精品解析：2026年3月黑龙江绥化海伦市九校联考九年级数学试题

2026年九年级一模数学试卷 考生注意： 1.考试时间120分钟． 2.本试题共三道大题，28个小题，总分120分． 3.所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内． 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 据统计，截至2025年中国现存且处于存续状态的人工智能相关企业已超过424300万家．424300万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：424300万，   故选：D ． 3. 如图所示的移动台阶，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对简单组合体的观察，从前、上、左、右等几个方面想象出相应的视图即可． 【详解】A是从上面看到的图形， B是从前面看到的图形， C是从右面看到的图形 D是从左面看到的图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图．解答此题要注意进行观察和思考，既要丰富的数学知识，又要有一定的生活经验和空间想象力． 4. 如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，可得，由，可得，进而可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方，求一个数的算术平方根，完全平方公式，负整数指数幂，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了积的乘方，求一个数的算术平方根，完全平方公式，负整数指数幂，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6. 在中，，，垂足，，的周长是，那么的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，再利用相似三角形周长比等于相似比求解即可. 【详解】解：作图如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴， 根据相似三角形周长比等于相似比， 可得， ∵，， ∴. 7. 菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：31，29，31，29，31，32，则对这组数据下列说法正确的是（ ） A. 平均数是30岁 B. 众数是29岁 C. 中位数是31岁 D. 方差是4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、方差和平均数，根据众数、中位数、方差和平均数定义即可求解，掌握众数、中位数、方差和平均数的定义是解题的关键． 【详解】解：在数据31，29，31，29，31，32中， 首先将数据从小到大排列：29，29，31，31，31，32． 中位数计算：由于有6个数据，中位数是第3和第4个数的平均值，即．选项C说法正确，符合题意； 众数计算：出现次数最多的数是31，出现了3次．选项B说法错误，不合题意； 平均数计算：平均数为，选项A说法错误，不符合题意； 方差计算：．选项D说法错误，不合题意． 故选：C． 8. 如图，菱形ABCD中，AB=2，，则菱形ABCD的面积是（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得出∠ADC=∠ABC=120°，∠BAD=60°，∠ABD=∠ADB=60°=∠BAD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，得出△ABD是等边三角形，得出BD=AB=2，OB=1，OA=OB=，求出AC=2OA=2，由菱形面积公式即可得出结果． 【详解】解：∵菱形ABCD中，∠ABC=120°， ∴∠ADC=∠ABC=120°，∠BAD=60°，∠ABD=∠ADB=60°=∠BAD，AC⊥BD，OA=OC OB=OD， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=2， ∴OB=1，OA=OB=， ∴AC=2OA=， ∴菱形ABCD的面积=AC×BD=××2=； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，求出两条对角线的长是解题的关键． 9. 若圆锥的底面直径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知圆锥底面圆的半径可求出侧面展开图的弧长，根据侧面展开图的面积即可求解． 【详解】如图所示， ∵圆锥的底面直径为， ∴圆锥的底面半径为 ∴圆锥的底面圆周长是， ∵侧面展开图的面积为， ∴侧面展开图的面积， ∴圆锥的母线长为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的面积，理解掌握面积公式的计算方法是解题的关键． 10. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．从而列方程即可． 【详解】解：设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，根据题意得： ． 故选B． 11. 如图，在中，，反比例函数图象与斜边相交于点C，且与边相交于点D．已知，则的面积为（ ）． A. 3 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，设出，的坐标，求出和的面积，利用平行线的性质得出，利用相似三角形的性质求出的面积，用的面积减去的面积，结论可得． 【详解】过点作于点，如图： 设，， ，在第二象限， ，，，． ，，，． ，在反比例函数的图象上， ． ，． ，， ． ． ． ， ． ． ． ． 12. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，，与轴交点的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论： ①； ②； ③若且，则； ④直线与抛物线的一个交点，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由于抛物线与轴交于，，因而设抛物线的解析式为，于是可得，，进而可得，再结合，即可判断结论①；令，则，于是可得抛物线与轴交点的坐标为，由于抛物线与轴交点的纵坐标在与之间，因而，进而可得，根据不等式的性质可得，由此即可判断结论②；由可得，进而可得，分解因式，可得，结合，可得，由此即可判断结论③；令相等，则，进而可得，解方程即可求出的值，于是可得的值，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：抛物线与轴交于，， 设抛物线的解析式为： ， ，， ， ，故结论①正确； 令，则， 抛物线与轴交点的坐标为， 抛物线与轴交点的纵坐标在与之间， ， ， ， ，故结论②正确； ， ， ， ， 又， ， ，故结论③错误； 令相等，则， ， 解得：（不符合题意，故舍去），， ，故结论④正确； 综上，正确的结论有：，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，综合提公因式和公式法分解因式，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算乘方，化简绝对值与二次根式，再合并同类二次根式得到结果． 【详解】解： ． 14. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负数，分式分母不为0，列不等式组求解即可． 【详解】解：式子有意义 解不等式，移项得，系数化为得． 解不等式，得． 综上，的取值范围是且． 15. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 16. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______． 【答案】24 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，整体代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， 由根与系数的关系得：，， ． 17. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则，将分子、分母因式分解，约分后即可求解，本题考查了分式的混合运算，因式分解，解题的关键是：熟练掌握分式的加减混合运算法则． 【详解】解： ， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中， 已知点， 以原点 O为位似中心，相似比为 ， 把缩小，则点A的对应点的坐标是____________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了利用位似求对应点的坐标，利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或，求出结果即可． 【详解】解：点， 以原点 O为位似中心，相似比为 ， 把缩小，则点A的对应点的坐标是或， 故答案为：或． 19. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，） 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则， 由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， ， 故答案为：17． 20. 如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题，涉及轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识． 连接，得到，过点D作，且，连接， 因此．连接，证明，即，根据勾股定理，在中，得到，在中，得到，即可得到的最小值是5． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，点B与点D关于对角线对称， ∴， 过点D作，且，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 连接， ∵在正方形中，， ∴，即， ∵在正方形中，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴的最小值是5． 故答案为：5 21. 如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：正方形顶点M的坐标为， , 是等边三角形，点B坐标是， 等边三角形高为， 由题知， 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 继续滚动有，的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是； 的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组， ， 的坐标与的坐标一样为， 故答案为：． 22. 在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点B的对应点落在直线上，连接，则的长度为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】延长，过点作交于点E，证明 ，求出，，结合勾股定理求解即可得到答案；画出图形，连接，，先用勾股定理求出，再利用两边对应成比例且夹角相等证明即可求出答案； 【详解】解：延长，过点作交于点E， ∵矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，，，， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴， ∴， 如图所示，连接，， ∵矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质，解题的关键在于根据题目要求画出旋转后的图形，再连接相应的线段，证明三角形相似，利用勾股定理和相似三角形的性质求出线段的长． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 已知矩形中，为边上一点，连接，，为上一点，且． （1）如图，作，满足圆心在上，且经过点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）的条件下，如图，若点在上，求证：． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）连接，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长度为半径画圆即可； （）连接，利用圆周角定理和矩形的性质可证，可得，又由平行线的性质得，即得，进而即可求证． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，圆周角定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 24. 3月14日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．（表示大于等于50分，同时小于60分，以此类推） （1）______，______，补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为______； （3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1），，见解析 （2） （3）见解析， 【解析】 【分析】（）用频数分布直方图中的频数除以扇形统计图中的百分比可得的值；用频数分布直方图中的频数除以再乘以可得，即可得的值；求出测试成绩为（含100分）的人数，补全频数分布直方图即可． （）用乘以“”的人数所占的百分比，即可得出答案； （）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案； 【小问1详解】 解：， ， ∴； 测试成绩为（含分）的人数为（人）， 补全频数分布直方图如图所示， 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有：甲乙、乙甲，共种， ∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为． 25. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，共有几种建造方案，哪种方案所建造费用最省，最省费用为多少万元？ （3）现有甲乙两种型号的电动车，甲车从A地匀速驶向相距的B地，乙车比甲车晚出发20从B地驶往A地，途中在C地休息了20，然后比之前提高了的速度行驶，在甲车到达B地后，又过了40乙才到达A地．甲，乙两车距B地的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题： ①甲车的速度是______，______； ②乙车出发______小时，两车相距55． 【答案】（1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元 （2）共有4种建造方案，其中方案④：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩，所建造费用最省，最省费用为16万元 （3）①，150；②或 【解析】 【分析】（1）设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，由题意列出关于的一元一次不等式组并求解，结合，为整数即可确定建造方案，并分别计算各建造方案所需费用，比较即可获得答案； （3）①根据“速度路程时间”，即可计算甲车的速度，并结合图像计算的值； ②首先确定甲车行驶的函数关系式以及乙车在段的函数关系式，然后分相遇前两车相距和相遇后两车相距，分别求解即可． 【小问1详解】 解：设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元， 依题意得，，解得， 答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元． 【小问2详解】 解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得， 解得， ∴整数的值为17，18，19，20， ∴一共有4种方案，分别为： 方案①：新建17个地上充电桩，43个地下充电桩， 总费用万元； 方案②：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩， 总费用为万元； 方案③：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩， 总费用为万元； 方案④：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩， 总费用为万元． ∵， ∴综上所述，共有4种建造方案，其中方案④：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩，所建造费用最省，最省费用为16万元． 【小问3详解】 解：①根据题意，甲车从A地用了4小时行驶到了B地，且A、B两地相距， ∴甲车速度为， ∴； ②如下图， 根据题意可知，， 设直线的解析式为，将点代入， 可得，解得， ∴甲车行驶的函数关系式为， ∵， ∴乙车在段的行驶速度为， ∴途中在C地休息了20后，其行驶速度为， 又∵乙车在段经过点， 可设直线的解析式为，将点代入， 可得，解得， ∴直线的函数关系式为， ∵乙车在甲车到达B地后，又过了40乙才到达A地， 可设点的横坐标为，则点的横坐标为， ∴， 解得，即， 分两种情况讨论：当相遇前两车相距， 则有，解得； 当相遇后两车相距， 则有，解得， ∵，符合题意， ∴， ∴乙车出发或小时，两车相距． 26. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点与交于点，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）15 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出，再证出，即，即可得出是的切线；； （2）连接，证明，得，可得，在中，根据，计算即可． 【小问1详解】 证明：如图1中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∵的半径为10，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题． 27. 某数学兴趣小组在学完《特殊的平行四边形》一章后，对特殊平行四边形进行了探究，探究过程如下： 【特例感知】 如图1，在正方形中，是对角线上一点，满足，过点作交延长线于点，是线段上一点，是射线上一点，．求证：． 【深入理解】 如图2，在菱形中，点，分别在射线和射线上，满足，点，分别在线段和线段上，．探究和之间的数量关系，并说明理由． 【感悟应用】 如图3，将【特例感知】中的“正方形”更换为“矩形”，其他条件保持不变．若，，当点在直线上时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质结合垂线的定义得，再根据可得，结合证明，即可证明结论； （2），根据菱形的性质可得，，再结合，利用等边对等角可得，由三角形内角和定理可证，根据可得，证明，即可证明结论； （3）同理（1）（2）可得：，易证是等腰三角形，推出，设，则，，求出，利用勾股定理求出；证明，利用相似三角形的性质求出，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）如图，点在直线上， 同理（1）（2）可得：， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形，矩形，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，两点，交y轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中线段取得最大值的条件下，将该抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到如图2所示的抛物线，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使四边形为菱形，求出点N的坐标． 【答案】（1）； （2）的最大值为，此时； （3）满足题意的N点坐标为或或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交轴于点，交直线于点，设，则，先根据题意求得的的长，再根据三角函数的定义，进而利用二次函数的性质可求解； （3）根据平移性质和菱形的性质分、、分别为对角线三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于点，两点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴设抛物线解析式为， 即； 【小问2详解】 解：∵点，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴交轴于点，交直线于点， 设，则，∴， ∵，轴， ∴，∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值，最大值为， 此时； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， 由题意得抛物线的对称轴为直线， ∵，， 设，， ∴， 当为对角线时，则， ∴，解得， ∴点N坐标为； 当或为对角线时，或， 则或， 解得或， ∴点N坐标为或或或， 综上，满足题意的N点坐标为或或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、菱形的性质、解直角三角形等知识，注意分类讨论和数形结合思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级一模数学试卷 考生注意： 1.考试时间120分钟． 2.本试题共三道大题，28个小题，总分120分． 3.所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内． 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，截至2025年中国现存且处于存续状态的人工智能相关企业已超过424300万家．424300万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的移动台阶，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，垂足，，的周长是，那么的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：31，29，31，29，31，32，则对这组数据下列说法正确的是（ ） A. 平均数是30岁 B. 众数是29岁 C. 中位数是31岁 D. 方差是4 8. 如图，菱形ABCD中，AB=2，，则菱形ABCD的面积是（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 9. 若圆锥的底面直径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（ ） A B. C. D. 10. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为 A. B. C. D. 11. 如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点C，且与边相交于点D．已知，则的面积为（ ）． A. 3 B. C. D. 2 12. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，，，与轴交点的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论： ①； ②； ③若且，则； ④直线与抛物线的一个交点，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13 ______． 14. 要使式子有意义，则x的取值范围是______． 15. 因式分解：______． 16. 已知，是一元二次方程两个实数根，则代数式的值为______． 17. 化简：______． 18. 在平面直角坐标系中， 已知点， 以原点 O为位似中心，相似比为 ， 把缩小，则点A的对应点的坐标是____________ 19. 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为，再将无人机沿教学楼方向水平飞行至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为，则教学楼的高度约为________m．（精确到，参考数据：，，） 20. 如图，在正方形中，，点、是对角线上的两个动点，且，连接、，则的最小值是_______． 21. 如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是________． 22. 在矩形中，，，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，点B的对应点落在直线上，连接，则的长度为__________． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 已知矩形中，为边上一点，连接，，为上一点，且． （1）如图，作，满足圆心在上，且经过点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）的条件下，如图，若点在上，求证：． 24. 3月14日被定为“国际数学日”，某校数学兴趣小组为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．（表示大于等于50分，同时小于60分，以此类推） （1）______，______，补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为______； （3）测试结束后，九年级一班从本班获得优秀（测试成绩分）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两名宣讲数学知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率． 25. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，共有几种建造方案，哪种方案所建造费用最省，最省费用为多少万元？ （3）现有甲乙两种型号的电动车，甲车从A地匀速驶向相距的B地，乙车比甲车晚出发20从B地驶往A地，途中在C地休息了20，然后比之前提高了的速度行驶，在甲车到达B地后，又过了40乙才到达A地．甲，乙两车距B地的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题： ①甲车的速度是______，______； ②乙车出发______小时，两车相距55． 26. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点与交于点，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为10，，求的长． 27. 某数学兴趣小组在学完《特殊的平行四边形》一章后，对特殊平行四边形进行了探究，探究过程如下： 【特例感知】 如图1，在正方形中，是对角线上一点，满足，过点作交延长线于点，是线段上一点，是射线上一点，．求证：． 【深入理解】 如图2，在菱形中，点，分别在射线和射线上，满足，点，分别在线段和线段上，．探究和之间的数量关系，并说明理由． 感悟应用】 如图3，将【特例感知】中的“正方形”更换为“矩形”，其他条件保持不变．若，，当点在直线上时，求的长． 28. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点，两点，交y轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中线段取得最大值的条件下，将该抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到如图2所示的抛物线，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使四边形为菱形，求出点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $