陕西西安交通大学附属中学2025-2026学年第二学期高三第七次模拟考试数学试题

**基本信息** 高三数学模拟卷，通过新定义问题（如对偶互存集）、跨模块综合题（折叠菱形与外接球）及真实情境（强基计划名额分配），考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数定义、充分条件判断、等差数列|基础概念与空间想象结合（如函数图象识别）| |多选题|3/18|集合新定义、统计命题判断、函数零点|新情境（对偶互存集）考查数学抽象与批判性思维| |填空题|3/15|不等式解法、圆柱与球相切求椭圆离心率|几何直观与运算能力综合（如空间几何体与解析几何交汇）| |解答题|5/77|解三角形、立体几何夹角、概率分布列、函数切线与零点、双曲线轨迹|分层设计，从基础运算（解三角形）到创新应用（函数最小值零点讨论），体现逻辑推理与模型观念|

2025-2026学年第二学期高三第七次模拟考试 96%+ 数学答案与解析 选择题 愿号 5 6 9 10 11 答案D B A B B A ABD BC ACD 填空题 母 12 13 14 答案 (-om,0U[1,+o) 2W2 78-2 3 解答题 10南F孩定理品品。c得：血coA+5nC=如8+nC .sin B=sin(+C)=sin AcosC+cos /sinC ..3sin AsinC=cos AsinC+sinC :snC*0·5s如有-cs4=1.整理得：24-名-1，即m4-名-月 :AE(0x)4A-严= 66 六A=骨 (2)SamchesinA5he bc=4①： 2 4 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA得：4=+c2-bc=(b+c)2-3hc=(b+c)2-12, 整理得：b+c=4②联立①②解得：b=c=2. 16.以BA、BB,、BC分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系 (1)A(2.4,0).C0.0,2),C(0,4,2).M(0.2,0) .CA=(2,4,-2).MC=(0,2,2) 设有线4C与Cw的夹角为a,则osa=os<C.G片 A·MG 45 4MG2W6x2五6 (2)A(2,4.0),C1.0.V5),C1,4.5),M0,2,0) .MA=(2.2,0),MC=(1,-2,V5),MC=(1,2,V5) 可求得平面ACM的法向量m=(1,-1,-V3),平面4CM的法向量斤=(W5、-5.1) 设平面ACM与平面ACM的夹角为B,则cosB=bos<m,i>历可=5 5 网5x行=5 :p0)A=-wB-4渠-4而 3535 17.()依题意，从编号为1,2,3,4的四个球中，随机取出2个球，所取球的编号组成集合A ∴.1={L2},{1,3},{,4},{2.3},{2,4),{3.4 (2)X的所有可能取俏为0,1,2 器-6K=0-签-x=2- PK=0)=Cg=1 c1 CC 6 3 C-6 .X的分布列为 X 0 12 1 2 6 2 ·B(X)=0×石+1×号+2×石1 6 七模物化生3/15 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫指APp 4/15跳转 3)当k=3时，PX=2)=CCC=18n-3)=9 整理得nn-10n-2)=40(n-3) C.Cn(n-1)(n-2)20 .n3-3n2-38n+120=0,即(n-6)(n2+3n-20)=0 nEN .n=6 18.()设f(x)的对称中心为(x,%),则对∈R,(x+x)+(x。-x)=2% .++6-0-[++a+0+[g-+a%-+ =2-3x+a,)+7=6+2x+2+》=2。 [-6x。=0 x=0 1 2.x6+2ax。+5=2y %=4 曲线y=)的图象是一个中心对称图形，对称中心为) ②：e)=+x+号 .f'(x)=3x2+1 设切点为（心，》则切线方程为y-(云++）-(+x-) 将P)代入得，（公+%+）-(+0-） 整理得2x-3x+1=0,即(x。-1(2x+1)=0 六为=1或=月 当x=1时，切线方程为y-?=4(-),即y=4-子（或写作16x-4y-7=0) 当%=时，物线方程为y+号引+》即y=子+号（或写作7x-4+2=0) (3)(当x∈(L,+o)时，g(x)=-lnx<0,函数h(x)=min{/(x,g(x)}≤g(x)<0 .h(x)在x∈(1，+o)时无零点. (0)当x=1时， 若a之-子则/0)=a+子之0，M)=mm/0,g0}=g0=0,故x=1是函数()的-个零点 若a<-子，则/0=a+年<0，hM=min/0.g0以=f0<0,放x=1不是函数i的军点 (m)当x∈(0,1)时，g(x)=-lnx>0,因此贝考忠∫(x)在(0,1)内的零点个数即可. ①当a≤-3或a≥0时，了"(x)=3x2+a在(0,1)内无零点、因此∫(x)在区间(0,1)内单调 而/0=日10=a+ .当a5-3时，f(x)在区间(0,1)内有一个零点，当a≥0时， (x)在区间(0,1)内没有零点 @当-3<a<0时，属数/w在0月 内单调递减， 内单调递增 :--层+号 若号)>0，即-<a<0,则/)在Q.)内无雾点， 若/号)=0，印a=子则/在内有唯-零点。 若号)<0.即-3<a<-子由/0=分0=a+月 上模物化生4/15 ·当 <a<-三时，在O,D内有两个零点， 4 当-3<a,-三时，∫)在0，)内有一个零点。 4 综上可得：当a>-3或a<-时，(x)有-个零点 4 当a=-3 或-三时，(x)有两个零点 4 4 当一5a<3时，函数(x)有个婴点， 4 19.0）联立双曲线方程和宜线可得：-少-L,得（2-x+2kx+m㎡+1=0 y=kx+m 因为k≠±1，所以根的判别式△=(2an)2-4(k2-1(m2+1)=0,整理得m2=k2-1 因此知台%-烟-货=，所以会白：类中加0 m m 过点P且与直战垂直的直线为y+女+点，可得M(兰0，N0子，所以Q-货-名 m m 所以x=2沙，y=-2,所以2-y少=4三4， m m2 因此点2的轨迹方程为x2-y2=4(心y≠0) (2)依题意，直线的斜率必不为0，设直线方程为x=y+6,A(x,y),B(x2,2) 联立2-少=4，得-y+12+32=0 x=y+6 2-1≠0 由{△=(12)2-4×32×(2-1)>0，解得-1<1<1 32 %兰0 由韦达定里乃+%兴%品 0kn=业2业 yiy 32 为定值 =x+2x+2(0例+8X02+8)7y4+80,+)+6432r°-96r+64C-0=2 (ii)AC:x=my-2,Ae:x=m2y-2,m>1,m>I 联立父-少=4，得(m-y2-4my=0,所以，=”，同理可得y,= x=my-2 m2-1 m-1 联立 x+少=④得+少少二4my=0,所似x=4件”同理可得y0子 4m2 (x=my-2 m+1 y 上惯物化生5./15 所以Sa业= p4p郎A7 TA-ITB (m+10(m+1) SAICD 2rC-TDsin∠cTD ITC-ITD Yeyo (m-(m-) 2,代入得 m S思 (+m+4_-m+5m+4=-1- 10m2 （m-n-4）m-5m+4 m-5m+4 =-1- 10 SAICD - 4-5 m+ fml>1 因为 l=>1所以me(L.2,me4.因此m+4e45,m+4-5e-0, 2 m m2+车5(10.-110 10 一e9+o).即aeB,to） mi+,-5 SATCD 又因为A=A。-S业=业-l,所以三的收值范围为[8，o). S SATCD SAICD 交大附中2025-2026 学年第二学期高三第七次模拟考试 数　学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上。 2. 选择题的作答，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4. 选考题的作答，先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知点 是 角终边上一点，则 的值为（ ） A. B. C. D. 2. ” 是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 等差数列 中，，，则 （ ） A. 0 B. -5 C. 15 D. 20 4. 函数 的图象大致为（ ） 5. 点 在平行四边形 所在平面外， 与 交于点 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，，，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 清华大学给某省增加了 5 个强基计划名额，有 3 所高中的学生有资格争取这 5 个名额，则将这 5 个名额分配到各校的不同方法种数为（ ） A. 243 B. 150 C. 42 D. 21 8. 在边长为 2 的菱形 中，，沿对角线 将 折起得到三棱锥 ，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错的得 0 分） 9. 对于集合 ，若 ，，则称 为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若样本数据 ，，⋯， 的方差为 2，则数据 ，，⋯， 的方差为 7 B. 在比较两个模型的拟合效果时，通常用决定系数 来比较， 越大，拟合效果越好 C. 在一组样本数据 ，，⋯，（，，，⋯， 不全相等）的散点图中，若所有样本点 （）都在直线 上，则这组样本数据的线性相关系数为 D. 某学校参加学科节数学竞赛决赛的 10 人的成绩（单位：分）：72，78，79，80，81，83，84，86，88，90。则这 10 人成绩的第 70 百分位数是 84 11. 已知函数 ，，则（ ） A. 函数 存在唯一零点 B. 若方程 在 上有唯一解，则实数 的取值范围是 C. 存在唯一 ，使得 D. 关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式 的解集为____. 13. 如图，已知圆柱底面半径为1，母线长为8，球 与圆柱侧面及上底面相切，球 与圆柱侧面及下底面相切，平面 与球 、球 均相切（球心 、 在平面 两侧）．则平面 截圆柱侧面所得椭圆的离心率为____. 14. 已知数列 满足 ，且 ．设 表示 的前 项和，则 ____. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. （13分）已知 、、 分别为 的三个内角 、、 的对边，且 ． (1). 求 ； (2). 若 ， 的面积为 ，求 和 ． 16. （15分）如图，在直三棱柱 中，，， 为 的中点，已知 ． (1). 已知 ，求异面直线 与 夹角的余弦值； (2). 已知 ，求平面 与平面 夹角的正弦值． 17. 一个袋子中装有 个大小相同的小球，编号分别为 ，且 ，。进行两次实验： 第一次：从中不放回地随机取出 个球，记所取球的编号组成的集合为 。 第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验； 第二次：从中不放回地随机取出 个球，记所取球的编号组成的集合为 。 设随机变量 表示 的元素个数。 (1). 若 ，，求所有的 ； (2). 若 ，，求 的分布列和数学期望 ； (3). 若 ，且 ，求 ； 18. 已知函数 ，。 (1). 求证：曲线 的图象是一个中心对称图形，并求对称中心； (2). 若 ，求过曲线 上一点 的切线方程； (3). 用 表示 、 中的最小值，设函数 ()，讨论 的零点的个数。 19. 已知双曲线 与直线 () 有唯一的公共点 ，过点 且与直线 垂直的直线分别交 轴、 轴于 、 两点。当点 运动时，点 的轨迹为曲线 。 (1). 求曲线 的方程； (2). 设点 ，若过点 的直线与曲线 的右支交于 、 两点。 (i). 证明：直线 和直线 的斜率乘积为定值。 (ii). 若直线 、 与圆 分别交于 、 两点，记四边形 的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $