。 核心题型◆归纳 题型1.分式的识别判断 题型2.分式有意义、无意义的条件判定 题型3.分式值为0的条件求解 题型4.按限定条件构造分式 题型5.分式规律探究问题 题型6.分式直接代入求值 题型7.分式变形正误判断及变形成立条件推导 题型8.利用分式基本性质分析分式值的变化 题型9.分式分子分母最高次项系数化为正数 题型10.分式分子分母各项系数化为整数 题型11.分式约分与最简分式判定 题型12.根据分式正负性求未知数的取值范围 题型13.根据分式值为整数求未知数的整数值 题型14.分式乘、除、乘方及含乘方的乘除混合运算 题型15.同分母分式加减法运算 题型16.确定最简公分母与分式通分 题型17.异分母分式加减、整式与分式加减运算 题型18.分式加减混合、加减乘除综合运算 题型19.分式化简求值与分式恒等式参数确定 题型20.分式加减运算的实际应用问题 题型21.分式最值求解问题 题型22.分式方程定义辨析与可化为一元一次的分式求解 题型23.根据分式方程解的情况求参数 题型24.列分式方程解决行程、工程和差倍分问题 题型25.分式方程的经济问题 题型26.分式方程的其它实际问题 题型27.分式方程的新定义运算 重点知识◆梳理 【知识点一、分式定义】 ✅分式定义：形如（A、B均为整式，分母B含有字母，且B≠0）的式子叫做分式。 A为分式的分子，B为分式的分母。 ✅关键词：分子分母为整式、分母含字母、分母不为0。 【知识点二、分式三类取值条件】 取值条件类型 判定规则 核心释义 分式有意义 分母B≠0 分母非零，代数式有实际意义 分式无意义 分母B=0 分母为零，分式无意义 分式的值为0 分子A=0且分母B≠0 分子为0且分母不为0，双重条件缺一不可 【知识点三、分式与整式对比】 分式与整式核心区别对比： 对比项目 分式 整式 分母特征 分母含有字母 分母不含字母 取值限制 分母不能为0，有取值限制 自变量可取全体实数 归类划分 有理式（非整式） 单项式、多项式统称整式 核心关联 分式、整式共同组成有理式，无理式不属于本章范畴 【知识点四、分式基本性质与变形】 1.分式基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.公式：==(C≠0) 3.分式符号法则：分子、分母、分式本身三者符号，任意同时改变其中两个，分式值保持不变。即==-, = 【知识点五、约分与通分】 对比维度 约分 通分 定义 依据分式基本性质，约去分子、分母公因式，化为最简分式 依据分式基本性质，将异分母分式化为同分母分式 核心依据 分子分母同除以非零整式，分式值不变 分子分母同乘以非零整式，分式值不变 运算前提 分子、分母因式分解，提取全部公因式 分母因式分解，求解最简公分母 标准解题步骤 ①分子、分母因式分解；②提取全部公因式；③约去公因式；④化为最简分式 ①分母因式分解；②确定最简公分母；③分子分母同乘整式；④化为同分母分式 最终结果要求 最简分式，分子分母无公因式 分母统一为最简公分母，化为同分母分式 【知识点六、分式乘除、乘方、加减运算】 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用字母表示：，其中是整式，． 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 字母表示：，其中是整式，． 3.分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方， 字母表示：（为正整数）． 4.同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 公式表示：. 5.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 公式表示：. 6.分式的混合运算顺序 （1）先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的； （2）分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 【知识点七、分式方程】 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程． 2.分式方程与整式方程的区别与联系 对比维度 分式方程 整式方程 定义 分母中含有未知数的方程 未知数仅在分子、分母为常数的方程，全由整式构成 特征 ①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数 ①是等式；②方程里不含分母，或分母仅为常数；③未知数仅出现在整式部分 区分依据 分母中含有未知数（不是一般的字母系数） 分母中不含有未知数，仅含常数项 未知数取值限制 未知数必须使所有分母不为0，否则方程无意义 无额外取值限制，在全体实数范围内讨论 核心解法步骤 去分母→解整式方程→验根→写解，核心是化为整式方程求解 去分母（若有常数分母）→去括号→移项→合并同类项→系数化为1，直接求解 验根要求 必须验根，需将解代入最简公分母，舍去使公分母为0的增根 无需验根，求解后直接得原方程的解 解的情况 可能出现增根导致无解，也可能有1个或多个解 根据方程次数有确定的解的个数，无增根概念 核心联系 分式方程可以通过去分母的方式转化为整式方程，二者的核心都是含有未知数的等式，最终求解目标一致。 3.解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解． 4.分式方程产生增根的原因 （1）方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根． （2）产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根． 【知识点八、分式方程应用的解题步骤】 审题：明确题目中已知量、未知量的实际含义，梳理各数量之间的内在逻辑与数量关系； 设元：根据题意合理设置未知数，可直接设所求量为未知数，也可根据数量关联间接设元； 列方程：精准定位能覆盖题目全部含义的核心等量关系，依据等量关系列出对应的分式方程； 解方程：遵循分式方程运算法则，通过去分母将分式方程转化为整式方程，完成规范求解； 验根：对求解结果进行双重检验，既要检验是否为原分式方程的增根，也要验证是否符合题目的实际场景意义； 作答：根据检验后的有效结果，规范书写完整答案，明确回应题目所求的核心问题。 题型解析◆精准备考 题型1.分式的识别判断 1．下列代数式中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、的分母5是常数，不含字母，属于整式，不是分式； 选项B、是常数，属于整式，不是分式； 选项C、中是固定常数，不是字母，分母不含字母，属于整式，不是分式； 选项D、的分母是字母，符合分式的定义，是分式． 2．有下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的是____________（填序号）． 【答案】④⑤ 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 分式的定义是分母中含有字母的代数式，因此需要检查每个代数式的分母是否含有字母． 【详解】解：①分母为常数，不含字母，不是分式； ②分母为常数，不含字母，不是分式； ③分母为常数，不含字母，不是分式； ④分母为，含有字母，是分式； ⑤分母为，含有字母，是分式． 故答案为：④⑤． 3．下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ 【答案】整式是，，；分式是，， 【分析】单项式和多项式统称为整式，一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子（）叫做分式，由此即可判断． 【详解】解：由题意可知： 整式是，，；分式是，，． 题型2.分式有意义、无意义的条件判定 1．要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分式有意义的条件是分母不为，对于分式，分母为， ， 解得， 故选：B． 2．当时，分式无意义，则m的值为______． 【答案】2 【分析】分式无意义即分母为0，由此解答即可． 【详解】解：若分式无意义，则，即， 又∵当时，分式无意义， ∴． 3．（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握掌握分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分母不为0，分子等于0是解题的关键． （1）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得且，，解之得到、，再代入求解即可； （2）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得，，解之得到、，再代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得且，， ∴且，， 解得，， 则． （2）当时，分式无意义， ，解得． 当时，分式的值为0， ，解得， ． 题型3.分式值为0的条件求解 1．分式 的值为0，则x的值为（     ） A．3 B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据且，计算即可． 【详解】解：分式的值为0， 故且， 解得，且， 故． 2．若分式，则x的值为______． 【答案】－1 【分析】根据分式值为零的条件，需同时满足分子等于零，分母不等于零，先求解分子得到的可能取值，再排除使分母为零的取值，即可得到最终结果． 【详解】解：由题意可得 解，得，即， 由，得， ． 3．取何值时，下列分式的值是零？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的值为零，解题关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零． （1）根据分式的值为零的条件，得到，，求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，得到，，求解即可；． 【详解】（1）解：的值是零， ，， ，，， ； （2）解：的值是零， ，， ，，， ． 题型4.按限定条件构造分式 1．打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据小丽第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，列出代数式即可． 【详解】解：由题意，得：第二天她打字用的时间是：（分钟）； 故选B 【点睛】本题考查列代数式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出代数式，是解题的关键． 2．面积为的某梨园产梨，平均每平方米产梨_________； 【答案】 【分析】根据单位面积产量等于总产量除以总面积的数量关系，列出代数式即可． 【详解】解：已知该梨园面积为，产梨总产量为， 根据平均单位面积产量的计算方法，可得： 平均每平方米产梨． 3．用水清洗蔬菜上残留的农药，设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．现有单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成2份后分两次清洗．试问哪种方法清洗后，蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由． 【答案】第二种 【分析】本题主要考查了分式的应用，解题的关键是根据题意列出算式．先根据题意列出两种情况下农药残留量，然后比较大小即可． 【详解】解：设最先的农药量为1，第一种方案残留的农药量为， 第二种方案残留的农药量为， ∵， ∴， 第二种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少． 题型5.分式规律探究问题 1．观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的规律性问题． 观察各等式，两个分数的分子之和恒为8，且每个分式的分母均为其分子减去4，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ 给出的等式中，两个分子之和均为8，且分母为分子减4， ∴ 一般形式应为分子为x和，分母分别为和， 即一般性的等式为， 故选：B 2．观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 【答案】（，且n取整数） 【详解】解：∵； ； … ∴第个等式为（，且n取整数）． 3．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2) 第n个等式： ； ． 【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式； 对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：， 即； 故答案为：； （2） 略 题型6.分式直接代入求值 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的求值，先去分母，然后移项合并，最后两边除以即可．掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 即的值为． 故选：A． 2．若，则分式的值等于_________． 【答案】/0.6 【详解】解： ∵ ． 3．综合与实践：探究代数式的 “奥秘”． x 1 2 3 2 观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题： (1)补全上面表格中的数据； (2)已知当和时，分式的值相等，则___________． (3)试说明的值一定不小于2． 【答案】(1)；；2； (2)或或或 (3)见解析 【分析】本题考查了分式的求值，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将，，，分别代入计算即可得解； （2）由表格中的规律可以看出，当和，相等、互为倒数，互为相反数、互为负倒数时，分式的值相等，由此计算即可得出结果； （3）结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）解：由表格中的规律可以看出，当和，相等、互为倒数、互为相反数、互为负倒数时，分式的值相等． ∴或或或， ∴或或或， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 综上所述，的值为或或或． （3）解：∵． ∴． 即的值一定不小于2． 题型7.分式变形正误判断及变形成立条件推导 1．下列分式与一定相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘以或除以一个不等于的整式，分式的值不变，根据该性质判断各选项即可． 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、取，得，该选项不符合题意； C、取，，得，该选项不符合题意； D、取，，得，该选项不符合题意． 2．下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是______________（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：①当时，成立，故不正确，符合题意； ②，故正确，不符合题意； ③，故不正确，符合题意； ④，故正确，不符合题意； 故答案为：①③． 3．写出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，对已知分子或分母因式分解，对比变形前后的变化，即可计算得到未知项． 【详解】（1）解：∵， ∴把左边分式的分子和分母都除以可得右边的分式， ∴； （2）解：∵ ， ∴把的分子和分母都乘以可得左边的分式， ∴； （3）解：∵， ∴把的分子和分母都乘以可得左边的分式， ∴； （4）解：∵， ∴把左边分式的分子和分母都乘以可得右边的分式， ∴． 题型8.利用分式基本性质分析分式值的变化 1．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 【答案】B 【详解】解：根据题意，把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，可得， 与原分式相比，扩大倍． 2．利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入_______；            （2），括号内应填入_______； （3），括号内应填入_______；         （4），括号内应填入_______． 【答案】 x 【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式的基本性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：． 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分子、分母同乘 (2)分子、分母同除以 (3)分子、分母同除以 (4)分子、分母同乘 【分析】根据分式的基本性质逐一解答即可． 【详解】（1）解：分子、分母同乘， ； （2）解：分子、分母同除以， ； （3）解：分子、分母同除以， ； （4）解：分子、分母同乘， ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘或除一个不等于零的数，分式的值不变是解题的关键． 题型9.分式分子分母最高次项系数化为正数 1．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 2．不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的性质，根据题中要求，利用分式的性质，给分子、分母同乘以即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数均为正数． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练分式的变号法则． 根据了分式的性质求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 题型10.分式分子分母各项系数化为整数 1．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 2．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11.分式约分与最简分式判定 1．下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证． 【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B、，分母为，可得，，选项约分错误； C、，分母为，可得，，选项约分正确； D、，选项约分错误． 2．约分： ______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分． 通过对分子和分母进行因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 【答案】(1)是 (2)不是， (3)不是， 【分析】本题考查了最简分式的判断，将分式化为最简分式． 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． （1）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （2）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可； （3）先判断是否是最简分式，不是的话化简即可． 【详解】（1）是最简分式 （2）不是最简分式， （3）不是最简分式， 题型12.根据分式正负性求未知数的取值范围 1．若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 2．若分式的值为负数，则x的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，要使分式的值为负数，即分母且，然后解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴分式的值为负数，即分母且，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 3．我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的性质： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 题型13.根据分式值为整数求未知数的整数值 1．已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式运算、分式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，即可判断结论①；根据，即可判断结论②；由，易得若为正整数，则有或1或，分别求解即可判断结论③． 【详解】解：根据题意，， ①∵， ∴恒成立，该结论正确； ②∵， 又∵， ∴， ∴的最小值是； 的最小值是，该结论正确； ③∵， ∴若为正整数，则有或1或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， ∴整数值有3个，该结论正确． 综上所述，正确的有①②③，为3个． 故选：A． 2．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【答案】1或2/2或1 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值． 【详解】解：， 要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，， 当时，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数； 当，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数， ∵x为正整数， ∴或1． 3．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)4，5，6，9 (3)；0；2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，分式的值，能得出方程组的解是解（3）的关键． （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为自然数，x为正整数，可得取6或3或2或1，即可求解； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或4或2或1，从而得到k取或0或2或3，再判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得： ， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为； 故答案为：； （2）解：∵为自然数，x为正整数， ∴取6或3或2或1， ∴x可取4或5或6或9． 故答案为：4，5，6，9； （3）解：解方程组得：， ∵方程组的解是正整数， ∴8是的倍数， ∴或4或2或1， ∴k取或0或2或3， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，整数的值为；0；2． 题型14.分式乘、除、乘方及含乘方的乘除混合运算 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．计算：______ 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法运算，负整数指数幂，先把负整数指数幂化为分式的形式，再计算分式乘方，最后计算分式乘法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘除法运算法则求解即可； （4）先把对应分式的分母分解因式，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （5）先计算乘方，再根据分式的乘除法运算法则求解即可； （6）先计算乘方，再把对应分式的分母分解因式，最后根据分式的乘除法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型15.同分母分式加减法运算 1．下列计算正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式加减乘除及乘方的运算法则，逐一计算即可判断对错． 解题的关键在于正确掌握分式的基本运算． 【详解】解：A，，∴A错误，不符合题意； B，，∴B错误，不符合题意； C，，∴C错误，不符合题意； D，，计算正确，∴D正确，符合题意． 2．若且a，b，c均不为0，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，原式化简为，再利用整体代入法进行计算即可. 【详解】解：∵且a，b，c均不为0， ∴ ∴原式 . 3．小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 先化简，再求值：，其中 解：原式    ①                                 ② 当时，原式              ③ AI编辑 我的解答正确吗？ 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中， 解：原式= 【答案】①；，当时，原式 【分析】先计算同分母分式减法，再将分子因式分解，约分化简，最后将代入求值． 【详解】解：这个解答从第①步开始出现错误； 原式， 当时， 原式． 题型16.确定最简公分母与分式通分 1．下列关于分式的说法正确的是（    ） A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是 C． D．化简的结果是 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质和分式的加减运算，解决本题的关键是根据分式的基本性质把分式进行变形即可． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，与的最简公分母是，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选： C． 2．已知，则代数式的值为______． 【答案】4 【分析】先对已知等式通分变形，得到与的数量关系，再将所求分式的分子分母分组提公因式变形，最后整体代入计算求值. 【详解】解：已知，对等式左边通分，得，整理得，即. ∴ 3．化简求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 将代入得，原式． 题型17.异分母分式加减、整式与分式加减运算 1．已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对B进行分式通分化简，再结合A的表达式计算对应式子，即可得出结论. 【详解】解： ∵， ∴，且，故A，B错误； ，，故C正确，D错误. 2．若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查分式的性质及化简求值，由可得，进而得到，然后分情况讨论即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， 当时，，即，此时； 当时，； 故答案为：或． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 题型18.分式加减混合、加减乘除综合运算 1．若，则使最接近的正整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先利用“裂项法”对已知分式变形化简，再分别将n取3，4，5和6代入计算，即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴ ， ∴当n=3时，， 当n=4时，， 当n=5时，， 当n=6时，， 显然，， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练运用“裂项法”对已知分式变形化简是解题的关键． 2．化简的结果是____________________ ． 【答案】/ 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【详解】解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先统一分母，再合并计算； （2）先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分即可得到结果； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型19.分式化简求值与分式恒等式参数确定 1．已知是实数，并且，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，得到，，再利用整体代入法进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，，等式不成立， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 2．已知，则实数______． 【答案】 【分析】先将等式右侧通分．根据分式相等的条件得到分子对应相等．整理后利用多项式相等的性质得到关于的方程组．求解后代入计算即可得到结果． 【详解】解： ∵， ∴， 即， 整理得， 可知， 解得：， ∴． 3．已知，求，的值． 【答案】A的值为，的值2． 【分析】此题主要考查了异分母分式加减法的运算法则，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法．此题还考查了二元一次方程组的求解方法，要熟练掌握． 首先根据通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法，然后根据等号左右两边分式的分子相同，列出关于A、B的二元一次方程组，再解方程组，求出A、B的值是多少即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， 解得． 答：A的值为，的值2． 题型20.分式加减运算的实际应用问题 1．某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算原施工和改进技术后挖掘米隧道所需的天数，再计算天数差即可得到结果． 【详解】解：∵原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为， 改进施工技术后，每天挖掘的长度为米， ∴改进技术后，挖掘米隧道需要的天数为， 因此比原来少用的天数为：． 2．两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了______千米/小时．(结果化为最简形式) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减运算的应用、列代数式等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． 先根据题意表示出提速前后火车的速度，然后作差并运算即可解答． 【详解】解：由题意可得： 提速前火车速度为：，提速前火车速度为：， 提速后火车比原来速度快了． 故答案为：． 3．甲、乙两名采购员去同一家超市各自购买两次大米，两次购买的大米售价分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲采购员每次购买千克，乙采购员每次购买用去元，而不管购买到多少千克的大米． (1)甲、乙两名采购员各自购买两次大米的平均售价分别是多少元/千克？（用含有字母，的式子表示并化简） (2)请通过计算说明谁的购买方式更合算？ 【答案】(1) 甲两次购买大米的平均售价为元/千克，乙两次购买大米的平均售价为元/千克 (2) 乙的购买方式更合算 【分析】（1）根据平均售价=总花费÷总购买重量，分别计算甲、乙两次购买的总花费和总重量，化简即可得到结果； （2）利用作差法比较两个平均售价的大小，平均售价更低的购买方式更合算． 【详解】（1） 解：甲两次购买总重量为：(千克) ， 甲两次购买总花费为：(元) ， 因此甲的平均售价为：(元/千克)； 乙两次购买总花费为： (元) ， 乙两次购买总重量为：(千克) ， 因此乙的平均售价为：(元/千克)． （2）解：比较两个平均售价的大小，作差得： ， 由题意得， 因此，， 可得， 即， 因此乙的平均售价更低，乙的购买方式更合算． 题型21.分式最值求解问题 1．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 2．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 3．已知a，b为非负实数，， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时， 取最大值，最大值为 【分析】（1）根据例题，可得，故当且仅当时，代数式取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得，根据例题，即可获得答案； （3）将代数式变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，代数式取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）解：∵， ∴， ∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， ∴此时代数式有最大值，最大值为， ∴当时，取最大值，最大值为． 题型22.分式方程定义辨析与可化为一元一次的分式求解 1．下列方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，逐一检查各选项分母即可判断． 【详解】解：A、分母为，含未知数，是分式方程，不符合题意； B、分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程，符合题意； C、分母为和，含未知数，是分式方程，不符合题意； D、分母为，含未知数，是分式方程，不符合题意； 故选：B． 2．将分式方程化为整式方程为________． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘以，得 ． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：， 方程两边同时乘以，得， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． 题型23.根据分式方程解的情况求参数 1．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】利用不等式无解及分式方程的解为非负数得到a的取值范围，再求所有满足条件的整数a的值之和即可． 【详解】解：解得， 解得， ∵无解， ∴两个不等式的解集和没有公共部分， ∴， 解得：， 解得， ∵关于y的分式方程的解为非负数， ∴，且 ∴且 综上：且 所有满足条件的整数a的值之和：． 2．若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解后检验即可得到的值． 【详解】解：因为是分式方程的解，所以将代入原方程，得， 计算得： ， 整理得：， 经检验，当时，满足原方程分母不为0的条件，符合题意． 3．已知关于x的分式方程． (1)若该方程的增根为，求m的值 ； (2)若该方程有增根，求m的值 ； (3)若该方程无解，求m的值 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先对原方程去分母得到整式方程，再把代入计算即可； （2）根据增根的定义得到，解得或，然后代入（1）化简后的方程求解； （3）根据方程无解的两种情况（整式方程无解、整式方程的根都是原方程的增根），分别代入计算得到的值． 【详解】（1）解：原方程可写为， 方程两边同乘去分母，得， 整理得． 该方程的增根为， 把代入，得， 解得． （2）解： 原方程有增根， ， 解得增根为或， 当时，代入得，解得， 当时，代入得，解得， 的值为或． （3）解：原方程无解分两种情况：当，即时，整式方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原方程无解； 当整式方程有解，但解为原方程的增根时，原方程无解，由（2）得此时或； 综上所述，的值为或或． 题型24.列分式方程解决行程、工程和差倍分问题 1．袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么满足怎样的分式方程？（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两块试验田面积相等建立等量关系，先由产量之差分别表示两块试验田的单位产量，再利用面积=总产量÷单位产量列出分式方程． 【详解】解：设第一块试验田每公顷的产量为， ∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少， ∴第二块试验田每公顷的产量为， 又∵两块试验田面积相同， ∴第一块试验田的面积为，第二块试验田的面积为， ∴可得方程． 2．春运期间，两列火车匀速行驶．一列长的客运火车完全通过一条长的山体隧道和一列长的货运火车完全通过一座长的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为________ 【答案】 /米 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 根据两车完全通过各自隧道和大桥的时间相等，建立速度关系；再根据货运火车完全通过山体隧道的时间，计算同一时间内客运火车行驶的路程． 【详解】解：设客运火车速度为，货运火车速度为 ， ∴客运火车完全通过山体隧道的路程为，时间， 货运火车完全通过跨河大桥的路程为 ，时间， ∵时间相等，即， ∴， ∴， ∵， ∴原方程有意义， 当货运火车完全通过山体隧道的路程为，时间为， ∴同一时间内，客运火车行驶的路程 ， 故答案为：． 3．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】(1)30天 (2)180000元 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合作15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可． （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是x天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符号题意． 答：这项工程的规定时间是30天． （2）解：该工程由甲、乙队合作完成，所需时间为：（天）， 则该工程施工费用是：（元）． 答：该工程的费用为180000元． 题型25.分式方程的经济问题 1．某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品．首批柑橘成熟后，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价．设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是根据“第二批数量与第一批数量一样多”这一等量关系，结合总价、单价、数量的关系列出方程． 【详解】解：∵设第一批柑橘单价为元， ∴第一批购进的数量为箱， 又∵第二批单价比第一批便宜4元， ∴第二批单价为元，购进的数量为箱， ∵第二批数量与第一批数量一样多， ∴可列方程， 故选A． 2．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，则所列方程是________． 【答案】 【分析】设第一次买本资料，可表示出第二次购买的数量，根据单价等于总价除以数量得到两次的单价，再利用第二次每本比第一次优惠4元的等量关系列出方程． 【详解】解：设第一次买了本资料， 由题意可知，第二次购买资料的数量为本， 根据单价等于总价除以数量，可得第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元， ∵第二次每本优惠4元，即第一次单价比第二次单价多4元， ∴列方程得：． 3．“才人相见都相赏，天下风流是此花”，月季被称为“花中皇后”，为常绿、半常绿低矮灌木，四季开花．某苗圃培育了两个品种月季花，已知每棵A品种月季花的售价比每棵B品种月季花的售价多10元，用6000元购买A品种月季花与用4800元购买B品种月季花的数量相等． (1)每棵A品种月季花和B品种月季花的售价分别是多少元？ (2)5月份该苗圃共售卖月季花300棵，A品种月季花的销售量不高于B品种月季花的2倍，且销售收入不低于13900元，则一共有多少种售卖方案？（不需要写出具体方案） 【答案】(1)每棵A品种月季花的售价是50元，每棵B品种月季花的售价是40元 (2)11种 【分析】（1）设每棵A品种月季花的售价是x元，则每棵B品种月季花的售价是元，因为两种购买方式对应的花卉数量相等，所以可依据“数量=总价÷单价”的公式列分式方程求解． （2）设5月份该苗圃售卖a棵A品种月季花，则售卖棵B品种月季花，结合“A品种销量不高于B品种的2倍”，“销售收入不低于13900元”两个条件，列出一元一次不等式组，求解得到未知数的取值范围，根据未知数为正整数的属性确定取值个数，即可得到售卖方案的数量． 【详解】（1）解：设每棵A品种月季花的售价是x元，则每棵B品种月季花的售价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每棵A品种月季花的售价是50元，每棵B品种月季花的售价是40元． （2）解：设5月份该苗圃售卖a棵A品种月季花，则售卖棵B品种月季花， 根据题意得， 解得， 又为整数，（种）， 答：一共有11种售卖方案． 题型26.分式方程的的其它实际问题 1．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得27个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得12个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，设甲的单价为a个铜板，乙的单价为b个铜板，根据卖得的钱数相同以及交换鸡蛋后的卖价关系列出方程即可． 【详解】解：设甲的单价为a个铜板，乙的单价为b个铜板， 则甲卖自己的鸡蛋得钱个铜板，乙卖自己的鸡蛋得钱个铜板， ∴， ∵甲卖乙的鸡蛋按甲的单价得27铜板，乙卖甲的鸡蛋按乙的单价得12铜板， ∴，， ∴， ∴，即， 故选A． 2．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是________千米． 【答案】600 【分析】设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得分式方程并求解，再检验是否符合题意即可． 【详解】解：设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得 ， 解得， 经检验是方程的解， 即两台汽车的续航里程是600千米． 3．在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 【答案】(1)需要加水克； (2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 见解析． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算． 设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量； 由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 【详解】（1）解：设需要加水， 根据题意得：， 去分母得：， 解方程得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：需要加水900克； （2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡； 解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克， 甲汤比乙汤咸， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡． 题型27.分式方程的新定义运算 1．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的值为（     ） A．4 B．2 C．1 D．2或0 【答案】D 【分析】先根据新运算的定义将原方程转化为分式方程，再整理为整式方程，分一次方程无解、分式方程产生增根两种情况讨论，求出的可能值即可 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 去分母得 整理得 方程无解分两种情况： ① 当一次项系数为时，方程无解，即 ，得，此时，等式不成立，方程无解. ② 分式方程产生增根时，原方程分母，得增根，把代入，得 ，解得. 综上，的值为或 2．对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 3．新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2) (3) 【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06分式与分式方程 期末复习讲义 期末复习◆重点 明晰分式定义，掌握分式有意义、无意义、分式值为零的判定条件，能辨析整式与分式。 理解分式的基本性质，能依据性质对分式进行约分、通分，识别并化简为最简分式。 掌握分式乘方、乘除、加减运算法则，规范完成分式四则混合运算与化简求值类习题。 掌握分式方程的求解步骤，理解增根的成因，会检验分式方程的根，能借助增根求解参数值。 能够结合实际情境（行程、工程、利润等问题）列分式方程解题，严格执行解题验根流程。 核心题型◆归纳 题型1.分式的识别判断 题型2.分式有意义、无意义的条件判定 题型3.分式值为0的条件求解 题型4.按限定条件构造分式 题型5.分式规律探究问题 题型6.分式直接代入求值 题型7.分式变形正误判断及变形成立条件推导 题型8.利用分式基本性质分析分式值的变化 题型9.分式分子分母最高次项系数化为正数 题型10.分式分子分母各项系数化为整数 题型11.分式约分与最简分式判定 题型12.根据分式正负性求未知数的取值范围 题型13.根据分式值为整数求未知数的整数值 题型14.分式乘、除、乘方及含乘方的乘除混合运算 题型15.同分母分式加减法运算 题型16.确定最简公分母与分式通分 题型17.异分母分式加减、整式与分式加减运算 题型18.分式加减混合、加减乘除综合运算 题型19.分式化简求值与分式恒等式参数确定 题型20.分式加减运算的实际应用问题 题型21.分式最值求解问题 题型22.分式方程定义辨析与可化为一元一次的分式求解 题型23.根据分式方程解的情况求参数 题型24.列分式方程解决行程、工程和差倍分问题 题型25.分式方程的经济问题 题型26.分式方程的其它实际问题 题型27.分式方程的新定义运算 重点知识◆梳理 【知识点一、分式定义】 ✅分式定义：形如（A、B均为整式，分母B含有字母，且B≠0）的式子叫做分式。 A为分式的分子，B为分式的分母。 ✅关键词：分子分母为整式、分母含字母、分母不为0。 【知识点二、分式三类取值条件】 取值条件类型 判定规则 核心释义 分式有意义 分母B≠0 分母非零，代数式有实际意义 分式无意义 分母B=0 分母为零，分式无意义 分式的值为0 分子A=0且分母B≠0 分子为0且分母不为0，双重条件缺一不可 【知识点三、分式与整式对比】 分式与整式核心区别对比： 对比项目 分式 整式 分母特征 分母含有字母 分母不含字母 取值限制 分母不能为0，有取值限制 自变量可取全体实数 归类划分 有理式（非整式） 单项式、多项式统称整式 核心关联 分式、整式共同组成有理式，无理式不属于本章范畴 【知识点四、分式基本性质与变形】 1.分式基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.公式：==(C≠0) 3.分式符号法则：分子、分母、分式本身三者符号，任意同时改变其中两个，分式值保持不变。即==-, = 【知识点五、约分与通分】 对比维度 约分 通分 定义 依据分式基本性质，约去分子、分母公因式，化为最简分式 依据分式基本性质，将异分母分式化为同分母分式 核心依据 分子分母同除以非零整式，分式值不变 分子分母同乘以非零整式，分式值不变 运算前提 分子、分母因式分解，提取全部公因式 分母因式分解，求解最简公分母 标准解题步骤 ①分子、分母因式分解；②提取全部公因式；③约去公因式；④化为最简分式 ①分母因式分解；②确定最简公分母；③分子分母同乘整式；④化为同分母分式 最终结果要求 最简分式，分子分母无公因式 分母统一为最简公分母，化为同分母分式 【知识点六、分式乘除、乘方、加减运算】 1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用字母表示：，其中是整式，． 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 字母表示：，其中是整式，． 3.分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方， 字母表示：（为正整数）． 4.同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 公式表示：. 5.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 公式表示：. 6.分式的混合运算顺序 （1）先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的； （2）分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 【知识点七、分式方程】 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程． 2.分式方程与整式方程的区别与联系 对比维度 分式方程 整式方程 定义 分母中含有未知数的方程 未知数仅在分子、分母为常数的方程，全由整式构成 特征 ①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数 ①是等式；②方程里不含分母，或分母仅为常数；③未知数仅出现在整式部分 区分依据 分母中含有未知数（不是一般的字母系数） 分母中不含有未知数，仅含常数项 未知数取值限制 未知数必须使所有分母不为0，否则方程无意义 无额外取值限制，在全体实数范围内讨论 核心解法步骤 去分母→解整式方程→验根→写解，核心是化为整式方程求解 去分母（若有常数分母）→去括号→移项→合并同类项→系数化为1，直接求解 验根要求 必须验根，需将解代入最简公分母，舍去使公分母为0的增根 无需验根，求解后直接得原方程的解 解的情况 可能出现增根导致无解，也可能有1个或多个解 根据方程次数有确定的解的个数，无增根概念 核心联系 分式方程可以通过去分母的方式转化为整式方程，二者的核心都是含有未知数的等式，最终求解目标一致。 3.解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解． 4.分式方程产生增根的原因 （1）方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根． （2）产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根． 【知识点八、分式方程应用的解题步骤】 审题：明确题目中已知量、未知量的实际含义，梳理各数量之间的内在逻辑与数量关系； 设元：根据题意合理设置未知数，可直接设所求量为未知数，也可根据数量关联间接设元； 列方程：精准定位能覆盖题目全部含义的核心等量关系，依据等量关系列出对应的分式方程； 解方程：遵循分式方程运算法则，通过去分母将分式方程转化为整式方程，完成规范求解； 验根：对求解结果进行双重检验，既要检验是否为原分式方程的增根，也要验证是否符合题目的实际场景意义； 作答：根据检验后的有效结果，规范书写完整答案，明确回应题目所求的核心问题。 题型解析◆精准备考 题型1.分式的识别判断 1．下列代数式中，是分式的是（     ） A． B． C． D． 2．有下列代数式：①；②；③；④；⑤．其中是分式的是____________（填序号）． 3．下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ 题型2.分式有意义、无意义的条件判定 1．要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．当时，分式无意义，则m的值为______． 3．（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 题型3.分式值为0的条件求解 1．分式 的值为0，则x的值为（     ） A．3 B． C． D．不存在 2．若分式，则x的值为______． 3．取何值时，下列分式的值是零？ (1)； (2)． 题型4.按限定条件构造分式 1．打字员小丽要打印一份12000字的文件，第一天打字2小时，打字速度为w字/分钟，第二天打字速度比第一天快了10字/分钟，两天打印完全部文件，则第二天她打字用的时间是（    ）分钟 A．B．C． D． 2．面积为的某梨园产梨，平均每平方米产梨_________； 3．用水清洗蔬菜上残留的农药，设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．现有单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成2份后分两次清洗．试问哪种方法清洗后，蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由． 题型5.分式规律探究问题 1．观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（   ） A． B． C． D． 2．观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 3．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 题型6.分式直接代入求值 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若，则分式的值等于_________． 3．综合与实践：探究代数式的 “奥秘”． x 1 2 3 2 观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题： (1)补全上面表格中的数据； (2)已知当和时，分式的值相等，则___________． (3)试说明的值一定不小于2． 题型7.分式变形正误判断及变形成立条件推导 1．下列分式与一定相等的是（     ） A． B． C． D． 2．下列分式的变形：①；②；③；④，其中不正确的是______________（填序号）． 3．写出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型8.利用分式基本性质分析分式值的变化 1．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 2．利用分式的基本性质填空： （1），括号内应填入_______；            （2），括号内应填入_______； （3），括号内应填入_______；         （4），括号内应填入_______． 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型9.分式分子分母最高次项系数化为正数 1．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使的分子和分母的最高次项的系数是正数，得__________． 3．不改变分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数均为正数． (1) (2) 题型10.分式分子分母各项系数化为整数 1．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 3．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 题型11.分式约分与最简分式判定 1．下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．约分： ______． 3．判断下列各式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． (1) (2) (3) 题型12.根据分式正负性求未知数的取值范围 1．若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 2．若分式的值为负数，则x的取值范围是______． 3．我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 题型13.根据分式值为整数求未知数的整数值 1．已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 3．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 题型14.分式乘、除、乘方及含乘方的乘除混合运算 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．计算：______ 3．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型15.同分母分式加减法运算 1．下列计算正确的是（   ） A．B． C． D． 2．若且a，b，c均不为0，则的值为_______． 3．小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的分析． 先化简，再求值：，其中 解：原式    ①                                 ② 当时，原式              ③ AI编辑 我的解答正确吗？ 豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中， 解：原式= 题型16.确定最简公分母与分式通分 1．下列关于分式的说法正确的是（    ） A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是 C． D．化简的结果是 2．已知，则代数式的值为______． 3．化简求值：，其中． 题型17.异分母分式加减、整式与分式加减运算 1．已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型18.分式加减混合、加减乘除综合运算 1．若，则使最接近的正整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．化简的结果是____________________ ． 3．计算： (1)； (2)． 题型19.分式化简求值与分式恒等式参数确定 1．已知是实数，并且，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则实数______． 3．已知，求，的值． 题型20.分式加减运算的实际应用问题 1．某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（     ） A． B． C． D． 2．两地相距n千米，提速前火车从一地到另一地要用t小时，提速后行车时间减少了1小时，提速后火车比原来速度快了______千米/小时．(结果化为最简形式) 3．甲、乙两名采购员去同一家超市各自购买两次大米，两次购买的大米售价分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲采购员每次购买千克，乙采购员每次购买用去元，而不管购买到多少千克的大米． (1)甲、乙两名采购员各自购买两次大米的平均售价分别是多少元/千克？（用含有字母，的式子表示并化简） (2)请通过计算说明谁的购买方式更合算？ 题型21.分式最值求解问题 1．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 3．已知a，b为非负实数，， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 题型22.分式方程定义辨析与可化为一元一次的分式求解 1．下列方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．将分式方程化为整式方程为________． 3．解方程： (1)； (2)． 题型23.根据分式方程解的情况求参数 1．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负数，那么所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 2．若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 3．已知关于x的分式方程． (1)若该方程的增根为，求m的值 ； (2)若该方程有增根，求m的值 ； (3)若该方程无解，求m的值 ． 题型24.列分式方程解决行程、工程和差倍分问题 1．袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么满足怎样的分式方程？（     ） A． B． C． D． 2．春运期间，两列火车匀速行驶．一列长的客运火车完全通过一条长的山体隧道和一列长的货运火车完全通过一座长的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为________ 3．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成．则该工程施工费用是多少？ 题型25.分式方程的经济问题 1．某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品．首批柑橘成熟后，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价．设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，则所列方程是________． 3．“才人相见都相赏，天下风流是此花”，月季被称为“花中皇后”，为常绿、半常绿低矮灌木，四季开花．某苗圃培育了两个品种月季花，已知每棵A品种月季花的售价比每棵B品种月季花的售价多10元，用6000元购买A品种月季花与用4800元购买B品种月季花的数量相等． (1)每棵A品种月季花和B品种月季花的售价分别是多少元？ (2)5月份该苗圃共售卖月季花300棵，A品种月季花的销售量不高于B品种月季花的2倍，且销售收入不低于13900元，则一共有多少种售卖方案？（不需要写出具体方案） 题型26.分式方程的的其它实际问题 1．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得27个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得12个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 2．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是________千米． 3．在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等． (1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？ (2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤． 请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度： 请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论． 题型27.分式方程的新定义运算 1．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的值为（     ） A．4 B．2 C．1 D．2或0 2．对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 3．新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $