第五章 分式与分式方程【期末复习讲义】（培优版）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第五章 分式与分式方程【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+28个题型讲练+真题实战练 共66题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 分式的求值 题型十五 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型十六 分式加减混合运算 题型三 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十七 分式加减的实际应用 题型四 判断分式变形是否正确 题型十八 分式加减乘除混合运算 题型五 求使分式变形成立的条件 题型十九 分式化简求值 题型六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型二十 分式最值 题型七 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型二十一 根据分式方程解的情况求值 题型八 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型二十二 分式方程无解问题 题型九 约分 题型二十三 列分式方程 题型十 最简分式 题型二十四 分式方程的行程问题 题型十一 最简公分母 题型二十五 分式方程的工程问题 题型十二 通分 题型二十六 分式方程的经济问题 题型十三 异分母分式加减法 题型二十七 分式方程和差倍分问题 题型十四 整式与分式相加减 题型二十八 分式方程的其它实际问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点二 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点三 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 【易错点拨】根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有 .分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点四 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点五 分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 知识点六 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点七 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点八 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是 单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点九 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点十 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点十一 零指数 a0=1 (a≠0) 知识点十二 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 知识点十三 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点十四 分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 分式的求值 【例1】（25-26八年级上·全国·期末）若，，则的值为__________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、约分等知识点，灵活运用平方差公式对分母因式分解是解题的关键． 先用平方差公式对分母因式分解，然后约分化简，最后将、代入求值即可． 【规范解答】解： ； 当，时，原式． 【变式】（25-26八年级上·江苏南通·月考）综合与实践：探究代数式的 “奥秘”． x 1 2 3 2 观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题： (1)补全上面表格中的数据； (2)已知当和时，分式的值相等，则___________． (3)试说明的值一定不小于2． 【答案】(1)；；2； (2)或或或 (3)见解析 【思路引导】本题考查了分式的求值，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将，，，分别代入计算即可得解； （2）由表格中的规律可以看出，当和，相等、互为倒数，互为相反数、互为负倒数时，分式的值相等，由此计算即可得出结果； （3）结合完全平方公式计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）解：由表格中的规律可以看出，当和，相等、互为倒数、互为相反数、互为负倒数时，分式的值相等． ∴或或或， ∴或或或， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 综上所述，的值为或或或． （3）解：∵． ∴． 即的值一定不小于2． 题型讲练二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【例2】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【思路引导】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 【变式】由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【思路引导】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错． 【规范解答】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意； B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意； C选项， ∵c<−3， ∴3+c<0，c<0， ∴3(3+c)<0， ∴， ∴，故该选项符合题意； D选项，当c<0时， ∵3(3+c)的正负无法确定， ∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【考点剖析】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键． 题型讲练三 求使分式值为整数时未知数的整数值 【例3】（24-25七年级上·上海青浦·月考）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【思路引导】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 【变式】（24-25八年级下·河南周口·月考）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【思路引导】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【规范解答】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 题型讲练四 判断分式变形是否正确 【例4】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）对下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了分式性质：分子和分母同时除以或乘上同一个数（不为0），分式的值不变，据此逐项分析，即可作答． 【规范解答】A. ，不正确； B. ，不正确； C. ，不正确； D. ，正确． 故选：D． 【变式】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)分子、分母同时乘c (2)分子、分母同时除以x (3)分子、分母同时除以 【思路引导】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以c，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案； （3）根据分式的性质：分式的分子分母都除以，可得答案． 【规范解答】（1）解：，即分子、分母同时乘c； （2）解：，即分子、分母同时除以x； （3）解：， 即分子、分母同时除以． 题型讲练五 求使分式变形成立的条件 【例5】利用分式的基本性质填空：． 【答案】 【思路引导】根据平方差公式对等式左边进行因式分解，再根据分式的基本性质进行化简整理，得到，由分式的基本性质得，，最后运用整式乘法进行化简即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了平方差公式及分式基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式】将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据分式的基本性质求解．　　 【规范解答】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【考点剖析】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 题型讲练六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例6】（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查分式的性质，利用分式的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A. ，原选项变形不正确，则A不符合题意； B. ，原选项变形错误，则B不符合题意； C. ，变形正确，故选项C符合题意； D. ，原选项变形错误，则D不符合题意； 故选：C． 【变式】阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【思路引导】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【规范解答】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【考点剖析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 题型讲练七 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【例7】（25-26七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了分式的符号性质，掌握通过提取负号调整分子或分母的符号，使最高次项系数为正，同时保持分式值不变是解题的关键． （1）分母最高次项系数为负，将分母提取负号变形，同时调整分式符号，使分母最高次项系数为正； （2）先将分子、分母分别提取负号，使最高次项系数为正，再整理降幂排列． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （2）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （3）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （4）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【考点剖析】本题考查分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变． 题型讲练八 将分式的分子分母各项系数化为整数 【例8】不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 【答案】 【思路引导】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【规范解答】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 【变式】下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】C 【思路引导】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案． 【规范解答】解：A、分式的值为零，则x的值为−2，故此选项错误； B、根据分式的基本性质，等式（x≠0），故此选项错误； C、分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，故此选项正确； D、分式，原式不是最简分式，故此选项错误； 故选：C． 【考点剖析】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 题型讲练九 约分 【例9】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【答案】(1)， (2)不同意，理由见解析 (3)2 【思路引导】本题主要考查了分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）根据表格中的数据可得当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，据此可得结论； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：不同意，理由如下： 根据表格可知，当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 但是当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小， ∴不同意小茗同学的观点； （3）解：∵， ∴当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，则逐渐减小， ∴当x的值越大，的值越大，即此时值越小， ∴当x的值无限大时，分式的值无限趋近于一个数，这个数是2． 【变式】阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 【答案】(1) (2)0或1 (3)-1 【思路引导】（1）仿照题意求解即可； （2）先仿照题意求出，再根据分式的值为整数进行求解即可； （3）设，则，仿照题意得到原分式，据此仿照题意求解即可． 【规范解答】（1）解：设，则， ∴ ， ∴； （2）解：设，则， ∴ ， ∴， ∵的值为整数， ∴的值为±4或±2或±1， 又∵x为整数， ∴x的值为0或1； （3）解：设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，的最小值为2， ∴原分式的最大值为， 故答案为：-1． 【考点剖析】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 题型讲练十 最简分式 0（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下面是马小虎的答卷，他的得分应是（    ） 判断题（每小题分，共分） （1）代数式，是分式．（✔） （2）当时，分式无意义．（✔） （3）不是最简分式．（✗） （4）若分式的值为，则的值为．（✔） （5）分式中，的值均扩大为原来的倍，分式的值保持不变．（✗） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【思路引导】本题考查的是分式的定义，分式无意义，分式的值为的条件，分式的基本性质，最简分式的含义，熟记以上基本概念与性质是解本题的关键． 【规范解答】解：代数式是整式不是分式，故错误， 小马虎回答错误； 当时，分式的分母为， 当时，分式无意义 故正确， 小马虎回答正确； 的分子、分母没有公因式， 是最简分式， 故错误， 小马虎回答正确； 若分式的值为，则, 解得：， 故错误， 小马虎回答错误； 分式中，的值均扩大为原来的倍， 则新的分式为 分式的值扩大了倍， 故错误， 小马虎回答正确． 小马虎答对了道题，应得分分. 故选：B． 【变式】若，则下列分式化简正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，即分式的分子和分母都乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的大小不变，逐项分析判断即可即可求解． 【规范解答】解：A．是最简分式，不能化简，故A选项错误； B．是最简分式，不能化简，故B选项错误； C．是最简分式，不能化简，故C选项错误； D．，分子分母同时除以3，等式成立，故D选项正确； 故选：D． 题型讲练十一 最简公分母 【例11】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．分式中，都扩大倍，分式的值不变 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【思路引导】逐个分析选项的正确性，需要对每个选项所涉及的分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件是分母不为零、最简公分母的确定：确定几个分式的最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变；以及分式的正负性判断． 【规范解答】解：A、当时，分式有意义，故本选项说法错误，不符合题意； B、分式与的最简公分母是，故本选项说法错误，不符合题意； C、分式中，都扩大倍，分式的值扩大倍；故本选项说法错误，不符合题意； D、无论为何值，的值总为正数，说法正确，符合题意； 故选：D． 【考点剖析】此题主要考查分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式的基本性质以及分式值的正负性判断，解题的关键是熟知分式的特点与性质． 【变式】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【规范解答】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 题型讲练十二 通分 【例12】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下面是小林同学分式化简的过程，请认真阅读并完成下列问题． 第一步 第二步 第三步 第四步 (1)填空：①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______． ②以上化简步骤中，第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请计算该分式化简后的正确结果，然后在，，3三个数中选择一个合适的数作为的值，代入求值． 【答案】(1)①一；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变（分式的基本性质）；②三；括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号 (2)； 【思路引导】本题考查的是分式的基本性质，分式的混合运算． （1）①根据分式的基本性质即可作出判断；②根据去括号的法则即可作出判断； （2）根据分式的混合运算法则解答即可 【规范解答】（1）解：①一；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变（分式的基本性质）； ②三；括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； （2）解： ． 分母不为0， ，， 选择，当时，原式． 【变式】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程．请认真阅读并完成相应问题． 化简：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 第七步 (1)填空： ①以上化简步骤中，第_____________步进行的是分式的通分； ②第_________步开始出现错误； (2)请直接写出该分式化简后的正确结果； (3)化简：，然后从0，1，2中选择一个合适的致代入求值． 【答案】(1)①二；②四 (2) (3)化简结果为，当时，值为1；当时，值为 【思路引导】（1）①根据解题过程，找出分式的通分步骤； ②根据解答过程，找出错误步骤； （2）根据（1），写出正确解答过程； （3）先将1与通分，同时将小括号内的通分，再将它们的结果通分后化为最简，然后分式有意义的条件，确定可代入的字母的值，代入化简后的式子求值． 【规范解答】（1）①解：以上化简步骤中，第二步进行的是分式的通分； 故答案为：二． ②解：第四步开始出现错误； 故答案为：四． （2）解：原式 ； （3）解： ∵，， ∴，， ∴从0，1，2中选择，可选择1或2 当时，原式；当时，原式； 【考点剖析】本题考查了分式有意义的条件，通分，异分母分式加减法，分式化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 题型讲练十三 异分母分式加减法 【例13】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）【综合实践】分式与糖水浓度 在生活中，有这样的一种现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为__________，由糖水变淡可得不等式__________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为，由糖水变甜可得不等式． (1)【任务1】直接写出①“__________”处的内容： (2)【任务2】证明②中的不等式： (3)【任务3】请运用以上的结论证明： 若是三边的长，则． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）糖水的浓度等于糖的质量除以糖水的质量，据此可得第一空的答案；根据糖水变淡可知糖水的浓度变低，据此可得第二空的答案； （2）可求出，再证明即可证明结论； （3）由（2）可得，，，则可证明，根据，，，可证明． 【规范解答】（1）解：如果加入克水，糖水的浓度变为， 由糖水变淡可得不等式； （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴； 【变式】（25-26八年级下·山西临汾·月考）综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 【答案】(1)与互为“和常分式”，“和常值” (2)①；②或 (3) 【思路引导】（1）计算，观察结果是否为整数即可； （2）①根据，计算出的表达式即可；②对分式D进行化简得，故是的因数，由此得出的可能值； （3）根据分式的加法计算法则表示出，根据与互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可． 【规范解答】（1）解： 与互为“和常分式”． ∵，， ∴， “和常值”． （2）解：①∵与互为“和常分式”，且“和常值”， ∴． 两边同乘，得， ∴ ． ②． ∵分式的值为正整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或． （3）解：∵与互为“和常分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 题型讲练十四 整式与分式相加减 【例14】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)利用上面所提供的解法，请化简： (2)不计算近似值，利用上面提供的方法比较与的大小，并说明理由． (3)若，请用a的代数式表示______．（要求表示的代数式中不含根号） 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）根据题干中的计算方法进行解答即可； （2）计算两个数的倒数的值，再进行比较即可； （3）求出，和已知条件相加即可求出答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式】（25-26八年级上·江西宜春·月考）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）．如：；再如：． 解决下列问题： (1)分式是___________分式（填“真”或“假”）； (2)请将假分式化为带分式的形式； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)整数x的值为，，0，2 【思路引导】本题考查了分式的次数与“真分式”“假分式”的定义，假分式化为带分式及分式值为整数的条件． （1）根据“真分式”的定义，分子次数<分母次数，分析分子、分母的次数即可判断； （2）仿照“假分数化带分数”的方法，将分子拆分为“含分母的项”+“剩余项”，再拆分分式即可； （3）先将假分式化为带分式，再分析“真分式部分为整数”的条件，最终根据所求式子求解x的值即可． 【规范解答】（1）解：分式中分子次数为0，分母次数为1，分子次数小于分母次数，故为真分式， 故答案为：真． （2）解：． （3）解：， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴为整数， ∴是3的因数，即或， 解得：，，2，， 即整数x的值为，，0，2． 题型讲练十五 已知分式恒等式，确定分子或分母 【例15】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知其中，为常数，求的值． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了分式的加减，解二元一次方程组，熟练掌握异分母的分式相减的法则是解决此题的关键．根据分式的加减，先通分，转化为同分母的分式相减，将其相减后，与等号的右边对比，列出关于、的二元一次方程组，求出、的值，将其代入计算即可． 【规范解答】解：将等式的左边相减，得：， 根据左右两边相等，可得：， 解得： ． 【变式】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）先阅读下列解法，再解答后面的问题． 已知，求、的值． 解法一：将等号右边通分，再去分母，得：， 即：， ，解得：， 解法二：在已知等式中取，有，整理得； 取，有，整理得． 解，解得． (1)已知，用上面的解法一或解法二求、的值． (2)计算：，并求取何整数时，这个式子的值为正整数． 【答案】(1) (2)当x取时，这个式子的值为正整数． 【思路引导】（1）仿照示例解答即可； （2）先将括号内的每一项拆分成两项的差的形式，再利用分式的加减法与乘法运算运算法则化简可得，然后根据整数性质求出x符合条件的整数的值即可． 【规范解答】（1）解：解法一： 将等号右边通分，再去分母，得：， 即：， ，解得：， 解法二： 在已知等式中取，有，整理得； 取，有，整理得． 解，解得． （2）解：， ， ， ， ， ， 要使为正整数，则整数的所有可能取值为，即整数的所有可能取值为， 经检验，当x取时，分式的分母均不为零， 故当x取时，这个式子的值为正整数． 题型讲练十六 分式加减混合运算 【例16】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)，求x； (3)因式分解： (4) 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【思路引导】本题主要考查实数的运算、提公因式法与公式法、分式的加减的综合运用，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据实数的运算法则计算即可解答； （2）整理后，利用平方根的性质求解即可； （3）先提取公因式2后，再根据完全平方公式继续因式分解即可得到结果； （4）先通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：整理得， 解得； （3）解： ； （4）解： ． 【变式】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有或为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：，因为，所以A，B互为关于的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为关于的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①与；___________ ②与；___________ ③与；___________ (2)若关于的代数式，，A，互为关于的“关联代数式”，求的值； (3)若关于的代数式，，A，B互为关于的“关联代数式”，且满足，求此时的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)2090 (3) 【思路引导】（1）根据互为关于的“关联代数式”的定义判断即可； （2）计算，，根据A，互为关于的“关联代数式”得到，即，将化为，即可求解； （3）由得到，另，，根据A，B互为关于的“关联代数式”得到为定值或为定值，分两种情况讨论：①当为定值时，，，得到，不合题意，舍去．②当为定值时，，，得到，则，根据平方差公式即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵，为定值 ∴与互为关于x的“关联代数式”． ②∵ ， 它们都不是定值， ∴与不是互为关于x的“关联代数式”． ③∵，为定值， ∴与互为关于x的“关联代数式”． 故答案为：①√；②×；③√． （2）解：∵，， ∴ ， ∵A，互为关于的“关联代数式”，且无论a，b取何值，都不为定值， ∴为定值， ∴， ∴ ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵A，B互为关于的“关联代数式”， ∴为定值或为定值， ①当为定值时，，， ∴， 不合题意，舍去． ②当为定值时，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为． 【考点剖析】本题考查分式的运算，整式的运算，平方差公式，完全平方公式，整式的运算中无关型，代数式求值，理解关于的“关联代数式”的定义是解题的关键． 题型讲练十七 分式加减的实际应用 【例17】（25-26八年级下·福建泉州·期中）综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 【答案】(1)①，；②，； (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据浓度公式即可得到答案； （2）先求出 ，再证明，即可得到结论； （3）由（1）得到，，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：①根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变淡，可以得到不等式① ②根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变甜，可以得到不等式②； （2）证明： 当，，时，，，， ， ，即， ； （3）证明： ，，， 由（1）得，，， ， ， ； ，，， ， ， ， ． 【变式】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【思路引导】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【规范解答】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 题型讲练十八 分式加减乘除混合运算 【例18】计算： 【答案】 【思路引导】先对括号里的进行通分，再通过平方差公式和提公因式法对分式进行因式分解，然后进行约分化简，再将除法转化为乘法，再次约分化简即可． 【规范解答】 解：原式 ． 【变式】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）定义：，其中n为正整数，，记：，例：，则．下列说法正确的有（    ）个： ①； ②； ③记，若，则； ④将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到，…，以此类推，则坐标为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了代数式的运算以及平移的坐标变化规律，正确地化简题干给出的两个定义是本题解题的关键． 对进行化简，再根据等差数列求和求解； ①直接代入移项即可得到； ②将和代入计算即可； ③先化简，再代入求的代数式，最后根据等式求解的取值范围即可； ④先求的代数式，进而求解的横纵坐标的代数式，代入求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ， ①， ∴， 故①正确； ②， 故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵且， ∴， 故③正确； ④， ∴的横坐标为：，的纵坐标为： ∴的坐标为：， 故④错误； 综上所述，正确的个数有3个． 故选：C． 题型讲练十九 分式化简求值 【例19】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 【答案】，当时，原式 【思路引导】先把小括号内的式子通分，然后因式分解后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定m的值，然后代入求解． 【规范解答】解： ， ∵，， ∴，， ∵从0，1，2中选一个恰当的数 ∴当时，原式． 【变式】（25-26九年级上·山东烟台·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 【答案】(1)①③④ (2)①；② 【思路引导】本题考查了新定义的意义，整式、分式的化简求值以及二次函数的最值求法． （1）根据新定义的“对称式”的定义进行判断，作出选择； （2）已知，则，， ①，，利用整式变形可求出的值； ②时，即，由可以求出的最大值． 【规范解答】（1）解：根据“对称式”的定义，式子①，③，④，属于对称式， 故答案为：①③④． （2）解：∵， ∴，， ①当，时，即，， ∴； ②当时，即， ， ∴对称式的最大值为． 题型讲练二十 分式最值 【例20】（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； (2)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙（墙足够长），其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形生物园的宽为多少米时，所用的篱笆的总长度最短？最短为多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)时，代数式取最大值，最大值为． 【思路引导】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解． （1）根据例题，可得，故当且仅当时，代数式取到最小值，最小值为6，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得代数式解析式为，根据例题，即可获得答案； （3）将原代数式变形为，由取最小值，即可确定取何值时， 取到最大值，并求得最大值． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设这个矩形的宽为米，篱笆长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形生物园，则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，代数式有最小值，最小值为40， ∴宽为10米，为20米时，所用的篱笆最短，篱笆的最短长度是40米； （3）解：∵， ∴， 又∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为4， ∴此时有最大值，最大值为， ∴时，代数式取最大值，最大值为． 【变式】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)小滨的说法正确，理由见解析 (2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值 【思路引导】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论； （2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论． 【规范解答】（1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确； （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ； ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值； 满足题意的式子可以为，证明如下： ； （ii） ； ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值． 题型讲练二十一 根据分式方程解的情况求值 【例21】（23-24八年级上·重庆大足·期末）关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【思路引导】先解关于x的不等式组，根据其有解，得到；再解关于x的分式方程，得到当时，方程的解为，由分式方程有整数解，a为整数，得到或，求和即可，注意是方程的增根，要排除． 【规范解答】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 关于x的不等式组有解， ，即． 分式方程， 去分母得：， 整理得：， ∵，∴方程的解为， ， ，解得， 关于x的分式方程有整数解，a为整数， 或， （舍去）或或或（舍去）， 满足条件的所有整数a的和为． 【变式】．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2) (3) 【思路引导】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【规范解答】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 题型讲练二十二 分式方程无解问题 【例22】（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的分式方程 无解，则________ 【答案】5 【思路引导】先把分式方程化为整式方程得到，由于关于的分式方程无解，即可求解． 【规范解答】解：， 去分母，得， ． 关于的分式方程无解， 当时，原方程无意义， ∴． 【变式】（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①___________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)①；②1 (3)或 【思路引导】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）①由与互为“关联分式”、，得，求出；②将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【规范解答】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：①∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； ②当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 【考点剖析】本题以“关联分式”新定义为载体，融合分式加减运算、分式化简求值、分式方程无解的分类讨论，考查代数运算能力与逻辑推理能力，体现分类讨论的核心数学思想． 题型讲练二十三 列分式方程 【例23】（25-26八年级上·河南信阳·期末）唐代诗人李白在《早发白帝城》中写下“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”，生动描绘了长江水道的迅疾．假设从白帝城（今重庆奉节）到江陵（今湖北荆州）的水路全程约600里，船在静水中的速度为v里/时，水流速度为10里/时．若船从江陵逆水返回白帝城比从白帝城顺水到江陵多用6小时，根据题意列出的分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了列分式方程． 先明确顺水、逆水速度的计算公式，再根据“逆水行驶时间-顺水行驶时间小时”的等量关系列方程即可． 【规范解答】解：∵顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水速度=船在静水中的速度-水流速度， ∴顺水速度为里/时，逆水速度为里/时， ∵时间=路程÷速度， ∴顺水行驶时间为小时，逆水行驶时间为小时， 又∵逆水返回比顺水到江陵多用6小时， ∴可列方程：． 故选：B． 【变式】（25-26八年级上·上海普陀·期末）小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为，根据题意，为求解，以下列出的方程中正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【思路引导】理财产品的收益率x为年化收益率，返还金额为未来值，需折现为现值后与本金相等． 本题考查了收益率，熟练掌握定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵ 返还金额5110元和5250元分别发生在1年后和2年后，其现值需用折现， ∴ 1年后返还的现值为，2年后返还的现值为，现值之和应等于本金10000元， ∴ ， 故选：D． 题型讲练二十四 分式方程的行程问题 【例24】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量： 油价：8元 电价：元 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用________元． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】(1) (2)燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元 (3)每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低 【思路引导】（1）根据表格进行求解即可； （2）根据“燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可； （3）设每年行驶的里程为m千米，根据“新能源车的年费用更低”建立不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为（元）； （2）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ，， ∴燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； （3）解：设每年行驶的里程为m千米， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 【变式】（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间=路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； （3）根据“朝阳号”行30米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 题型讲练二十五 分式方程的工程问题 【例25】（25-26八年级下·广西南宁·月考）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的倍．若甲工程队单独做天后，再由乙工程队单独做天，恰好完成该工程的，此时施工费用为万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多万元． (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需要多少天？ (2)甲、乙两工程队每天的施工费用各为多少万元？ 【答案】(1)甲、乙两工程队各需要天和天 (2)甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元 【思路引导】本题主要考查分式方程的应用（工程问题）和一元一次方程的应用（费用问题）． （1）根据“工作总量=工作效率×工作时间”建立等量关系，通过设未知数求解甲、乙两工程队单独完成工程的时间． （2）根据“总费用=每天费用×天数”建立等量关系，求解甲、乙两工程队每天的施工费用． 【规范解答】（1）解：设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为天，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的根， 则（天）， 答：甲、乙两工程队各需要天和天； （2）解：设甲工程队每天的施工费为万元，则乙工程队每天的施工费为万元， 根据题意得：， 解得：， 则（万元）， 答：甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元． 【变式】（25-26八年级上·全国·周测）在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择．若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成；若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的1.5倍；若甲、乙两个工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要5天． (1)乙工程队单独完成此项工程需要多少天？ (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是7000元，乙工程队每天的施工费用是4000元．为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少？ 【答案】(1)乙工程队单独完成此项工程需要天 (2)打通这条隧道的施工费用是元 【思路引导】（1）关键描述语是：“需要的天数是甲工程队的倍”；利用余下的任务甲工程队单独完成仍需要天条件列出等量关系式； （2）根据题意得出打通这条隧道的施工费用即可． 【规范解答】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要天． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ， 故乙工程队单独完成此项工程需要天． （2）解：甲、乙两个工程队合作完成，需要（天）， （元）， 故打通这条隧道的施工费用是元． 【考点剖析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用． 题型讲练二十六 分式方程的经济问题 【例26】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克（平均价）． (1)任务若，，求千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价； (2)任务：在任务的前提下，商店要使什锦糖的价格降低元，则需加入哪一种糖，多少千克？ (3)任务：现有甲、乙两种什锦糖，均由、两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的，两种糖混合而成，乙种什锦糖由相同总价的，两种糖混合而成，请比较甲、乙两种什锦糖的单价． 【答案】(1)混合什锦糖的单价为元千克； (2)需加入A种糖，加入千克； (3)当时，甲种什锦糖的单价较高；当时，甲、乙两种什锦糖单价相等． 【思路引导】（）直接代入题目给出的什锦糖单价公式计算即可； （）分加入种糖、加入种糖两种情况，根据降价要求列分式方程，舍去不合题意的解后得到结论； （）分别表示出甲、乙两种什锦糖的单价，用初中作差法比较大小得到结论． 【规范解答】（1）解：∵，，，， ∴代入得（元千克）， 答：千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克； （2）解：设加入千克种糖， 根据题意得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意； 若加入千克种糖， 根据题意得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解，但质量不能为负，不符合题意，舍去， 答：需加入种糖，加入千克； （3）解：设甲种什锦糖中两种糖的质量都为千克（），则甲的单价为，设乙种什锦糖中两种糖的总价都为元（），则的质量为千克，的质量为千克，乙的单价为， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当时，，即，甲种什锦糖单价较高； 当时，，即，两种什锦糖单价相等． 【变式】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为am，其中． (1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【思路引导】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【考点剖析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 题型讲练二十七 分式方程和差倍分问题 【例27】（25-26八年级上·陕西延安·期末）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】充电费和燃油费均为100元时，电动汽车行驶总路程=燃油汽车行驶总路程×3，据此列方程即可. 【规范解答】解：设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元， ∵电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元， ∴燃油汽车平均每千米的加油费为元， ∵路程=总费用÷每千米费用，总费用均为100元， ∴电动汽车可行驶总路程为，燃油汽车可行驶总路程为， 又∵电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍， ∴． 【变式】（23-24八年级下·四川宜宾·月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式方程方程是应用，设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为，根据“2月下旬A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的”列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售量，即可解答． 【规范解答】解：设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬，B主题大礼包售价为，C主题大礼包售价为，A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为， 根据题意，得， 解得， ∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售额分别为，， ∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售之比为． 故答案为：． 题型讲练二十八 分式方程的其它实际问题 【例28】（25-26八年级上·河南开封·期末）我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元，若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每公里充电费用是多少? 【答案】 元 【思路引导】本题考查了分式方程与实际问题，关键是找到相等关系列方程；设这款电动汽车平均每公里充电费用是元，根据电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，列方程求解即可． 【规范解答】解：设这款电动汽车平均每公里充电费用是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 答：这款电动汽车平均每公里充电费用是元． 【变式】（24-25八年级上·浙江台州·期末）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【思路引导】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【考点剖析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．骑车的速度恒定，步行的速度也恒定．从家到学校的往返行程，当他骑车时，他需要20分钟，当他步行时，他需要60分钟．昨天，开始时骑自行车去学校，但中途停了下来，把自行车留在了家，接下来的行程都是步行．在回来的路上，他走到家，取回自行车，然后骑着自行车回家．他整个的行程用时52分钟．问整个行程的几分之几是在骑车？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】B 【思路引导】根据已知条件求出骑车和步行的速度关系，再结合全程花费的时间，通过设未知数，利用路程、速度和时间的关系列出方程求解． 【规范解答】解：设从家到学校的路程为S，骑车速度为，步行速度为， ∴，， 则，， ∴， 设骑自行车所走的路程为x，则步行的路程为， ∴， ∴， 则， 整理得：， 解得：， ∴， ∴整个行程的，是在骑车． 2．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【思路引导】先解分式方程，用含的代数式表示，再根据方程的解为正数且分母不为零，列不等式求解的取值范围． 【规范解答】解：给方程两边同乘去分母，得 ， 整理得， 解得． ∵方程的解为正数，且分式方程分母不能为零， ∴ 解第一个不等式得，解第二个不等式得， ∴的取值范围是且． 3．（25-26八年级下·重庆·月考）已知整式．其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式、中，不存在； ②满足条件的所有整式、中，整式共有3种结果不同的单项式： ③满足条件的所有整式、中，若，则有6种不同结果的整式． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】根据题意，列出所有的情况，然后分别代入各式中逐一判断即可． 【规范解答】解：整式，其中为自然数，为正整数，且， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 整式．其中为自然数，为正整数，且， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当，时， ，故①不符合题意； 当，时， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， 当，时， ， 当，时， ， ∴有3个不同的单项式为，故②符合题意； ∵， ∴， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， 当，时， ， ∴若，则有5种不同结果的整式，故③不符合题意； 综上，符合题意的只有②，共个． 4．计算：______． 【答案】 【思路引导】先根据负整数指数幂的法则将原式转化为分式形式，再对分母因式分解，通分后合并分子，约分得到最终结果． 【规范解答】解： ． 5．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，则所列方程是________． 【答案】 【思路引导】设第一次买本资料，可表示出第二次购买的数量，根据单价等于总价除以数量得到两次的单价，再利用第二次每本比第一次优惠4元的等量关系列出方程． 【规范解答】解：设第一次买了本资料， 由题意可知，第二次购买资料的数量为本， 根据单价等于总价除以数量，可得第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元， ∵第二次每本优惠4元，即第一次单价比第二次单价多4元， ∴列方程得：． 6．（2026·福建泉州·一模）已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 【答案】 【思路引导】将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【规范解答】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴ 解得． 7．（25-26八年级下·重庆·期中）关于的不等式组有解且至多有个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是______． 【答案】0 【思路引导】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程，先解一元一次不等式组，可得到该不等式组的解集为，结合不等式组有解且至多有个整数解，可得，将分式方程变形得到，结合，可得，结合分式方程有整数解，可得或． 【规范解答】解： 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集为． 因为该不等式组有解且至多有个整数解， 所以． 解不等式组，得 ． 将变形，得 ． 当时， ． 根据题意可知 ，即，可得 ，即． 因为分式方程有整数解， 所以或． 所以或或或． 因为且， 所以或或． 所以满足条件的所有整数的和是． 8．（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算 (1)计算： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）把整式部分看作整体通分，利用平方差公式化简后合并分子，然后去括号进行计算； （2）按乘方、负指数幂、零次幂、开方的顺序分别计算，再合并． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元． (1)求、两款文件袋的单价； (2)一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋． 【答案】(1)款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元 (2)最少购进33个款文件袋 【思路引导】（1）先设款文件袋的单价为元，再根据题意列出分式方程，求解并检验即可解答； （2）先设购进款文件袋个，再根据题意列出不等式，最后解不等式，并结合为整数解答即可． 【规范解答】（1）解：设款文件袋的单价为元，则款文件袋的单价为元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：款文件袋的单价为24元，款文件袋的单价为28元． （2）解：设购进款文件袋个，则购进款文件袋个， 由题意得，， 解得，， 又 为整数， 的最小值为． 答：最少购进33个款文件袋． 10．（25-26八年级下·四川成都·期中）某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． (1)A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ (2)设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 【答案】(1)A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元 (2)最省钱的购进方案为购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元 【思路引导】（1）根据A、B单价的倍数关系设未知数，结合购买数量的差列分式方程，求解后检验即可得到单价； （2）先根据A种收纳箱数量的限制条件求出的取值范围，再根据优惠政策得到总费用关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应方案． 【规范解答】（1）解：设B种收纳箱的单价为元，则A种收纳箱的单价为元， 根据题意得 化简得 ，即 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意.， 则 答：A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元； （2）解：由题意得，购进A种收纳箱个，则购进B种收纳箱个， 根据题意得 解不等式①得：， 解不等式②得： ∵为正整数， ∴， ∵ ， ∴每个A种收纳箱售价为 元，B种收纳箱售价不变为40元， 总费用 ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值时，最小， 此时 ， （元） 答：最省钱的购进方案是购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第五章 分式与分式方程【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+28个题型讲练+真题实战练 共66题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型序列 题型名称 题型一 分式的求值 题型十五 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型十六 分式加减混合运算 题型三 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型十七 分式加减的实际应用 题型四 判断分式变形是否正确 题型十八 分式加减乘除混合运算 题型五 求使分式变形成立的条件 题型十九 分式化简求值 题型六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型二十 分式最值 题型七 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型二十一 根据分式方程解的情况求值 题型八 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型二十二 分式方程无解问题 题型九 约分 题型二十三 列分式方程 题型十 最简分式 题型二十四 分式方程的行程问题 题型十一 最简公分母 题型二十五 分式方程的工程问题 题型十二 通分 题型二十六 分式方程的经济问题 题型十三 异分母分式加减法 题型二十七 分式方程和差倍分问题 题型十四 整式与分式相加减 题型二十八 分式方程的其它实际问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 1. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式； 2. 分式有意义的条件：B≠0； 3. 分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 知识点二 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 知识点三 分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 【易错点拨】根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有 .分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点四 分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点五 分式通分（找最简公分母） 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式： 2.取各分母所有因式的最高次幂的积 知识点六 分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点七 分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点八 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是 单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点九 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 【易错点拨】 （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点十 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 知识点十一 零指数 a0=1 (a≠0) 知识点十二 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 知识点十三 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点十四 分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 分式的求值 【例1】（25-26八年级上·全国·期末）若，，则的值为__________． 【变式】（25-26八年级上·江苏南通·月考）综合与实践：探究代数式的 “奥秘”． x 1 2 3 2 观察表格中的数据，探究规律，并解决以下问题： (1)补全上面表格中的数据； (2)已知当和时，分式的值相等，则___________． (3)试说明的值一定不小于2． 题型讲练二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【例2】（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【变式】由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型讲练三 求使分式值为整数时未知数的整数值 【例3】（24-25七年级上·上海青浦·月考）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【变式】（24-25八年级下·河南周口·月考）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 题型讲练四 判断分式变形是否正确 【例4】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）对下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25八年级下·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1) ； (2)； (3)． 题型讲练五 求使分式变形成立的条件 【例5】利用分式的基本性质填空：． 【变式】将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 题型讲练六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例6】（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 题型讲练七 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【例7】（25-26七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【变式】（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型讲练八 将分式的分子分母各项系数化为整数 【例8】不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______． 【变式】下列说法正确的是（    ） A．分式的值为零，则的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 题型讲练九 约分 【例9】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【变式】阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 题型讲练十 最简分式 【例10】（25-26八年级上·河北石家庄·月考）下面是马小虎的答卷，他的得分应是（    ） 判断题（每小题分，共分） （1）代数式，是分式．（✔） （2）当时，分式无意义．（✔） （3）不是最简分式．（✗） （4）若分式的值为，则的值为．（✔） （5）分式中，的值均扩大为原来的倍，分式的值保持不变．（✗） A．分 B．分 C．分 D．分 【变式】若，则下列分式化简正确的是(  ) A． B． C． D． 题型讲练十一 最简公分母 【例11】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．分式中，都扩大倍，分式的值不变 D．无论为何值，的值总为正数 【变式】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 题型讲练十二 通分 【例12】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下面是小林同学分式化简的过程，请认真阅读并完成下列问题． 第一步 第二步 第三步 第四步 (1)填空：①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______． ②以上化简步骤中，第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请计算该分式化简后的正确结果，然后在，，3三个数中选择一个合适的数作为的值，代入求值． 【变式】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程．请认真阅读并完成相应问题． 化简：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 第七步 (1)填空： ①以上化简步骤中，第_____________步进行的是分式的通分； ②第_________步开始出现错误； (2)请直接写出该分式化简后的正确结果； (3)化简：，然后从0，1，2中选择一个合适的致代入求值． 题型讲练十三 异分母分式加减法 【例13】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）【综合实践】分式与糖水浓度 在生活中，有这样的一种现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为__________，由糖水变淡可得不等式__________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为，由糖水变甜可得不等式． (1)【任务1】直接写出①“__________”处的内容： (2)【任务2】证明②中的不等式： (3)【任务3】请运用以上的结论证明： 若是三边的长，则． 【变式】（25-26八年级下·山西临汾·月考）综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 题型讲练十四 整式与分式相加减 【例14】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)利用上面所提供的解法，请化简： (2)不计算近似值，利用上面提供的方法比较与的大小，并说明理由． (3)若，请用a的代数式表示______．（要求表示的代数式中不含根号） 【变式】（25-26八年级上·江西宜春·月考）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）．如：；再如：． 解决下列问题： (1)分式是___________分式（填“真”或“假”）； (2)请将假分式化为带分式的形式； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 题型讲练十五 已知分式恒等式，确定分子或分母 【例15】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知其中，为常数，求的值． 【变式】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）先阅读下列解法，再解答后面的问题． 已知，求、的值． 解法一：将等号右边通分，再去分母，得：， 即：， ，解得：， 解法二：在已知等式中取，有，整理得； 取，有，整理得． 解，解得． (1)已知，用上面的解法一或解法二求、的值． (2)计算：，并求取何整数时，这个式子的值为正整数． 题型讲练十六 分式加减混合运算 【例16】（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1) ； (2)，求x； (2) 因式分解： (4) 【变式】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有或为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：，因为，所以A，B互为关于的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为关于的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①与；___________ ②与；___________ ③与；___________ (2)若关于的代数式，，A，互为关于的“关联代数式”，求的值； (3)若关于的代数式，，A，B互为关于的“关联代数式”，且满足，求此时的值． 题型讲练十七 分式加减的实际应用 【例17】（25-26八年级下·福建泉州·期中）综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 【变式】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 题型讲练十八 分式加减乘除混合运算 【例18】计算： 【变式】（24-25八年级上·重庆北碚·期末）定义：，其中n为正整数，，记：，例：，则．下列说法正确的有（    ）个： ①； ②； ③记，若，则； ④将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到；将右移2个单位长度，上移个单位长度得到，…，以此类推，则坐标为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型讲练十九 分式化简求值 【例19】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 【变式】（25-26九年级上·山东烟台·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，…，含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①；②；③：④中，属于对称式的是 （填序号）； (2)已知． ①若，时，求对称式的值． ②若时，请直接写出对称式的最大值． 题型讲练二十 分式最值 【例20】（2025八年级上·福建福州·专题练习）已知为非负实数，， ，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； (2)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙（墙足够长），其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形生物园的宽为多少米时，所用的篱笆的总长度最短？最短为多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【变式】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 题型讲练二十一 根据分式方程解的情况求值 【例21】（23-24八年级上·重庆大足·期末）关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式】．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 题型讲练二十二 分式方程无解问题 【例22】（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于x的分式方程 无解，则________ 【变式】（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①___________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 题型讲练二十三 列分式方程 【例23】（25-26八年级上·河南信阳·期末）唐代诗人李白在《早发白帝城》中写下“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”，生动描绘了长江水道的迅疾．假设从白帝城（今重庆奉节）到江陵（今湖北荆州）的水路全程约600里，船在静水中的速度为v里/时，水流速度为10里/时．若船从江陵逆水返回白帝城比从白帝城顺水到江陵多用6小时，根据题意列出的分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·上海普陀·期末）小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为，根据题意，为求解，以下列出的方程中正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 题型讲练二十四 分式方程的行程问题 【例24】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）“买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量： 油价：8元 电价：元 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用________元． (2)分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【变式】（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 题型讲练二十五 分式方程的工程问题 【例25】（25-26八年级下·广西南宁·月考）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的倍．若甲工程队单独做天后，再由乙工程队单独做天，恰好完成该工程的，此时施工费用为万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多万元． (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需要多少天？ (2)甲、乙两工程队每天的施工费用各为多少万元？ 【变式】（25-26八年级上·全国·周测）在某段高速公路修建中，需要打通一条隧道，施工方有两个工程队可供选择．若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成；若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的1.5倍；若甲、乙两个工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需要5天． (1)乙工程队单独完成此项工程需要多少天？ (2)经过预算，甲工程队每天的施工费用是7000元，乙工程队每天的施工费用是4000元．为了尽可能缩短施工时间，施工方打算让两个工程队合作完成，打通这条隧道的施工费用是多少？ 题型讲练二十六 分式方程的经济问题 【例26】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克（平均价）． (1)任务若，，求千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价； (2)任务：在任务的前提下，商店要使什锦糖的价格降低元，则需加入哪一种糖，多少千克？ (3)任务：现有甲、乙两种什锦糖，均由、两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的，两种糖混合而成，乙种什锦糖由相同总价的，两种糖混合而成，请比较甲、乙两种什锦糖的单价． 【变式】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为am，其中． (1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 题型讲练二十七 分式方程和差倍分问题 【例27】（25-26八年级上·陕西延安·期末）我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油汽车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和燃油费均为100元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每千米的充电费用是元，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式】（23-24八年级下·四川宜宾·月考）二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为_____． 题型讲练二十八 分式方程的其它实际问题 【例28】（25-26八年级上·河南开封·期末）我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少元，若充电费和燃油费均为元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的倍，求这款电动汽车平均每公里充电费用是多少? 【变式】（24-25八年级上·浙江台州·期末）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．骑车的速度恒定，步行的速度也恒定．从家到学校的往返行程，当他骑车时，他需要20分钟，当他步行时，他需要60分钟．昨天，开始时骑自行车去学校，但中途停了下来，把自行车留在了家，接下来的行程都是步行．在回来的路上，他走到家，取回自行车，然后骑着自行车回家．他整个的行程用时52分钟．问整个行程的几分之几是在骑车？（   ） A． B． C． D． E． 2．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 3．（25-26八年级下·重庆·月考）已知整式．其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式、中，不存在； ②满足条件的所有整式、中，整式共有3种结果不同的单项式： ③满足条件的所有整式、中，若，则有6种不同结果的整式． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．计算：______． 5．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x本资料，则所列方程是________． 6．（2026·福建泉州·一模）已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 7．（25-26八年级下·重庆·期中）关于的不等式组有解且至多有个整数解，关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和是______． 8．（25-26八年级下·河南南阳·期中）计算 (1)计算： (2)计算： 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）某文具店计划购进、两种文件袋，购进款共用960元，购进款共用1680元．款数量是款的1.5倍，款的单价比款贵4元． (1)求、两款文件袋的单价； (2)一共再购买两款文件袋共65个，总费用不超过1690元，求最少购进多少个款文件袋． 10．（25-26八年级下·四川成都·期中）某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． (1)A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ (2)设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $